角动量与刚体转动

刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律

刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律

刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。

一、刚体转动的基本概念

刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。

二、刚体的转动与力矩

刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：

τ = F × r

其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。

三、刚体的转动惯量与角动量 刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：

L = I × ω

其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。

四、角动量守恒定律

角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。

五、应用案例

角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。在陀螺的运动过程中，陀螺的转动速度越大，陀螺的角动量越大，这样陀螺的稳定性会更好。刚体在运动过程中，如果没有外力矩的作用，如摆球的运动，可以根据角动量守恒定律推导出刚体运动的规律。

力学中的刚体运动与角动量

力学是研究物体运动及其原因的学科，而刚体运动是力学中一个重要的概念。刚体指的是形状、大小和质量不变的物体，其内部各点之间的相对位置保持不变。刚体运动是指刚体在空间中的运动过程。角动量是力学中另一个重要的概念，用以描述物体的旋转性质。在本文中，我们将探讨力学中的刚体运动与角动量的关系。

一、刚体运动的基本特征

刚体运动具有以下基本特征：

1. 刚体运动是整体性的：刚体内各点的相对位置保持不变，因此刚体的平动和转动是整体进行的。

2. 刚体运动是刚性的：刚体具有固有的形状和大小，不会因受力而发生形变。

3. 刚体运动需要外力的作用：刚体运动需要外力的作用，才能改变刚体的位置和状态。

二、刚体平动与刚体转动

刚体运动可以分为平动和转动两种形式。

1. 刚体平动：刚体平动是指刚体所有点沿着同一直线方向同时移动的运动。在平动过程中，刚体的形状保持不变，所有点的速度和加速度大小相等，并且方向相同。 2. 刚体转动：刚体转动是指刚体绕固定轴线旋转的运动。在转动过程中，刚体的各个点绕着轴线旋转，速度和加速度大小和方向不同。

三、角动量的定义与性质

角动量是描述物体旋转运动的物理量，它与物体的质量、角速度和运动半径有关。角动量的定义和性质如下：

1. 角动量的定义：给定一个物体绕固定轴旋转，其角动量公式为L

= Iω，其中L是角动量，I是物体的转动惯量，ω是物体的角速度。

2. 角动量守恒定律：在没有外力矩作用的情况下，系统的总角动量保持不变。这是因为当外力矩为零时，根据角动量定理，系统的角动量转动对时刻是恒定的。

3. 角动量与动力学量之间的关系：角动量与动量和力矩有着密切的联系。例如，当一个力矩作用于刚体时，角动量的变化率等于力矩的大小。

四、刚体运动中的角动量

刚体运动中的角动量主要与刚体的转动有关。由于刚体具有形状固定和质量不变的特点，其角动量在转动过程中保持不变。

1. 刚体的自转：当刚体绕自身的轴心旋转时，其各点的速度和方向不同，但角动量始终保持不变。这是因为刚体内部各点转动的角速度和转动惯量在不断发生变化，从而使得角动量的改变相互抵消。 2. 刚体的对称性：刚体具有对称形状时，其转动惯量相对较小。这意味着对称刚体在同样角速度下具有较小的角动量，从而在转动过程中更容易保持平衡。

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

1、刚体定轴转动的角动量

刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。

2、刚体定轴转动的角动量定理

（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。

（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。

3、刚体定轴转动的角动量守恒定律

如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。

练习：1角动量守恒的条件是 。0M

112221JJMdttt刚体 ） 21JJJ恒量 JLJdtddtdLM

大学物理学练习题题解Ch4 刚体转动和角动量守恒——题解一、选择题2、C1、C动量的方向变化，角动量大小方向都不变恒，动能势能转换有心力作用下角动量守3、A22;?vMmmGLRmvLRR4、B5、CANGAB''cossin2?AAAlBlmgANNNA以为转轴，力矩平衡：N端对墙壁的压力大小刚体对轴转动惯量的概念6、C211111222221212121:;:;0()()mmmmgTmamTmgmaaTTmmammgTT错对对其中误解法!7、B2212ABABABRRABRdmRRJmRJJ9、D关键是力的作用点是否在同一点10、C221()niiJmrmr21;niiiJmr在细圆环上每个质量元离轴半径相等8、A,zMJ取棒与竖直方向夹角1sin2mglJ随着减小，减小，但增大13、C';'/mvlmvlJvl角动量守恒：2'(1/3)('/)mvlmvlmlvl14、C00'3JJ15、A20''JJmR11、B12、C16、B211?23mvLmvLML17、B18、B2;345;krijkvr 二、填空题2、2dardt被动轮：＝2'/'5'0.5'4200art主动轮：转过圈3、21;2/2zMJTRMRaTMaR4、20.5zMJFrJkgJm1、mvd5、G'TT;';;'mgTmaTrJarTT2/()mgrJmr联解得：6、2coszMJmglml00/0,;9/()0,2glglGl7、2:;:;1:;2AABBBBACATmaBmgTmaCTRTRmRaR/(0.5)BABCmgmamm联解得：ATABaBTBG8、112/2222niiMMLLMMMmgmgmgL222;2()()2/(34)3/22LLMJJmmmgLL2;3/4/22/(3);mLmgLMgLJ9、22:;/MkMJkJ阻力矩200/()3/9kJ时2011ddkkJtdtdtJ002/(/3)tJk时10、22122()2();3323llJJJmmlvLJmvl11、2121223(13)lmvmlummumllv角动量守恒：12、22001(2);,2/52JmRJJMR1.23.77(/)rads13、2003/((())22)2llmvJmvl14、1012210();2/3JJJJJ15、2020212(())336343llmmvvMlmMm三、计算题1：一质量m=6.00kg、长l=1.00m的匀质棒，放在水平桌面上，可绕通过其中心的竖直固定轴转动，对轴的转动惯量。t=0时棒的角速度，由于受到恒定的阻力矩的作用，t=20s时，棒停止运动。求（1）棒的角加速度的大小；（2）棒所受阻力矩的大小；（3）从t=0s到t=10s时间内棒转过的角度。2/12Jml010.0/radsM解：（1）设受到阻力矩作用，大小恒定20100.5/20dradsdtt（2）由刚体绕定轴转动的转动定律210.2512MJmlNm201752ttrad（3） 2：一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S。试求整个轮轴的转动惯量（用m、r、t和S表示）。rm解：mgTmaTrJar212Sat联解得：22(1)2gtJmrS3：两个均质圆盘，一大一小，同轴地粘在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r’=2r，质量m’=2m。组合轮可以通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O转动，对O轴的转动惯量。两圆盘边缘上分别饶有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，如图所示。这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变。已知r=10cm。求：（1）组合轮的角加速度；（2）当物体A上升h=40cm时，组合轮的角速度。29/2Jmro1Tmg2Tmg1a2a11Ta解：设A受到拉力，加速度大小22TaB受到拉力，加速度大小分析受力如图所示11mamgT22maTmgra122ar221292(/)TrTrmr2/3.10)19/(2sradrg联解得：（2）1ar2112hatt2/9.08/hrrads4：为求一半径为R=50cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末悬一质量m1=8kg的重锤。让重锤从高处2m处由静止落下，测得下落时间t1=16s，再用另一质量m2=4kg的重锤作同样的测量，测得下落时间t2=25s。假定摩擦力矩是一个常数。求：飞轮的转动惯量。解：1111amTgm2222amTgm11JMRTf22JMRTfRa11Ra22hta2/211hta2/222231006.1mkgJ联立上述方程解得：2221211222212[()(2/2/)]2/2/mmgmhtmhtRJhtht1m2mJra1T2Ta1T2T215：如图所示，物体1和2的质量分别为与滑轮的转动惯量为，半径为（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为求系统的加速度及绳中的张力和（设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）；（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度及绳中的张力和。)(111amgmTamNT2202gmNJrTrT12raa1Tgm1N2Tmg1TafN2Tgm2解：（1）用隔离体法，分别画出三个物体的受力图。对物体1，在竖直方向应用牛顿运动定律对物体2，在水平方向和竖直方向分别应用牛顿运动定律对滑轮，应用转动定律并利用关系 grJmmmma22121gmrJmmrJmmT12212221gmrJmmrJmmT22212112由以上各式，解得ml40.0kgM00.1gm8smv/200l436：长、质量的匀质木棒，的子弹以的速率从A点射入棒中，A点与O点的距离为如图所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。Al43O可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量22433143lmMllmsradlmMm/9.84.010810913120010843169314333解：（1）应用角动量守恒定律得：cos43cos2432)]43(31[2122lmglMglmglMglmMl079.03289321cosglmMmM5.94（2）应用机械能守恒定律得：