mathematics矩阵相乘

(完整版)Kronecker积及其应用

矩阵的Kronecker积及其应用

陈蔚

(集美大学理学院数学系2005届，厦门 361021）

[摘要］ 本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker积，通过对概念的引入，性质、定理的推导，简单地体现出矩阵的Kronecker积在求解几类矩阵方程中的应用.

［关键词] Kronecker积,特征值，拉直，1tiiiAXBF矩阵方程，AX＋FXB矩阵方程，X－FAXB矩阵方程,矩阵微分方程

0、引言

众所周知，我们学习到的矩阵运算中，普遍提及的均是乘积问题，两矩阵可以相乘的条件是：前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数,如果不满足这个条件，则我们就无法求解这两个矩阵的乘积,但我们却可以求它们的Kronecker积。对于矩阵的Kronecker积问题，绝大多数人是陌生的。本文主要介绍了Kronecker积的定义、性质、应用，让大家一起来领略这个新知识点的风采。文中所用到的符号均可从参考文献[1—11]中找到。

一、 矩阵的Kronecker积的概念

[1]1.1定义 设()mnijAaC, CbBqpij)(，则称如下的分块矩阵

111212122212nnmpnqmmmnBBaaaBaaaBBBABCaaaBBB为A与B的Kronecker积（也称为直积或张量积）。

BA是一个nm块的分块矩阵,所以上式还可以简写为BA=()ijaB。

例1.1 设),,(321aaaTA， ),(21bbBT，求BA和AB.

解 BA=111221223132123TaBaababababababBaB，，，，，, (完整版)Kronecker积及其应用

AB=11121321222312TbAbababababababA，，，，，。

这个例子表明,矩阵的Kronecker积与乘积一样不满足交换律，即

matlab课程设计

计

Matlab应用课程设计任务书

学生姓名: 专业班级:

指导教师: 工作单位:

题 目: Matlab矩阵操作设计

课程设计目的:

《Matlab应用》课程设计的目的是为了让学生熟悉matlab语言，并且利用matlab语言或者函数族进行专业课程理论知识的再现，让学生体会matlab的强大功能，为今后使用matlab语言奠定基础。

课程设计内容和要求

利用MATLAB,mathematics对矩阵操作进行设计，具体包括创建(普通、单位、零)矩阵、矩阵加减、矩阵相乘、矩阵的乘方、矩阵除法、矩阵转置、矩阵点乘、求矩阵的特征值和特征向量、矩阵的变形(reshape)、验证如下函数的功能:all、any、find、isempty、isequal、xor。

要求每个学生单独完成课程设计内容，并写出课程设计说明书、说明书应该包括所涉及到的理论部分和充足的实验结果，给出程序清单，最后通过课程设计答辩。

时间安排:

所需时

序号 阶段内容

间

1 方案设计 1天 2 软件设计 2天

3 系统调试 1天

4 答辩 1天

合 计 5天

指导教师签名: 年 月 日

系主任(或责任教师)签名: 年 月 日

I

目 录

摘

要 ................................................................................................................ 1

Abstract ............................................................................................................. 2 1 要求与基础 ................................................................................................... 3

Mathematica可进行矩阵的各种运算,如矩阵求逆、矩阵的转置、矩阵与向量的乘法等.下面列出主要的运算.记k为常数,u,v为向量,A,B为矩阵

k*A------------------------常数乘矩阵

k+u-----------------------向量u的每一个元素加上k

u+v----------------------向量的对应元素相加

u.v-----------------------向量的内积

u*v-----------------------向量的对应元素相乘

A.u---------------------矩阵乘向量

u.A-----------------------向量乘矩阵

A.B--------------------------矩阵乘矩阵

Transpose[A]-----------------求矩阵A的转置阵

Inverse[A]--------------------求矩阵A的逆矩阵

Det[A]-------------------------求矩阵A的行列式

Eigenvalues[A]-----------------求数字阵A的特征值

Eigentvectors[A]---------------求数字阵A的特征向量

LinearSolve[A,v]---------------求解线性方程组Ax=v

Chop[%n]-------------------舍去第n个输出中无实际意义小量

矩阵可以左乘以向量或右乘以向量, Mathematica也不区分“行”,或“列”向量,自动进行可能的运算.

例:

In[1]:=A={{a,b},{c,d}}; v={x,y};

矩阵的迹及其应用

唐鹏程

(孝感学院数学系,湖北孝感432100)

摘 要:文章讨论了几类特殊矩阵的迹,给出了它们的一般结果,并举例说明它们在证明相关问题中的应用。

关键词:矩阵的迹;矩阵的秩;相似矩阵;幂等矩阵;幂零矩阵;对合矩阵

中图分类号:O151.21 文献标识码:A 文章编号:1007-1075(2000)04-0011-03

A1B1= (A,0)B

0=AB(3)

B1A1=B

0(A,0) =BA00 0(4)

由(3),(4)式,有

λI-A1B1 = λI-AB (5)

λI-B1A1 =λm-n λI-BA (6)

将(5),(6)两式代入(2)式,得

λI-AB =λm-n λI-BA

即得证(1)式。

其次,设AB的全部特征根为λ1,λ2,…,λm,BA

的全部特征根为μ1,μ2,…,μn,则

Tr(AB) =λ1+λ2+…+λm(7)

Tr(BA) =μ1+μ2+…+μn(8)

再由公式(1)知,矩阵AB与BA具有相同的非零特

征根,它们之区别仅在于零特征根的重数不同,

因此

Tr(AB) =Tr(BA)证毕

设A∈Mn(F),若A2=A,则称A为幂等矩

阵。

定理2 若A是幂等矩阵,且rank(A) =r,则

Tr(A) =r。

证 因为rank(A) =r,所以存在P,Q∈

Mn(F),且P,Q皆为可逆矩阵,使得

A=PIr0

0 0Q,

设P=P1P2

P3P4,Q=Q1Q2Q3Q4

于是A=P1Q1P1Q2

P3Q1P3Q2

又因为A2=A,所以

Ir0 0 0=P-1AQ-1=P-1A·AQ-1

=Ir0

0 0Q·PIr00 0

=Q1Q2

0 0

P10

P30

=Q1P1+Q2P30

0 0

由引理3,引理4和定理1,我们有

Tr(A) =Tr(P1Q1) +Tr(P3Q2)

=Tr(P1Q1) +Tr(Q2P3)