2020-2021学年江西省某校九年级上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江西省某校

九年级第一学期期中数学试卷

一、选择题

1．（3分）下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）

A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝﹣

2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）

A．打开电视刚好在播放广告

B．抛出的铁球会落地

C．早上的太阳从西边升起

D．雨后有彩虹

3．（3分）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3，下列说法正确的是（ ）

A．开口方向向上 B．顶点坐标为（1，﹣2）

C．与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝﹣1

4．（3分）如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（ ） A． B． C． D．

5．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）

A．图象关于原点对称

B．y随x的增大而减小

C．图象位于第二、四象限

D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝﹣3

6．（3分）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）

A．36π B．60π C．96π D．100π

7．（3分）已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（ ）

A．y＝2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+1）2 C．y＝2（x﹣1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2

8．（3分）如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（ ）

A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线

B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC

C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线

D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ．

10．（3分）已知点A、B关于原点对称，若点A的坐标为（1，2），则点B坐标是 ．

11．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝

度．

12．（3分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转60°，得到线段CD．若∠BOC＝105°，则∠AOD＝ ．

13．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0有一根是x＝﹣1，则另外一根是 ．

14．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB＝60°，则AP的长为 ．

三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

15．（6分）解下列一元二次方程．

（1）2x2+3＝7x；

（2）（x+4）2＝5（x+4）．

16．（6分）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的压强P/（kPa）是气球体积V/（m3）的反比例函数，其图象如图所示．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）当气球内气体的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球体积应该不小于多少立方米？

17．（6分）复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．

（1）求甲同学进校园时，从人工测温通道通过的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．

18．（6分）仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．

（1）如图①，画出⊙O的一个内接矩形；

（2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．

20．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．

（1）求证：AE＝ED；

（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．

21．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．

（1）求证：EF＝BC；

（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度数．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC＝60°，延长BA至点P使AP＝AC，作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D．连结PC，BD．

（1）求证：PC为⊙O的切线；

（2）求证：BD＝PA；

（3）若PC＝6，求AE的长．

23．（9分）如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B．

（1）求b和k的值；

（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x的不等式x+b＞的解集；

（3）若点P在y轴上一点，当PA+PB最小时，求点P的坐标．

六、探究题（本大题共1小题，共12分）

24．（12分）已知抛物线yn＝﹣（x﹣an）2+bn，（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）的顶点坐标为Bn，与x轴的交点为A（0，0）和An（∁n，0），∁n＝Cn﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y1＝﹣（x﹣a1）2+b1与x轴的交点为A（0，0）和A1（2，0），其他依此类推．

（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式．

（2）抛物线y3的顶点B3坐标为 ；依此类推，第n条抛物线yn的顶点坐标Bn为 ；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ；

（3）探究：

①是否存在抛物线yn，使得△AAnBn为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

②若直线x＝m（m＞0）与抛物线y，y2，…，yn，yn+1分别交于C1，C2，…，∁n，Cn+1，则线段Cn﹣1∁n与∁nCn+1的长有何数量关系？并说明理由．

参考答案

一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项）

1．（3分）下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）

A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝﹣

【分析】直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．

解：A、y＝是y与x+1成反比例，故此选项不合题意；

B、y＝，是y与x2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；

C、y＝﹣，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；

D、y＝﹣是正比例函数，故此选项不合题意．

故选：C．

2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）

A．打开电视刚好在播放广告

B．抛出的铁球会落地

C．早上的太阳从西边升起

D．雨后有彩虹

【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．

解：A、打开电视刚好在播放广告是随机事件； B、抛出的铁球会落地是必然事件；

C、早上的太阳从西边升起是不可能事件；

D、雨后有彩虹是随机事件；

故选：B．

3．（3分）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3，下列说法正确的是（ ）

A．开口方向向上 B．顶点坐标为（1，﹣2）

C．与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝﹣1

【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．

解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，

∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（1，﹣2），对称轴是直线x＝1，故选项A、D不符合题意，选项B符合题意；

当y＝0时，△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，则该抛物线与x轴没有交点，故选项C不符合题意；

故选：B．

4．（3分）如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（ ） A． B． C． D．

【分析】连接OB，根据菱形性质求出OB＝OC＝BC，求出△BOC是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出即可．

解：连接OB，

∵四边形OABC是菱形，

∴OC＝BC＝AB＝OA＝4，

∴OC＝OB＝BC，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠COB＝60°，

∴劣弧的长为＝π，

故选：D．

5．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）

A．图象关于原点对称

B．y随x的增大而减小

C．图象位于第二、四象限

D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝﹣3

【分析】反比例函数y＝（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质并结合其对称性对各选项进行判断．

解：∵反比例函数y＝﹣中﹣3＜0，

∴图象在二、四象限内y随着x的增大而增大，图象关于原点对称，

∴A、C正确，不符合题意；B错误，符合题意；

∵若点M（a，b）在其图象上，

∴﹣＝b，

∴ab＝﹣3，

∴D选项正确，不符合题意，

故选：B．

6．（3分）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）

A．36π B．60π C．96π D．100π

【分析】首先求得底面周长，即展开得到的扇形的弧长，然后利用扇形面积公式即可求解．

解：底面周长是：2×6π＝12π，

则圆锥的侧面积是：×12π×10＝60π．