高考数学导数及其应用知识点

高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点

（一）导数

1、导数的概念

（1）导数的定义

（Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即 。

（Ⅱ）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值

，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）内的导函数（简称导数），记作 或 ，

即 。

认知：

（Ⅰ）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当

时的函数值。

（Ⅱ）求函数 在点 处的导数的三部曲：

①求函数的增量 ；

②求平均变化率 ；

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义：

函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。

（3）函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联系又有区别：

（Ⅰ）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；

若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数 在点 处可导，则有

此时，

记 ,则有 即 在点 处连续。

（Ⅱ）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。

高中数学导数及其应用

一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)

1．一个物体的运动方程是s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单

位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )

A．7 m/s B．6 m/s

C．5 m/s D．8 m/s

解析：∵s′＝－1＋2t，∴s′|t＝3＝－1＋6＝5，

∴t＝3 s时的瞬时速度为5 m/s.

答案：C

2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，

则x1·x2等于( )

A．9 B．－9 C．1 D．－1

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1·x2＝1.

答案：C

3．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数是f′(x)，且f′

(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )

A．y＝－2x B．y＝3x

C．y＝－3x D．y＝4x

解析：由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2，因为f′(x)是偶函数，所以

a＝0，即f′(x)＝3x2－2，从而f′(0)＝－2，所以曲线y＝f(x)在原点处的

切线方程为y＝－2x.

答案：A

4．函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图象如图所示，记y

＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( )

A．[－，1]∪[2,3) B．[－1，]∪[，]

C．[－，]∪[1,2] D．[－，－]∪[，]

解析：由题意知，选择f(x)的减区间即为所求．

答案：A

5．(精选考题·山东高考)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与

年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产

厂家获取最大年利润的年产量为( )

A．13万件 B．11万件

C．9万件 D．7万件

解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0,9)时，y

′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上

单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只

高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案学生

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 教师：学生：时间：_2016_年__月日段第__次课

教师 学生姓名 上课日期 月日

学科 数学 年级 高二 教材版本 人教版

类型 知识讲解：√考题讲解：√ 本人课时统计 第（）课时

共（）课时

学案主题 《导数及其应用》复习 课时数量 第（）课时 授课时段

教学目标 1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点、难点 掌握导数的概念和求法。

掌握利用导数研究函数的单调性及导数的应用。

教学过程 知识点复习

【知识点梳理】

《导数及其应用》知识点总结

一、导数的概念和几何意义

1.函数的平均变化率：函数()fx在区间12[,]xx上的平均变化率为：2121()()fxfxxx。

即：xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212

注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2.导数的定义：设函数()yfx在区间(,)ab上有定义，0(,)xab，若x无限趋近于0时，比值00()()fxxfxyxx无限趋近于一个常数A，则称函数()fx在0xx处可导，并称该常数A为函数()fx在0xx处的导数，记作0()fx。函数()fx在0xx处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

注意：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()yfxxfx；（2）求平均变化率：00()()fxxfxx；（3）取极限，当x无限趋近与0时，00()()fxxfxx无限趋近与一个常数A，则0()fxA.

高考导数考哪些知识点

在高考数学中，导数是一个非常重要的考点。掌握导数的相关知识点，不仅能够解答与函数的变化趋势有关的问题，还能为后续数学学科打下坚实的基础。接下来，我将详细介绍高考导数考哪些知识点。

一、导数的定义与性质

导数的定义是高考中最基本的考点之一。考生需要了解导数的定义：对于函数y=f(x)，在某一点x上的导数f'(x)表示在这一点附近函数曲线的斜率。此外，还需掌握导数的性质，比如导数与函数的图像之间的关系，导数与函数的符号之间的关系等。这些基础知识是后续学习中的基础，考生一定要掌握扎实。

二、导数的四则运算

导数的四则运算是高考中导数的一个重要考点。包括函数的和、差、积、商的导数计算法则。考生需要了解这些计算法则，并在解题中熟练应用。理解四则运算的基本原理，可以为后续更复杂的题目解答提供帮助。

三、高阶导数

在高考考点中，高阶导数也是一个较为重要的内容。高阶导数可以理解为对函数进行多次求导。比如，在一阶导数的基础上，可以计算二阶导数、三阶导数等。了解高阶导数的定义以及计算方法，能够更深入地研究函数的性质和变化规律。 四、函数的凹凸性与拐点

函数的凹凸性与拐点是导数的一个重要应用。考生需要理解函数的凹凸性与导数的关系，了解函数凹凸性与导数的正负有关。此外，考生还需要了解如何通过导数的变化确定函数的拐点。掌握这个应用技巧，能够帮助考生更好地理解和分析函数的曲线。

五、极值与最值

极值与最值是导数应用中的一个重要考点。极值指的是函数在某一点上取得最大值或最小值，最值指的是函数在特定区间上取得最大值或最小值。考生需要掌握求解极值和最值的方法，对于一些零散点的问题，可以通过导数来解决。

六、应用题

高考数学中的导数知识点还包括了大量的应用题。这些题目可能涉及到函数的图像、相关变化规律、最优问题等。通过解答这些应用题，考生可以加深对导数知识的理解，并且能够在解决实际问题时灵活运用导数知识。

总结起来，高考导数考察的知识点包括导数的定义与性质、导数的四则运算、高阶导数、函数的凹凸性与拐点、极值与最值以及应用题。这些知识点相互联系，耦合在一起，构成了导数这个重要的数学概念。考生在备考过程中，需要通过大量的习题训练和实际应用实践，掌握这些知识点，并且能够熟练运用。只有真正理解和掌握这些知识点，才能在高考中灵活应对各类导数题目，取得优异的成绩。希望每位考生都能够通过努力，迎接高考的挑战！