初中数学-二次根式的化简(练习题)

第3页 共3页 化简二次根式的技巧

化简二次根式是进行二次根式加减运算的基础，只有把二次根式化简了，才能进行二次根式的加减运算.在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略.下面举例说明.

一、被开方数为整数

当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方.

例1.化简：12.

分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4×3=22×3.

解：原式=22322323.

二、被开方数是小数

当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方.

例2. 化简：0.5.

分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，先将0.5化成12，然后再利用二次根式的性质进行化简.

解：原式=21122222222.

三、被开方数是带分数

当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方.

例3.化简：132.

分析：因为132是带分数，不能直接进行开方运算，因此应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简.

解：原式=2772141422222.

四、被开方数为数的和（或差）形式

当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.

例4.化简：2211322.

分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，一定不能直接各自开方得11322，而应先计算被开方数，然后再进行开方运算.

第3页 共3页 解：原式=49150524442.

五、被开方数为单项式

当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成2()ma或2()ma·b的形式），然后再开方.

例5.化简：3527xy.

分析：由于3527xy是一个单项式，因此应先将3527xy分解为22223()3xyy的形式，然后再进行开方运算.

解：原式=222223()333xyxyxyxy.

六、被开方数是多项式

页眉内容

页脚内容1 二次根式的化简求值

练习题

温故而知新：

分母有理化

分母有理化是二次根式化简的一种常用方法,通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.

例 1 计算：（1）(23326)(23326)；

（2）22(3223)(3223)；

（3）aabaaab.

解析：（1）式进行简单分组，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（2）利用平方差公式计算；（3）先将分子、分母在实数范围内因式分解，然后再约分.

答案：解：（1）原式=(23632)(23632)=22(236)(32)

=12-2236+6-18=122.

（2）原式=(32233223)(32233223)=62(43)

=246.

（3）原式=()()()aababaab=ab.

小结：（1）二次根式的混合运算常常用到幂的运算法则和乘法公式，有时题目中条件不明显，要善于变形，使之符合乘法公式，幂的运算法则特点，从而简化计算.

（2）二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便.

页眉内容

页脚内容2 举一反三：

1.若xmn，ymn，则x y的值是( )

A. 2m B. 2n

C. m + n D. m - n

解析：x y=()mn()mn=22()()mn=mn.

例2 阅读材料:“黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.”这是武侠小说的常见描述,其意是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如:(2+3)(2-3)=1,(5+2)(5-2)=3,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式的除法可以这样解:如13=1333=33,2323=2(23)(23)(23)=743,像这样,通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.

二次根式化简（前1000位）

√4=2 √8=2√2 √9=3

√12=2√3

√16=4 √18=3√2 √20=2√5 √24=2√6

√25=5 √27=3√3 √28=2√7 √32=4√2

√36=6 √40=2√10 √44=2√11 √45=3√5

√48=4√3 √49=7 √50=5√2 √52=2√13

√54=3√6 √56=2√14 √60=2√15 √63=3√7

√64=8 √68=2√17 √72=6√2 √75=5√3 √76=2√19 √80=4√5 √81=9 √84=2√21

√88=2√22 √90=3√10 √92=2√23 √96=4√6

√98=7√2 √99=3√11 √100=10 √104=2√26

√108=6√3 √112=4√7 √116=2√29 √117=3√13

√120=2√30 √121=11 √124=2√31 √125=5√5

√126=3√14 √128=8√2 √132=2√33 √135=3√15

√136=2√34 √140=2√35 √144=12 √147=7√3

√148=2√37 √150=5√6 √152=2√38 √153=3√17

√156=2√39 √160=4√10 √162=9√2 √164=2√41

专题16.1二次根式的化简求值

整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的

联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未

知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

一、二次根式的定义形如（≥

0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.

二、二次根式有意义的条件

1.二次根式中的被开方数是非负数；

2.二次根式具有非负性：≥0.

三、判断二次根式有意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是

非负数；

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

四、二次根式的性质

性质1

：2

=（≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；

性质

2：2=

=（≥0）

−（

<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

五、同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．

①同类二次根式类似于整式中的同类项；

②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；

③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．

六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合

并方法为系数相加减，根式不变．

七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：

∙=

∙𝐨≥0,≥0)；

②积的算术平方根：∙=

∙𝐨≥0,≥0)；

③二次根式的除法法则：=

(≥0,>0)；

④商的算术平方根：

=

(≥0,>0).八、最简二次根式

我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，

叫做最简二次根式．

九、分母有理化

1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母