湘教版七年级下册各章节知识点汇总

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第一章二元一次方程组

一、二元一次方程组

1、概念：

①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。

②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；

但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：

使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。

注：①因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；

②一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；

③而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即

无公共解）。

二元一次方程组的解的讨论：

已知二元一次方程组111

222axbyc

axbyc





①当11

22ab

ab

时，有唯一解；例：4

359xy

xy





②当111

222abc

abc

时，无解；例：3

225xy

xy





③当111

222abc

abc

时，有无数解。例：8

2216xy

xy







3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：

用含X的代数式表示Y，就是先把X看成已知数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，则相当于把Y看成已

知数，把X看成未知数。

4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：

要抓住两个方面：①未知数的指数为1，②未知数前的系数不能为0

5、求二元一次方程的整数解

例：求二元一次方程3x+4y=18的正整数解。

思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时x、y的取值范围，然后再进

一步确定解。

解：用含x的代数式表示y：93

24yx

，用含y的代数式表示x：4

6

3xy因为是求正整数解，则：93

0

24x，4

60

3y湘教版七年级下册各章节知识点汇总第2页共15页所以0

2

所以当y=1时，x=6–4

3=14

3，舍去；

当y=2时，x=6–8

3=10

3，舍去；

当y=3时，x=6–4=2，符合；

当y=4时，x=6–16

3=2

3，舍去。

所以3x+4y=18的正整数解为：2

3x

y







二、二元一次方程组的解法——消元（整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”）

1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，

实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为：

①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；

②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；

⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。

2、加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将

两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组

的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。

注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为：

①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘

以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；

②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知

数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。

3、用换元法解方程组

根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代回关系式中，求出方程组中未知数的解。

4、用整体代入法解方程组

三、实际问题与二元一次方程组

1、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式—>设元（设未知数）—>根据数

量关系式列出方程组—>解方程组—>检验并作答（注意：此步骤不要忘记）湘教版七年级下册各章节知识点汇总第3页共15页2、列方程组解应用题的常见题型：

（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量-较小量=相差量，总量=倍数×倍量；

（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；

（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程=速度×时间，包括相遇问题、追及问题等；

（4）、航速问题：①、顺流（风）：航速=静水（无风）时的速度+水（风）速；

②、逆流（风）：航速=静水（无风）时的速度–水（风）速；

（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量=工作效率×工作时间，（有时需把工作总量看作1）；

（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的

量；

（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量；

（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示；

（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式；

（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。

四、三元一次方程组的解法

1、概念：由三个方程组成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个方程中含有的未知数的次数都是1次，这样的

方程组叫三元一次方程组。

注：三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程，只需满足“方程组中共含有三个未知数”的条件即可。

2、解三元一次方程组的基本思想：

第二章整式的乘法

1．同底数幂的乘法

①n个相同因式（或因数）a相乘，记作an

，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an

的结果叫做幂。

②底数相同的幂叫做同底数幂。

③同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am

﹒an=am+n

。

注意：底数可以是多项式或单项式。如：532)()()(bababa

④此法则也可以逆用，即：am+n=am

﹒an

。

⑤开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

2．幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方

①幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am

）n

表示n个am

相乘。三元一次

方程组消元

————————>

(代入法、加减法)二元一次

方程组消元

————————>

(代入法、加减法)一元一次

方程湘教版七年级下册各章节知识点汇总第4页共15页②幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。mnnmaa)(

。（nm,

都是正整数）

③此法则也可以逆用，即mnnmmnaaa)()(

。

（2）积的乘方

①积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

②积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即nnnbaab)(

（n

是正

整数）。

③此法则也可以逆用，即：anbn=（ab）n

。

3．三种“幂的运算法则”异同点

（1）共同点：

①法则中的底数不变，只对指数做运算。

②法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

③对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。

（2）不同点：

①同底数幂相乘是指数相加。②幂的乘方是指数相乘。③积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。

4．单项式的乘法

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

5．单项式与多项式的乘法

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

即mcmbmacbam)(

(cbam,,,

都是单项式)。

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

6．多项式的乘法

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。