高等数学教学大纲

《高等数学Ⅰ》教学大纲

一、课程说明

数学是探讨客观世界数量关系和空间形式的科学。现代数学的内容更丰富、方法更综合、应用更广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种学问，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化。能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素养的一个重要标记。数学教化在培育我国社会主义现代化建设所须要的高质量特地人才中越来越显示出其独特的、不行替代的重要作用。

高等数学课程是高等学校各专业学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程的学习，要使得学生获得：一元函数微积分学；向量代数和空间解析几何；多元函数微积分学；无穷级数；常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学学问奠定必要的数学基础。

在传授学问的同时，要通过各个教学环节逐步培育学生具有抽象思维实力、逻辑推理实力、空间想象实力和自学实力，还要特殊留意培育学生具有比较娴熟的运算实力和综合运用所学学问去分析问题和解决问题的实力，逐步培育学生的探究精神和创新实力。

本大纲的用语，将基本要求分成由低到高的二个层次，对概念理论的要求分为“了解”、“理解”；对方法、运算的要求分为“会”或“了解”、“驾驭”。

在教学时数支配上，本课程可支配二个学期，每周6个学时，实际教学时数约180学时。由于我校为三本，学生入学水平较低，教学时数比较惊慌。

二、教学要求与教学要点

第一章 函数与极限

（一）教学基本要求：

1. 理解函数的概念

2. 了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性

3. 理解复合函数的概念，了解反函数的概念

4. 驾驭基本初等函数的性质与图形

5. 会建立简洁实际问题中的函数关系

6. 理解极限的概念（对极限的N、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高要求）

7. 驾驭极限四则运算法则

8. 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限

9. 了解无穷小无穷大，以与无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限

10. 理解函数在一点连续的概念

11. 了解间断点的概念，并会判别间断点的类型

12. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值最小值定理）

（二）教学要点：

1. 函数复习（函数的概念、单调性、周期性、奇偶性，基本初等函数的性质和图形），反函数与复合函数的概念，初等函数，简洁实际问题中的函数关系

2. 数列的极限，函数的极限，极限的四则运算，极限存在准则，两个重要极限，无穷小和无穷大

3. 函数的连续性、间断点的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质

其次章 导数与微分

（一）教学基本要求：

1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义与函数的可导性与连续性的关系，会用导数求有关函数的改变率问题

2. 驾驭导数的四则运算法则和复合函数的求导法，驾驭基本初等函数、双曲函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性

3. 了解高阶导数的概念

4. 驾驭初等函数一阶、二阶导数的求法

5. 会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数

（二）教学要点：

1. 导数的概念、几何意义、可导与连续的关系

2. 导数的基本公式，复合函数求导法则，反函数，隐函数，参数方程所确定的函数的导数，初等函数的导数，高阶导数

3. 微分概念、求法、几何意义，一阶微分形式不变性，微分在近似计算和误差估计中的应用

第三章 中值定理和导数应用

（一）教学基本要求：

1. 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理和泰勒定理

2. 理解函数的极值概念，并驾驭用导数推断函数的单调性和求极值的方法

3. 会用导数推断函数图形的凹凸性；会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。会求解较简洁的最大值和最小值的应用问题

4. 会用洛必塔法则求未定式的极限

5. 了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径

6. 了解 方程近似解的二分法和切线法

（二）教学要点：

1. 罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理、洛必塔法则、泰勒定理

2. 函数的增减性和极值，最大值和最小值 3. 曲线的凹凸和拐点，函数图形的描绘

4. 弧微分、曲率、曲率半径、方程的近似解

第四章 不定积分

（一）教学基本要求：

1. 理解不定积分的概念和性质

2. 驾驭不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法

3. 会求简洁有理函数的积分

（二）教学要点：

1. 不定积分的概念、性质、基本积分表

2. 不定积分的换元法和分部积分法

3. 有理函数的积分（含三角函数有理式、简洁无理函数），积分表的运用

第五章 定积分

（一）教学基本要求：

1. 理解定积分的概念与性质

2. 理解变上限的定积分作为其上限的函数与其求导定理，驾驭牛顿—莱布尼茨公式

3. 驾驭定积分的换元法和分部积分法

4. 了解广义积分的概念，了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）

（二）教学要点：

1. 定积分的概念、性质

2. 微积分基本公式

3. 定积分的换元法和分部积分法

4. 定积分的近似计算

5. 广义积分（含函数的概念和性质）

第六章 定积分的应用

（一）教学基本要求：

驾驭用定积分的元素法表达一些几何量与物理量（面积、体积、弧长、功、水压力和引力等）的方法

（二）教学要点：

1. 定积分的元素法

2. 平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长

3. 功、水压力和引力

4. 函数的平均值

第七章 空间解析几何与向量代数

（一）教学基本要求：

1. 理解向量的概念，驾驭向量的运算（线性运算、点乘、叉乘运算），驾驭两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件 2. 驾驭单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以与用坐标表达式进行向量运算的方法

3. 驾驭平面的方程和直线的方程与其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题

4. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程与其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面与母线平行于坐标轴的柱面方程

5. 了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解曲面的交线在坐标面上的投影

（二）教学要点：

1. 空间直角坐标系，向量的坐标

2. 向量的线性运算、向量的数量积、向量积

3. 平面与其方程（点法式、一般式、两平面夹角）

4. 空间直线与其方程（一般式、对称式、参数方程、直线与直线与直线与平面的夹角）

5. 曲面与其方程（旋转曲面、柱面）

6. 空间曲线与其方程

7. 二次曲面

第八章 多元函数微分法与其应用

（一）教学基本要求：

1. 理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、连续性等概念以与有界闭区域上连续函数的性质

2. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件

3. 了解方向导数和梯度的概念与其计算方法

4. 驾驭复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数

5. 会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组的隐函数）的偏导数

6. 了解曲线的切线和法平面与曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程

7. 理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简洁的最大值和最小值的应用问题

（二）教学要点：

1. 多元函数的概念，二元函数的极限、连续

2. 偏导数的概念与其计算法，高阶偏导数

3. 全微分与其在近似计算中的应用

4. 多元复合函数的求导法则，隐函数的求导法则

5. 空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线

6. 方向导数和梯度

7. 多元函数的极值，条件极值和拉格朗日乘数法，最大值和最小值

第九章 重积分

（一）教学基本要求： 1. 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质

2. 驾驭二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）

3. 理解三重积分的概念，了解三重积分的性质

4. 了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）

5. 会用重积分求一些几何量与物理量（体积、曲面面积、重心、转动惯量、引力等）

（二）教学要点：

1. 二重积分的概念、性质

2. 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）

3. 三重积分的概念、性质

4. 三重积分的计算（直角坐标、柱坐标、球坐标）

5. 重积分在几何、物理上应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量、引力等）

第十章 曲线积分与曲面积分

（一）教学基本要求：

1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质与两类曲线积分的关系

2. 会计算两类曲线积分

3. 驾驭格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件

4. 了解两类曲面积分的概念与斯托克斯公式，驾驭高斯公式

5. 会计算两类曲面积分

6. 了解散度，旋度的概念

7. 会用曲线积分和曲面积分求一些几何量和物理量（曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）

（二）教学要点：

1. 两类曲线积分的概念、性质与两类曲线积分的关系

2. 两类曲线积分的计算

3. 格林公式，曲线积分与路径无关的条件

4. 两类曲面积分的概念与性质

5. 两类曲面积分的计算

6. 高斯公式、通量与散度

7. 斯托克斯公式，环流量与旋度

第十一章 无穷级数

（一）教学基本要求：

1. 理解无穷级数收敛、发散以与和的概念，了解无穷级数基本性质与收敛的必要条件

2. 驾驭几何级数和p级数的收敛性

3. 了解正项级数的比较审敛法，驾驭正项级数的比值审敛法