全国大学生数学建模竞赛2011年A题论文

城市表层土壤重金属污染分析

摘要

本文主要研究8种重金属对城市表层土壤污染的问题。

为了给出重金属元素在该城区的空间分布，我们用Shepard插值的方法分别对各种金属元素的浓度进行插值，通过Matlab软件编程得出了8种重金属元素浓度的空间分布。在分析该城区内不同区域重金属的污染程度时，我们先用“地质累积指数”的方法计算出各采样点的地质累积指数，然后用“内梅罗指数法”计算了各功能区的重金属污染程度并得出相应的污染等级。在假设各金属元素的污染性相同的情况下，计算各功能区的总污染指数，得到各功能区的污染程度从大到小为交通区工业区生活区公园绿地区山区。

对于题目中的问题（2），我们先将重金属元素对各功能区的污染程度进行了分类，可知重金属元素的污染程度与其所处的功能区有密切的联系。另外，我们到一些重金属元素可能存在一定的联系，因此我们对8种金属元素的浓度进行了聚类分析，得到Cr、Ni、Cu这三种元素一起出现或其中两种出现在同一污染程度的情形较多，Pb、Cd和Zn这三种元素也是如此，聚类分析的结果对问题（3）中污染源位置的确定也有帮助。我们综合上面的分析对重金属污染的主要原因进行了说明。

对于问题（3），我们先对重金属污染物的传播特征进行了分析。由于条件限制，我们仅考虑地势、雨水等对重金属污染物的传播的影响，加上我们主要考虑表层土壤，所以只以地表径流冲刷为重金属污染物的传播途径，用偏微分方程建立了相关的对流模型来确定污染源的位置。（相关结果略去）

对于问题（4），由于本题只给出了一个时间点上的采样数据，且除海拔、金属浓度等外没有其他信息，若能有多个时间点的采样数据以及该城市的地质条件、气候条件、工业发展情况、人口密度、河流流向等信息，可以更好地研究城市地质环境的演变模式。

另外，我们还对计算重金属污染指数的方法进行了改进，充分考虑了题目所给的8种元素背景值的标准偏差和其范围。最后，我们对本文所建立的模型的优缺点进行了总结。

关键词：重金属污染 Shepard插值 地质累积指数 内梅罗指数法 聚类分析

1．问题重述

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

题中附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现需要通过数学建模完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析建立的模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

2．问题分析

本文是对城市表层土壤重金属污染的研究分析。

问题（1）：对于8种主要重金属元素在城区的空间分布，我们考虑用图像来直观地给出。题中附件1给出了319个采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息。利用这些信息，我们首先给出各采样点的分布情况，发现各采样点是散乱分布，因此我们考虑插值拟合的方法，用matlab软件画出8种主要重金属元素在城区的空间分布。对于重金属的污染程度，我们考虑用地质累积指数、内梅罗指数法法来分析。

问题（2）：我们根据问题（1）中各重金属元素的污染程度可以对8种重金属元素进行分类。结合实际容易想到一些重金属元素可能存在一定的联系，因此我们对各重金属元素进行了聚类分析。另外，我们考虑到重金属元素的污染程度应该与其所处的功能区有密切的联系，比如生活区的污染主要是生活废水、生活垃圾、废旧电子产品等，工业区的主要污染是废水、废气、废渣等。综合上述几个方面，我们对重金属污染的主要原因进行了说明。

问题（3）：此问需要分析重金属污染物的传播特征，并由此建立模型，确定污染源的位置。通过查阅资料，我们可以得到重金属污染物的传播特征主要是对流、扩散等，由于我们主要考虑表层土壤，地表径流冲刷为主要传播途径，因而对流是最主要的传播特征，扩散所起的左右相对较小。所以，我们只考虑以雨水冲刷为重金属污染物的传播途径，用偏微分方程建立了相关的对流模型来确定污染源的位置。

问题（4）：要求我们分析建立的模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，提出了模型改进的意见。

3．模型假设

1）每个网格内的采样点具有随机代表性；

2）测量仪器精确度高，题中所给的数据都是准确的；

3）不考虑突发事件或意外情况，测量的数据在一定的时间范围内有效；

4）表层土壤中重金属元素的背景值是在那些远离人群及工业活动的自然区取样，可认为背景值是无污染状态下的重金属元素的浓度值；

4．符号说明

As：砷元素的化学符号；

Cd：镉元素的化学符号；

Cr：铬元素的化学符号；

Cu：铜元素的化学符号；

Hg：汞元素的化学符号；

Ni：镍元素的化学符号；

Pb：铅元素的化学符号；

Zn：锌元素的化学符号；

),(iiiyxP：第i个采样点的坐标（319,,2,1i）；

ijc：实际测量的第i个采样点的第j种元素的浓度，单位gg/；（8,,2,1j）

ir：插值点与iP点的距离，单位：m；

j：第j种元素的背景值，单位：gg/；

j：第j种元素的背景值的标准偏差；

ijI：第i个采样点的第j种元素的地质累积指数；

5．模型的建立与求解

5.1 问题（1）模型的建立与求解

5.1.1 各重金属元素的空间分布

为了给出8种主要重金属元素在城区的空间分布，我们首先给出各采样点的分布情况，如图1所示，其中“”为生活区、“”为工业区、“”为山区、“”为交通区、“”公园绿地区。

图1 采样点分布图

由图1可以发现各采样点是散乱分布，因此我们考虑用Shepard插值，其基本思想是：某一点的函数值受周围各点的影响，较近的点影响较大，较远的点影响较小，点的影响权数与距离平方成反比，因而也称距离平方反比定律。我们用Shepard插值方法对各采样点的金属元素浓度进行插值拟合，具体方法如下：记采样点为),(iiiyxP，设任一点),(yxP的重金属元素的浓度函数为),(yxC，则

3191i319122i,,1,0R,),(iiiijijrrccyxC其它时当某个

其中

22)()(riiiyyxx

用matlab软件编程得到各金属元素的空间分布分别如图2—图9所示。

图2 As浓度的空间分布图

图3 Cd浓度的空间分布图

图4 Cr浓度的空间分布图

图5 Cu浓度的空间分布图

图6 Hg浓度的空间分布图

图7 Ni浓度的空间分布图

图8 Pb浓度的空间分布图

图9 Zn浓度的空间分布图

5.1.2 重金属的污染程度

对土壤重金属元素污染程度的评价方法有很多，如地质累积指数、内梅罗指数法等。

（1）地质累积指数

地质累积指数，又称地质累积指数，是Muller于1949年提出的针对沉积物种的重金属污染程度的评价方法，它不仅考虑了自然地质过程造成的背景值的影响，而且也充分注意了人为活动对重金属污染的影响，因此，该指数不仅反映了重金属分布的自然变化特征，而且可以判别人为活动对环境的影响，是区分人为活动影响的重要参数。地质累积指数定义为

jijijkcI2log （1）

其中k为修正指数，通常取5.1。不同的地质累积指数对应于不同的污染程度，其分级标准见表1。

表1 地质累积指数分级表

地质累积指数 地质累积指数分级 污染程度

0ijI 0 无污染

10ijI 1 无污染—中度污染

21ijI 2 中度污染

32ijI 3 中度污染—强污染

43ijI 4 强污染

54ijI 5 强污染—极强污染

5ijI 6 极强污染

由于题目中有8种元素，每种元素有319个采样点，数据较多，这里限于篇幅，仅给出第1—10个采样点的各元素的地质累积指数，如表2所示。

表2 第1—10个采样点的各元素的地质累积指数表

采样点 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn

1 0.13507 1.5427 0.69235 2.5772 1.3626 0.36734 1.2623 2.4688

2 -0.20337 1.6191 0.57041 2.6254 1.2046 0.10188 1.1434 2.0447

3 -0.14018 1.7044 0.55719 3.5239 1.7452 0.079853 1.0508 2.3806

4 -0.024248 1.6232 -0.058571 1.1876 -0.04182 -0.25135 0.50239

0.84823

5 -0.33198 1.5414 0.37373 1.2975 -0.19068 -0.19656 0.45497 1.0074

6 0.029093 0.22872 0.083479 0.63977 0.23995 0.31173 -0.017794 -0.020496

7 -0.20337 1.5439 2.7183 1.8303 4.0995 -0.13516 0.77681 0.92659

8 0.41504 0.13885 0.11419 1.0203 1.5712 0.17296 0.038572 1.9647

9 -0.024248 -0.36035 0.022778 0.30374 1.415 -0.092849 -0.31072 -0.16133

10 -0.14018 0.816 -0.1465 1.5706 0.60768 -0.41895 0.7659 1.4141

（2）内梅罗指数法

为了评价各功能区重金属的污染程度，需要综合考虑各种元素对环境的影响，即需将各单个指标进行合成。常用的环境质量综合评价指标是内梅罗指数法，这种方法特别考虑了污染最严重的因子。记某一功能区中各采样点的某一金属元素地质累积指数的最大值和平均值分别为maxI，aveI，则内梅罗指数定义为

2max22IIPave （2）

内梅罗指数法的污染指数分级如表3所示。

表3 内梅罗污染指数分级表

污染等级 P 污染程度

1 0.1P 清洁

2 0.20.1P 轻度污染