2016全国大学生数学建模竞赛A题论文

系泊系统的设计

摘要

本文为系泊系统的设计问题，根据题目要求建立了数学模型，计算出系泊系统在不同条件下的具体参数，并利用模型对系泊系统进行优化分析，使其能运用到更广的领域。

针对问题一，首先分析了锚链的形状，利用微积分原理求出锚链的静态方程，用Matlab画出锚链形状，得出锚链的形状所符合悬链线方程。然后把钢管、钢桶看成一个整体，并忽略钢管和钢桶倾斜引起的锚链上端高度的变化，分析出锚链的长度和锚链末端与海平面的夹角对吃水深度的影响，又对钢桶、钢管和浮标进行了受力和力矩分析。最后建立了数学模型，计算出风速为12m/s和24m/s时，钢桶和各节钢管的倾斜角度(见表2)，浮标吃水深度分别为0.737m、0.752m，浮标的浮动区域（此浮动区域是以锚为圆心的圆）面积分别为、，锚链的形状如图(5-11)、(5-12)所示。

针对问题二，由问题一中建立的系泊系统的模型，计算风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。得到了钢桶和各节钢管的倾斜角度如(表3)，浮标吃水深度：0.787m，以及游动区域面积：1229.39m。由于重物球的质量变化影响锚点与海床的夹角，可以通过调节重物球的质量控制锚点与海床的夹角。分析得出当锚点与海床的夹角处于临界点（即16度）时，重物球的最小质量为1756.8kg；当浮标刚好没入水中时，重物球的最大质量为5335.8kg。

针对问题三，以钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域为目标函数，分析动态优化问题。与问题一、二不同的是：此问题给定了水深、海水速度、风速的取值范围，属于模型动态变化问题。所以对模型进行了动态分析，求得钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域的取值范围，进而分析水深、海水速度、风速对结果的影响，这有利于系泊系统的调整和应用。

本文所建立的模型对相关问题在理论上作了证明，虽然对部分模型进行了简化，但是实用性很强，而且易于推广，能够扩展到其他系泊系统。

关键词：微积分整体分析法系泊系统悬链线方程力矩平衡2447.87m2812.88m2一、问题重述

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图5-3所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。

问题1：某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题2：在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3：由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s，风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

海风荷载可通过近似公式计算，S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。海水流力可通过近似公式计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。

表1锚链型号和参数表

型号 长度(mm) 单位长度的质量(kg/m)

I 78 3.2

II 105 7

III 120 12.5 2F0.625SvN2F374SvNIV 150 19.5

V 180 28.12

二、问题分析

2.1问题一分析

问题一要求在海水保持静止时，海面风速分别为12m/s和24m/s时，求钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

首先，我们把浮标、钢管、钢桶、铁球看成一个整体，分析可知锚链的形状符合悬链线方程。题目中给出钢桶的倾斜角度不能超过5度，可知钢桶和钢管的倾斜角度都很小，我们把钢管、钢桶看成一个整体，假设倾斜角度在0度到5度之间，计算发现他们竖直高度变化只有0.019m，这个变化对锚链上端的高度影响几乎没有，于是我们忽略钢管和钢桶倾斜引起的锚链上端高度的变化。然后我们分析了锚链的形状，发现锚链下端切线可能水平或与水平面存在一定的夹角，其中，切线水平时锚链可能有一部分在海底面上，这样锚链下端与锚之间的力或锚链处在拉伸完状态时海底面上的部分是导致浮标吃水深度变化的直接因素，在锚链下端，我们得出如下锚链形状的数学模型公式：

其中，为锚链所受水平分力，为锚链单位长度质量。

最后，我们根据所求锚链长度L整体分析求出浮标吃水深度、浮标浮力，对每个钢管和钢桶单独受力分析，并进行力矩平衡分析求出倾斜角度，最后根据锚链形状算出游动区域。

2.2问题二分析

针对问题二，我们首先运用问题一当中所建立的数学模型，求出钢桶和各钢管的倾斜角度，锚链形状和浮标游动区域，可明显看出锚链与海床的夹角大于16度，所以这时我们考虑通过增加重物球的质量来控制夹角，求极限状态下即角度为16时的重物球的质量，同时保证钢桶的倾斜角小于5度，以分析出重物球的质量满足条件的合理范围。

2.3问题三分析

针对问题三，以钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域为目标函数，分析动态优化问题。参考公司投资组合问题中解决利润最大、风险最小，采用有效前沿的方法，利用不同情况下的风力，水流速度和水深的变化，来计算出各个目标区域的范围值。

三、模型假设 HT1. 假设浮标垂直于海平面，不考虑倾斜情况

2. 钢管不发生变形，接点可灵活转动

3. 锚链可近似看成长绳，忽略锚链的浮力

4. 重物球只考虑重力，浮力忽略不计

5. 假设计算得到的数据真实可靠

6. 忽略钢管和钢桶的半径，看作一条线

四、符号说明

符号名称 符号意义

锚链任意处的拉力

锚链任意处的水平拉力

锚链任意处的竖直拉力

锚链的长度

锚链单位长度的质量

重力加速度

悬链线系数

浮标吃水深度

浮标的高

物体对物体的拉力

风速 1ii 海水密度

物体与水平面的夹角

物体的重力

风对浮标的水平作用力

浮标的浮力

锚链对钢桶的拉力

钢桶到海平面的距离

钢桶到海床的距离

物体的倾斜角度

物体受到的浮力

水对浮标的作用力

五、模型的建立与求解

根据上面的分析，对模型进行建立和求解。

5.1问题一

通过对系泊系统的整体和局部分析，建立平衡状态下的数学模型，在此基础上给出系泊系统在一定风速下各个部件的具体参数。

5.1.1模型的准备

1锚链的参数分析 iiii首先分析锚链的结构特征，锚链可看作是一个悬链线的一部分，所以假设无档普通链环的形状符合悬链线方程，且忽略锚链受到的浮力再对其进行分析。

如图1所示，假设点1为锚锭点，为虚拟锚链长度，建立坐标系使原点处锚链的切线与平面的夹角为0度。锚点与钢桶连接处出的拉力为，可分解为水平拉力和竖直拉力，单位长度锚链的质量为，对原点进行受力分析可知，原点只受一个水平拉力，当锚链长度为时，各处张力的水平分量是一个常数，在方向上有，根据勾股定理求出合拉力

锚链上点的坐标

坐标满足方程

图5-1悬链线的静力分析

在当前坐标系中由计算出

悬链线的长度

令可得到悬链线简化的方程：

其中，为悬链线系数。

利用Matab画图，分别画出的图像，设置步长为0.01，得到悬链线图像如图5-2所示。程序见附录——“悬链线程序”。

图5-2悬链系数为2,3,4,5,6时的悬链线

5.1.1.2建立坐标系

对于题中所给的参考图，我们进行坐标系的建立，以锚点为原点，竖直方向为海深度，水平方向为海床平面建立坐标，如下图5-3所示，由题中已知条件我们假设吃水深度为浮标的高度为钢管与水平面的夹角用表示分别对物体进行标号，比如浮标为0，钢桶为5,物体对物体的拉力表示为，如图5-3所示：

图5-3坐标系建立与符号说明

风力和浮力分别为：

5.1.2模型的建立

对浮标的受力平衡分析，假设浮标是竖直的，风和钢管1对浮标造成的力矩忽略不计，那么浮标受到浮力、重力、钢管1的拉力和风力，如图5-4所示： 2s0,0xyHTaga0,10x00TVTHTSyVTSg000cossssHTxdxdsdsTy1hhi1ii1iiF 2,3,4,5,6a图5-4浮标的受力平衡分析

由于浮标系统处于平衡状态，可列出如下平衡方程：

对第四节钢管的受力平衡分析，钢管受到第三节钢管和钢桶对其的拉力因为钢管保持平衡，所以满足受力平衡的条件，如图5-5所示：

图5-5钢管4的受力平衡分析

然后对其力矩平衡进行分析，钢管受到的浮力和重力在重心上，所以这两个力的合力矩为零，只考虑两端受到拉力所产生的力矩如下图5-6所示：

图5-6对钢管4力矩平衡分析

由于第四节钢管处于平衡状态，所以满足力矩平衡和受力平衡两种，列出下面两组平衡方程：

同理另外三根钢管也能得出如下的平衡方程组：

钢管1：

钢管2:

钢管3: 对钢桶受力平衡分析，钢桶受到第四节钢管锚链的拉力、及自身重力和重物球的重力和浮力，如图5-7所示：

图5-7钢桶的受力平衡分析

然后对其力矩分析，重力和浮力都在钢桶的重心上，所以两者力矩和为零，只考虑第四节钢管，重物球和锚链的产生的力矩如下图5-8所示：

图5-8钢桶的力矩平衡分析

由于钢桶处于平衡状态，所以满足力矩平衡和受力平衡，列出两组平衡方程如下：

5.1.3模型的求解

吃水深度和锚链形状的求解

把钢管、钢桶看成一个整体，由于钢管和钢桶的倾斜角度很小，我们忽略了钢管和钢桶的倾斜引起的高度变化，我们假设锚链上端到海底高度为H、钢管和钢桶竖直高度 212011212011coscossin=sinFFFFF合1434232434232coscossin=sinFFFFF合324542454cos=coscos++=sinFFFGFF锚锚球合5