第七章-行波法

《数学物理方法》 （Methods of Mathematical Physics）

《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容： 复变函数（18学时），付氏变换（20学时），

数理方程（26学时）

第一篇 复变函数（38学时）

绪 论

第一章 复变函数基本知识4学时

第二章 复变函数微分4学时

第三章 复变函数积分4学时

第四章 幂级数4学时

第五章 留数定理及应用简介2学时

第六章 付里叶级数

第七章 付里叶变换

第八章 拉普拉斯变换

第二篇 数学物理方程 （26学时）

第九章 数理方程的预备知识

第十章 偏微分方程常见形式

第十一章 偏微分方程的应用

绪 论

含 义

使用数学的物理——（数学）物理

物理学中的数学——（应用）数学

Mathematical Physics

方 程

1x

222111cybxacybxa

tadtdx

)(taxdt

常微分方程

0222xdtxd

CtAxcos

偏微分方程——数学物理方程

0222222zyx

zyx,,

12xzyxUzyxmhthi,,22222222

tzyx,,,

复 数

1. 数的概念的扩充

正整数（自然数） 1，2，„

运算规则 ＋，－，×，÷，2，

－ 121

负 数 0，-1，-2，„

整 数 „，-2，-1，0，1，2，„

÷ 5.021 333.031

有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数

第 1 页/ 共 8 页 《数学物理方法》课程教学大纲

课程名称：数理方法 课程类别：专业必修课

适用专业：物理学 考核方式：考试

总学时、学分： 56 学时 3.5 学分 其中实验学时： 0 学时

一、 课程性质、教学目标

数学物理方法课程是适用于物理、光信息科学、计算科学等理工科专业本科的重要基础课,也是专业核心课程。它的基本理论和方法,具有较强的逻辑性，抽象性和广泛的实用性。通过本课程的学习，使学生掌握有关复变函数的基本理论,积分变换及数理方程的定解问题及其求解方法,为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。同时可培养学生的逻辑思维能力，数学建模能力，帮助学生树立科学的学习观，使学生初步具备解决简单常见物理和工程实际问题的素养。

本课程主要包括复变函数及其理论，积分变换，线性常微分方程的级数解法和数学物理方程等四块基本内容,是学生学习电动力学，量子力学和固体物理等专业核心课的必备基础。其具体的课程教学目标为：

课程教学目标1：熟练掌握复变函数求导，积分计算，泰勒级数和洛朗级数展开，留数定理及其应用，会计算物理中相应的数学问题。

课程教学目标2：深刻理解积分变换法，数理方程的定解问题及其计算方法，会用积分变换法，分离变量法和格林函数法求解电动力学和量子力学中的相关问题。 第 2 页/ 共 8 页 课程教学目标3：了解某些特殊函数及其性质，学会它们在物理学中的基本应用，让学生感受数学工具和数学表达在物理学中的重要地位。

课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系

教学目标 毕业要求

1 2 3 4 5 6 7 8

9

教学目标1 L L M L L M H

教学目标2 H L H M L

教学目标3 H M M M H L

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第三章 行波法

§3.1 达朗贝尔公式（P150-152）

1．确定下列初值问题的解

（1）20,,00,,01ttxxtuauuxux

解：因为

0,1xx

由达朗贝尔公式有：

1,22xatxatxatxatuxtda

=t

（2）220,,0sin,,0ttxxtuauuxxuxx

解：因为

2sin,xxxx

由达朗贝尔公式有：

1,22xatxatxatxatuxtda

=2231sincos626xatxatata

=2231sincos3xatxtat

（3）230,,0,,0ttxxtuauuxxuxx

解：因为

3,xxxx

由达朗贝尔公式有：

1,22xatxatxatxatuxtda

=1coscos122xatxatxatxateda

=1coscosxatet

2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为x，初始速度为'ax。

解：该问题的数学模型为：

2',,0,0,,0ttxxtuauxtuxxuxax word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

由达朗贝尔公式：

'1,22xatxatxatxatuxtada=xat

2．求解弦振动方程的古沙问题

Methods of Mathematical Physics

第七章 行波法

travelling wave method

问题的引入：

一无限长的均匀弦，因受其力密度为bxt 的外力

作用作振幅极其微小的横振动。若弦的初位移

为0,初速度为(l  x)，试求该弦的振动规律。

utt  a2u  bxt,  x  u(x, t)  ?

 u t 0 0, ut t 0  l  x

§ 7.2 纯强迫振动

Pure forced viberation xx 一、定解问题 §7.2 纯强迫振动

u xx



utt  a2u f (x, t) (1)

u |t 0  0 (2)

 t |t 0  0 (3)

二、求解

1、思路：

化有源问题为无源问题，利用达朗贝尔公式求解。

附：叠加原理 §7.2 纯强迫振动

Lu  f

1、定义：在物理学中研究问题时，常将几种不同原因综合所产生的效果，用这些不同原因单独产生的效果的累加来代替，这就是叠加原理。

2、在数学上：叠加原理对应于线性方程或线性定解条件。

设 L 为线性微分算符，则

表示线性方程或线性定解条件。 n



（1） 若 Lui fi (i  1,2,L, n) , 且 u  ciui ,

i1

则

（2） 若 Lui fi (i  1,2,L, n) , 且 u  ciui一致收敛，

i1

（3） 若 Lu

 则

f (M , M 0 )

则

, 且U

 u(M , M 0

)dM 0一致收敛，

附：叠加原理 §7.2 纯强迫振动

Lu  ci fi

i1 n

Lu  ci fi

i1 LU   f (M , M 0 )dM 0

二、求解

2、分析源 f (x, t)的作用情瞬况时力