高考数学_综合测试卷(二)

第 1 页 共 11 页 综合测试卷(二)

时间:120分钟 分值:150分

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则|z|=( )

A.4 B.2 C.√2 D.1

答案 B 设z=a+bi(a,b∈R),则z2+4i=(a+bi)2+4i=a2-b2+(2ab+4)i=0,所以a2-b2=0且2ab+4=0,解得a=√2,b=-√2或a=-√2,b=√2,则|z|=√𝑎2+𝑏2=2.故选B.

2.(2021海淀一模,1)已知集合A={1},B={x|x≥a}.若A∪B=B,则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,1) B.(-∞,1]

C.(1,+∞) D.[1,+∞)

答案 B 由A∪B=B,得A⊆B,从而有a≤1,所以实数a的取值范围是(-∞,1],故选B.

3.(2020湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )

A.79 B.29 C.49 D.59

答案 A 设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A,所以P(𝐴)=C52C102=29,因此P(A)=1-P(𝐴)=1-29=79.故选A.

4.(2022届广州10月调研,5)双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1的一条渐近线方程为x+2y=0,则C的离心率为( )

A.√52 B.√3 C.2 D.√5

答案 A 由题意得12=𝑏𝑎,即a=2b,又∵b2=c2-a2,∴5a2=4c2,∴e=𝑐𝑎=√52,故选A.

5.(2021广州模拟,5)某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若不低于60分的人数是35,则该班的学生人数是( )

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A.45 B.50 C.55 D.60

答案 B 由频率分布直方图得不低于60分的频率为(0.02+0.015)×20=0.70,∵不低于60分的人数是35,∴该班的学生人数是350.70=50.故选B.

6.(2021百校大联考(六),9)已知向量a=(3,100),若λa=(3λ,2μ)(λ,μ∈R),则𝜆𝜇=( )

A.50 B.3 C.150 D.13

答案 C 根据题意得λa=(3λ,100λ)=(3λ,2μ),所以2μ=100λ,所以𝜆𝜇=150,故选C.

7.(2022届江苏省天一中学月考,6)若函数f(x)=sin(4x-φ)(0≤𝜑≤π2)在区间[0,π6]上单调递增,则实数φ的取值范围是( )

A.[π6,π4] B.[π4,π3]

C.[π3,π2] D.[π6,π2]

答案 D 当x∈[0,π6]时,-φ≤4x-φ≤2π3-φ.

因为函数y=sin x在[-π2,π2]上单调递增,且函数f(x)=sin(4x-φ)(0≤𝜑≤π2)在区间[0,π6]上单调递增,

所以得{-𝜑≥−π2,2π3-φ≤π2,解得π6≤φ≤π2,所以实数φ的取值范围是[π6,π2].

8.(2022届重庆巴蜀中学11月月考,8)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,H分别为棱AB,BC,C1D1,A1D1的中点,若平面α∥平面EFGH,且平面α与棱A1B1,B1C1,B1B分别交于点P,Q,S,其中点Q是棱B1C1的中点,则三棱锥B1-PQS的体积为( )

A.1 B.12 C.13 D.16

答案 D

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如图所示,取AA1,CC1的中点N,M,连接NH,NE,MG,MF,

由正方体的性质可知,NE∥GM,HG∥EF,HN∥MF,

所以H,G,M,F,E,N六点共面,又因为平面α∥平面EFGH,所以平面PQS∥平面HGMFEN,又平面BB1C1C∩平面PQS=QS,平面BB1C1C∩平面HGMFEN=MF,所以QS∥MF,由M,F,Q为所在棱中点可知S为BB1的中点,同理可知,P为A1B1的中点,所以B1P=B1Q=B1S=1,且B1P,B1Q,B1S两两垂直,所以三棱锥B1-PQS的体积为V=13×1×12×1×1=16,故选D.

9.(2021八省联考,8)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则( )

A.c

答案 D 因为ae5=5ea,a<5,所以a>0,同理b>0,c>0,

令f(x)=e𝑥𝑥,x>0,则f '(x)=e𝑥(x-1)𝑥2,

当01时, f '(x)>0,

故f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,

因为ae5=5ea,故e55=e𝑎𝑎,即f(5)=f(a),又0

故0

因为f(5)>f(4)>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),

所以0

10.(2022届宁夏期末,7)“a≥4”是“二次函数f(x)=x2-ax+a有零点”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

第 4 页 共 11 页 答案 A 若a≥4,则Δ=a2-4a=a(a-4)≥0,故方程x2-ax+a=0有解,即二次函数f(x)=x2-ax+a有零点.若二次函数f(x)=x2-ax+a有零点,则方程x2-ax+a=0有解,则Δ=a2-4a≥0,解得a≥4或a≤0.故“a≥4”是“二次函数f(x)=x2-ax+a有零点”的充分不必要条件,故选A.

11.(2022届黑龙江模拟,11)关于函数f(x)=cos 2x-2√3sin xcos x,有下列命题:①对任意x1,x2∈R,当x1-x2=π时,f(x1)=f(x2)成立;②f(x)在区间[-π6,π3]上单调递增;③函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称;④将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得图象与函数y=2sin 2x的图象重合.其中正确的命题是( )

A.①②③ B.②

C.①③ D.①②④

答案 C f(x)=cos 2x-2√3sin xcos x=cos 2x-√3sin 2x=2cos(2𝑥+π3).因为x1-x2=π,所以f(x1)=2cos(2𝑥1+π3)=2cos[2(𝑥2+π)+π3]=2cos(2𝑥2+π3)=f(x2),故①正确;当x∈[-π6,π3]时,2x+π3∈[0,π],所以函数f(x)在区间[-π6,π3]上单调递减,故②错误;f(π12)=2cos(2×π12+π3)=2cosπ2=0,故③正确;将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后得到y=2cos[2(𝑥+5π12)+π3]=-2cos(2𝑥+π6)的图象,易知该图象与函数y=2sin 2x的图象不重合,故④错误.故选C.

12.(2022届北京四中10月月考,10)对于函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=-f(-x0),则称点(x0, f(x0))与点(-x0, f(-x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)={𝑥2+2x,x<0,𝑚𝑥+2,𝑥≥0的图象存在“隐对称点”,则实数m的取值范围是( )

A.[2-2√2,0) B.(-∞,2-2√2]

C.(-∞,2+2√2] D.(0,2+2√2]

答案 B 由“隐对称点”的定义可知, f(x)={𝑥2+2x,x<0,𝑚𝑥+2,𝑥≥0的图象上存在关于原点对称的点,设函数g(x)的图象与函数y=x2+2x,x<0的图象关于原点对称.

令x>0,则-x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,

所以g(x)=-x2+2x(x>0),

故原问题等价于关于x的方程mx+2=-x2+2x有正根,

故m=-x-2𝑥+2,

而-x-2𝑥+2=-(𝑥+2𝑥)+2≤-2√𝑥·2𝑥+2=2-2√2,

第 5 页 共 11 页 当且仅当x=√2时,取得等号,所以m≤2-2√2,

故实数m的取值范围是(-∞,2-2√2],故选B.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2021海淀一模,11)已知函数f(x)=x3+ax.若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为2,则实数a的值是 .

答案 -1

解析 由题意得f '(x)=3x2+a,所以f '(1)=3+a=2,从而得a=-1.

14.(2022届广西北海模拟,15)函数f(x)=(1+√3tan x)cos x的最小值为 .

答案 -2

解析 f(x)=(1+√3tan x)cos x=cos x+√3sin x=2sin(𝑥+π6)(𝑥≠𝜋2+kπ,𝑘∈Z),∵sin(𝑥+π6)∈[-1,1],∴f(x)=2sin(𝑥+π6)∈[-2,2],∴函数f(x)=(1+√3tan x)cos x的最小值为-2.

15.(2018北京文,14,5分)若△ABC的面积为√34(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ;𝑐𝑎的取值范围是 .

答案 π3;(2,+∞)

解析 依题意有12acsin B=√34(a2+c2-b2)=√34×2accos B,则tan B=√3,∵0<∠B

𝑐𝑎=sin𝐶sin𝐴=sin(2π3-A)sin𝐴=12+√3cos𝐴2sin𝐴=12+√32·1tan𝐴,

∵∠C为钝角,∴2π3-∠A>π2,

又∠A>0,∴0<∠A

∴1tan𝐴>√3,故𝑐𝑎>12+√32×√3=2.

故𝑐𝑎的取值范围为(2,+∞).

16.(2021四川南充二模,16)设函数f(x)=𝑥+e|𝑥|e|𝑥|的最大值为M,最小值为N,下述四个结论:①M+N=4;②M-N=2e;③MN=1-1e2;④𝑀𝑁=e-1e+1.其中所有正确结论的序号是 .

答案 ②③

解析 f(x)=1+𝑥e|𝑥|,设g(x)=𝑥e|𝑥|,可知g(x)为奇函数,其最大值和最小值互为相反数,

当x>0时,g(x)=𝑥e𝑥,g'(x)=1−𝑥e𝑥,