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在数学教学中赏析数学的美
作者：刘琳
来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第18期
众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。它不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对它的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学的美。
一、简洁的美
爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
欧拉给出的公式：V-E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数V、边数E、区域数F满足V-E+F=2，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。
在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：
圆的周长公式：C=2πR
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。
二、和谐的美
数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
欧拉公式：，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗-欧拉公式是――（1）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。 龙源期刊网
· 118 ·2018年第1期数学，部分学生一听到这两个字，就会不自觉地摇头，表示好难！曾经为了达到熟能生巧的目的，为了学生能够更好地掌握数学知识，大量的练习让学生感受到自己被无情地抛到了题海里，数学习题像滚雪球一样越滚越大，越滚越圆，越滚越快，在后面紧紧地追着自己，让自己无法停下来休息一下，欣赏沿途的风景，累觉不爱，压力越来越大；甚至，生活中运用数学的地方，让部分人感受到就停留在计算——加减乘除——上，那么多专业的数学知识对他们的生活貌似没有多大的益处，致使他们慢慢丧失了学习数学的动力。就这样的现象，让学生再一次感受数学，赏析数学美，体会数学在生活中实用价值，重新在心中对数学定位，体验数学的文化价值，或者明确数学在当今知识经济时代应用。一、数学美与数学实用价值（一）数学之于生活数学在生活中除了应用于日常的买卖贸易中，还游走在大自然中，在自然中展现它的魅力。美好的东西总是挡不住它那灿烂的光芒，它吸引着人们去发现它，拓展它，运用它。1.黄金分割角。车前草是西安地区常见的一种小草，它那轮生的叶片间的夹角是137.5°——在数学中，这是圆的黄金分割张角，按照这一角度排列的叶片，能很好地镶嵌而又不互相重叠，这是植物采光面积最大的排列方式，每片叶子都可以最大限度地获得阳光，从而有效地提高光合作用的效率。建筑师们参照车前草叶片排列的数学模型，设计出了新颖的螺旋式高楼，最佳的采光效果使得高楼的每个房间都很明亮。车前草，这样一种常见的小草，它本身就包含了数学知识。为了能够更好地适应大自然的生存法则——物竞天择，适者生存，它选择圆的黄金分割张角，实现光合作用的最大利用率，让自己在这个优胜劣汰的大自然中长久的繁衍生存。人类为了能够在社会这个大家庭中长久的存在下去，更应该合理的使用资源，吸取车前草的经验盖出采光效果最佳的螺旋式高楼，不仅实现了资源合理化，更是创造了一种独特的数学美——数学，源于生活，用于生活。2.数学之于其他学科。人类生活在社会的环境中，拥有自己的人际圈；数学存在于知识的海洋里，同样有自己的活动范围。在古代诗词中，它们都有自己格式，七言绝句或者回文诗，都体现着一种韵律，一种数字的简单美，结构的对称美；在研究物理、化学中研究某几种实验方案的合理性所采用的数据，各种数据展现出来的统计图走势无不反映着数学的形象化与简洁美所带来的便利；抑或在兔子繁殖问题中所展示的数学信息。一般而言，兔子在出生后两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对，两个月后，生下一对小兔后共有两对，三个月以后，老兔子有生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对……一次类推可以列出下表：表1 兔子出生数表经过月数幼仔对数成兔对数总体对数0101101121123123423553586581378132181321349213455103455891155891441289144233幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成图对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列，这个数列的显著特点就是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这是由意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全书》中提出的斐波那契数列。数学无处不在，生活中不缺少数学美，而是大家在快节奏的生活中，忽略了数学美的发现，不管大家是否发现赏析数学美，感悟生活中的数学
赏析数学中的美
发表时间：2013-07-02T09:58:07.483Z 来源：《教育研究·教研版》2012年第10期供稿 作者： 宁家财
[导读] 对称是最能给人以美感的一种形式。德国数学家魏尔说：“美和对称紧密相关。”数学中有着各种各样的对称。
宁家财
众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学美。
1 展现对称美，增强数学魅力
对称是最能给人以美感的一种形式。德国数学家魏尔说：“美和对称紧密相关。”数学中有着各种各样的对称。从几何图形看，有中心对称形、轴对称形、面对称形和转动对称形等。对称图形虽然千变万化，种类繁多，但他在平面上的种类只有十七种。例如，行列式就被
人们称作“美丽的花园”，它的每一条边都可以扩展。一个三阶行列式是由九个元素按三行三列所排列成的正方形，即使不懂数学的人也能感
受到其排列整齐和处处对称，领略到它的形式之美。
2 体会协同美，知识融会贯通
数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的过程。数学思维的协同美大体上可从以下两个方面表现出来。
归纳和演绎的相互作用。数学中大量地需要归纳，同时也需要演绎，在许多情况下两者互为作用的。在数学教学中，总是既用归纳又用演绎。尽管两者有各自不同的特点，但演绎推理的大前提———表示一般原理的全称判断要靠归纳推理来提供。为了增强归纳推理的可
靠性，不管是以一般原理作指导还是对归纳推理的前提进行分析，都要用演绎推理。归纳和演绎在思维运行过程中这种辩证统一正体现了
两者之间是交互为用的。
形式逻辑与辩证逻辑的并重和统一。一方面，数学中大量存在相对稳定的状态，我们能用形式逻辑思维的方法进行分析和研究数学对象。另一方面，也存在显著的运动状态，如有限与无限的相互转化，代数、几何、三角各学科之间的转化以及数学各种相关运算方法的发
中学 罘 辅 ２０１ ３第１８ 在数学教学中赏析数学的美 ＠刘琳 众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我 们的文化中极为重要的组成部分。它不但有智育的功能，也有 其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对 它的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学的美。 一、简洁的美 爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有 借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的 这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其 外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 欧拉给出的公式：Ｖ—Ｅ＋Ｆ一２，堪称“简单美”的典范。世 间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱 数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公 式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她 还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数Ｖ、边数 Ｅ、区域数Ｆ满足Ｖ—Ｅ＋Ｆ一２，这个公式成了近代数学两个重 要分支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许 多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。 在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大 的定理还有许多。比如： 圆的周长公式：Ｃ一２ｎＲ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。 二、和谐的美 数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下 的公式：，这个公式实在美极了，奇数１、３、５、…这样的组合可以 给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。 欧拉公式；，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在 他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联 系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗一欧拉公 式是一一（１）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类 函数一一三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结 合，人们始则惊诧，继而赞叹一一确是“天作之合”，因为，由他们 的结合能派生出许多美的，有用的结论来。 比如，由公式（１）得。由这两个公式，可把三角函数的定义 域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。新定义的 余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。 和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比， 即０．６１８０３３９８…。 在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。 三、奇异、突变的美 全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家 们评选“近５Ｏ年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问 题：有哪些分数，不合理地把ｂ约去得到，结果却是对的？ 经过一种简单计算，可以找到四个分数：这个问题涉及到 “运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现 一种奇异美吗。 还有一些“歪打正着等式”，比如人造卫星、行星、彗星等由 于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物 线，这几种曲线的定义如下： 到定点距离与它到定直线的距离之比是常数ｅ的点的轨 迹，当ｅ＜１时，形成的是椭圆．当ｅ＞１时，形成的是双曲线．当ｅ 一１时，形成的是抛物线． 四、对称的美 在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。事实上，译自 希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和 谐”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一 切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形一一圆心是 它的对称中心，圆也是轴对称图形一一任何一条直径都是它的 对称轴。 １、等差数列的前ｎ项和公式：其中ａ是上底边长，ｂ是下底 边长，其中ａ１是首项，ａｎ是第ｎ项，这两个等式中，ａ与ａ１是对 称的，ｂ与ａｎ是对称的。 ｈ与ｎ是对称的。对称不仅美，而且有用。 ２、电磁波的波动方程：其中，Ｂ为磁场强度，Ｅ为电场强度， ｃ为光速。这个方程中Ｂ与Ｅ是对称的，麦克斯韦用纯数学的 方法从这些方程中推导出可能存在的电磁波，这种电磁波后来 被赫芝发现，由此可得电场与磁场的统一性。 五、创新的美 欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中的公理５： “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三 角形内角和等于二直角”，这些似乎是天经地义的绝对真理。但 罗马切夫斯基却采用了不同公理５的结论：“过直线外一点至少 有两条直线与已知直线平行”，在这种几何里，“三角形内角和小 于二直角”，从而创造了罗氏几何。这些与传统观念相违背的理 论，并不是虚无飘渺的，当我们进行遥远的天文测量时，用罗氏 几何学是很方便的，原子物理、狭义相对论中也有应用；而爱因 斯坦建立的广义相对论中，较多地利用了黎曼几何这个工具，才 克服了所遇到的数学计算上的困难。每一个理论都在需要不断 创新，每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都 可能开辟新的天地。这种开阔了我们的视野、开阔了我们心胸、 给我们完全不同感受的难到不是切入肌肤的美吗？ 六、统一的美 数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历 了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不 断地增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。 英国数学家哈密顿苦苦思索了１５年，没能获得成功。后 来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现 了四元数，即形为ａ１＋ａ２ｉ＋ａ３ｊ＋ａ４ｋ（ａｌ，ａ２ｉ，ａ３ｊ，ａ４ｋ为实 数）的数，其中ｉ、ｊ、ｋ如同复数中的虚数单位。若ａ３一ａ４—０，则 四元数ａ１＋ａ２ｉ＋ａ３ｊ＋ａ４ｋ是一般的复数。四元数的研究推动 了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性结合代数理论。 物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。 总之，数学之美，还可以从更多的角度去审视，而每一侧面 的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。她需要人们 用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰 富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学 习过程中，我们能与数学家们一起探索、发现，从中获得成功的 喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。 （作者单位：四川省南充市龙门中学 ６３７１３０） 过程性与终结性的相结合，书面考试和实践应用方面的相结合 等等，多样化的评价方式有利于学生素质的全面发展，并加深对 地理学习的兴趣和情感。 ３、发展性评价倡导发挥评价的激励功能：发展性评价要求 教师对学生在学习活动中的积极表现，给予必要、及时、适度的 鼓励性评价，使学生从评价中获得成功的体验，激发学习地理的 兴趣，积极参与学习活动，在活动中认识自我建立自信，从而提 高地理学习水平。 参考文献 ［１］夏志芳．地理学习论［Ｍ］．广西：广西教育出版社．２００１． ［２］黄成林．地理教学论［Ｍ］．安徽：安徽人民出版社．２００７ （作者单位：安徽师范大学国土资源与旅游学院２４１０００）
