几个十和几个一合起来的知识点

2024年华师大版一年级数学上册阶段测试试卷26考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、妈妈有50块钱，小红拿走了20元，妈妈还剩下（）元A. 10B. 20C. 302、7后面连续三个数是（）。

A. 7、 8 、9B. 8、 9 、 10C. 6、 7、 83、正确列式为（）。

A. 7-4=3B. 9-4=5C. 9-4-2=34、17－9（）12－4。

A. ＝B. ＞C. ＜5、17－9（）12－5A. ＝B. ＞C. ＜6、10－3－7＝（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、根据图片所示列出的式子是____。

8、和4个一，7个十合起来是____， 10个十是____。

9、87比70大____。

10、____－2＝6、____－2＝5、____－2＝4，这几个数依次减少____。

11、玫瑰花有3朵，菊花有6朵，一共有____朵。

评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)12、一共有16只鸭。

13、和一样重。

14、由5个十和3个一组成的数是53。

15、3的前面一个数是4。

16、只能列式为：7-3=4。

17、判断横线上填的数是否正确。

4个十和6个一组成的数是10。

评卷人得分四、作图题(共4题，共16分)18、画一画。

19、数一数，在横线上画20、画一画。

21、数一数，在横线上画评卷人得分五、计算题(共3题，共30分)22、如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，则AC=____cm．23、列竖式计算．3.4×0.35=16.2÷0.72=5.7÷1.65≈（保留两位小数）24、列竖式计算．3.4×0.35=16.2÷0.72=5.7÷1.65≈（保留两位小数）评卷人得分六、问答题(共5题，共20分)25、从1到10中列式后找找得数是“8”的式子。

苏教版小学一年级数学上册知识点整理第一单元数一数知识点1 数一数1.数出10以内的数学会数出个数在10以内的物体或人；会口头用1~10各数表示相应物体的个数。

学会数数方法：按一定的顺序从上到下，从左到右，一个一个数。

不重复、不遗漏地数出相关人或物体的数量。

2.根据情境图，说清楚图中有些什么、各有多少回答这两个问题需要认真细致的观察、一定的数数经验和方法以及量词的使用。

例如：图中小飞机有8架，有7朵花等等。

知识点2 比多少（一对一比较）1.感知“同样多”、“多”或“少”的含义。

2.将物体与点之间建立正确的对应关系根据物体或人的个数画出相应数量的点，根据提供的点的个数找出相应数量的物体或人，感受一一对应的数学思想。

(1)当两种物体一—对应后，都没有剩余，就说明这两种物体的数量一样多.(2)比较两种物体数量的多少时，可以采用——对应的方法哦!如：照样子画圈第二单元比一比知识点1 比较长短、高矮、轻重比较物体长短的方法：1.用眼直接观察2.一端对齐，比较另一端3.借助工具比较知识点2 水的高度、甜度的比较1.杯子相同，水位越高，水越多2.水位相同，杯子越粗，水越多3.糖块相同，水越少越甜4.水相同，放入糖越多水越甜知识点3 比轻重1.用手掂一掂2.找中间量体会比较长短、高矮、轻重的一般方法，会比较物体之间的长短、高矮和轻重。

(1)比较长短的方法：一端对齐，看另一端。

(2)比较高矮的方法：站在同一高度。

(3)比较轻重的方法：下沉的一端重。

比较物体的轻重时，借助简易天平，重的一方下落，轻的一方上升。

如：4.多个物体之间比较长短、高矮和轻重多个物体比较长短、高矮、轻重时，进行简单推理和灵活的比较策略。

如：（1）比较方格图中线的长短，需要数一数（2）比较水的多少，综合考虑水面的高度和杯子的粗细。

水面高度相同，杯子越粗，水越多知识点2 水的高度、甜度的比较三、易错题1.按从轻到重的顺序排一排说明：重量相同时，物体的个数越多，单个物体就越轻；物体的个数越少，单个物体就越重。

一年级数学(Xue)下册知识点汇总主要(Yao)内容：一、计(Ji)算1．十(Shi)几减92．十(Shi)几减8、73．十(Shi)几减6、5、4、3、2计算方(Fang)法：例(Li)：13－9（1）平十法先算13－3=10，再算10－6=4；（2）破十法先算10－9=1，再算1＋3=4；（3）想加算减★因为（4）＋ 9=13，所以13－9=4。

二、解决问题1．从一个数中去掉一部分，求剩余的实际问题，用减法。

（一上已经学过）如：原来有14份报纸，卖了8份，还剩多少份？2．已知两个部分数，求总数的实际问题，用加法。

（一上已经学过）如：桃树有9棵，梨树有8棵，桃树和梨树一共有多少棵？3．从总数中去掉其中的一部分，求另一部分的实际问题，用减法。

如：一共有13个气球，其中花气球有8个，白气球有多少个？易错题：1．在（）里填合适的数。

14－（）=5 12－9=（）－1016－8=2＋（） 11－（）=9－（）2.（）里最大能填几。

9＋（）<15 8＋（） <18（）－9 < 2 12－（）> 33．树上原来有15只小鸟，第一次飞走了6只，第二次飞走了4只。

（1）两次一共飞走了多少只小鸟？（2）现在树上还剩多少只小鸟？4．饲养场里有16只牛，8只羊，9只兔。

（1）羊和兔一共有(You)多少只？（2）母牛有9只，公(Gong)牛有多少只？5. 教室里(Li)原有14个小朋(Peng)友，第一次走了一些小朋友，第二次又走了一些小朋友，现在教室里还剩5个小朋友，两次一共走(Zou)了几个小朋友？6.第二单元认(Ren)识图形主(Zhu)要内容：一(Yi)、认识长方形、正方形、三角形和圆1．通过观察、操作等各种活动，直观认识长方形、正方形、三角形和圆，知道这些图形的名称。

2．通过画、折、摆等各种活动，初步体会长方形、正方形、三角形和圆的一些特征。

（1）长方形有两条长边和两条短边，两条长边长度相等，相对的两条短边长度相等。

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．个位上是6，十位上是1的数是（）.A. 61B. 16C. 72．一个两位数，十位上是1，个位上是4，这个数是几？（）A. 13B. 14C. 113．18是由（）组成的。

A. 1个十和8个一B. 10个十和8个一C. 8个十和1个一4．明明比小兰多13个球，也就是小兰比明明少( )个球。

A. 11B. 12C. 135．下面哪个算式的结果大于15（）。

A. 10+5B. 15-5C. 7+96．1个十和3个一合起来的数是（）。

A. 13B. 31C. 47．哪个算式得数最小？（）A. 6+6B. 4+7C. 15-108．比18多1的数是（）。

A. 19B. 18C. 17D. 16 9．15后面的第4个数是（）A. 19B. 18C. 1710．列式计算，正确的是（）A. 16－6=10B. 16－10=6C. 6＋10=16D. 10＋6=16 11．不数，你能看出大约有多少吗？（）A. 5个B. 10个C. 15个12．“4＋9 13”，比较大小，在里应填的符号是（）A. ＞B. ＜C. =D. +二、填空题13．在横线上填>、<或=。

15________6+10 9________13 16-6________1510________3+7 11+2________16 17-5________12+514．15的十位上是________，个位上是________。

15．在下面横线上填上合适的数。

10-________=4 2+________=7 ________+10=18________+3=9 ________-4=5 8-________=316．18的“8”在________位上，表示________ “1”在________位上，表示________。

排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的xx,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有种不同的排法乙甲丁丙三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。

人教版一年级数学下册第一单元教案篇 1一、教学目标1. 让学生理解并掌握100 以内数的概念，包括数的顺序、大小、组成等。

2. 学生能够熟练地进行100 以内数的读写。

3. 培养学生的数数能力，能正确数出100 以内物体的个数。

4. 能进行简单的100 以内数的运算，如加法和减法。

二、教学重点与难点1. 教学重点(1) 理解100 以内数的概念，包括数的顺序、大小、组成等。

(2) 熟练掌握100 以内数的读写。

2. 教学难点(1) 理解数位的概念，如个位、十位。

(2) 能准确进行100 以内数的加减法运算。

三、教学方法1. 直观演示法：通过使用数字卡片、计数器等教具，直观地展示数的概念和运算过程，帮助学生理解和掌握。

2. 游戏教学法：设计有趣的数字游戏，如猜数字、数字接龙等，让学生在游戏中感受数字的魅力，提高学习兴趣。

3. 小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨问题、解决问题，培养学生的合作意识和交流能力。

四、教学过程（一）导入同学们，咱们在生活中经常会用到数字，比如我们的年龄、班级的人数等等。

那今天咱们就一起来走进数字的世界，学习100 以内的数字。

（二）新授1. 认识数字1 - 20(1) 老师拿出数字卡片1 - 10，一张一张地展示给同学们，让大家一起读一读。

“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”。

(2) 接着，老师再拿出11 -20 的数字卡片，边展示边说：“这是11，1 个十和1 个一组成11。

这是12，1 个十和 2 个一组成12……”(3) 让同学们跟着老师一起读一读11 - 20 的数字。

2. 认识21 - 100 的数字(1) 老师在黑板上写出21 -30 的数字，让同学们观察这些数字和11 -20 的数字有什么不同。

(2) 引导同学们发现：“个位上的数字在变化，十位上的数字是2 不变。

”(3) 同样的方法，老师依次写出31 - 40、41 - 50……91 - 100 的数字，让同学们观察并读一读。

【数学知识点】加法的定义和意义定义：加法是基本的四则运算之一，它是指将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。

表达加法的符号为加号“+”。

进行加法时以加号将各项连接起来。

加法的意义：是把两个数合并成一个数的运算。

加法（通常用加号“+”表示）是算术的四个基本操作之一，其余的是减法，乘法和除法。

例如，在下面的图片中，共有三个苹果和两个苹果的组合，共计五个苹果。

该观察结果等同于数学表达式“3+2=5”，即“3加2等于5”。

除了计算水果，也可以计算其他物理对象。

使用系统泛化，也可以在更抽象的数量上定义加法，例如整数，有理数，实数和复数以及其他抽象对象，如向量和矩阵。

在算术中，已经设计了涉及分数和负数的加法规则。

加法有几个重要的属性。

它是可交换的，这意味着顺序并不重要，它又是相互关联的，这意味着当添加两个以上的数字时，执行加法的顺序并不重要。

重复加1与计数相同；加0不改变结果。

加法还遵循相关操作（如减法和乘法）。

加法是最简单的数字任务之一。

最基本的加法：1+1，可以由五个月的婴儿，甚至其他动物物种进行计算。

在小学教育中，学生被教导在十进制系统中进行数字的叠加计算，从一位的数字开始，逐步解决更难的数字计算。

是完全一致的事物也就是同类事物的重复或累计，是数字运算的开始，不同类比如一个苹果+一个橘子其结果只能等于二个水果就存在分类与归类的关系。

减法是加法的逆运算；乘法是加法的特殊形式；除法是乘法的逆运算；乘方是乘法的简便形式；开方是乘方的逆运算；对数是在乘方的各项中寻找规律；由对数而发展出导数；然后是微分和积分。

数字运算的发展，是更特殊的情况，更高度重复下的规律。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

四年级上册数学基础知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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一年级上册每单元知识点归纳【第一单元：数一数、比多少】1、数一数数数：数数时，按一定的顺序数，从1开始，数到最后一个物体所对应的那个数，即最后数到几，就是这种物体的总个数。

2、比多少同样多：当两种物体一一对应后，都没有剩余时，就说这两种物体的数量同样多。

比多少：当两种物体一一对应后，其中一种物体有剩余，有剩余的那种物体多，没有剩余的那种物体少。

当比较两个对象的数量时，可以使用一一对应。

[第二单元:位置]1、认识上、下理解“上”和“下”的含义:从两个物体的位置来理解:“上”是指高处的物体，“下”是指低处的物体。

2、认识前、后体会前、后的含义：一般指面对的方向就是前，背对的方向就是后。

同一物体，相对于不同的参照物，前后位置关系也会发生变化。

从而得出：确定两个以上物体的前后位置关系时，要找准参照物，选择的参照物不同，相对的前后位置关系也会发生变化。

3、认识左、右根据你左手和右手的位置来确定左侧和右侧。

右手边是右，左手边是左。

要点提示：在确定左右时，除特殊要求，一般以观察者的左右为准。

【第三单元：1-5的认识和加减法】一、1——5的认识1、1—5各数的含义：每个数都可以表示不同物体的数量。

有几个物体就用几来表示。

2、1—5各数的数序从前往后数：1、2、3、4、5。

从后往前数：5、4、3、2、1。

3、1—5各数的写法：根据每个数字的形状，按数字在田字格中的位置，认真、工整地进行书写。

二、比大小1、前面的数等于后面的数，用“=”表示，即3=3，读作3等于3。

前面的数大于后面的数，用“>”表示，即3>2，读作3大于2。

前面的数小于后面的数，用“<”表示，即3<4，读作3小于4。

2、填“>”或“<”时，开口对大数，尖角对小数。

三、第几1、确定物体的排列顺序时，先确定数数的方向，然后从1开始点数，数到几，它的顺序就是“第几”。

第几指的是其中的某一个。

2、区分“几个”和“第几”“几个”表示物体的多少，而“第几”只表示其中的一个物体。

一、选择题1．个位上是6，十位上是1的数是（）.A. 61B. 16C. 72．哪个数比16大？（）A. 8B. 12C. 193．16的前一个数是（）。

A. 15B. 16C. 174．下面读作十二的数是（）。

A. 102B. 12C. 21D. 210 5．18是由（）组成的。

A. 1个十和8个一B. 10个十和8个一C. 8个十和1个一6．比10小的一组数是（）。

A. 7，11，6B. 7，8，9C. 11，12，137．1个十和5个一组成的数是（）。

A. 10B. 5C. 15D. 51 8．和15相邻的两个数是（）。

A. 15，16B. 16，17C. 14，15D. 14，16 9．十五写作（）。

A. 105B. 510C. 1510．20前面第4个数是（）。

A. 9B. 16C. 1811．个位上是8，十位上是1的数是（）。

A. 81B. 810C. 1812．下面哪个算式的结果大于15（）。

A. 10+5B. 15-5C. 7+913．从18开始往前数，第3个数是（）。

A. 17B. 16C. 1514．列式计算，正确的是（）A. 16－6=10B. 16－10=6C. 6＋10=16D. 10＋6=16 15．下面和18最接近的数是几？（）A. 10B. 16C. 19二、填空题16．在横线上填>、<或=。

15________6+10 9________13 16-6________1510________3+7 11+2________16 17-5________12+517．个位上和十位上都是1的两位数是________，这个数读作________。

18．3个一和1个十合起来是________。

19．从0开始，2个2个数，8和16之间有________个数。

20．20里面有________个十，17里有________个一。

21．用19、10、9三个数写出4道算式。

排列与组合及其综合运用班级__________姓名__________一、知识点一：两个基本原理加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1 m 2…m n 种不同的方法．例1．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．（1）从中任取一本，有多少种不同的取法？（2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？ 解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法； 第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法． 根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11． 答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法； 第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N ＝6 5＝30． 答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币；（1）从中任取一枚，有多少种不同取法？（2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2．（1）由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？（2）由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ （3）由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这只有5种选法；第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5⨯5⨯5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1．从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着20张分别标有数1、2、...、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、 (9)10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结1：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法；其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习．练习1．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？2．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？3．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？4．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同；（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？二、知识点二：排列基本概念一<)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(m n定的顺序．．．．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同．什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列．例3．由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？练习：已知a 、b 、c 、d 四个元素；①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列．基本概念二定义：从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号mn A 表示．（人教版教材用m n P ）．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+ 或!()!m nn A n m =-．1n A =__________；2n A =__________；3n A =__________；4n A =__________；计算：25A =__________；45A =__________； 42882A A -=__________；812712A A =__________．例4．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列即66A =720（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步，甲、乙站在两端有22A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种；则共有22A 55A =240种排列方法（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法， 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法．解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有： 77A －662A ＋55A =2400种． 小结2：对于“在”与“不在”的问题，常用“直接法”或“排除法”，特殊元素可以优先考虑．例5．7位同学站成一排；（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法． 所以，这样的排法一共有：66A 22A ＝1440．（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种． （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能 站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，故丙不能站在排头和排尾的排法有652652(2)960A A A -⋅=种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素 进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 14A 55A 22A ＝960种方法．小结3：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例6：7位同学站成一排．（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）7627623600A A A -⋅=．解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有52563600A A =种方法．（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学 分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 小结4：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）． 练习：1．从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二 个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）1599136080A A =．解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅；若不选：69A ；则共有：595A ⋅＋69A ＝136080．解法三：（间接法）65109A A -=136080．2．（1）八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排24A ；丙排在后排14A ；其余进行全排列55A ，所以一共有24A 14A 55A ＝5760种方法． （2）不同的五种商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种商品必须排在一起，而c ，d 两种商品不排在一起，则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a ，b 捆在一起与e 进行排列有22A ；此时留下三个空，将c ，d 两种商品排进去一共有23A ；最后将a ，b “松绑”有22A ．所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法．（3）6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有：33A 33A ；若第一个为学生则有33A 33A ，所以一共有233A 33A ＝72种方法．3．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：1234555555325A A A A A ++++=（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有1333A A 种方法；另一类是首位不为1，有1444A A 种方法．所以一共有1333A A 1444114A A +=个数比13 000大． 解法二：（排除法）比13 000小的正整数有33A 个，所以比13 000大的正整数有55A -33A ＝114个． 4．用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列； （1）第114个数是多少？（2）3 796是第几个数？解：（1）因为千位数是1的四位数一共有3560A =个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位 数字是“1”即“31”开头的四位数有2412A =个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数 也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”，而“3 968”排在第6个位置 上，所以“3 968”是第114个数．（2）由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．5．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中：（1）能被25整除的数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？解：（1）能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有24A 个，末尾为25的有1133A A 个，所以一共有24A ＋1133A A ＝21个．注：能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．（2）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，共有1355300A A =个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的．．．．”，故十位数字比个位大的有135511502A A =个．三、知识点三：组合基本概念一什么叫组合？一般地，从n 个不同元素中取出m （m n <）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素；2．“只取不排”——无序性；3．相同组合：元素相同． 例如：判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：（1）从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）（2）从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列） 基本概念二从n 个不同元素中取出m （m n <）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有233C =种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ；一共6种组合，即：246C =．注意：要解决的是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．组合数公式：(1)(2)(1)!mmn nm m A n n n n m C m A ---+== 或!!()!m n n C m n m =-(,,)n m N m n *∈≤且． 练习：1．计算：①47C =__________；②710C =__________．2．求证：11m m n nm C C n m ++=⋅-． 3．设,x N +∈，求123231x x x x C C ---++的值．解：由题意可得：231123x x x x -≥-⎧⎨+≥-⎩，即：2≤x ≤4；∵*x N ∈，∴x =2或3或4； 检验：当x =2时原式值为7；当x =3时原式值为7；当x =2时原式值为11； ∴所求值为4或7或11．例7．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？略解：22264290C C C ⋅⋅=．例8．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，2146C C ⋅， 1246C C ⋅，所以一共有34C +2146C C ⋅+1246c C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）33106100C C -=．四、知识点四：组合数的性质1．组合数 性质1：m n mn nC C -=． 理解：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n mn nC C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 注：1︒ 规定：01n C =；2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算n mn C -，能够使运算简化． 4︒ xy n n C C =x y ⇒=或x y n += 2．组合数 性质2：1m n C +＝m n C +1m n C -． 练习：①计算：34567789C C C C +++； ②求证：2n m C +＝n m C +12n m C -+2n m C -； ③解方程：1231313x x C C +-=； ④解方程：233223110x x x x x C C A --++++=； ⑤计算：0123444444C C C C C ++++和012345555555C C C C C C +++++； 推广：01212n nn n n n n n C C C C C -+++++= ．3．组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：①11231k k k k k k n n n k k n C C C C C C +---++++++= ； ②1121k k k k k k k k k n n k C C C C C ++++++++++= ；③1230123()2n n n n n n n n n nC C C nC C C C ++++=+++ ．例9．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查；（1）都不是次品的取法有多少种？ （2）至少有1件次品的取法有多少种？ （3）不都是次品的取法有多少种？解：（1）4902555190C =；（2）44132231410090109010901090101366035C C C C C C C C C -=+++=； （3）44132231410010901090109010903921015C C C C C C C C C -=+++=．例10．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有1465C C ；3奇2偶有3265C C ；5奇1偶有56C ； 所以一共有1465C C +3265C C +56236C =． 例11．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英 语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2243C C ； ② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有3143C C ； ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有3243C C ． 所以一共有2243C C +3143C C +3243C C ＝42种方法．例12．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？解法一：（排除法）221211645443242C C C C C C -+=．解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有1244C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2243C C ．所以一共有1244C C +2243C C ＝42种方法．例13．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法． 根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法．例14．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解：（1）根据分步计数原理得到：22264290C C C =种．（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有222642C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有33A 种方法．根据分步计数原理可得：22236423C C C xC=，所以2226423315C C C x A ==． 因此分为三份，每份两本一共有15种方法．注：本题是分组中的“均匀分组．．．．”问题． （3）这是“不均匀分组”问题，一共有12365360C C C =种方法．（4）在（3）的基础上在进行全排列，所以一共有12336533360C C C A =种方法．（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有22264290C C C =种方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有12336533360C C C A =种方法； ③“1、1、4型”，有436390C A =种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法．例15．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有44A 种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有35C 种方法．根据分步计数原理，一共有44A 35C ＝240种方法．例16．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：（1）根据分步计数原理：一共有44256=种方法．（2）（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法； 所以一共有24C 34A ＝144种方法．例17．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多 少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为3620C =种方法．例18．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有211182772()A C C C +种方法；②若不取6，则有1277C A 种方法．根据分类计数原理，一共有211182772()A C C C ++1277C A ＝602种方法．。

江苏版一年级数学（上）1一、数一数（教材2-3页）1.1 知识点一：数数（掌握）1.1.11、将物体分类1.1.22、使用”点数法”分类数数1.1.33、归纳总结如何数数看图时，要按一定的顺序数，可以按从左到右的顺序数，可以按从上到下的顺序数。

数数时，为了不重复、不遗漏，可以数一人做一个记号，数到最后那个是几，这种物体的个数就是几。

还可以根据数量由少到多数一数。

1.2 知识点二：用圆点表示相应物体的数量（掌握）1.2.11、理解图意1.2.22、数一数，画一画（1）根据物体数量画出相应圆点（2）根据圆点数量找出相应物体1.2.33、归纳总结如何用圆点表示物体数量用圆点表示物体时，物体的个数与圆点的个数是一一对应的，有几个物体就画几个圆点。

2二、比一比（教材4-7页）2.1 知识点一：比长短（掌握）2.1.11、理解题意2.1.22、探究比较方法2.1.33、归纳总结如何比长短比较物体的长短时，把物体的一端对齐，看另一端的长短，或用眼睛直接观察物体的长短。

2.2 知识点二：比高矮（掌握）2.2.11、理解题意2.2.22、认识“高”和“矮”2.2.33、探究比较方法2.2.44、归纳总结如何比高矮比较物体高矮时，把物体放在同一水平上，一端对齐，看另一端。

2.3 知识点三：比轻重2.3.11、理解题意2.3.22、理解轻重2.3.33、探究比较方法2.3.44、归纳总结如何比轻重比较物体的轻重时可以用手掂一掂，也可以用工具（如天平等）来称量。

3三、分一分（教材8-9页）3.1 知识点一：分类的含义及方法（掌握运用）3.1.11、理解题意3.1.22、找出物品的摆放规律3.1.33、意义点拨3.1.44、分类的作用3.1.55、归纳总结如何分类1、反同一类的物品放在一起，就是分类。

2、分类的方法：可以根据物品的特征（如颜色、形状）、功能和用途（如衣、食、住、行）等进行分类。

3.2 知识点二：按不同标准进行分类（掌握运用）3.2.11、理解题意3.2.22、选择分类标准（1）按颜色分类（2）按形状分类3.2.33、检查分类结果是否正确3.2.44、归纳总结如何按不同标准分类选择不同的标准把物体进行分类，分类的标准不同，分类的结果一般也不同。

苏教版一年级上册数学知识点汇总苏教版一年级数学上册知识点汇总第一单元数一数本单元主要内容包括：1.数出10以内的数，学会数出个数在10以内的物体或人，并能口头用1~10各数表示相应物体的个数。

2.根据情境图，说清楚图中有些什么、各有多少。

回答这两个问题需要认真细致的观察、一定的数数经验和方法以及量词的使用。

3.将物体与点之间建立正确的对应关系，根据物体或人的个数画出相应数量的点，根据提供的点的个数找出相应数量的物体或人，感受一一对应的数学思想。

第二单元比一比本单元主要内容包括：1.初步认识长短、高矮、轻重的含义。

2.体会比较长短、高矮、轻重的一般方法，会比较物体之间的长短、高矮和轻重。

3.多个物体之间比较长短、高矮和轻重，进行简单推理和灵活的比较策略。

基础题包括：1.哪位同学高，在高的下面画“√”，哪位同学矮，在矮的下面画“○”。

2.重的画“√”。

易错题包括：1.按从轻到重的顺序排一排。

说明：重量相同时，物体的个数越多，单个物体就越轻；物体的个数越少，单个物体就越重。

2.在每个杯子里放同样多的糖，哪杯水最甜？在里画“√”。

第三单元分一分本单元主要内容包括：1.体验分类的含义和好处，分类是一种重要的数学思想方法，也是收集和整理数据的基本方法。

分类的好处是整洁、有条理。

2.按同一种标准给一些熟悉的物体进行简单分类，分类的基本要求是分类标准要清晰，分类结果要不交叉不遗漏。

3.把一些物体按照不同标准依次分类，分类的标准要前后一贯，让学生体会到，同样的物体可以按不同的标准进行分类，由于标准不同，分类的结果也不同。

基础题包括：1.把不同类的圈出来。

2.把同一类物体圈起来。

易错题没有给出。

第四单元确认位置本单元的主要内容是在具体情境中体会上下、前后、左右的位置关系，培养初步的空间观念，并会用上下、前后、左右等词语描述物体的位置及相互关系，引导形成良好的语言惯。

例如，学生可以学会两种不同的表达方式：XXX的上面是鸡蛋，鸡蛋在XXX的上面。

高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．§10. 排列组合二项定理 知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--== ⑶两个公式：①;m n n mn CC -= ②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A nn ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mm n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kkn nn n k n kn AC C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!2/102022818C C C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。

高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）排列、组合和二项式定理1.排列数m n A 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅。

如（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为 （答：3）；（2）满足2886x x A A -<的x ＝ （答：8）(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =.如已知16m n m n m n C C A +++=，求 n ，m 的值（答：m ＝n ＝2）(3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. 2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有个（答：12）；（5）∠的顶点共10个点，∠的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同AA以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种（答：9）；（8）f是集合{}N=-的映射，且()()1,0,1,,M a b c=到集合{}+f a f bCBA的= ()f c=，则不同的映射共有个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{集合A、B、C共有组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

一、选择题1．一个两位数，个位上是3，十位上的数字比个位上的大5，这个数是（）A. 53B. 83C. 382．一个数，个位上的数字比十位上的数字多4，这个数是（）。

A. 15B. 20C. 513．在1-100中，个位上是3的两位数有（）个。

A. 9B. 10C. 114．把49、94、50、18、46这五个数从大到小排列，排在正中间的那个数是几？A. 46B. 49C. 505．在下面各组数中，个位数都是5的一组是( )A. 52 5B. 35 85C. 95 596．一个两位数，十位上的数字是最大的一位数，个位上的数字比十位上的数字少3，这个数是( )人。

A. 69B. 93C. 967．从40倒着数到1,数的第3个数是( )。

A. 3B. 43C. 388．一（一）班有男生21人，女生23人。

有40本书，( )每人借一本。

A. 够B. 不够C. 无法判断9．5个5个地数，95后面是几？（）A. 100B. 90C. 9610．一（1)班有47人去春游，坐下面（ )座的汽车比较合适。

A. 40B. 50C. 6011．十个十个地数，和60相邻的两个数是（）。

A. 61和62B. 59和60C. 50和7012．59后面的数是（）。

A. 58B. 60C. 5013．爷爷的年龄比68大,比73小,是一个双数,爷爷今年可能是（）岁。

A. 69B. 70C. 7114．100个一是（）。

A. 10B. 100C. 100015．100里面有（）个十。

A. 1B. 10C. 100二、填空题16．在下面的方格里填上合适的数。

17．49前面的一个数是________，后面的一个数是________。

18．从小到大写出4个个位上是4的两位数：________<________<________<________ 19．10个十是________，56是由________个十和________个一组成；3个一和5个十组成的数是________；2个十和9个一合起来是________。

完整版)高考排列组合知识点归纳第四讲：排列组合一、分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理：对于一件事情，有两种不同的方案，第一类方案有m种不同的方法，第二类方案有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m+n种不同的方法。

2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要两个步骤，第一步有m种不同的方法，第二步有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m×n种不同的方法。

二、排列数1.组合：从n个元素中取出m个元素，记作Cnmn!/m!(n-m)!2.排列：1）全排列：将n个元素全排列，记作Ann!2）从n个元素中取出m个元素，并将这m个元素全排列，记作Anmn!/ (n-m)!三、二项式定理a+b)nC n 0 a n b 0C n 1 a n-1 b 1 C n n abn1.二次项系数之和：Cnr2.展开式的第r项：Tr+1Cnr例题1：(x-1)4的展开式中的常数项是（）A、6.B、4.C、-4.D、-6例题2：在二项式(x-2y) 5的展开式中，含x2y3的项的系数是（）A、-20.B、-3.C、6.D、20 随堂训练：1、在二项式(x21)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A、-10.B、10.C、-5.D、52、(1/x-2x25的展开式中的常数项是（）A、5.B、-5.C、10.D、-103、在二项式(x+3y)6的展开式中，含x2y4的项的系数是（）A、45.B、90.C、135.D、2704、已知关于x的二项式(x+3an的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A、1.B、±1.C、2.D、±25、(1-2x)(1-3x)4的展开式中，x2的系数等于？6、(ax21/2x-2)7的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为？7、(x22)2x的展开式中常数项是70，则n=？若展开式(ax+)(2x+)5中常数项为-40，则a=？四、排列组合题型总结解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题，弄清要做什么事；2.确定采取分步还是分类，或分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类；3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素；4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

几个十和几个一合起来的知识点在数学中，我们常常会遇到一些关于几个十和几个一合起来的问题。

这些问题涉及到了数的组合与分解，对我们理解数字的大小和关系非常重要。

本文将介绍几个与几个十和几个一有关的知识点。

1. 十位数和个位数的概念在我们的十进制数系统中，每个数位的位置代表了不同的权重。

一个整数的十位数指的是它的十倍数部分，个位数指的是它的个位数部分。

例如，对于整数43，十位数是4，个位数是3。

2. 几个十合起来的概念当我们将几个十合起来时，实际上是在进行数的组合。

我们可以通过将多个十相加来得到一个数。

例如，如果我们将三个十合起来，我们得到的数是30。

3. 几个一合起来的概念同样地，当我们将几个一合起来时，我们也是在进行数的组合。

我们可以通过将多个一相加来得到一个数。

例如，如果我们将五个一合起来，我们得到的数是5。

4. 十位数的分解我们也可以将一个十位数进行分解，将其拆分成几个十和几个一。

例如，对于整数45，我们可以将其分解为4个十和5个一。

这个分解的过程有助于我们理解数的构成和数的运算。

5. 十位数和个位数的加法当我们进行十位数和个位数的加法时，我们需要将两个数的十位数和个位数分别相加。

例如，对于整数37和整数25，我们将它们的十位数3和2相加得到5，将它们的个位数7和5相加得到12。

因此，37加25等于57。

6. 十位数和个位数的减法类似地，当我们进行十位数和个位数的减法时，我们需要将两个数的十位数和个位数分别相减。

例如，对于整数78和整数46，我们将它们的十位数7和4相减得到3，将它们的个位数8和6相减得到2。

因此，78减46等于32。

7. 十位数和个位数的乘法在进行十位数和个位数的乘法时，我们需要将一个数的十位数和个位数分别与另一个数相乘，然后将结果相加。

例如，对于整数53和整数6，我们将整数53的十位数5和整数6相乘得到30，将整数53的个位数3和整数6相乘得到18，然后将30和18相加得到48。