高一(下)月考数学试卷

2023-2024学年高一数学下学期第一次月考卷（测试范围：第9-10章）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量21,e e 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．{}112,e e e - B ．{}1212,3e e e e +-C ．{}12122,36e e e e --+D ．{}121223,23e e e e +-2．“sin20θ>”是“θ为第一或第三象限角”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ）A ．若a b 且b c ∥，则a c ∥B ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =C ．()+⋅=⋅+⋅a b c a c b cD ．()()a b c a b c ⋅=⋅412=，则πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭为（ ）A ．12-B ．12 C ．2- D ．25．如图所示，已知,,2,AOB BA AC OD DB DC ==和OA 交于点E ，若OE OA λ=，则实数λ的值为（）A ．12 B ．45 C ．34 D ．236．下列函数中，以π为周期且在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．()22cos sin f x x x =-B ．()2sin cos f x x x =C ．()sin f x x =D ．()cos2f x x =7．如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠=，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ=，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN 的最小值是（ ）A B C D 8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，点,,,O G P Q 分别为ABC 所在平面内一点，且有222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，0GA GB GC ++=，()()()0PA PB AB PB PC BC PC PA CA +⋅=+⋅=+⋅=，0aQA bQB cQC ++=，则点,,,O G P Q 分别为ABC 的（ ）A ．垂心，重心，外心，内心B ．垂心，重心，内心，外心C ．外心，重心，垂心，内心D ．外心，垂心，重心，内心 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分） 9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是（ ）A ．AB AD AC +=B ．AB CD DO OA ++=C ．AB AD CD AD ++=uu u r uuu r uu u r uuu r D ．0AC BA DA ++=10．已知向量a b ，满足|2||||3|||，a b a a b a b +=+=-，且||2a =，则（ ） A ．||2b =r B ．0a b += C ．|2|4a b -= D ．4a b ⋅=-11．关于函数()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中正确命题是（ ）A ．()y f x =B ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数C ．将函数2y x =的图像向左平24π个单位后，将与已知函数的图像重合 D ．()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 12．正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP AD AE λμ=+，则（ ）A ．μ最大值为1B ．λ最大值为2C ．存在P 使得1λμ+=D ．AP AD ⋅最大值是8三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知1cos 3α=，cos()αβ-=02πβα<<<，则cos β= .14．已知α为锐角且满足11cos α+=，则α= . 15．如图．在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅= ．16．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，,E F 分别是边,AB BC 上的点，且AE EB =，2BF FC =，连接,ED AF ，交点为G ．设AG t AF =，则（1）t = ；（2）cos EGF ∠= ．四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭. (1)求πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()πsin 0,2αββ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，求β的值. 18．已知向量(1,3)a =-，(1,2)b =．(1)求a b ⋅；(2)求2a b -及a 在b 上的投影向量的坐标；(3)()a mb a -⊥，求m 的值．19．如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =.（1）求AD BC ⋅的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=，求实数t 的值.20．已知向量()sin ,1a x =，1,sin 3b x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的单调递增区间和最小正周期；（2）若当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()21f x m -≤有解，求实数m 的取值范围. 21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ABC ∆和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段AB 上，且满足CH AB ⊥.已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大.当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值.22．已知函数()(),f x g x 是定在R 上的函数，且满足关系()()π2g x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． (1)若()sin cos f x x x =+，若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y g x =的值域； (2)若()sin cos f x x x =+，存在12,R x x ∈，对任意x ∈R ，有()()()12g x g x g x ≤≤恒成立，求12x x -的最小值；(3)若()cos sin f x x x =+，要使得()()sin F x a x g x =+在()()*0,πN n n ∈内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的a 与n ．。

武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题数学（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则必有（）A.AD CB= B.DO OB= C.AC DB= D.OA OC= 【答案】B 【解析】【分析】根据AB DC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．【详解】四边形ABCD 中，AB DC =，则//AB DC 且AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形；则有AD CB =-，故A 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =，B 正确；由图可知AC DB≠，C 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-，D 错误．故选：B ．2.下列说法正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】【分析】A.由0b =判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A.,a b b a --B.21,2a b a b++ C.23,64b a a b-- D.,a b a b+- 【答案】D 【解析】【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.B 选项，1222a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.C 选项，()64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --共线，不能作为基底.D 选项，易知a b a b +-，不共线，可以作为基底.故选：D4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π=B.6x π=-C.3x π=-D.12x π=-【答案】B 【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()]12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B5.设a ，b 是非零向量，“a a bb =”是“a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由a a b b =表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =，由a b =表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a bb =”是“a b =”的必要而不充分条件.故选：B6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．7.已知sin α＝5，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.4π B.34π C.3π D.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出tan α12=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.【详解】sin α，且α为锐角，则cos α5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝13211(3)2--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34π.故选：B8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒【答案】D 【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =米，如下示意图，由已知可得12,4OA OB OP OP ====，所以1111cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11PP 时高度不低于4米，转动的角速度为360660︒=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120206=秒，故选：D.二、多选题9.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0A >，0ω>），其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.π6ω=B.最高水位为12mC.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可求得6π=ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意π62T ω==，所以6π=ω，故A 正确；对于B ，当12x =时，ππcos 126863y A ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，解得4A =，所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题12.设e为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为______.【答案】e【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.14.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2四、解答题15.已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．（1）求()a b a +⋅的值；（2）求2a b -的值【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos 451122a a a b a b ==⋅=︒=⨯=所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=【小问2详解】因为22||2b b ==，所以2222|2|(2)444242a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=所以|2|a b -=16.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()85f θ=-，求cos 2θ的值.【答案】（1）π（2）410-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2AD DB = ，3CE EA =，F 为BC 中点.（1）若DE AB AC λμ=+，求实数λ，μ的值；（2）若8AF DE ⋅=-，求边BC 的长.【答案】（1）23λ=-，14μ=.（2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-，从而求得BC 的长.【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23λ=-，14μ=.【小问2详解】12AF BF BA BC BA =-=- ，()1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，221115668824212AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）min ()1f θ=-；【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=+++，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-++-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y xθθθθθθ+--++--++2222222221113x y r y r x r x y+--⇒++=++=；（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =。

2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，复数z满足−i⋅z=2+7i，则z=( )A. −7+2iB. −7−2iC. 7+2iD. 7−2i2.已知△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，且A′C′=3，则在△ABC中，AC=( )A. 3B. 32C. 12D. 63.已知复数z1=2−ai，z2=b−1+2i，(a,b∈R,i为虚数单位)，且z1=z2，则( )A. a=−1，b=1B. a=2，b=−3C. a=2，b=3D. a=−2，b=34.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设AB=a，DM=b，则DB=( )A. 2b−aB. a−2bC. 3a−2bD. 3a+2b5.设α、β是两个不重合的平面，则α//β的一个充分条件为( )A. 平面α内有无数个点到平面β的距离相等B. 平面α内有无数条直线与平面β平行C. 两条异面直线同时与平面α，β都平行D. 两条平行直线同时与平面α，β都平行6.在△ABC中，∠A=60°，AB=2，AC=3，点D为边AC上一点，且AC=3AD，则AB⋅BD=( )A. 3B. 2C. −2D. −37.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中.AB=3A1B1=3，AA1=5，则正四棱台ABCD−A1B1C1D1的表面积为( )A. 28B. 26C. 24D. 168.已知a，b，a+b，2b−a均为非零向量，a与a+b的夹角为θ1，b与2b−a的夹角为θ2，满足|a|=|b|，|a +b|cosθ1=|2b−a|cosθ2，则a，b的夹角θ=( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量a=−2,0，b=−1,−1，则12a−2b等于（）A．1,2B．−1,−2C．−1,2D．1,−22．如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且BC=4BD，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AM=λAB，AN=μACλ>0,μ>0，则μ−1λ的最小值是（）A．23−43B．23+43C．233−7D．23+233．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a，AD=b，E 为BF的中点，则AE=（）A．45a+25b B．25a+45bC．43a+23b D．23a+43b4．设f x=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程f x=x有纯虚数根，则关于x的方程f f x=x的解的情况，下列描述正确的是（）A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解5．已知a=1,m与b=n,−4共线，且向量b与向量c=2,3垂直，则m+n=（）A．152B．163C．−103D．−26．已知非零向量a,b满足 a+2b=7a=7 b，则 a,b=（）A．π6B．π4C．π3D．2π37．图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是（）A．AB=2B．A′D′=22C．四边形ABCD的周长为4+22+23D．四边形ABCD的面积为628．在ΔABC中，点P满足BP=3PC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM=λAB，AN=μACλ>0,μ>0，则λ+μ的最小值为A．22+1B．32+1C．32D．52二、多选题9．给出下列四个命题，其中正确的是（）A．非零向量a、b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a−b的夹角是120°B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=6，若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围为6<b<22C．若单位向量a、b，夹角为120°，则当|2a+xb|x∈R取最小值时x=1D．已知OA =3,−4，OB =6,−3，OC =5−m,−3−m，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−3410．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3(a cos C+c cos A)=2b sin B，且∠CAB=π3.若点D是△ABC外一点，DC=1,DA=3，下列说法中，正确的命题是（）A．△ABC的内角B=π3B．△ABC一定是等边三角形C．四边形ABCD面积的最大值为532+3D．四边形ABCD面积无最大值11．在三角形ABC中，令CB=a，AC=b，若a+b=e1，a−2b=e2，e1=e2=1，e1⋅e2=12，则（）A．e1,e2的夹角为π3B．a=2e1+e23，b=e1 −e23C．a//bD．三角形ABC的AB边上的中线长为76三、填空题12．复数Z=log2(a−1)+i⋅log2a2−2a−2是实数，则a=.13．设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为.14．已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β−α的夹角为120°，则|α|的取值范围是__________________ .四、解答题c+2=a cos C.15．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知b=2，12(1)求A的值；(2)若5AD=2AB+3AC，CD=b，求c的值.16．已知向量a=3sin x,cos x ,b=cos x,cos x，设函数f x=a⋅b.上的单调增区间；(1)求f x在0,π2,f x−1≤m恒成立，求m的取值范围.(2)若对任意x∈0,π217．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，DC∥EF.(1)若DC=2EF，求证：OE//平面ADF；(2)若FB=FD，求证：平面AFC⊥平面ABCD.18．如图，在△ABC中，CA=3，CB=4，∠ACB=60°，CH为AB边上的高.(1)求CH的长；(2)设CM=mCB，0<m<1.①若CH⋅MA=9，求实数m的值；②求MH⋅MA的最小值.19．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使BE⊥EC．(1)若BE=3，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP//平面ABEF？若存在，求出APPD 的值；若不存在，说明理由．(2)求三棱锥A−CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．。

2023-2024学年吉林省白山市抚松一中高一（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若向量，则()A. B. C. D.2.“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.复数的共轭复数为()A. B. C. D.4.若集合，则()A. B. C. D.5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则()A. B. C. D.6.已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为()A. B. C. D.7.在复数范围内，，是方程的两个不同的复数根，则的值为()A.1B.C.2D.或28.已知函数的部分图象如图所示，，，，则()A.4B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则()A. B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.为奇函数10.已知函数，，则()A.当有2个零点时，只有1个零点B.当有3个零点时，只有1个零点C.当有2个零点时，有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点11.湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点.某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P，Q之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点M，N，测得米，，，则()A.米B.米C.米D.米三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若，则______.13.已知复数，若z为纯虚数，则z的虚部为______；若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a的取值范围是______.14.已知P是正六边形ABCDEF边上任意一点，且，，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月考高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（）A.该市场监管局的调查方法是普查B.样本的个体是每种冷冻饮品的质量C.样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数2.已知复数2i z =-，则()22z -=（）A.8i- B.8iC.88i- D.88i+3.已知复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则复数2iim +-在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg ，抽出的女生平均体重为50kg ，估计该班的平均体重是（）A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg5.某科研所对实验室培育得到的A ，B 两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：A 种子4849505152B 种子4848494951则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）A.A 种子；A 种子B.B 种子；B 种子C.A 种子；B 种子D.B 种子；A 种子6.在四面体ABCD 中，BCD △为正三角形，AB 与平面BCD 不垂直，则下列说法正确的是（）A.AB 与CD 可能垂直B.A 在平面BCD 内的射影可能是BC.AB 与CD 不可能垂直D .平面ABC 与平面BCD 不可能垂直7.已知ABC 中，D 是BC 的中点，且||||AB AC AB AC +=- ，||||AD AB = ，则向量BA 在BC上的投影向量为（）A.14BC B.4BC C.14BC-D.4BC -8.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面α经过点B 、D ，平面β经过点A 、1D ，当平面αβ、分别截正方体所得截面面积最大时，平面αβ、所成的锐二面角大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b10.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为12,F F ，且121,F F F = 与2F的夹角为θ，下列结论中正确的是（）A.θ越小越省力，θ越大越费力B.θ的范围为[]0,πC .当2π3θ=时，1F G = D.当π2θ=时，1F G= 11.已知ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，用斜二测画法画出它的直观图A B C ''' ，则B C ''的长可能是（）A. B. C. D.1212.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A.1233BD BA BC=+ B.132BD BO ⋅=C.BP BC ⋅存在最大值D.x y +的最大值为19+第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()(),2,1,1,1,3a m b c ===，且()2a b c -⊥ ，则实数m 的值为_______________．14.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.4954435482173793232887352056438426349164572455068877047447672176335025839212067615.在ABC 中，60,A BC BC == 边上的高为2，则满足条件的ABC 的个数为__________.16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯的容积3113R π，则其内壁表面积为_______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知12122,3m e e n e e =+=- ，其中12,e e是夹角为π3的单位向量．（1）求m；（2）求m 与n夹角的余弦值．18.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，制成如下频率分布直方图：（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；（2）估计当天游客满意度分值的75%分位数．19.已知复数12i z a =+是方程()2500,x bx a b R ++=>∈的一个解.（1）求a 、b 的值；（2）若复数2z 满足2123i z z z -=-，求2z 的最小值.20.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin )c A A =+．（1）求C ；（2）若3AB AC AC ⊥=，，角C 的平分线交AB 于点D ，点E 满足DE CD =，求sin AEB ∠．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 是AC 与BD 的交点，=45ADC ∠︒，2,AD AC PO ==⊥平面,2,ABCD PO M =是PD 的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．22.如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，P 为DF 的中点，AN CF ⊥，垂足为N ．（1）求证：AN ⊥平面CDF ；（2）求异面直线BF 与PC 所成角的正切值；（3）求三棱锥B CEF -的体积．咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月考高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（）A.该市场监管局的调查方法是普查B.样本的个体是每种冷冻饮品的质量C.样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数【答案】B 【解析】【分析】根据抽样方法、样本、总体、个体的概念可得答案.【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，A 错误；样本的个体是每种冷冻饮品的质量，B 正确；样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，C 错误；样本容量是20，D 错误，故选：B2.已知复数2i z =-，则()22z -=（）A.8i -B.8iC.88i- D.88i+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算，再结合共轭复数的意义求解作答.【详解】因2i z =-，有2i z =,则()()22222i 24i 48i=448i=8i z -=-=+--+--，所以()228i z -=-.故选：A3.已知复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则复数2iim +-在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据题意列式解出m ，再利用复数的运算求得2i 13i i 22m +=+-，结合复数的几何意义即可得出答案.【详解】若复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则20m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =，则()()()()2i 1i 2i 2i 13i 13i i 1i 1i 1i 222m +++++====+---+，故复数2i i m +-在复平面内对应的点为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.故选：A.4.高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg ，抽出的女生平均体重为50kg ，估计该班的平均体重是（）A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg【答案】C 【解析】【详解】根据分层抽样的定义建立比例关系，再求平均数即可．【解答】根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，男生平均体重为70kg ，女生平均体重为50kg ，该班的平均体重是70750364kg 10⨯+⨯=，故选：C ．5.某科研所对实验室培育得到的A ，B 两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：A 种子4849505152B 种子4848494951则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）A.A 种子；A 种子B.B 种子；B 种子C .A 种子；B 种子D.B 种子；A 种子【答案】C 【解析】【分析】分别计算平均值和方差，比较得到答案.【详解】()14849505152505A x =++++=，()()()()()22222214850495050505150525025A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；()14848494951495B x =++++=，()()()()()222222148494849494949495149 1.25B S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；A B x x >，22A B S S >，故A 的平均产量高，B 的产量比较稳定.故选：C6.在四面体ABCD 中，BCD △为正三角形，AB 与平面BCD 不垂直，则下列说法正确的是（）A.AB 与CD 可能垂直B.A 在平面BCD 内的射影可能是BC.AB 与CD 不可能垂直D.平面ABC 与平面BCD 不可能垂直【答案】A 【解析】【分析】A 选项只需满足AC AD =即可，B 选项与题干矛盾，C 选项与A 选项矛盾，D 选项只需满足AC ⊥平面BCD 即可.【详解】如图所示：取CD 的中点E ，连接AE ，BE假设AB CD ⊥，因为BCD 为等边三角形，所以BE CD ⊥，又因为AB BE B ⋂=，所以CD ⊥平面ABE ，所以CD AE⊥又因为E 是CD 中点，所以AC AD =，只需满足AC AD =，即可做到AB CD ⊥，故A 正确C 错误；对于B ：若A 在平面BCD 内的射影为B ，则有AB ⊥平面BCD ，与题干矛盾，故B 错误；对于D ：过C 点可以做出一条直线，使得该直线垂直与平面BCD ，A 点只需在该直线上，即满足AC ⊥平面BCD 即可达到要求，故D 错误.故选：A7.已知ABC 中，D 是BC 的中点，且||||AB AC AB AC +=- ，||||AD AB = ，则向量BA 在BC上的投影向量为（）A.14BC B.34BC C.14BC-D.34BC -【答案】A 【解析】【分析】首先根据已知条件可知AB AC ⊥，从而推得ABD △为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.【详解】因为||||AB AC AB AC +=-，则()()22AB ACAB AC +=- ，所以0AB AC ⋅= ，则AB AC ⊥，因为D 是BC 的中点，所以AD BD CD == ，又因为||||AD AB =，所以ABD △为等边三角形，故点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，则E 为BD 中点，所以向量BA 在向量BC上的投影向量为14BE BC = ．故选：A .8.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面α经过点B 、D ，平面β经过点A 、1D ，当平面αβ、分别截正方体所得截面面积最大时，平面αβ、所成的锐二面角大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】C 【解析】【分析】设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C --为γ，分π,2θγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和(0,]θγ∈两种情况讨论，证明平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，从而可得出答案.【详解】平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，证明：设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C --为γ，当π,2θγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，记平面α截正方体所得截面为面BDEF ，111111,(0,1]1C E C F AB C D C B λλ==∈=，则()222211(12312(1)22EFBD S λλλλλ=+-+=-++，令()222()12(1)h λλλ=-++，因为2()4(1)0h λλλ'=+>，所以()11max max ()(1)2,2EFBD BDB D h h S S λ====当(0,]θγ∈时，显然平面α截正方体所得截面面积最大时，截面为面11,2C BD C BD S =，当0θ=时，平面α截正方体所得截面为,1ABCD ABCD S =，所以平面α截正方体所得截面面积最大时截面为面11BDB D ，同理平面β过1A D 、时，截正方体所得截面面积最大时截面为面11AD BC ，连接11,,BD AC B C ，面α与面β所成锐二面角为111B BD C --，因为1B C ⊥面11,AD BC AC ⊥面11BDB D ，所以1,AC B C 的所成角大小为二面角111B BD C --大小，因为160B CA =∠︒，所以面α与面β所成锐二面角大小为60︒.故选：C ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，考查了分类讨论思想和极限思想.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b【答案】ABC 【解析】【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；B.利用平面与平面的位置关系判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用线面垂直的性质定理判断.【详解】A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，故错误；B.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥β或α与β相交，故错误；C.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α与β平行或相交，故错误；D.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b ，故正确；故选：ABC10.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为12,F F ，且121,F F F = 与2F的夹角为θ，下列结论中正确的是（）A.θ越小越省力，θ越大越费力B.θ的范围为[]0,πC.当2π3θ=时，1F G= D.当π2θ=时，1F G= 【答案】AC 【解析】【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解即可得.【详解】对A ：根据题意，得12G F F =+，所以2222121212cos 2(1cos )G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得221G Fθ=+ ，因为()0,πθ∈时，cos y θ=单调递减，所以θ越小越省力，θ越大越费力，故A 正确；对B ：由题意知θ的取值范围是()0,π，故B 错误；对C ：因为2212(1cos )G Fθ=+ ，所以当2π3θ=时，221F G = ，所以1F G =，故C 正确；对D ：因为2212(1cos )G Fθ=+ ，所以当π2θ=时，2212GF = ，所以1F =，故D 错误.故选：AC.11.已知ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，用斜二测画法画出它的直观图A B C ''' ，则B C ''的长可能是（）A. B.C.D.12【答案】AC 【解析】【分析】通过斜二测画法的定义可知BC 为x '轴时，B C ''=为最大值，以BC 为y '轴，则此时12B C BC ='='为最小值，故B C ''的长度范围是，C 选项可以以AB 为x '轴进行求解出，从而求出正确结果.【详解】以BC 为x '轴，画出直观图，如图2，此时B C BC ===''A 正确，以BC 为y '轴，则此时12B C BC ='='，则B C ''的长度范围是，若以AB 或AC 为x 轴，画出直观图，如图1，以AB 为x '轴，则2,1A B A C ''''==，此时过点C '作C D '⊥x '于点D ，则45C A B '''∠=︒，则2A D C D '='=，22B D '=-，由勾股定理得：B C =''C 正确；故选：AC12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A.1233BD BA BC=+ B.132BD BO ⋅=C.BP BC ⋅存在最大值D.x y +的最大值为19+【答案】ABCD 【解析】【分析】对于A 、B ，将,BD BO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于C 、D ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对A ：因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以13OA OD DC AC ===，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对B ：()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，则2212212253333999BD BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51132233922=++⨯⨯⨯=，故B 正确；对C 、D ：如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()11,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()13cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故D 正确.故选：ABCD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()(),2,1,1,1,3a m b c ===，且()2a b c -⊥ ，则实数m 的值为_______________．【答案】4-【解析】【分析】借助向量垂直，则数量积为0计算即可得.【详解】()221,3a b m -=-，由()2a b c -⊥ ，可得()20a b c -⋅= ，即有2190m -+=，解得4m =-.故答案为：4-.14.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.49544354821737932328873520564384263491645724550688770474476721763350258392120676【答案】05【解析】【分析】根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.【详解】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.【点睛】本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题.15.在ABC 中，60,A BC BC == 边上的高为2，则满足条件的ABC 的个数为__________.【答案】2【解析】【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A 到BC 的距离的最大值，和BC 边上的高为2比较，即可确定答案.【详解】因为ABC 中，60,A BC == ，所以ABC 的外接圆半径为122sin 60R BC ︒=⨯=,即A 位于以2为半径的圆弧 BAC上，如图，当ABC 为正三角形时，此时顶点A 到BC 的距离的最大值为6032︒=>,如图当A 位于,E F 处时，此时,BE CF 为外接圆直径，则,EC BC FB BC ⊥⊥,则2EC FB ==，满足60,A BC BC ==边上的高为2，故满足条件的ABC 的个数为2个，故答案为：2【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出结论.16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯的容积3113R π，则其内壁表面积为_______________．【答案】28R π【解析】【分析】先计算出圆柱的高，内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积.【详解】设圆柱的高为h ，内壁的表面积为S ，由题意可知：323211·33R R h R πππ+=，解得：3h R =.内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积，即222·28S R h R R πππ=+=.故答案为：28R π四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知12122,3m e e n e e =+=- ，其中12,e e是夹角为π3的单位向量．（1）求m；（2）求m 与n夹角的余弦值．【答案】（1（2）1114【解析】【分析】（1）代入向量模的数量积公式m =，即可求解；（2）代入向量夹角的数量积公式，即可求解.【小问1详解】12,e e 是夹角为π3的单位向量，m ∴== ．【小问2详解】12,e e 是夹角为π3的单位向量，n ∴== ()()2212121122π112366cos 132m n e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=+-=，11112cos ,14m n m n m n⋅∴==．18.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，制成如下频率分布直方图：（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；（2）估计当天游客满意度分值的75%分位数．【答案】（1）50人，40人，10人（2）82.5【解析】【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；（2）利用百分位数的定义进行求解即可得.【小问1详解】老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为625:500:1255:4:1=，故抽取100人，样本中老年人数为510050541⨯=++人，中青年人数为410040541⨯=++人，少年人数为110010541⨯=++人；【小问2详解】设当天游客满意度分值的75%分位数为x ，因为()0.0100.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.0100.0250.0350.020100.90.75+++⨯=>，所以x 位于区间[)80,90内，则()800.0200.750.7x -⨯=-，解得：82.5x =，所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5.19.已知复数12i z a =+是方程()2500,x bx a b R ++=>∈的一个解.（1）求a 、b 的值；（2）若复数2z 满足2123i z z z -=-，求2z 的最小值.【答案】（1）1a =，4b =-；（2）2.【解析】【分析】（1）将2i x a =+代入方程250x bx ++=，利用复数的四则运算结合复数相等可得出关于a 、b 的方程，结合0a >可求得a 、b 的值；（2）设()2i ,z x y x y R =+∈，根据复数的模长公式结合已知条件可得出1y x =+，再利用复数的模长公式结合二次函数的基本性质可求得2z 的最小值.【详解】（1）依题意得，()()22i 2i 50a b a ++++=，即()()24254i 0a b a ab -++++=，所以24250400a b a ab a ⎧-++=⎪+=⎨⎪>⎩，解得1a =，4b =-；（2）由（1）可得12i z =+，设()2i ,z x y x y R =+∈，则21z z -=，23i z -=因为2123i z z z -=-=，整理得1y x=+.2z ==故当12x =时，2z 取得最小值2.20.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin )c A A =+．（1）求C ；（2）若3AB AC AC ⊥=，，角C 的平分线交AB 于点D ，点E 满足DE CD =，求sin AEB ∠．【答案】（1）π3C =（2）321sin 14AEB ∠=【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理边化角即可求得结果；（2）根据正弦定理和余弦定理结合条件求解即可.【小问1详解】)sin sinB C A A=+，())sin sinA C C A A+=+，cos sin sinA C C A=．因为sin0A≠sinC C=，所以tan C=又0πC<<，所以π3C=．【小问2详解】如图所示，因为π,33ACB AC∠==，所以AB=又因为CD为ACB∠的平分线，所以AD CD DB===．因为DE CD=，所以在BDE中，DB DE==又π3BDE∠=，所以BDE为等边三角形，所以BE=在ADEV中，由余弦定理可得2222π2cos213AE AD DE AD DE=+-⨯⨯=，即AE=，在ADEV中，由正弦定理可得sin sinAB AEAEB ABE=∠∠，即3321πsin sin3AEB=∠，得sin14AEB∠=．21.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，=45ADC∠︒，2,AD AC PO==⊥平面,2,ABCD PO M=是PD的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）255．【解析】【分析】（1）借助线面平行的判定定理即可得；（2）找出直线AM 与平面ABCD 所成角，借助正切函数定义计算即可得.【小问1详解】连接OM ，在平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，O ∴为BD 的中点，又M 为PD 的中点，PB MO ∴∥，又PB ⊄平面,ACM MO ⊂平面,//ACM PB ∴平面ACM ；【小问2详解】取DO 的中点N ，连接,MN AN ，M 为PD 的中点，MN PO ∴∥，且112MN PO ==，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，MAN ∴∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角，45,2,45,90ADC AD AC ACD ADC CAD ∠=︒==∴∠=∠=︒∴∠=︒ ，在Rt DAO △中，12,12AD AO AC ===，DO ∴=122AN DO ==，在Rt ANM △中，25tan 5MN MAN AN ∠===，∴直线AM 与平面ABCD．22.如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，P 为DF 的中点，AN CF ⊥，垂足为N．（1）求证：AN ⊥平面CDF ；（2）求异面直线BF 与PC 所成角的正切值；（3）求三棱锥B CEF -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）62（3）6【解析】【分析】（1）由AB AF ⊥，CD AF ⊥，可证得CD ⊥平面ACF ，得CD AN ⊥，又AN CF ⊥，即可证得结论；（2）设AC BD O = ，P 为DF 的中点，O 是BD 中点，得BF PO ∥，则CPO ∠是异面直线BF 与PC 所成角，即可求解；（3）可证得AF ⊥平面ABCD ，则三棱锥B CEF -的体积：B CEF C BEF V V --=，计算即可．【小问1详解】四边形ABEF 为正方形，AB AF ∴⊥，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，CD AC ∴⊥，AB CD ，CD AF ∴⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACF ，CD \^平面ACF ，AN ⊂ 平面AFC ，CD AN ∴⊥，AN CF ⊥ ，⋂=CF CD C ，,CF CD ⊂平面CDF ，AN ∴⊥平面CDF．【小问2详解】四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，AC ∴===32AO CO ∴==， 四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD AC =，=90ACD ∠︒，CD ⊂平面ABCD ，CD \^平面PAC ，PC ⊂ 平面PAC ，CD PC ∴⊥，P 为DF的中点，122AP CP FD ∴=====，设AC BD O = ，P 为DF 的中点，O 是BD 中点，BF PO ∴∥，CPO ∴∠是异面直线BF 与PC所成角，sin 552CO CPO PC ∠===，10cos 5CPO ∴∠=，6tan 2CPO ∠=，∴异面直线BF 与PC 所成角的正切值为62．【小问3详解】平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF AB ⊥，AF ⊂平面ABEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，CA ==∴三棱锥B CEF -的体积：111113326B CEF C BEF BEF V V S CA --==⨯=⨯⨯⨯= ．。

2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，全集，则()A.B.C.D.I2.欧拉恒等式为虚部单位，e 为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数的虚部为()A.B.C.D.3.在矩形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，则()A. B.C.D.4.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，则角A 的余弦值为()A.B.C.D.5.已知向量满足，则()A. B.0C.1D.26.若函数的零点所在的区间为，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.7.在中，已知角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且，，则的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形8.已O 知是的外心，，，则()A.10B.9C.8D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数，则()A. B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第一象限D.复数z是方程的一个根10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()A.，，，有唯一解B.，，，无解C.，有两解D.，，，有唯一解11.设P为所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若，则点P是的重心B.若，则点P是的垂心C.若，则点P是的内心D.若，则点P是的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______.13.已知，，²，则的最小值为______.14.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”．在中，已知，且，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

高一数学 第二次月考试卷班级______姓名________ 命题教师——一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1、函数1y x=+ D ） A. [)4,-+∞ B ．()()4,00,-+∞ C ．()4,-+∞ D. [)()4,00,-+∞2、若集合{}{}21,02,A x x B x x =-<<=<<则集合A B 等于（D ）A 、{}11x x -<<B 、{}21x x -<<C 、{}22x x -<<D 、{}01x x <<3、若集合{}2228x A x Z +=∈<≤，{}220B x R x x =∈->，则()R A C B 所含的元素个数为（ C ）A 、0B 、1C 、2D 、34、函数1()f x x x=-的图像关于（ C ）。

A. y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D.直线y x =对称5、已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -＝ (D) A.2 B.1 C.0 D.-26、若)(x f 是偶函数，其定义域为),(+∞-∞，且在[)+∞,0上是减函数，则)23(-f 与)252(2++a a f 的大小关系是 （ C ） A 、)252()23(2++>-a a f f B 、)252()23(2++<-a a f f C 、)252()23(2++≥-a a f f D 、)252()23(2++≤-a a f f 7、若)(x f ，)(x g 都是奇函数，且2)()()(++=x bg x af x F 在),0(+∞上有最大值8，则)(x F 在)0,(-∞上有 （ D ）A 、最小值8-B 、最大值8-C 、最小值6-D 、最小值4-8、设253()5a =，352()5b =，252()5c =，则,,a b c 的大小关系是 ( A ) A 、a c b >> B 、a b c >> C 、c a b >> D 、b c a >>9、函数1()(0,1)x f x a a a +=>≠的值域为[)1,+∞，则(4)f -与(1)f 的关系是（ A ）A 、(4)(1)f f ->B 、(4)(1)f f -=C 、(4)(1)f f -<D 、不能确定10、若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范（ B ）A. 3(,3)2 B. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. (]0,3 D. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭11、已知[]1,1-∈x 时，02)(2>+-=a ax x x f 恒成立，则实数a 的取值范围是（ A ） A.（0，2） B.），（∞+2 C. ），（∞+0 D.（0，4） 12、奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f += （ D ） A 、2- B 、1- C 、0 D 、1二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13、设集合{}{}21,1,3,2,4,A B a a =-=++{}3A B =，则实数a 的值为_1____ 。

滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷（答案在最后）命题人：一､单选题本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.2024- 的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若()π,πx ∈-，使等式()sin πsin 1x =-成立的x 的值是（）A.π2-B.π2 C.π5π,66D.π5π,66--3.函数()21sin 21xf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A. B.C. D.4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆的一部分和以AB 为直径的圆的一部分，若C 是 AB 的中点，2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据：π 1.73≈≈）A.22288mB.25792mC.27312mD.28112m 5.若sin ,cos θθ是方程20x mx m -+=的两根，则m 的值为（）A.1B.1+C.1±D.1-6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，若12π5π2πsin ,cos ,tan 777a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c>> D.c b a>>7.已知函数()()cos sin f x x =，现给出下列四个选项正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的最小正周期为2πC.π2x =是()f x 的一条对称轴D.()f x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增8.定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()()2211,32sin 32cos f x g x x x ==--，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（）A.12 B.23 C.1 D.43二､多选题本题共三道小题，每小题6分，共18分，在每道小题给出的四个选项中，多个选项是符合题目要求的，部分正确得2或3分，有选错的得0分9.下列选项正确的是（）A.函数()()sin 2(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期是πωB.若α是第一象限角，则tan 02α>C.函数()πtan 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是()ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，“sin cos tan 0A B C <”是“ABC 是钝角三角形”的充要条件10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.已知函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()(0)g x f x t t =->有2n 个零点()n N +∈，记为12212,,,,n n x x x x - ，且12212n n x x x x -<<<< ，则下列结论正确的是（）A.()0,2t ∈B.1217,24x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭C.45189,484x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭D.()3452122182n n x x x x x -+++++= 三､填空题本题共三道小题，每小题5分，共15分12.函数()1πlg sin 26f x x =⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的定义域是__________.13.已知函数()22tan sin sin cos 2cos f x x x x x =-+，则()2f =__________.14.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时满足()π16ππ2sin 2,0,6613π,226x x x f x x x -+⎧⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩关于的方程()()2[]230f x af x -+=有且仅有8个不同实根，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题本题共五道小题，其中15题满分13分，16､17题满分各15分，18､19题满分各17分共77分.15.在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点,2P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接圆心O 和P 得到射线OP ，将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-的值；（2）记点B 的横坐标为()f θ，若π164f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求π5πcos cos 36θθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.16.已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭图象上的任意两点，()01f =-，且当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=.（1）求当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的单调递增区间；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标也变为原来的12倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移π8个单位得到()y g x =的图象，若()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，求实数m 的取值范围.17.位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点P ，在乘降点P 处进入座舱后开始开始观光，再次回到乘降点P 时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.（1）甲乙两名游客分别坐在A B ､两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧 AB 的弧长l （单位：米）；（2）设游客从乘降点P 处进舱，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.18.已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，且满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）设()2cos 2sin g x x a x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()123g x f x <+，求实数a 的取值范围；（2）当（1）()2cos 2sin g x x a x =+中12a =时，若[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，()42(0)x xh x m m m =⋅-+>都有()()2140h x g x -≥成立，求实数m 的取值范围.19.若函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭且()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“M 函数”.（1）试判断()4sin3xf x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()3S .滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷答案详解一､单选题1.【答案】B【详解】易知20241366360-=-⨯ ，而136 的终边在第二象限，故1640- 的终边在第二象限.即B 正确.2.【答案】D【详解】由()sin πsin 1x =-得ππsin 2π,2x k k Z =-+∈，所以1sin 2,2x k k Z =-+∈，又[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 2x =-，所以π2π6x k =-+或5π2π,6x k k Z =-+∈，因为()π,πx ∈-，所以π6-或5π6-.故选：D3.【答案】C【详解】()21sin 21x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，由已知()f x 的定义域为R ，又()()()()()221121sin sin sin 212112x x x x xf x x x x f x ---⎛⎫⎛⎫--⎛⎫-=-⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除AB ，当1x =时，()12111sin1sin10213f ⎛⎫=-=> ⎪+⎝⎭，故排除D.故选：C.4.【答案】D【详解】设ABC 的外接圆的半径为r ，圆心为0，如图，因为1π,23BCO BCA OB OC ∠∠===，所以OBC 是等边三角形，120322AB BD ===因为月牙内弧所对的圆心角为2π2π2π233-⨯=，所以内弧的弧长2π12080π3l =⨯=，所以弓形ABC 的面积为11180π120604800π22S =⨯⨯-⨯=-以AB 为直径的半圆的面积为21π5400π2⨯=，所以该月牙泉的面积为(5400π4800π600π188462288112--=+≈+=，故选：D5.【答案】A【详解】由题设2Δ()40m m =--≥，得4m ≥或0m ≤.由韦达定理得sin cos m θθ+=且sin cos m θθ=，所以22(sin cos )12sin cos 12m m θθθθ+=+⇒=+，即2210m m --=，可得12m =±4m ≥或0m ≤，所以故12m =-.故选：A 6.【答案】B 【详解】根据题意，12π12π2π2πsinsin 2πsin sin 07777⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π2πsin sin 077a f f ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π2π2π2π2πcoscos πcos 0,cos cos 077777b f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-<=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为π2ππ472<<，由三角函数线知2π2πcos sin 77<，所以2π2πcos sin 77->-已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，所以在(),0∞-上是减函数且有()0f x <则0b a <<，已知2πtan 07>，则有2πtan 07c f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以.故选B.7.【答案】C【详解】因为()f x 的定义域为()()()()()R,cos sin cos sin cos sin f x x x x f x ⎡⎤-=-=-==⎣⎦，所以()f x 为偶函数，A 错误；由()()πf x f x =+，可得()f x 的最小正周期为π，B 错误；()ππcos sin cos cos 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()ππcos sin cos cos cos cos 22f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =是()f x 的一条对称轴，C 正确；当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()1,0-，当()1,0x ∈-时，函数cos y x =单调递增，故()f x 在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()0,1，当()0,1x ∈时，函数cos y x =单调递减，故()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 错误.故选：C.8.【答案】A【详解】依题意得()()()(),F x f x F x g x ≥≥，则()()()2F x f x g x ≥+，()()()()2222221111132sin 32cos 32sin 32cos 432sin 32cos f x g x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+=+-+- ⎪⎣⎦----⎝⎭2222132cos 32sin 1221432sin 32cos 4x x x x ⎛⎛⎫--=++≥+= ⎪ --⎝⎭⎝（当且仅当222232cos 32sin 32sin 32cos x x x x --=--，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时，()()1f x g x ==，()()21,F x F x ∴≥∴的最小值为12，故选：A.二､多选题9.【答案】AB【详解】对A ：最小正周期是2ππ2ωω=，故A 正确；对B ：若α是第一象限角，则2α是第一或第三象限角，所以tan 02α>，故B 正确；对C ：令()()ππππ2Z Z 62124k k x k x k +=∈⇒=-+∈，故C 错误；对D ：在ABC 中，由0πA <<知sin 0A >，又由sin cos tan 0A B C <，则有cos 0tan 0B C >⎧⎨<⎩或cos 0tan 0B C <⎧⎨>⎩，所以C 或B 为钝角，满足充分性，而ABC 是钝角三角形，A 为钝角，则有sin cos tan 0A B C >，不满足必要性，故D 错误.故选：AB 10.【答案】ABC【详解】由()01f =-，得1ϕ=-，即sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω∴-=，即得82,k k Z ω=+∈，又02,2ωω<≤∴=，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；()f x 向右平移3π8个单位后得3352228842y f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，()πππ2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()πππ2π482k x k k Z x k Z +=∈⇒=-+∈所以对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,Z 2x k k =+∈，方程()1f x =即()ππππsin 20,2,242444x x m x m ⎛⎫⎛⎫-=∈∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又在()0,m 上有6个根，π19π25π2,444m ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，所以5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故D 错误.故选：ABC.11.【答案】ABD【详解】将函数2log ,(04)y x x =<<的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方，即可得到()()2log ,(40)f x x x =--<<的图象；对于()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤< ⎪⎝⎭，最小正周期为2π6π3T ==，故[)0,24上有4个周期，令ππππ,Z 362x k k +=+∈，则可得()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤<⎪⎝⎭的对称轴为31,0,1,2,3,,7x k k =+= ；由此作出函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象，如图：则()()(0)g x f x t t =->的零点问题即为()f x 的图象与直线y t =的交点问题，由图象可知，当4t >时，()f x 的图象与直线y t =有1个交点，不合题意；当4t =时，()f x 的图象与直线y t =有5个交点，不合题意；当24t ≤<时，()f x 的图象与直线y t =有9个交点，不合题意；当02t <<，即()0,2t ∈时，()f x 的图象与直线y t =有10个交点，符合题意，A 正确；由题意可知1241,10x x -<<--<<，满足()()2122log log x x -=-，则()()2122log log x x -=--，即()()()()2122212log log 0,log 0x x x x -+-=--=，()()()()()1212121,2,x x x x x x ∴--=∴-+->=≠，即122x x +<-，由图像知()0,2t ∈，有2n 个零点()n N +∈，所以()1214,1,1,4x x ⎛⎫∈--∈--⎪⎝⎭，由对勾函数得1217,2,B 4x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭正确；由函数图象可得；4541114,,62x x x ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，故()454518714,48,C 4x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭错误；由图象可知()f x 的图象与直线y t =有10个交点，即5n =，且34,x x 关于直线4x =对称，故348x x +=，同理得455667788991014,20,26,32,38,44x x x x x x x x x x x x +=+=+=+=+=+=，故()()345212345291022n n x x x x x x x x x x -+++++=+++++ 8142026323844182=++++++=，D 正确.故选：ABD三､填空题12.【答案】()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭【详解】由函数定义可知πsin 206πsin 216x x ⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≠ ⎪⎪⎝⎭⎩，可得π2π2π2π6,ππ22π62k x k k Z x k ⎧<+<+⎪⎪∈⎨⎪+≠+⎪⎩，所以定义域是()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭13.【答案】45【详解】因为()22222222sin sin cos 2cos tan tan 2tan sin sin cos 2cos sin cos tan 1x x x x x x f x x x x x x x x -+-+=-+==++，所以()42242415f -+==+.14.【答案】74⎫⎪⎭【详解】因为π06x ≤≤，可得πππ2662x ≤+≤，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，()π01,26f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又由π6x >时，()π161322x f x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为单调递减函数，且π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为函数()f x 是R 上的偶函数，画出函数()f x的图象，如图所示，设()t f x =，则方程()()2[]230f x af x -+=可化为2230t at -+=，由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；当312t <<时，方程()t f x =有2个实数根；当1t =时，方程()t f x =有1个实数根；要使得()()2[]230f x af x -+=有8个不同的根，设12,t t 是方程2230t at -+=的两根12,t t ，设()223g t t at =-+，（1）1212322322t t t t ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪≠⎪⎪⎩，即()2Δ4120322393302424430a a g a g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪=-+>⎩74a <<，综上可得，实数a的取值范围是74⎫⎪⎭.四､解答题15.【答案】（1）1；（2）1514-【详解】（1）由于点P 在单位圆上，且α是锐角，可得12m =，所以1cos 2α=，所以()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-3224cos 2cos 4cos 2cos 122cos cos αααααα++===++（2）由（1）可知1cos 2α=，且α为锐角，可得π3xOP α∠==，根据三角函数定义可得：()πcos 3f θθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为ππ1cos 0664f θθ⎛⎫⎛⎫-=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此ππ0,62θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以π5ππππcos cos cos cos π36626θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππsin cos 66θθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1514-=16.【答案】（1）π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎣⎦⎣⎦；（2）π7π2424m <≤【详解】（1）因为()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，且()()12max 24f x f x A -==，所以2A =依题意可得()02sin 1π02f ϕϕ⎧==-⎪⎨-<<⎪⎩得π6ϕ=-又 当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=，1ππ22T ω∴==，又0ω>，即2ω=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令πππ2π22π,262k x k k Z -+≤-≤+∈得()f x 在R 的单调递增区间为πππ,π,63k k k Z⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦又11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间为π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的12倍得到πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再πsin 46y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移π8个单位得到()πππsin 4sin 4863y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()0,x m ∈，所以πππ4,4333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，所以ππ3π4232m <+≤，解得π7π2424m <≤，17.【答案】（1）35π3米；（2）()π35cos 45,0189H t t t =-+≤≤；（3）3分钟【详解】（1）解：由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，所以两个相邻座舱所对的圆心角为：2ππ3015=，因为甲､乙之间间隔4个座舱，所以劣弧 AB 所对的圆心角为ππ5153⨯=所以π35π3533l r α==⨯=，即劣弧 AB的弧长为35π3米.（单位：米）（2）如图，以摩天轮转轮中心O 为坐标原点，分别以过O 的水平线和坚直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系.不妨设开始转动t 分钟后距离地面的高度()()sin ,(0,0,0)H t A t b A b ωϕω=++>>>（单位：米），由题可知，max min ()80,()807010H t H t ==-=，所以max min()()352H t H t A -==，max min ()()452H t H t b +==，因为2π18T ω==，解得π9ω=，此时()π35sin 45,(0)9H t t ϕω⎛⎫=++>⎪⎝⎭因为()0807010H =-=，代入有：35sin 4510ϕ+=，解得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈故()πππππ35sin 2π4535sin 4535cos 4592929H t t k t t ⎛⎫⎛⎫=-++=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：()π35cos45,0189H t t t =-+≤≤；（t 的范围）（3）因为在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，所以()()62.5,0,18H t t ≥∈，即π35cos 4562.59t -+≥，解得：π1cos92t ≤-甲，即2ππ4π393t ≤≤，解得612t ≤≤甲，所以1266-=分钟，故有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果，因为劣弧AB 所对的圆心角为π3，所以甲乙相隔的时间为π32π18t =乙，解得3t =乙分钟当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果，故甲乙都有最佳视觉效果的时间为633-=分钟.18.【答案】（1）()2,2-；（2）[)3,∞+【详解】（1）因为()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的对称中心为π,012⎛⎫-⎪⎝⎭，所以π6ϕ=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()22π1sin 2,162f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为对任意的12πππ,,0,222x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()123g x f x <+成立，所以()()()121max max max 3,134g x f x g x <+<+=，()22cos 2sin sin 2sin 1g x x a x x a x =+=-++，因为1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]1sin 1,1x ∈-，设[]sin ,1,1t x t =∈-，则有()221t t at ϕ=-++图象开口向下，对称轴为t a =的抛物线，当1a ≥时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递增，所以()max ()12t a ϕϕ==，所以24a <，解得2a <，所以12a ≤<；当1a ≤-时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递减，所以()max ()12t a ϕϕ=-=-，所以24a -<，解得2a >-，故21a -<≤-；当11a -<<时，()2max ()1t a a ϕϕ==+，故214a +<，解得a <<11a -<<，综上所述：实数a 的取值范围为()2,2-.（2）当12a =时，对[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，都有()()21504h x g x -≥成立，则()min max 5()4h x g x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦由（1）可知12a =时，max 5()4g x =，所以()max [4]5g x =.则()5h x ≥在[]0,1x ∈恒成立，即()425xxh x m m =⋅-+≥在[]0,1x ∈恒成立则5241xx m +≥+在[]0,1x ∈恒成立.令[]52,6,7xt t +=∈，则()12126102610t h t t t t t==-++-，因为()22610h t t t =+-在[]6,7t ∈单调递增，所以2min 261()61063h t =+-=，所以()11313h t ≤=，所以3m ≥，综上所述，实数m 的取值范围为[)3,∞+.19.【答案】（1）不是，理由见解析（2）答案见解析（3）()7π,0220π,012330π,240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或【详解】（1）解：()4sin 3xf x =不是为“M 函数”，理由如下：因为()π4π2π444πsin sin ,sin sin2323333x x f x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，()()πR 2f x f x x ⎛⎫+≠-∈⎪⎝⎭，因此，函数()4sin3xf x =不是为“M 函数”.（2）解：函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令3π4x x =+得()3π3π3π444f x fx f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()3π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为3π2T =，因为()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈⎪⎝⎭，则()f x 的一个对称轴为π4x =.①当()3ππ3π,π242k k x k Z ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦时，()3ππ,π24k x k Z ⎡⎤-∈∈⎢⎥⎣⎦，则()()3π3πsin 22k k f x f x x k Z ⎛⎫⎛⎫=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当()3ππ3ππ,Z 2224k k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则()3πππ,Z 224k x k ⎡⎤-∈-∈⎢⎥⎣⎦，则()π3ππ,πZ 224k x k ⎛⎫⎡⎤--∈∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以，()π3ππ3π3πsin cos 22222k k k f x f x x x k Z ⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎭.综上所述，()()()3π3ππ3ππcos ,222243π3ππ3πsin ,π2242k k k x x k Z f x k k k x x k Z ⎧⎛⎫--≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<≤+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以，函数()f x 在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ3π,,π,422⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（3）解：由（2）可得函数()f x 在π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，下面考虑方程()f x a =在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的根之和.①当202a ≤<或1a =时，方程()f x a =有两个实数解，其和为π2；②当22a =时，方程()f x a =有三个实数解，其和为3π4；③当212a <<时，方程()f x a =有四个实数解，其和为π.当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，所以，当0a =时，()()π3π341237π22S =-⨯+⨯++=；当202a <<或1a =时，()()π3π32412320π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当22a =时，()()π3π33412330π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当212a <<时，()()π3π34412340π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦.因此，()7π,0220π,0123230π,2240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或。

2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知e 1,e 2是单位向量，且e 1,e 2的夹角为π3，则|e 1+te 2|(t ∈R)的最小值为( )A. 12B.32C. 1D.522.已知点P ，A ，B ，C 在同一个球的球表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PB = 5，BC =3，PC =2，则该球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π3.如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )．A. 2πB. 32πC. 233πD. 12π4.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acosC +3asinC−b−c =0，则A 为( )A. π6B. π3C. 2π3D. π45.若z ∈C ，且|z|=1，则|z−3i|的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 56.已知正四面体的各棱长均为3，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为( )A. 9πB. 12πC. 27π4D. 27π27.已知在一个表面积为24的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，点E 在B 1D 上运动，则当BE +A 1E 取得最小值时，AE =( )A. 2B. 322C.3D. 3248.已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP =λ(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)(λ∈R)，则直线AP 必经过△ABC的( )A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且OA ⋅OB =0，若OC =xOA +yOB(x,y ∈R)，则x +y 的取值可能为( )A. −2B. 1C. 2D. 3210.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是( )A. MQ⊥平面AEMHB. 异面直线BC和EA所成角为60°D. 该二十四等边体外接球的表面积为16πC. 该二十四等边体的体积为402311.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面CDD1C1上运动，且满足B1F//平面A1BE.则下列命题中正确的有( )A. 侧面CDD1C1上存在点F，使得B1F⊥CDB. 直线B1F与直线CD1所成角可能为60°C. 三棱锥A1−BEF的体积为定值D. 设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大值为52三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。