第三章3-3切割体的投影(截交线)

20
㈠ 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置
PV PV PV
P
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
21
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影。
4’ 3’ 2’ 1’ 8 1 2 4 3 平面与圆柱相交 7 6 5
Ⅷ
Ⅶ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
22
5’
27
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
28
例3：求左视图
同一立体被多个 平面截切，要逐个截 平面进行截交线的分 析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
1(2)
2
●
1
●
2 1
注意： 三面共点： 要逐个截平面分析和 Ⅰ、Ⅱ两点分别 绘制截交线。当平面体只 有局部被截切时，先假想 同时位于三个面 为整体被截切，求出截交 上。
线后再取局部。
12
13
14
例6 补全俯视图和左视图的投影
1’ 2’(3’) 3” 5” 4’(5’) 6’(7’) 6”
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
6”
5”
(7)’
7”
8”
由于平面与圆柱的轴线 具体步骤如下： 斜交，因此截交线为一椭圆。 4” （2）再作出适当数量 （4）补全侧面投影中 （1）先作出截交线上的 截交线的正面投影重影为一 （3）将这些点的投影 3” 直线，水平投影与圆柱面的 的一般点。 的转向轮廓线。 特殊点。 依次光滑的连接起来。 投影重影为圆。侧面投影可 2” 1” 根据圆柱表面取点的方法求 出。
求截交线的实质是求两平面的交线
6
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置
1” 2”
4” 7”
6
7
15
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4≡5 7 5 6 3 4 2 1 Ⅷ Ⅰ 5 6 Ⅶ Ⅵ Ⅲ 8 Ⅱ Ⅴ Ⅳ
2≡3≡6≡7 1≡8 8
7
3 1 2
4
截交线的投影 检查截交 分析棱线的 截交线的形状？ 求截交线 特性？ 投影 线的投影
55
⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。 ⒋ 求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。
56
52
●
53
小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。
求截交线的方法：棱线法 棱面法 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
54
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析 ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先 找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接 各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓 素线的投影。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。 （3）依次连接各点的水平投影。
2’
6
4 2 3
6
4 2 3 1 2 4 3
1 5

1 5
平面与球相交
48
㈣ 复合回转体的截切
49
50
51
例：求作顶尖的俯视图
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 转体的截交线，并依次将其连接。
16
17
3.3.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
18
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形。
19
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交 线，并连接成多边形。
确定截交线 的投影特性
7
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平 投影和侧面投影。 s” s’ 具体步骤如下： Pv 3’ (1) 求Pv与s’a’、s’b’、 3” 2’ 2” s’c’的交点1’、2’、3’为 截平面与各棱线的交点 1’ Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。 1”
29
●
●
●
30
例4：求左视图
●
●
●
●
31
32
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’ (8)’ 6’ (9)’ 5’ 9’’ 5’’
7’
8’’
7’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
26
例2、 补画被挖切后立体的投影 。 分 析： 该立体是在圆柱筒的 上部开出一个方槽后形成 的 。构成方槽的平面为垂 直于轴线的水平P和两个 平行于轴线的侧平面Q 。 它们与圆柱体和孔的表面 都有交线，平面P与圆柱 的交线为圆弧，平面Q与 圆柱的交线为直线，平面 Ｐ和Q彼此相交于直线段。
平面与圆柱相交
Ⅵ Ⅴ
Ⅳ
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45° 平面与圆柱相交
=45°
23
例2：求左视图
虚实分界点
24
25
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立 体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只 要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面 之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
立体的表面交线
1
2
3
3.3切割体的投影(截交线)
截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一 部分。
截平面 —— 用以截切物体的平面。 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形 成的平面。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
4
3.3.1 平面立体的截切
此种截交线为一椭圆。 由于圆锥前后对称，故椭圆 也前后对称。椭圆的长轴为 截平面与圆锥前后对称面的 交线——正平线，椭圆的短 轴是垂直与长轴的正垂线。
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线 平面与圆柱相交
37
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 5” 3”
33
34
㈡ 圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
平面与圆锥相交
35
根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状。
PV θ PV PV α θ θ PV
PV
α
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
36
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的 另外两个投影。
两个侧平面截圆球的 水平面截圆球的截交线 截交线的投影，在侧视 的投影，在俯视图上为 图上为部分圆弧，在俯 部分圆弧，在侧视图上 视图上积聚为直线。 积聚为直线。
46
47
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下： （1）先求特殊点。
2’
5’ 1’ 6’ 3’4’ 5’ 1’ 6’ 3’4’
(4) 3 1 2 4
● ●
1
●
2
●
3
4 3
●
●
●
1
●
2
截交线在俯、 几个棱面相交？ ★ 求截交线 左视图上的形 ★ 分析棱线的投影 状？
★ 空间分析 ★ 投影分析 截平面与体的 交线的形状？
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性 10
棱线法！ 我们采用的是
哪种解题方法？
11
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
a’
b’
c’
c”
a”
b”
(2) 根据线上取点的方 法，求出1、2、3和1”、 2”、3”。
1
s 2
3
(3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
8
图3-20 平面与三棱锥相交
例2 求做立体被截切后的投影