2019-2020年高三数学入学考试试题 理

2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。

2019-2020年高三上学期入学考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位（）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（ ）A ．20B ．25C ．50D ．不存在4．设 ，则“ ”是“ ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若，满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．26．已知函数，则函数的图象的一条对称轴是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点 （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A. -=1B. -=1C. -=1D. -8．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 169．已知点，若函数的图象上存在两点B 、C 到点A 的距离相等，则称该函数为“点距函数”，给定下列三个函数：①；②；③．其中，“点距函数”的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 310．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若则实数的取值范围是A B C D 11．在△中，=2,=3 , ·=1，则= ( )A. B. C. D.12．已知定义在上的函数满足=2，当时，．设在上的最大值为（），且{}的前项和为，则=（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．在的展开式中，含项的系数为 14．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是．________15．已知P 为△ABC 所在的平面内一点，满足，△ABC 的面积为xx ，则ABP 的面积为 ．16．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是 ．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分14分）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.18．（本小题满分14分）已知是递增的等差数列，，是方程的根。

2019-2020年高三上学期开学数学试卷（理科）含解析(VI)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B=．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】首先分析题目已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，求¬p．由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．可直接得到答案．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=8．【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得n的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，∴n=8或1（舍）．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x=a﹣2x；∴a=1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】指数函数单调性的应用．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象．【专题】不等式的解法及应用．【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【考点】指数函数综合题；特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tanα；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα=﹣（2）==由（1）tanα=﹣，∴==﹣【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M、N的x的范围，根据N⊆M，得到不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N=M，∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（1，3），∴，解得：3≤m≤6．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c 时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F （x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方程组，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案．【解答】解：∵，∴x=（4y）2，即x=8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB==．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．【解答】解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买4种商品的概率．（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，则：，，…所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，=，=，，．…所以：随机变量η的概率分布为：η0 1 2 3 4 5P故．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．【解答】解：（1）当n=1时，P n=1﹣x，Q n=1﹣x，则P n=Q n；当n=2，x=0时，P n=1，Q n=1，则P n=Q n；当n=2，x＞0时，P n=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，Q n=1﹣3x+3x2，则P n﹣Q n=﹣x3＜0，所以P n＜Q n；当n=2，x＜0时，P n﹣Q n=﹣x3＞0，所以P n＞Q n；（2）当n≥3时，①当x=0时，P n=Q n；②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x，F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1．当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；∴F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）单调递减；当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，∴当x＞0时，P n＜Q n．当x＜0时，P n＞Q n．【点评】本题考查了不等式比较大小．总结：不等式大小比较的常用方法．（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．。

秘密★启用前2019-2020年高三上学期开学考试数学（理）试题 含答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集，集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．2．命题“，则或”的逆否命题为（）A ．若，则且B ．若，则且C ．若且，则D ．若或，则3．“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的零点在区间上，则的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知，为方程的解，则的值为（）A ．B ．5C ．﹣5D ．﹣16．已知存在实数，使得关于的不等式有解，则的最大值为（）A ．2B ．C ．4D ．87．已知，，则sin cos )4ααπα-的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（原创）已知关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列命题中：①若，则幂函数在上单调递增；②函数与函数的图象关于直线对称；③若函数的图象关于对称，则为偶函数；④若是定义域为R 的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称，其中正确的命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（原创）已知点P 为曲线上一点，曲线C 在点P 处的切线交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线的斜率为，曲线C 在点Q 处的切线的斜率为，则的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣4C ．﹣3D ．211．（原创）已知是定义在R 上且以4为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A ．16B ．32C ．48D ．5212．（原创）已知函数32()2log )21x f x x =-++，，，，则（） A ． B ． C ． D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题，第12题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：共4小题，每小题5分13．=_________14．设函数，则不等式的解集为_________15．化简：=_________16．（原创）若函数与函数的图象有且仅有一个交点，则实常数的值为_________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数（1）已知，且，，求的值；（2）求函数的最大值18．（本小题满分12分）设命题P：函数的定义域为R；命题q：函数在区间上有唯一零点，（1）若p为真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围19．（本小题满分12分）现今中国社会人口老龄化日趋严重，机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（原创）（本小题12分）已知函数（为常数）（1）若函数在内单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在（其中为自然对数的底），使得成立，求实数的取值范围21．（本小题满分12分）已知为常数，函数，（1）当=0时，求函数的最小值；（2）若有两个极值点①求实数的取值范围；②（原创）求证：且（其中为自然对数的底）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。

洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,22.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1D. 23.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ）A.14B.12C. 2D. 45.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ）A.126 B.122 C.117D.115 6.圆22 2410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ）A. 1B. 3C. 5D. 97.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9C. 929.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 5D.17910.设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ①B. ③C. ①③D. ①②③12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=+最小值是__________．15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c . (1)若ABC 的面积S满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.18.如图，已知四边形ABCD等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点.(1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA . 20.设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下: 考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名. (1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程. 23.设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 取值范围.。

——教学资料参考参考范本——2019-2020高三数学上学期开学考试试题理(1)______年______月______日____________________部门理 科 数 学本试卷共5页，23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，集合，则{}6,5,4,3,2,1=U {}3,5,1=A {}Z x x x x B ∈≤--=,0)4)(2(|()U C A B =A ．B ．C ．D ．{}1,6{}6{}63，{}1,32．欧拉公式 (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于cos sin ix e x i x =+3i e(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限3．对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则 b a ,b a ⊗41log )21(22⊗-的值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．2-3-4．20xx 年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．141323345．的展开式中的系数为（ ）()()6221x x -+4xA ．-160B ．320C ．480D ．6406．某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．3263+π43+π32123+π432+π7．的展开式中的常数项是（ ）()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ A ．-5 B ．7 C ．-11 D ．138．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为（ ）112V =⨯⨯πA ．B ．C ．D ．3 3.13.143.29．已知向量满足，则的取值范围是ba ,5=-=+b a b a ba +A ．B ．C ．D ．]5,0[]25,5[]7,25[]10,5[10．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．51π441π241π31π11．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）22:1C x y +=P 240x y +-=P C,,,PA PB A B ABA. B.C. D.11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭3,04⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭30,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 12．已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，则不等式的解集是（ ）R ()f x ()f x 'x()()()10x f x xf x '-+>()1e y f x =+-()e 0x xf x ->A ．B ．C ．D ．(),e -∞()e,+∞(),1-∞()1,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高三开学考试数学理试题 含解析【试卷综析】这套试题，具体来说比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神。

考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。

但是综合知识、创新题目的题考的有点少。

这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

一、选择题（每题5分，共50分）【题文】1.函数y () A.(0,8] B.(-2,8] C.(2,8]D.[8,+∞)【知识点】函数的定义域；对数函数；B1,B7. 【答案解析】C 解析：()1lg 20{2820x x x -+≥⇒-<≤+>【思路点拨】本题主要是考查函数的定义域的求法，我们根据根号下大于等于0，真数大于0的条件即可求出结果.【题文】2.函数2112sin ,0()2,0x x x f x e x p -ì-<<ï=íï³ïî满足(1)()2f f a +=,则a 的所有可能值为( ) A.1B. C.1 D.1或 【知识点】分段函数的概念；指数函数；B6【答案解析】C 解析：由已知条件可分为两种情况()()111f f a =∴=，(1)当1011a a a -≥=⇒=时，e ，(2)当2102sin 126a a a π-<<=⇒=-时，，D ∴正确.【思路点拨】本题是考查分段函数的概念及计算，我们可以在两个不同定义域内求解. 【题文】3．有下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y ＝x ＋3x －1的图象关于点(1,1)对称； ③关于x 的方程2210ax ax --=有且仅有一个零点，则实数a ＝－1；④已知命题p ：对任意的1x >，都有sin x ≤1，则⌝p ：存在1x ≤，使得sin x >1.其中所有真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④【知识点】三角函数的图像、性质；反比例函数；命题.A2,C3. 【答案解析】B 解析：解：①1cos cos cos 2442y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所函数的周期为π，相邻两个对称中心距离为2π，所以命题不正确. ②34111x y x x +==+--,所以函数的对称中心为()1,1，命题正确. ③当a=0时，不成立，当0a ≠时，0,∆=可得a=-1或a=0(舍),所以命题正确. ④当全称命题变为非命题时，全称量词改成特称量词，所以非p 应该为，存在1x >，使得sin 1x >，所以④不正确.【思路点拨】由三角公式化简，再利用性质，根据函数的性质化简判定各问题正误即可. 【题文】4.已知函数()2sin(2)f x x ϕ=-+()ϕπ<,若()28f π=-,则()f x 的一个单调递增区间可以是( ) A.3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【知识点】三角函数的单调性.C3 【答案解析】B 解析：解：22sin 2,sin 1,8444f ππππϕϕϕπϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∴-+=-+=<∴=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又可得()352sin 2222424288f x x k x k k x k ππππππππππ⎛⎫=-+∴+≤+≤+∴+≤≤+ ⎪⎝⎭，当k=0时有D 选项正确.【思路点拨】我们根据正弦函数的单调性可知函数的单调区间，先根据条件求出ϕ的值，然后注意系数为负值的问题，最后列出单调区间即可求出结果. 【题文】5.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意x R ∈,都有(4)()2(2)f x f x f +=+,且(3)2f -=,则(2015)f 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4【知识点】函数的周期性；函数的奇偶性.B4【答案解析】B 解析：解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f （x+4）=f （x ）+2f （2），∴当x=-2时，有f （2）=f （2）+2f （2），即f （2）=0，∴f （x+4）=f （x ），即函数的周期是4，∴f （2015）=f （503×4+3）=f（3），∵f （-3）=2，∴f （-3）=f （3）=2，即f （2015）=2， 故答案为：2【思路点拨】我们通过令特殊值求出()2f 的值，然后得到函数的周期，结合奇偶性即可求值.【题文】6.已知cos 215)4xx π=+,0x π<<,则tan x 等于( ) A. 43- B.34- C.2 D.-2【知识点】两角和与差的正余弦公式；二倍角公式.C5,C6.【答案解析】A 解析：解：22cos 2cos sin 1sin cos sin 54x x x x cosx x x x π-==+=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，平方可得1241+2sin cos 2sin cos ,25252x x x x x ππ=∴=-∴<<可知7434sin cos sin ,cos tan 5553x x x x x -=∴==-∴=-【思路点拨】首先利用二倍角公式与两角和的展开式进行化简，然后分别求出正弦和余弦的值，熟习公式是解题关键.【题文】7.当(1,2)x ∈时,不等式2(1)log a x x -<恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.(2,3]B.[4,+∞)C.(1,2]D.[2,4)【知识点】函数的单调性；对数函数.B3,B7.【答案解析】C 解析：解：由函数的单调性可知当01a <<不成立，当1a >时，log 2112a a ≥∴<≤【思路点拨】我们根据条件可画出草图，根据函数的单调性可知，满足条件时a 的取值范围. 【题文】8. 在△ABC中，若AB ＝2，AC 2＋BC 2＝8，则△ABC 面积的最大值为( )A.2 B ．2 C.3 D ．3【知识点】基本不等式；余弦定理；三角形的面积公式.E6,C8 【答案解析】C 解析：解：因为2222224,cos 2AC BC AB AC BC AC BC AC BC C AC BC+-+≥⋅∴⋅≤=⋅1cos 0602C C ∴≥∴︒<∠≤︒1sin 2S AC BC C =⋅⋅所以由不等式可知2AC BC ==时，面积有最大值1222S =⨯⨯= C. 【思路点拨】根据基本不等式和余弦定理可知三边相等时有最大值，利用面积公式可直接求出面积.【题文】9.已知21()ln 2f x a x x =+(0)a >,若对任意两个不等的正实数12,x x都有1212()()2f x f x x x -≥-恒成立,则a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(0,1]【知识点】函数的导数；导数的几何意义.B11,B12【答案解析】A 解析：由条件可知函数在定义域上的切线斜率大于等于2，所以函数的导数()2af x x x'=+≥由函数的性质可知x =1a ∴≥ 【思路点拨】根据函数的导数进行计算，注意函数的定义域的取值范围. 【题文】10.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，已知(1)f x +是偶函数，'(1)()0x f x -<.若12x x <，且122x x +>，则1()f x 与2()f x 的大小关系是( )A ．1()f x <2()f xB ．1()f x =2()f xC ．1()f x >2()f xD ．不确定【知识点】函数的奇偶性，单调性;导数.B3,B4,B12【答案解析】C 解析：解：因为()1f x +是偶函数，所以()f x 关于1x =对称，又因为()()10x f x '-<，所以当()10x f x '><时，函数递减，()10x f x '<>时函数递增，由122x x +>可知1211x x -<-，所以1x 离对称轴近，对应的值大，所以()()12f x f x >，C选项正确.【思路点拨】根据函数的平移可知函数的对称轴，再根据导数可知函数的单调性，利用条件判断自变量的位置即可确定函数值的大小.二、填空题（每题5分，共20分）【题文】11.已知在△ABC中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 30A ∠=，b =1a =，则B ∠= .【知识点】正弦定理.C8【答案解析】60︒或120°解析：解：1sin sinA sin sin 30sin 2a b B B B =∴=∴=︒60120b a B >∴∠=︒︒或【思路点拨】根据题目中的条件，利用正弦定理可直接求出角B 的正弦值，依据边的关系可求角的大小.【题文】12.已知函数()ln 2xf x x =+,若2(2)(3)f x f x +<,则实数x 的取值范围是 .【知识点】基本初等函数的导数公式；函数的单调性.B11,B3【答案解析】(1,2) 解析：解：由题可得函数的定义域为x>0,()12ln 2x f x x'=+,所在在定义域内()0f x '>，函数单调递增，所以由()()22232312f x f x x x x +<⇒+<∴<< 【思路点拨】概括函数的解析式求出函数的导数，然后利用函数的单调性，列出自变量的不等关系，最后求出x 的取值范围.【题文】13.函数()sin f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值为α,则2(1)sin 2ααα+= .【知识点】导数的几何意义.B11【题文】14.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则不等式()h x ≥2的解集为 . 【知识点】指数函数，对数函数.B6,B7. 【答案解析】解析：()h x 的定义域为0x >,由图可知两函数的交点在1,12⎛⎫⎪⎝⎭之内，根据题意可知()2h x ≥的解集为1(0,]2.【思路点拨】由函数的定义与函数的解析式可作图，找到两函数的交点，确定分段函数的取值，最后解出不等式.三、解答题(共50分)【题文】15.（12分）已知2()3g x x =--，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式．【知识点】二次函数；函数的单调性与最值；函数的奇偶性.B3,B4,B5. 【答案解析】f (x )＝x 2－22x ＋3，或f (x )＝x 2＋3x ＋3. 解析：解：设 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x )＋g (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3， 又 f (x )＋g (x )为奇函数， ∴a ＝1，c ＝3.∴ f (x )＝x 2＋bx ＋3，对称轴x ＝－b2.当－b2≥2，即b ≤－4时， f (x )在[－1,2]上为减函数，∴ f (x )的最小值为f (2)＝4＋2b ＋3＝1.∴b ＝－3.∴此时无解， 当－1<－b2<2，即－4<b <2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝3－b 24＝1， ∴b ＝±2 2.∴b ＝－22，此时 f (x )＝x 2－22x ＋3，当－b2≤－1，即b ≥2时， f (x )在[－1,2]上为增函数，∴ f (x )的最小值为f (－1)＝4－b ＝1. ∴b ＝3.∴ f (x )＝x 2＋3x ＋3. 综上所述， f (x )＝x 2－22x ＋3， 或 f (x )＝x 2＋3x ＋3.【思路点拨】利用待定系数法设出二次函数，分情况讨论函数的取值，然后求出系数. 【题文】16．（12分）已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，函数()f x a b =，且()y f x =的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求,m n 的值；(2)将()y f x =的图像向左平移ϕ(0)ϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【知识点】向量；三角函数的图像、单调区间、平移变换.C3,C4,F3.【答案解析】(1)m ＝3，n ＝1.(2) 函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .解析：解：(1)由题意知，f (x )＝＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1. 因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 【思路点拨】由向量数量积的关系列出关系式，将点代入求值，按三角函数的图像变换求解析式.【题文】17．（14分）已知函数31()13f x x ax =-+(1)若1x =时，()f x 取得极值，求a 的值； (2)求()f x 在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m R ∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围．【知识点】函数的导数；闭区间上的最值；导数的几何意义.B11,B12 【答案解析】(1) a ＝1(2) 当a ≤0时，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1；当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3；当a ≥1时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .(3) a 的取值范围是(－∞，－1)．解析：解：(1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )取得极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1. 又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1符合题意． (2)当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0,1)成立，所以f (x )在[0,1]上单调递增，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1， 当a ＞0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0，x 1＝－a ，x 2＝a ， 当0＜a ＜1时，a ＜1，x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(a ，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3.当a ≥1时，a ≥1，x ∈[0,1]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .综上所述，当a ≤0时，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1；当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3；当a ≥1时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .(3)因为∀m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线， 所以f ′(x )＝x 2－a ≠－1对x ∈R 成立， 只要f ′(x )＝x 2－a 的最小值大于－1即可， 而f ′(x )＝x 2－a 的最小值为f (0)＝－a ， 所以－a ＞－1，即a ＜1. 所以a 的取值范围是(－∞，－1)．【思路点拨】(1)对函数求导，根据条件求出a 值，(2)根据导数求闭区间上的极值点进行讨论，(3)根据导数的几何意义求出a 的值. 【题文】18．（12分）已知函数()ln(2)x m f x e x -=-．（1）设1x =是函数)(x f 的极值点，求m 的值并讨论)(x f 的单调性；（2）当2≤m 时，证明：)(x f ＞ln 2-．【知识点】函数的导数；导数研究函数的单调性；导数证明不等式.B11,B12【答案解析】(i)当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以，函数)(x f 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．(ii)略解析：解：（Ⅰ）1()x m f x e x-'=-，由1x =是)(x f 的极值点得(1)0f '=， 即110m e --=，所以1m =． ………………………………２分 于是1()ln(2)0x f x e x x -=->，（），11()x f x e x-'=-， 由121()0x f x e x-''=+>知 ()f x '在(0,)x ∈+∞上单调递增，且(1)0f '=， 所以1x =是()0f x '=的唯一零点． ……………………………４分 因此，当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以，函数)(x f 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ……………………………６分（Ⅱ）解法一：当2≤m ，(0,)x ∈+∞时，2x m x e e --≥，故只需证明当2m =时，)(x f ＞ln 2-． ………………………………８分 当2m =时，函数21()x f x e x -'=-在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0,(2)0f f ''<>，故()0f x '=在(0,)+∞上有唯一实根0x ，且0(1,2)x ∈．…………………10分 当0(0,)x x ∈时，()0f x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时， )(x f 取得最小值且0()0f x '=．由0()0f x '=得0201x e x -=,00ln 2x x =-．…………………………………12分 故0()()f x f x ≥020()ln(2)x f x e x -=-=01x 0ln 22x --+=2ln 2-ln 2>-．综上，当2≤m 时，)(x f ln 2>-． …………………………14分解法二：当2≤m ，(0,)x ∈+∞时，2x m x e e --≥，又1+≥x e x ,所以12-≥≥--x e e x m x ． ………………………………………８分取函数()1ln(2)(0)h x x x x =-->)0(>x ，xx h 11)('-=，当10<<x 时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当1>x 时，0)('>x h ，)(x h 单调递增，得函数()h x 在1=x 时取唯一的极小值即最小值为(1)ln 2h =-． ……12分所以2()ln(2)ln(2)1ln(2)ln 2x m x f x e x e x x x --=-≥-≥--≥-，而上式三个不等号不能同时成立，故)(x f ＞ln 2-．…………………………………14分【思路点拨】。

——教学资料参考参考范本——2019-2020高三数学上学期入学考试（9月）试题理______年______月______日____________________部门理科数学一、选择题（共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共60分）1.已知集合，，则（ ）()(){}310M x x x =-+≥{}22N x x =-≤≤M N =A ．B ．C ．D ．[]1,2--[]1,2-[]1,1-[]1,2 2．已知复数满足，则（ ）z ()3425i z -=z =A ．B ．C ．D ．34i --34i -+34i +34i - 3．已知向量，, 若// , 则实数等于（ ）(1,)a m =(,2)b m =a b m A ． B ． C ．或 D ． 2-22-204．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π()f xA ．B ． ()sin 2f x x =-)322cos()(π+=x x fC ．D ．)322sin()(π+=x x f x x f 2cos )(-=6. 如图，网格纸上小正方形的边长为，1 粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体外接球的表面积为 A.B. C.D. π12π10π9π87．的极值点，则（）是：：处导数存在，若在函数)(,0)(0,)(00x f x x q f p x x x f x ===A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件8.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的多项式求值算法,至今仍是比较先进的算法.已知，01991010...)(a x a x a x a x f ++++=下列程序框图设计的是求的值，其中 内应填的执行0()f x 语句是A. B. S S n =+n S S a =+ C. D. i S n =+i S S a =+9．已知等差数列的前项和为，若，则（）{}n a n n s 35724a a a ++=9s = A ．36 B ．72 C ．144 D ．288 10．已知在上有两个零点，则的取值范围为( )mx x f --=)62sin(2)(π]2,0[π∈x mA ．（1，2）B ．[1，2]C ．[1,2)D ．（1，2]11．的图像是（ ）2(x)=cos ln f x x-第(8)题图否是结束开始i<11?输出SS=Sx 0i=1,n =10S=a 10输入x 0i=i+1n=10i12．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A 、B 是以O （O 为坐标原点）为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ）22221(0)x y a b a b +=>>A ．B ．C ．D ．33221-31-第II 卷（共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题．若命题是真命题，则实数a 的取值范围是 ．2:,210p x R ax ax ∃∈++≤p ⌝ 14． ．()的系数为的展开式中3252y x y x - 15．当时，若，则的值为 ．,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭()()2sin cos 3ααπ--π+=sin cos αα-16．给出如下四个结论： ①存在使)2,0(πα∈31cos sin =+a a②存在区间（）使为减函数而＜0,a b x y cos =x sin ③在其定义域内为增函数x y tan =④既有最大、最小值，又是偶函数)2sin(2cos x x y -+=π⑤最小正周期为π|62|sin π+=x y其中正确结论的序号是三、解答题（共6小题，其中第22题10分，其余各题均为12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．在锐角三角形中，角的对边分别为，且ABC C B A ,,cb a ,,()ac B b c a3tan 222=-+（1）求B（2）若，求的取值范围及面积的最大值2=b c a +ABC ∆18． 随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 频数 5 10 15 10 5 5 手机支付461062(Ⅰ)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；(Ⅱ)把年龄在 [15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？95%手机支付未使用手机支付总计中青年 中老年 总计可能用到的公式：22(),()()()()n ad bc k n a b c da b c d a c b d -==+++++++独立性检验临界值表：19.如图，在四棱锥中，， ，点为棱的中点.P ABCD-ABCD PA 底面⊥1,2,//,====⊥AB AP DC AD DC AB AB AD E PC（1）证明： ；BE DC ⊥（2）求二面角的余弦值．E AB P --20.已知定点 F(1,0)，定直线 l:x=4，动点 P 到点 F 的距离与到直线 l 的距离之比等于(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；2()P k m > 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 m 2.0722.7063.8415.0246.6357.879(2)设轨迹 E 与 x 轴负半轴交于点 A ，过点 F 作不与 x 轴重合的直线交轨迹 E 于两点 B 、C ，直线 AB 、AC 分别交直线 l 于点 M 、N. 试问：在 x 轴上是否存在定点 Q ，使得 QM若存在，求出定点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21．设函数, 已知曲线y=f(x)在处的切线与直线垂直。