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2015年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知i是虚数单位，复数＝（）A．i B．i C．i D．i2．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．∀x∈R，x2＞0B．∀x∈R，﹣1＜sin x＜1C．∃x0∈R，＜0D．∃x0∈R，tan x0＝23．（5分）若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A．22B．27C．31D．564．（5分）已知a＝，b＝lo，c＝log 2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 5．（5分）设{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和，若S4＝5S2，则此数列的公比q的值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）设实数x，y满足条件，则y﹣4x的最大值是（）A．﹣4B．C．4D．77．（5分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P（1，2）是双曲线C上点，且y＝x是C的一条渐近线，则C的方程为（）A．2x2﹣＝1B．﹣x2＝1C．﹣x2＝1或2x2﹣＝1D．﹣x2＝1或x2﹣＝18．（5分）已知函数f（x）＝﹣sin x+3cos x，若x1•x2＞0，且f（x1）+f（x2）＝0，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB＝2AC＝6，EC＝6，则AD的长为．12．（5分）已知函数f（x）＝3x2+1，g（x）＝x3﹣9x，若f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围是．13．（5分）在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足（m＞0，n＞0），则+的最小值是．14．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）＝|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈N}，B＝{x|≤2，x∈N*}，C ＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合C中随机取出一个元素（x，y）（Ⅰ）写出集合C中所有元素（x，y）；（Ⅱ）求x+y≤6的概率．16．（13分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C+1＝2sin A sin C．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．17．（13分）如图所示，P A⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）证明：PD∥平面AFC；（2）若P A＝1，求证：AF⊥PC；（3）若二面角P﹣BC﹣A的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥F﹣ACE的体积为．18．（13分）已知椭圆G：＝1（a＞b＞0）的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1．如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x＝4分别交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|CD|＝4，求点M的坐标．19．（14分）在数列．（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式a n；（2）设c n＝，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，求证：T n＜3．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣3x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，试讨论函数y＝f（x）在区间（﹣1，1）内的极值点的个数；（Ⅲ）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．2015年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知i是虚数单位，复数＝（）A．i B．i C．i D．i 【解答】解：复数＝＝＝i．故选：D．2．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．∀x∈R，x2＞0B．∀x∈R，﹣1＜sin x＜1C．∃x0∈R，＜0D．∃x0∈R，tan x0＝2【解答】解：A．当x＝0时，x2＞0不成立，即A错误．B．当x＝时，﹣1＜sin x＜1不成立，即B错误．C．∀x∈R，2X＞0，即C错误．D．∵tan x的值域为R，∴∃x0∈R，tan x0＝2成立．故选：D．3．（5分）若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A．22B．27C．31D．56【解答】解：第一次运行得：n＝0，p＝1，不满足p＞20，则继续运行第二次运行得：n＝﹣1，p＝2，不满足p＞20，则继续运行第三次运行得：n＝﹣2，p＝6，不满足p＞20，则继续运行第四次运行得：n＝﹣3，p＝15，不满足p＞20，则继续运行第五次运行得：n＝﹣4，p＝31，满足p＞20，则停止运行输出p＝31．故选：C．4．（5分）已知a＝，b＝lo，c＝log 2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：a＝＝＞1，b＝lo∈（0，1），c＝log 2＜0，∴a＞b＞c．故选：A．5．（5分）设{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和，若S4＝5S2，则此数列的公比q的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：若q＝1，S4＝4a1，5S2＝10a1，不满足S4＝5S2，故q≠1…（2分）由S4＝5S2得＝5a1（1+q），∵a n＞0，∴1+q2＝5，即：q2＝4，∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴q＝2．…（6分）故选：B．6．（5分）设实数x，y满足条件，则y﹣4x的最大值是（）A．﹣4B．C．4D．7【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：联立可得，即A（﹣1，0）由图可知：当过点A（﹣1，0）时，y﹣4x取最大值4．故选：C．7．（5分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P（1，2）是双曲线C上点，且y＝x是C的一条渐近线，则C的方程为（）A．2x2﹣＝1B．﹣x2＝1C．﹣x2＝1或2x2﹣＝1D．﹣x2＝1或x2﹣＝1【解答】解：由题意设双曲线方程为y2﹣2x2＝λ（λ≠0），把点P（1，2）代入，得λ＝2，∴双曲线的方程为y2﹣2x2＝2，即．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝﹣sin x+3cos x，若x1•x2＞0，且f（x1）+f（x2）＝0，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝2（﹣sin x+cos x）＝2sin（﹣x）＝﹣2sin（x﹣），x1•x2＞0，且f（x1）+f（x2）＝0，∴x1+x2 等于函数的零点的2倍，∴|x1+x2|的最小值等于函数f（x）的绝对值最小的零点的2倍．∴令﹣2sin（x﹣）＝0 可得sin（x﹣）＝0，x﹣＝kπ，k∈z．故函数f（x）的绝对值最小的零点为，故|x1+x2|的最小值为，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16．【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300＝1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是＝，∵丙专业有400人，∴要抽取400×＝16故答案为：1610．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为6π+4．【解答】解：由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱，半圆柱的半径为2，高为3，体积为6π，直三棱柱的底面为直角三角形，面积为4，高为3，体积为12，故几何体的体积为6π+12．故答案为：6π+12．11．（5分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB＝2AC＝6，EC＝6，则AD的长为．【解答】解：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB＝2AC，∴BE＝2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD＝DE，∴BE＝2AD，设AD＝t，则BE＝2t，BC＝2t+6，根据割线定理得BD•BA＝BE•BC，即（6﹣t）×6＝2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18＝0，解得t＝或﹣6（舍去），则AD＝．故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）＝3x2+1，g（x）＝x3﹣9x，若f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【解答】解：令F（x）＝f（x）+g（x）＝x3﹣9x+3x2+1，F′（x）＝3x2+6x﹣9＝0，x＝1，x＝﹣3，F′（x）＝3x2+6x﹣9＞0，x＞1或x＜﹣3，F′（x）＝3x2+6x﹣9＜0，﹣3＜x＜1，F（﹣3）＝28，F（1）＝﹣4，F（2）＝3，∵在区间[k，2]上的最大值为28，∴k≤﹣3．故答案为：（﹣∞，﹣3]．13．（5分）在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足（m＞0，n＞0），则+的最小值是9．【解答】解：∵，且满足（m＞0，n＞0），∴．∵P为BE上一点，由向量共线定理可得：m+4n＝1．∴+＝（m+4n）（+）＝5+＝9，当且仅当m＝2n＝时取等号．∴+的最小值是9．故答案为：9．14．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）＝|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值是log23．【解答】解：∵x1＜x2，∴2＝1﹣k，2＝1+k又∵x3＜x4，∴2＝1，2＝1，∴2＝，2＝；∴2＝；又k∈[，1），∴﹣3+最小值为3，∴x4﹣x3+x2﹣x1∈[log23，+∞），三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈N}，B＝{x|≤2，x∈N*}，C ＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合C中随机取出一个元素（x，y）（Ⅰ）写出集合C中所有元素（x，y）；（Ⅱ）求x+y≤6的概率．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈N}，∴{x|﹣1＜x＜4，x∈N}，即A＝{0，1，2，3}∵B＝{x|≤2，x∈N*}，∴B＝{x|2＜x≤7}即B＝{3，4，5，6，7}，（Ⅰ）∵C＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，∴集合C中所有元素：（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（0，7），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，3），（3，4），（3，5），（4，6），（5，7），共20个．（Ⅱ）设满足x+y≤6的事件M，（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（3，3），共10个．∴P（M）＝＝．16．（13分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C+1＝2sin A sin C．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2cos A cos C+1＝2sin A sin C得：∴2（cos A cos C﹣sin A sin C）＝﹣1，∴，∴，又0＜B＜π，∴．（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，又，，∴，故，∴．17．（13分）如图所示，P A⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）证明：PD∥平面AFC；（2）若P A＝1，求证：AF⊥PC；（3）若二面角P﹣BC﹣A的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥F﹣ACE的体积为．【解答】（1）证明：连结AC交BD于点Q，连结FQ，∵四边形ABCD是矩形，∴Q为AC的中点，又∵点F是PB的中点，∴PD∥FQ，∴PD∥平面AFC；（2）证明：以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（，1，0），∵P A＝1，∴P（0，0，1），∴F（0，，），∴＝（0，，），＝（，1，﹣1），∵•＝（0，，）•（，1，﹣1）＝＝0，∴⊥，即AF⊥PC；（3）解：设P（0，0，t），则F（0，，），则＝（0，0，t），＝（0，，），＝（0，1，﹣t），＝（，0，0），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），由，得，令z＝1，得＝（0，t，1），∵二面角P﹣BC﹣A的大小为60°，且是平面ABC的一个法向量，∴cos60°＝＝＝，∴t＝，即＝（0，，），设CE＝﹣x，由三棱锥F﹣ACE的体积为，及V F﹣ABE ＝V F﹣ABC﹣V F﹣ACE，可得•••x＝•••﹣解得x＝，∴CE＝，∴CE为时，三棱锥F﹣ACE的体积为．18．（13分）已知椭圆G：＝1（a＞b＞0）的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1．如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x＝4分别交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|CD|＝4，求点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵G：＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴＝，∵过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，∴＝1，解得a2＝4，b2＝1，∴∴椭圆的方程；（Ⅱ）设直线AM的方程为y＝k（x+2）（k＞0）．由得C（4，6k）；y＝k（x+2）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，设M（x0，y0），则（﹣2）x0＝，∴x0＝，∴y0＝，即M（，），∵B（2，0），∴直线BM的方程为y＝﹣（x﹣2），x＝4时，y＝﹣，∴D（4，﹣）∴|CD|＝|6k+|＝4∵k＞0，∴k＝或，从而M（0，1）或M（，）．19．（14分）在数列．（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式a n；（2）设c n＝，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，求证：T n＜3．【解答】证明：（1）∵b n+1﹣b n＝＝＝＝2，∴数列{b n}是等差数列，∵a1＝1，∴，∴b n＝2+（n﹣1）×2＝2n，由得，＝，∴；（2）c n＝＝，则c n c n+2＝＝，∴＝＝3﹣＜3．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣3x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，试讨论函数y＝f（x）在区间（﹣1，1）内的极值点的个数；（Ⅲ）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝0时，y＝f（x）＝﹣3x，f′（x）＝2x2﹣3，∴f′（3）＝15，f（3）＝9，∴曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣9＝15（x﹣3），化为15x ﹣y﹣36＝0．（II）当a＞0时，f′（x）＝2x2﹣4ax﹣3，△＝16a2+24＞0，由f′（x）＝0，解得．取x1＝＜0，＞1．由x1＞﹣1，解得．因此，当a＞时，由f′（x）＝0，解得x＝x1，∴当a时，当x∈（﹣1，x1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x（x1，0）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．此时函数f（x）取得极大值，只有一个．当0时，f′（x）≤0，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，无极值点．综上可得：当a＞时，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）内取得一个极大值．当0时，f（x）在区间（﹣1，1）内无极值点．（III）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立⇔（x ＞0）．令g（x）＝，x＞0，g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得，此时函数g（x）单调递减．∴当x＝时，函数g（x）取得最大值，g（x）max＝＝．∴．∴实数a的取值范围是．。
2024年天津市河北区中考数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）计算（﹣2）×（﹣4）的结果等于（）A．8B．﹣8C．6D．﹣62．（3分）估计的值在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间3．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）将86400用科学记数法表示应为（）A．86.4×103B．8.64×103C．8.64×104D．0.864×105 6．（3分）tan60°+3tan30°的值等于（）A．B．C．D．7．（3分）计算的结果等于（）A．B．C．D．8．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3 9．（3分）若x1，x2是方程x2﹣5x＝1的两根，则x1x2+x1+x2＝（）A．4B．5C．6D．﹣610．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，任取一点O，使点O和点A在直线BC的两侧，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交BC于点M，N，分别以点M，N 为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP，AP所在直线交BC于点D．若AD的长为3，则BC的长为（）A．3B．3C．6D．311．（3分）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△AEF，点B，C的对应点分别是点E，F，BE⊥AC，连接CE，则下列结论一定正确的是（）A．AF∥BE B．∠EAC＝∠ECA C．CE＝EF D．BE＝EF 12．（3分）如图，是一块菱形新型平面材料ABCD，∠BAD＝135°，AB＝50cm，点E在BC上，且EA垂直于AD，先沿着AE切开材料，然后在四边形ADCE内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在AD，AE上，一个顶点落在CD边上．设边AE上矩形的边长为x cm，矩形的面积为y cm2.有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：；②当x＝10时，切割出矩形后，四边形AECD剩余的面积为（1250﹣625）cm2；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为1.5元/cm2，则当x＝25时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为937.5元．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．（3分）不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为．14．（3分）计算：（﹣2a2b3）3＝．15．（3分）计算的结果为．16．（3分）若直线y＝mx+1向上平移3个单位长度后经过点P（2，3），则m值为．17．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为AB的中点，点E在AD上，，等腰三角形EDF中，ED＝FD，∠EDF＝120°．（Ⅰ）△EDF的面积为；（Ⅱ）若N为EF的中点，则MN2的值为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M和点N是格点，Rt△ABC内接于圆，且直角顶点A在格点上，顶点B在线段MN上，且AB＝AC．（Ⅰ）线段MN的长为；（Ⅱ）若点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点Q，使圆周角∠BPQ＝75°，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19．（8分）解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）4月23日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分八年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求本次调查的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）若学校有3000名学生，试估计读书时间不少于9小时的学生有多少人？21．（10分）在⊙O中，点A，点B，点P在圆上，∠AOB＝150°．（Ⅰ）如图①，P为弦AB所对的优弧上一点，半径OC经过弦AB的中点M，PB＝AB，求∠AOC和∠ABP的大小；（Ⅱ）如图②，P为弦AB所对的劣弧上一点，AP＝OB，过点B作⊙O的切线，与AO 的延长线相交于点D，若，求PB的长．22．（10分）某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物AB与教学楼ED之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离EC＝22m．某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角60°，教学楼顶D的仰角45°，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为22°．（Ⅰ）求教学楼ED的高；（Ⅱ）设建筑物AB的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；②求建筑物AB的高度．（tan22°取0.40，取1.41，取1.73，结果取整数）23．（10分）已知小王家、图书馆、体育场依次在同一条直线上，体育场离小王家3.6km，图书馆离小王家1.8km．小王从家出发，先用了20min匀速骑共享单车去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了20min到图书馆读书，在图书馆读书60min后，用了30min匀速散步回家．下面图中x表示时间，y表示小王离家的距离．图象反映了这个过程中小王离家的距离y与时间x之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：小王离家的时间/min102040160小王离家的距离/km 3.6②填空：小王从体育场到图书馆的速度为km/min；③当50≤x≤130时，请直接写出小王离家的距离y关于时间x的函数解析式；（2）当小王离开图书馆时，小王的哥哥从体育场出发匀速骑共享单车直接回他们的家，如果小王的哥哥的速度为0.18km/min，那么小王的哥哥在回家的途中遇到小王时离他们家的距离是多少？（直接写出结果即可）24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形ABCD的顶点A（2，1），B（﹣2，1），D（2，﹣1），等边△EPQ的顶点，点E是BC的中点．（Ⅰ）填空：如图①，点C的坐标为，点Q的坐标为；（Ⅱ）将等边△EPQ沿水平方向向右平移，得到等边△E′P′Q′，点E，P，Q的对应点分别为E′，P′，Q′，设EE′＝t，等边△E′P′Q′与矩形ABCD重叠部分面积记为S．①如图②，当边E′P′与AB相交于点M，边E′Q′与CD相交于点N，点E′在点（1，0）的左侧且矩形ABCD与△E′P′Q′重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．25．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，若C点坐标为（0，2），对称轴为．（Ⅰ）求抛物线顶点P和点A的坐标；（Ⅱ）点D为y轴上一点，连接AD，BD，若将△ABD沿AD所在直线翻折，点B的对应点B′恰好落在抛物线的对称轴上，求D点坐标；（Ⅲ）抛物线上点M在直线y＝c上方，过M作AC的垂线交线段BC于点N，过N点向y轴作垂线，垂足为Q，求的最小值．2024年天津市河北区中考数学一模试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．D；3．A；4．D；5．C；6．B；7．D；8．B；9．A；10．D；11．C；12．C二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．；14．﹣8a6b9；15．5；16．﹣；17．4；37﹣6；18．5；取格点R，格点T1和格点S1，连接RT1，连接RS1，线段RT1交AB于点T，线段RS1交CA于点S，直线TS交于点Q，连接PB，连接PQ，∠BPQ＝75°，则点Q即为所求三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19．x＞﹣2；x≤﹣1；﹣2＜x≤﹣1；20．50人；24；21．（Ⅰ）30°；（Ⅱ）6．；22．（Ⅰ）教学楼ED的高为22m；（Ⅱ）①EA的长为（22+）m；②建筑物AB的高度约为57m．；23．1.8； 3.6；0；0.09；24．（﹣2，﹣1）；Q（﹣5，﹣）；25．（Ⅰ）、A（﹣2，0）；（Ⅱ）D点的坐标为或；（Ⅲ）﹣．。
2015-2016学年天津市河北区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.）1．（3分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B．m（m﹣1）=m2﹣mC．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．a2﹣4a+4=（a﹣2）22．（3分）下列能用完全平方公式因式分解的是（）A．x2+2xy﹣y2B．﹣xy+y2C．x2﹣2xy+y2D．x2﹣4xy+2y23．（3分）若多项式乘法（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，则k的值为（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣24．（3分）下列各式正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）下列从左到右的变形：①=；②=；③=；④=．其中，正确的是（）A．①②B．②④C．③④D．①②③④6．（3分）如果分式的值为零，那么x等于（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±17．（3分）若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m≥1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠18．（3分）如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF ⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在题中横线上）9．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是．10．（3分）PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为．11．（3分）若a+3b﹣2=0，则3a•27b=．12．（3分）因式分解：x3﹣xy2=．13．（3分）计算（π﹣3.14）0+（）﹣2=．14．（3分）计算：（﹣3）2013•（﹣）2011=．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=．16．（3分）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．三、解答题（7题6分，18题10分，19、20题各8分，21、22题各10分，共52分，解答写出文字说明，演算步骤或推理过程）17．（6分）解方程：．18．（10分）（1）若a+b=5，ab=3，求+的值；（2）化简：÷（m+n﹣）19．（8分）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF=BE+CF．20．（8分）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD 于点Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE；（2）求AD的长．21．（10分）李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．（1）求李老师步行的平均速度；（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年天津市河北区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.）1．（3分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B．m（m﹣1）=m2﹣mC．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．a2﹣4a+4=（a﹣2）2【解答】解：A、右边不是等式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是等式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是等式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、符合因式分解的定义，故本选项正确．故选：D．2．（3分）下列能用完全平方公式因式分解的是（）A．x2+2xy﹣y2B．﹣xy+y2C．x2﹣2xy+y2D．x2﹣4xy+2y2【解答】解：A、不是两数的平方和加这两个数乘积的二倍，故A错误；B、不是两数的平方和减这两个数乘积的二倍，故B错误；C、两数的平方和减这两个数乘积的二倍，故C正确；D、不是两数的平方和减这两个数乘积的二倍，故D错误；故选：C．3．（3分）若多项式乘法（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，则k的值为（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【解答】解：（x+2y）（2x﹣ky﹣1）=2x2﹣kxy﹣x+4xy﹣2ky2﹣2y=2x2+（4﹣k）xy﹣x﹣2ky2﹣2y，∵结果中不含xy项，∴4﹣k=0，解得，k=4，故选：A．4．（3分）下列各式正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、=，故A正确；B、=，故B错误；C、=，故C错误；D、=﹣，故D错误．故选：A．5．（3分）下列从左到右的变形：①=；②=；③=；④=．其中，正确的是（）A．①②B．②④C．③④D．①②③④【解答】解：①=，当a=0时，该等式不成立，故①错误；②=，分式的分子、分母同时乘以b，等式仍成立，即=，故②正确；③=，当c=0时，该等式不成立，故③错误；④=，因为x2+1≠0，即分式的分子、分母同时乘以（x2+1），等式仍成立，即=成立，故④正确；综上所述，正确的②④．故选：B．6．（3分）如果分式的值为零，那么x等于（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【解答】解：∵分式的值为零，∴，解得x=﹣1．故选：B．7．（3分）若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m≥1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1【解答】解：去分母得：m﹣1=2x﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠1，解得：m≥﹣1且m≠1，故选：D．8．（3分）如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF ⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：在Rt△BDP和Rt△BFP中，，∴Rt△BDP≌Rt△BFP（HL），∴∠ABP=∠CBP，在Rt△CEP和Rt△CFP中，，Rt△CEP≌Rt△CFP（HL），∴∠ACP=∠FCP，∵∠ACF是△ABC的外角，∴∠ABC+∠BAC=∠ACF，两边都除以2，得：∠ABC+∠BAC=∠ACF，即∠PBC+∠BAC=∠FCP，∵∠PCF是△BCP的外角，∴∠PBC+∠BPC=∠FCP，∴∠BPC=∠BAC=×70°=35°，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在题中横线上）9．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是x≠3的全体实数．【解答】解：∵3﹣x≠0，∴x≠3．10．（3分）PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6．【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故答案为：2.5×10﹣6．11．（3分）若a+3b﹣2=0，则3a•27b=9．【解答】解：∵a+3b﹣2=0，∴a+3b=2，则3a•27b=3a×33b=3a+3b=32=9．故答案为：9．12．（3分）因式分解：x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y）．【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x﹣y）（x+y）．故答案为：x（x﹣y）（x+y）．13．（3分）计算（π﹣3.14）0+（）﹣2=10．【解答】解：原式=1+9=10，故答案为10．14．（3分）计算：（﹣3）2013•（﹣）2011=9．【解答】解：（﹣3）2013•（﹣）2011=（﹣3）2•（﹣3）2011•（﹣）2011=（﹣3）2•[﹣3×（﹣）]2011=（﹣3）2=9，故答案为：9．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=8．【解答】解：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠CBA=30°，∴∠EAB=∠CAE=30°，∴CE=AE=4，∴AE=8．故答案为：8．16．（3分）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【解答】解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，①当E在E1时，OE=CE，∵∠AOC=∠OCE=30°，∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°；②当E在E2点时，OC=OE，则∠OCE=∠OEC=（180°﹣30°）=75°；③当E在E3时，OC=CE，则∠OEC=∠AOC=30°；故答案为：120°或75°或30°．三、解答题（7题6分，18题10分，19、20题各8分，21、22题各10分，共52分，解答写出文字说明，演算步骤或推理过程）17．（6分）解方程：．【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），得：x﹣3+（x﹣2）=﹣3，解得x=1，检验：x=1时，x﹣2≠0，∴x=1是原分式方程的解．18．（10分）（1）若a+b=5，ab=3，求+的值；（2）化简：÷（m+n﹣）【解答】解：（1）原式==，当a+b=5，ab=3时，原式===；（2）原式=÷=÷=•=．19．（8分）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF=BE+CF．【解答】解：∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，∴∠1=∠3，∠4=∠5，根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE=ED，DF=FC，故EF=ED+DF=BE+CF．20．（8分）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD 于点Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE；（2）求AD的长．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°；在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD=BE；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD=∠ABE，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，∴∠PBQ=90°﹣60°=30°，∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．21．（10分）李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．（1）求李老师步行的平均速度；（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．【解答】解：（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，由题意得，﹣=20，解得：x=76，经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意，则5x=76×5=380，答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；（2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为：=12.5（分钟），骑车走到学校的时间为：=5，则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.5＜23，答：李老师能按时上班．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+=0，且|m﹣n﹣3|≥0，≥0∴|m﹣n﹣3|==0，∴n=3，m=6，∴点A（0，6），点B（3，0）；（2）连接PB，t秒后，AP=t，OP=|6﹣t|，∴S=OP•OB=|6﹣t|；（t≥0）（3）作出图形，∵∠OAB+∠OBA=90°，∠OAB+∠APD=90°，∠OPE=∠APD，∴∠OBA=∠OPE，∴只要OP=OB，即可求证△EOP≌△AOB，∴AP=AO﹣OP=3，或AP′=OA+OP′=9∴t=3或9．附赠：初中数学易错题填空专题一、填空题1、如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是____ _____。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】{2,5,8}UB =，所以{2,5}UAB=，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值． 【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图． 4.【答案】A【解析】|2|12113x x x -<⇔-<-<⇔<<1；AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =，23CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE418【解析】19DF DC λ=，ABC ∠，12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-== AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC ABBC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1818λλ117218λλ+=时，AE AF 有最小值，最小值为（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， 平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设1(,n x y =11100n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，可得1(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面21200n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 又1(0,1,2)AB =，可得2(0,n =-12121210,10||||n n n n n n ==-123,10n n =， 10（Ⅲ）依题意，可设111AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-72λ=-，法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设111AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为122n n -⎧⎪，为奇数22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =的斜率为(0)k k >，则直线22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝23c ，2b =12 / 12。
2015年天津市蓟县中考数学一模试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）计算（﹣5）+3的结果等于（）A．2B．﹣2C．﹣8D．82．（3分）2sin60°的值等于（）A．B．2C．1D．3．（3分）下列标志中，不是中心对称的是（）A．B．C．D．4．（3分）在“百度”搜索引擎中输入“雾霾天气形成的原因”，搜索的相关结果约为6430000，将数字6430000用科学记数法表示为（）A．6.43×105B．0.643×107C．64.3×105D．6.43×106 5．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差S2如下表所示：若要选出一个成绩较好状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．（3分）一个几何体如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）估计的值是（）A．在3与4之间B．在4与5之间C．在5与6之间D．在6与7之间8．（3分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8B．3：8C．3：5D．2：59．（3分）已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．图象经过点（1，1）B．当x＞0时，y随着x的增大而减小C．当x＞0时，0＜y＜1D．图象位于第一、三象限10．（3分）正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）A．B．C．D．11．（3分）商品原价389元，经连续两次降价后售价为279元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．389（1﹣x）2＝279B．279（1﹣x）2＝389C．389（1﹣2x）＝279D．279（1﹣2x）＝38912．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）计算a﹣3•a5的结果等于．14．（3分）一次函数的图象过点（0，5），且与正比例函数y＝﹣2x的图象平行，则这个一次函数的解析式为．15．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x﹣3配方化为形如y＝a（x+h）2+k的形式是．16．（3分）从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是．17．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，点E在BC上，且AE＝CE，若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝cm．18．（3分）如图，已知四边形纸片ABCD，现将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：（用“能”或“不能”填空）．若“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．方法或理由：．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答：（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：．（4）原不等式组的解集为．20．（8分）“今天你光盘了吗？”这是国家倡导“厉行节约，反对浪费”以来的时尚流行语．某校团委随机抽取了部分学生，对他们进行了关于“光盘行动”所持态度的调查，并根据调查收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图：根据上述信息，解答下列问题：（1）抽取的学生人数为；（2）将两幅统计图补充完整；（3）请你估计该校1200名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC＝∠B．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB＝5，BD＝2，求线段AE的长．22．（10分）如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m，求旗杆的高度．（＝1.414，＝1.732，结果保留整数）23．（10分）有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？24．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角的大小等于∠ABC，分别过点C、A作直线l 的垂线，垂足分别为点D、E（1）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；（2）当△ABC的位置旋转到图2或图3时，设直线CE、AB交于点F，且＝，CD＝4，请你在图2和图3中任选一种情况，求此时BD的长．25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A （﹣2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？2015年天津市蓟县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）计算（﹣5）+3的结果等于（）A．2B．﹣2C．﹣8D．8【解答】解：（﹣5）+3＝﹣（5﹣3）＝﹣2．故选：B．2．（3分）2sin60°的值等于（）A．B．2C．1D．【解答】解：2sin60°＝2×＝，故选：A．3．（3分）下列标志中，不是中心对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项正确；D、是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．4．（3分）在“百度”搜索引擎中输入“雾霾天气形成的原因”，搜索的相关结果约为6430000，将数字6430000用科学记数法表示为（）A．6.43×105B．0.643×107C．64.3×105D．6.43×106【解答】解：6430000＝6.43×106，故选：D．5．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差S2如下表所示：若要选出一个成绩较好状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：∵乙、丙射击成绩的平均环数较大，∴乙、丙成绩较好，∵乙的方差＜丙的方差，∴乙比较稳定，∴成绩较好状态稳定的运动员是乙，故选：B．6．（3分）一个几何体如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看应该是实线分成的三个矩形，左视图应该是个矩形，俯视图是一个梯形．故选：D．7．（3分）估计的值是（）A．在3与4之间B．在4与5之间C．在5与6之间D．在6与7之间【解答】解：∵25＜32＜36，∴5＜＜6，∴的值在5与6之间．故选：C．8．（3分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8B．3：8C．3：5D．2：5【解答】解：∵AD：DB＝3：5，∴BD：AB＝5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．故选：A．9．（3分）已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．图象经过点（1，1）B．当x＞0时，y随着x的增大而减小C．当x＞0时，0＜y＜1D．图象位于第一、三象限【解答】解：A、x＝1，y＝＝1，∴图象经过点（1，1），正确；B、∵k＝1＞0，∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，正确．C、∵k＝1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，错误；D、∵k＝1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；故选：C．10．（3分）正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）A．B．C．D．【解答】解：正六边形可以分六个全等等边三角形，则这样的等边三角形的一边上的高为原正六边形的内切圆的半径；因为等边三角形的边长为正六边形的外接圆的半径，所以内切圆面积与外接圆面积之比＝（sin60°）2＝．故选：D．11．（3分）商品原价389元，经连续两次降价后售价为279元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．389（1﹣x）2＝279B．279（1﹣x）2＝389C．389（1﹣2x）＝279D．279（1﹣2x）＝389【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为389（1﹣x）2，∴方程为389（1﹣x）2＝279．故选：A．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2﹣4ac＞0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，b＝﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③根据②可将抛物线的解析式化为：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＞0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x＝﹣1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；所以这四个结论都正确．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）计算a﹣3•a5的结果等于a2．【解答】解：a﹣3•a5＝a﹣3+5＝a2，故答案为：a2．14．（3分）一次函数的图象过点（0，5），且与正比例函数y＝﹣2x的图象平行，则这个一次函数的解析式为y＝﹣2x+5．【解答】解：因为一次函数的图象过点（0，5），与正比例函数y＝﹣2x的图象平行，可设一次函数的解析式为y＝﹣2x+b，把（0，5）代入解析式可得：b＝5，所以解析式为：y＝﹣2x+5，故答案为：y＝﹣2x+5．15．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x﹣3配方化为形如y＝a（x+h）2+k的形式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．【解答】解：y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2．16．（3分）从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是．【解答】解：点数为“5”的概率是．17．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，点E在BC上，且AE＝CE，若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝12cm．【解答】解：∵ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°．由翻折的性质可知：∠AB1E＝∠ABE＝90°，AB1＝AB＝6∴EB1⊥AC．又∵AE＝CE，∴AB1＝B1C，∴AC＝2AB1＝2×6＝12．故答案为：12．18．（3分）如图，已知四边形纸片ABCD，现将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：能（用“能”或“不能”填空）．若“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．方法或理由：取四边形纸片ABCD各边的中点E、F、G、H，连接EG、FH，则EG、FH为裁剪线，将2绕H旋转180°、4绕G旋转180°，4沿BD方向平移，使B与D重合．【解答】解：能做到，方法如下：如图，取四边形纸片ABCD各边的中点E、F、G、H，连接EG、FH，则EG、FH为裁剪线，将2绕H旋转180°、4绕G旋转180°，4沿BD方向平移，是B与D重合，拼成的四边形满足条件．故答案为：能；如图，取四边形纸片ABCD各边的中点E、F、G、H，连接EG、FH，则EG、FH为裁剪线，将2绕H旋转180°、4绕G旋转180°，4沿BD方向平移，使B与D重合．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答：（1）解不等式①，得x≤2；（2）解不等式②，得x＞﹣1；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：．（4）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．【解答】解：（1）解不等式①，得x≤2；（2）解不等式②，得x＞﹣1；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：．（4）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．20．（8分）“今天你光盘了吗？”这是国家倡导“厉行节约，反对浪费”以来的时尚流行语．某校团委随机抽取了部分学生，对他们进行了关于“光盘行动”所持态度的调查，并根据调查收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图：根据上述信息，解答下列问题：（1）抽取的学生人数为200；（2）将两幅统计图补充完整；（3）请你估计该校1200名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数．【解答】解：（1）赞成的所占的百分比是1﹣30%﹣10%＝60%，抽取的学生人数为：120÷60%＝200（人）；故答案为：200．（2）根据题意得：无所谓的人数是：200×30%＝60（人），反对的人数是：200×10%＝20（人），补图如下：（3）根据题意得：1200×60%＝720（人），答：该校1200名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数有720人．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC＝∠B．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB＝5，BD＝2，求线段AE的长．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵∠ADC＝∠B，∴∠ODB＝∠ADC；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠ADO+∠ADC＝90°，即∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝2，∴DA＝＝，∵AE⊥AB，∴∠EAB＝90°，∵∠ABE＝∠DBA，∴△EAB∽△ADB，∴＝，即＝∴AE＝．22．（10分）如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m，求旗杆的高度．（＝1.414，＝1.732，结果保留整数）【解答】解：过A作AE⊥BC于E．∵AD∥CE，∴Rt△ACE中，CE＝AD＝12m，∠CAE＝60°，∴AE＝CE÷tan60°＝4．Rt△AEB中，AE＝4，∠BAE＝30°，∴BE＝AE•tan30°＝4．BC＝BE+CE＝4+12＝16米．答：旗杆高16米．23．（10分）有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？【解答】解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用6×（800﹣20×6）＝4080（元），在乙公司购买需要用75%×800×6＝3600（元）＜4080（元），∴应去乙公司购买；（2）设该单位买x台，若在甲公司购买则需要花费x（800﹣20x）元；若在乙公司购买则需要花费75%×800x＝600x元；①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，则有x（800﹣20x）＝7500，解之得x1＝15，x2＝25．当x1＝15时，每台单价为800﹣20×15＝500＞440，符合题意；当x2＝25时，每台单价为800﹣20×25＝300＜440，不符合题意，舍去．②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，则有600x＝7500，解之得x＝12.5，不符合题意，舍去．答：该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．24．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角的大小等于∠ABC，分别过点C、A作直线l 的垂线，垂足分别为点D、E（1）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；（2）当△ABC的位置旋转到图2或图3时，设直线CE、AB交于点F，且＝，CD＝4，请你在图2和图3中任选一种情况，求此时BD的长．【解答】（1）线段AE、CD之间的数量关系为AE＝2CD．证明：如图1，延长AC与直线l交于点G．依题意，可得∠1＝∠2．∵∠ACB＝90°，∴∠3＝∠4．∴BA＝BG．∴CA＝CG．∵AE⊥l，CD⊥l，∴CD∥AE．∴△GCD∽△GAE．，，∴AE＝2CD．（2）解：当点F在线段AB上时，如图2，过点C作CG∥l交AE于点H，交AB于点G．∴∠2＝∠HCB．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠HCB．∴CH＝BH．∵∠ACB＝90°，∴∠3+∠1＝∠HCB+∠4＝90°．∴∠3＝∠4．∴CH＝AH＝BH．∵CG∥l，∴△FCG∽△FEB．∴，设CH＝5x，BE＝6x，则AB＝10x．∴在△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝8x．由（2）得，AE＝2CD．∵CD＝4，∴AE＝8．∴x＝1．∴AB＝10，BE＝6，CH＝5．∵CG∥l，∴△AGH∽△AEB．∴，∴HG＝3．∴CG＝CH+HG＝8．∵CG∥l，CD∥AE，∴四边形CDEG为平行四边形．∴DE＝CG＝8．∴BD＝DE﹣BE＝2，当点F在线段BA的延长线上时，如图3，同理可得CH＝5，GH＝3，BE＝6．∴DE＝CG＝CH﹣HG＝2．∴BD＝DE+BE＝8．∴BD＝2或8．25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A （﹣2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？【解答】解：（1）由抛物线的解析式知，点C（0，8），即OC＝8；Rt△OBC中，OB＝OC•tan∠ABC＝8×＝4，则点B（4，0）．将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：，解得，∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，顶点D（1，9）；（2）设直线CD的解析式为：y＝kx+8，将点D坐标代入上式，得：k＝1；∴直线CD：y＝x+8，点E（﹣8，0）．∴OC＝OE＝8，∠CEB＝45°．在四边形EMPN中（如右图），∠MPN＝180°﹣∠CEB＝135°（∠PME、∠PNO 都是直角），①当∠OPM＝75°时，∠OPN＝135°﹣75°＝60°；在Rt△OPN中，ON ＝OB＝2，PN ＝；②当∠OPQ＝75°时，∠OPN＝135°+75°﹣180°＝30°，在Rt△OPN中，ON ＝OB＝2，PN＝2；综上，存在符合条件的P点，且坐标为（2，）或（2，2）；（3）由（2）的直线CD解析式，可得：E（﹣8，0），F（4，12）．设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+9+m；当x＝﹣8时，y＝m﹣72，当x＝4时，y＝m，∴m﹣72≤0 或m≤12，∴0＜m≤72，∴抛物线最多向上平移72个单位．第21页（共22页）第22页（共22页）。
天津市2015年初中毕业生学业考试数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算(－18)÷6的结果等于（）A．－3 B．3 C．D．答案：A 【解析】本题考查有理数的除法运算，难度较小．根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”，得(－18)÷6＝－18÷6＝－3，故选A．2．cos45°的值等于（）A．B．C．D．答案：B 【解析】本题考查特殊角的三角函数值，难度较小．根据余弦的定义计算得，故选B．3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A B C D答案：A 【解析】本题考查轴对称图形，难度较小．轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义可知B，C，D都不是轴对称图形，故选A．4．据2015年5月4日《天津日报》报道，“五一”三天假期，全市共接待海内外游客约2270000人次．将2270000用科学记数法表示应为（）A．0.227×107B．2.27×106C．22.7×105D．227×104答案：B 【解析】本题考查用科学记数法表示较大的数，难度较小．科学记数法是将一个数写成。
a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．即2270000＝2.27×106，故选B．5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A B C D答案：A 【解析】本题考查三视图，难度较小．主视图是从物体正面看到的图形，从正面看到4个大小一样的正方形，故选A．6．估计的值在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间答案：C 【解析】本题考查无理数的估算，难度较小．先确定的平方的范围，进而估算的值的范围，∵9＜11＜16，∴，故选C．7．在平面直角坐标系中，把点P(－3，2)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P'的坐标为（）A．(3，2) B．(2，－3) C．(－3，－2) D．(3，－2)答案：D 【解析】本题考查关于原点对称的点的坐标关系，难度中等．关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都相反，所以(－3，2)关于原点的对称点是(3，－2)，故选D．8．分式方程的解为（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝9答案：D 【解析】本题考查解分式方程，难度中等．将分式方程左右两边同时乘x(x －3)，转化为整式方程得2x＝3(x－3)，解得x＝9，经检验x＝9是原分式方程的解，故选D．9．已知反比例函数，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6答案：C 【解析】本题考查反比例函数的性质及函数值范围的求法，难度中等．由反比例函数的性质可得当1＜x＜3，图象都在同一个象限，增减性相同，因为6＞0，所以y随x的增大而减小，故只需将1和3代入即可求出y的最大临界值和最小临界值分别是6和2，故选C．10．已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1 dm B．dm C．dm D．3 dm答案：B 【解析】本题考查正方体的表面积计算公式，难度中等．设正方体棱长是x dm，列方程得6x2＝12，解得（负值舍去），故，故选B．11．如图，已知□ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°答案：C 【解析】本题考查旋转的性质和平行线的性质，难度中等．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以∠ABC＝∠ADC＝60°，在△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，∴∠EAB＝30°，又∵AD∥BC，∴∠DA′B＝180°－∠ADA′＝180°－50°＝130°，根据旋转的性质可得∠E′A′B＝∠EAB＝30°，∴∠DA′E′＝∠DA′B＋∠E′A′B＝130°＋30°＝160°，故选C．12．已知抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．答案：D 【解析】本题考查二次函数的性质、中点公式、两点间的距离公式，难度较大．令y＝0，得一元二次方程，解得x1＝12，x2＝－3，即抛物线与x轴的两交点坐标分别是A(12，0)，B(－3，0)，AB的中点，令x＝0，得y＝6，即抛物线与y轴的交点为C(0，6)，所以，故选D．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中横线上）13．计算x2·x5的结果等于_________．答案：x7【解析】本题考查幂的运算，难度较小．根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，故x2·x5＝x2＋5＝x7．14．若一次函数y＝2x＋b（b为常数）的图象经过点(1，5)，则b的值为_________．答案：3 【解析】本题考查待定系数法求未知量的值，难度较小．将点的坐标(1，5)代入y＝2x＋b，得5＝2＋b，解得b＝3．15．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_________．答案：【解析】本题考查概率公式，难度较小．根据公式可得．16．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为_________．答案：【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，难度较小．∵DE∥BC，∴△ADE∽△AB C，∴，即，解得．17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L，M，则图中等边三角形共有_________个．答案：8 【解析】本题考查正多边形的性质与判定、等边三角形的判定，难度中等．图中分别以A，B，C，D，E，F为顶点的小等边三角形有6个，即△AML，△BHM，△CIH，△DJI，△EKJ，△FLK；以A，B，C，D，E，F为顶点的大等边三角形有两个，即△ACE，△BDF，故图中共有8个等边三角形．18．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，且BE＝DF．（1）如图1，当时，计算AE＋AF的值等于_________；（2）当AE＋AF取得最小值时，请在如图2所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置是如何找到的_________（不要求证明）．答案：（1）【解析】本题考查勾股定理、利用网格线作图，难度较大．根据图形可知BC＝4，DC＝3，由勾股定理可知BD＝5，∵，在网格图中，由勾股定理得，，故；（2）如图，取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E；取格点M，N，连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF 即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①得__________________；（2）解不等式②得__________________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为__________________．答案：（本小题满分8分）本题考查不等式组的解法，难度较小．解：（1）x≥3．（2）x≤5．（3）（4）3≤x≤5．20．（本小题满分8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额数据，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：（1）该商场服装部营业员的人数为_________，图1中m的值为_________；（2）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．答案：（本小题满分8分）本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数、中位数、众数的计算，难度较小．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．解：（1）25，28．（2）观察条形统计图，∵，∴这组数据的平均数是18.6．∵在这组数据中，21出现了8次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是21．∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是18，∴这组数据的中位数是18．21．（本小题满分10分）已知A，B，C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（1）如图1，求∠ADC的大小；（2）如图2，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．答案：（本小题满分10分）本题考查平行四边形的性质及圆中角度的计算，难度中等．涉及知识点有圆周角定理、弦、弧及圆心角之间的关系、等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解题关键．解：（1）∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°．∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，即AD∥OC．有∠ADC＋∠OCD＝180°，∴∠ADC＝180°－∠OCD＝90°．（2）如图，连接OB，则OB＝OA＝OC．∵四边形OABC是平行四边形，∴OC＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°．由OF∥CD，且∠ADC＝90°，得∠AEO＝∠ADC＝90°，∴OF⊥AB．有，∴，∴．22．（本小题满分10分）如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上．小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°．已知点D到地面的距离DE 为1.56 m，EC＝21 m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．答案：（本小题满分10分）本题考查解直角三角形的应用，难度中等．解：如图，根据题意，DE＝1.56，EC＝21，∠ACE＝90°，∠DEC＝90°．过点D作DF⊥AC，垂足为F，则∠DFC＝90°，∠ADF＝47°，∠BDF＝42°，可得四边形DECF为矩形，∴DF＝EC＝21，FC＝DE＝1.56．在Rt△DFA中，，∴AF＝DF·tan47°≈21×1.07＝22.47．在Rt△DFB中，，∴BF＝DF·tan42°≈21×0.90＝18.90，∴AB＝AF－BF≈22.47－18.90＝3.57≈3.6，BC＝BF＋FC≈18.90＋1.56＝20.46≈20.5．答：旗杆AB的高度约为3.6 m，建筑物BC的高度约为20.5 m．23．（本小题满分10分）1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50 min．设气球上升时间为x min(0≤x≤50)．（1）根据题意，填写下表：（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由；（3）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？答案：（本小题满分10分）本题考查列代数式、一元一次方程的应用、一次函数的应用，难度中等．解：（1）35，x＋5；20，0.5x＋15．（2）两个气球能位于同一高度．根据题意，x＋5＝0.5x＋15，解得x＝20，有x＋5＝25．答：此时气球上升了20 min，都位于海拔25 m的高度．（3）当30≤x≤50时，由题意，可知1号气球所在位置的海拔始终高于2号气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差y m，则y＝(x＋5)－(0.5x＋15)＝0.5x－10．∵0.5＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝50时，y取得最大值15．答：两个气球所在位置的海拔最多相差15 m．24．（本小题满分10分）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B(0，1)，点O(0，0)．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（1）如图1，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（2）如图2，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（3）当时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．答案：（本小题满分10分）本题是三角形综合题，难度中等．考查折叠的性质、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形面积计算、解一元二次方程等．解：（1）在Rt△ABO中，点，点B(0，1)，点O(0，0)，∴，OB＝1．由OM＝m得．根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，有．在Rt△MOB中，由勾股定理BM2＝OB2＋OM2，得，解得，∴点M的坐标为．（2）在Rt△ABO中，，∴∠OAB＝30°．由MN⊥AB得∠MNA＝90°，∴在Rt△AMN中，得，，∴．由折叠可知△A′MN≌△AMN，有∠A′＝∠OAB＝30°，∴∠A′MO＝∠A′＋∠OAB＝60°，∴在Rt△COM中，得，∴．又，∴S＝S△ABO－S△AMN－S△COM，即．（3）．25．（本小题满分10分）已知二次函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）．（1）当b＝2，c＝－3时，求二次函数的最小值；（2）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（3）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．答案：（本小题满分10分）本题是二次函数综合题，难度较大．不仅考查二次函数的最值、二次函数与一元二次方程的关系、求二次函数解析式等知识，还考查考生的阅读理解能力、分类讨论能力、逻辑推理能力．解：（1）当b＝2，c＝－3时，二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3，即y＝(x＋1)2－4，∴当x＝－1时，二次函数取得最小值－4．（2）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋5．由题意得方程x2＋bx＋5＝1有两个相等的实数根，有Δ＝b2－16＝0，解得b1＝4，b2＝－4，∴此时二次函数的解析式为y＝x2＋4x＋5或y＝x2－4x＋5．（3）当c＝b2时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋b2，它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．①若，即b＞0，在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，故当x＝b时，y＝b2＋b·b＋b2＝3b2为最小值，∵3b2＝21，解得（舍），．②若，即－2≤b≤0，当时，为最小值，∴，解得（舍），（舍）．③若，即b＜－2，在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小，故当x＝b＋3时，y＝(b＋3)2＋b(b＋3)＋b2＝3b2＋9b＋9为最小值，∴3b2＋9b＋9＝21，即b2＋3b－4＝0．解得b1＝1（舍），b2＝－4．综上所述，或b＝－4．∴此时二次函数的解析式为或y＝x2－4x＋16．综评：本套试卷难度中等，知识覆盖面广，涉及方程及其应用、不等式组的解法、圆、解直角三角形、图形变换、统计概率以及函数等重要内容，对支撑初中数学学科体系的主干知识作了重点考查，同时考查了函数与方程思想（第14，23题）、数形结合思想（第11，18，24题）、分类思想（第17，25题）等数学思想，多数题目是常规题，考生易于入手，部分试题解题方法多样，考生可以从不同角度解决同一问题，充分体现了对不同水平考生个性差异的尊重．。
微信订阅号：初中英语资源库，获取全套试卷河北区 2015-2016 学年度第二学期九年级结课质量检测一、选择题（每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.正比例函数y=2x 的图像与反比例函数y 3 的图像的交点位于xA.第一象限B. 第二象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.3.下列几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的几何体是A. B. C. D.4.在“等边三角形、正方形、等腰梯形、平行四边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好是中心对称图形的概率是A. 1B.6 1C.31 D. 22 35.如图，从 P 点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A 、B 为切点，已知⊙O 的半径为 3，∠P=60°，则图中阴影部分的面积为．A.9 3 3B.9 3 2C.92 3 3 D.923 26.如果一个三角形的三边长为 5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为 39，那么较大的三角形的面积为A. 90B. 180C. 270D. 5407.某同学在距某电视塔 BC 塔底水平距离 200 米的 A 处，看塔顶 C 的仰角为 20°（不考虑身高因素），则此塔BC 的高约为（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640）(保留到个位)A. 68 米B. 73 米C. 127 米D. 188 米8.如图，小明在 A 时测得某树的影长为 1m，B 时又测得该树的影长为 4 米，若两次日照的光线互相垂直，该树的高度为A.2mB. 3 mC. 2 mD. 5 m9.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AD 、BC 相交于点P，那么CD的值为ABA.sin∠APCB. cos∠APCC. tan∠APCD. 1tan APC3 10. 如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=2，∠CBA=30°，点 D 在线段AB 上运动，点 E 与点D 关于AC对称，DF⊥DE，并交EC 的延长线于点F ，当点D 从点A 运动到点 B 时，线段EF 扫过的面积是 A.3 B.33 C.2D. 2二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，请将答案直接填在题中横线上） 11. tan60°=12. 不透明的袋子里有 5 个绿球，2 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率为13. 若点 A （-2，y 1）和 B （2，y 2）在反比例函数y1的图像上，则 y 1 和y 2 的大小关系是y 1y 2x14. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 变为 8，水面最深地方的高度为 2，则该输水管的半径为15. 如图，PA 切⊙O 于点A ，PC 过点O 且交⊙O 于点B ，C ，若PA= 2 ，PB=2，则⊙O 的半径为16. 如图，把△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35°，得到△A‘B’C，A‘B’交 AC 于点 D ，若∠A‘DC=90°，则∠A=17. 如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 2 度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E ，第 27 秒时，点 E 在量角器上对应的读数是18. 已知抛物线进过A （-4，0）、B （0，-4）、C （2，0）三点，若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S ，则S 的最大值为33三、解答题：（本大题共 6 小题，共 58 分。
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．已知i 为虚数单位，则复数13i1i-=+（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+ 答案：C考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2-----===--++-，故选：C ．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合{}0,1,2P =，{}3x Q y y ==，则P Q ⋂=（ ） A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．∅答案：B考点：交集及其运算． 专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：{}{}30x Q y y y y ===>，则{}1,2P Q ⋂=， 故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．已知cos k α=，k ∈R ，π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin π+α=（ ）A ．C ．D ．k -答案：A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sin α，从而由诱导公式即可得解．解答：解：cos k α=，k ∈R ，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α∴=()sin π+sin αα∴=-=故选：A ．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查． 4．下列说法中，不正确的是（ ）A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若22am bm <，则a b <”为真命题B ．命题“0x ∃∈R ，2000x x ->”的否定是：“x ∀∈R ，20x x -≤”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题均为真命题D ．“3x >”是“2x >”的充分不必要条件 答案：C考点：命题的真假判断与应用． 专题：简易逻辑．分析：A ．利用不等式的基本性质即可判断出正误； B ．利用命题的否定定义即可判断出正误；C ．利用复合命题的真假判定方法即可判断出正误；D ．“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，即可判断出正误．解答：解：A ．若22am bm <，利用不等式的性质可得：a b <，因此为真命题；B ．命题“0x ∃∈R ，2000x x ->”的否定是：“x ∀∈R ，20x x -≤”，正确； C ．“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题至少有一个为真命题，因此不正确；D ．“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，因此“3x >”是“2x >”的充分不必要条件，正确． 故选：C ．点评：本题考查了简易逻辑的判定、不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题．5．设函数()f x 为偶函数，且当[)0,2x ∈时，()2sin f x x =，当[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，则()π43f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ） A．2 B ．1 C ．3 D2=答案：D考点：函数的值． 专题：计算题．分析：函数()f x 为偶函数，可得ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再将其代入()2sin f x x =，进行求解，再根据[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，求出()4f ，从而进行求解；解答：解：函数()f x 为偶函数， ππ33f f ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[)0,2x ∈时()2sin f x x =，()π2sin23f x ∴=== 当[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，()24log 42f ∴==，()π423f f ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，故选D ；点评：此题主要考查函数值的求解问题，解题的过程中需要注意函数的定义域，是一道基础题； 6．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为（ ）A ．2B ．．4 D ．6答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当5i =时，不满足条件4i ≤，退出循环，输出S的值为解答：解：模拟执行程序框图，可得 1S =，1i =满足条件4i ≤，1S =，2i = 满足条件4i ≤，S =3i = 满足条件4i ≤，2S =，4i = 满足条件4i ≤，S =5i =不满足条件4i ≤，退出循环，输出S的值为 故选：B ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S 的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角是（ ）ACBC 1A 1B 1A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2 答案：A考点：直线与平面所成的角． 专题：计算题． 分析：以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用1BB 与平面11AB C 所的一个法向量的夹角，求出则1BB 与平面11AB C 所成的角．解答：解：以B 为坐标原点，以与BC 垂直的直线为x 轴，BC 为y 轴，建立空间直角坐标系，则)1,0A，()10,0,3B ，()10,2,3C，()11,3AB =-，()110,2,0B C =，()10,0,3BB =．设平面11AB C 所的一个法向量为(),,n x y z =则11100AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3020y z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取1z =，则得()3,0,1n =，1cos BB <，1131322BB n n BB n⋅>===⨯，1BB ∴与平面11AB C 所成的角的正弦值为12， 1BB ∴与平面11AB C 所成的角为π6故选A ．点评：本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．8．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）A．1 BC．1- D ．12答案：A考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；概率与统计．分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率．解答：解：由题意，AOB △是直角三角形，2OA OB ==，所以AB =，O的范围为14个圆，与AB 相交于C ，D 两点，作OE AB ⊥，则OE =2CD =，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是11=．故选：A ．A点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD 是关键．9．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（ ） ABC．1 D．1+ 答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把2pc =代入整理得422460c a c a -+=等式两边同除以4a ，得到关于离心率e 的方程，进而可求得e ． 解答：解：由题意，两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程得222241p p a b-=， 又2pc =，代入化简得422460c a c a -+= 42e 6e 10∴-+=(22e 31∴=+1∴ 故选：C ．点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：222c a b =+注意与椭圆的区别．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）正视图侧视图俯视图A ．64B ．72C ．80D ．112 答案：B考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题．分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为3464=，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积21143832⨯⨯⨯=，故该几何体的体积是64872+=． 故选B ．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．11．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则四边形ABCD 面积S 的最大值为（ ） A．C．D．答案：B考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：设AC x =，在ABC △和ACD △中，由余弦定理可得，15cos 8cos 7D B -=，再由三角形的面积公式可得8sin 15sin 2B D S +=，两式两边平方结合两角和的余弦公式和余弦函数的值域，即可求得最大值．解答：解：设AC x =，在ABC △中，由余弦定理可得， 22224224cos 2016cos x B B =+-⨯⨯=-，在ACD △中，由余弦定理可得，22235235cos 3430cos x D D =+-⨯⨯=-， 即有15cos 8cos 7D B -=，又四边形ABCD 面积1124sin 35sin 22S B D =⨯⨯+⨯⨯()18sin 15sin 2B D =+， 即有8sin 15sin 2B D S +=，又15cos 8cos 7D B -=，两式两边平方可得，()264225240sin sin cos cos 494B D B D s ++-=+， 化简可得， ()2240cos 4240B D S -+=-， 由于()1cos 1B D -+≤≤，即有S ≤． 当()cos 1B D +=-即πB D +=时，24240240S -=，解得S =S的最大值为 故选B ．点评：本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，同时考查两角和的余弦公式的运用和余弦函数的最值的求法，属于中档题．12．已知函数()2ln ,041,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++⎪⎩≤，若关于x 的方程()()()20,f x bf x c b c -+=∈R 有8个不同的实数根，则由点(),b c 确定的平面区域的面积为（ ）A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 答案：A考点：分段函数的应用． 专题：函数的性质及应用．分析：题中原方程()()20f x bf x c -+=有8个不同实数解，即要求对应于()f x =某个常数K ，有2个不同的K ，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x 与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出()f x 的简图，由图可知，只有满足条件的K 在开区间()0,1时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案． 解答：解：根据题意作出()f x 的简图：由图象可得当()(]0,1f x ∈时，有四个不同的x 与()f x 对应．再结合题中“方程()()20f x bf x c -+=有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k 的方程20k bx c -+=有两个不同的实数根1K 、2K ，且1K 和2K 均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：2224001200010b c b b c b c ⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-⨯+>⎪⎪-+⎩≥，化简得2410002b c b c c b ⎧<⎪⎪⎪-+⎨⎪>⎪<<⎪⎩≥， 此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得22011111426S b db ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭⎰ 故选：A点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查定积分等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解． 二、填空题：13．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，2a =，1b =，则a b +=．考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．分析：运用数量积的定义求解得出2πcos 3a b a b ⋅=⋅，结合向量的运算，与模的运算转化：()22222a b a ba b a b +=+=++⋅，代入数据求解即可．解答：解：平面向量a ，b 的夹角为2π3，2a =，1b =， 2π1cos=21132a b a b ⎛⎫∴⋅=⋅⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ()222224123a b a ba b a b ∴+=+=++⋅=+-=，即3a b +=．故答案为：点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．14．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为 ． 答案：8考点：计数原理的应用． 专题：计算题．分析：分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人，据此解答．解答：解：每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，设两个班为1班和2班， ∴分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人， 若两个班分别为1人和3人，则1人只能为甲或乙，单独的1人可以在1班或2班，因此分法为：224⨯=，若两个班各2个人，则为总的分法减去甲乙在同一个班（都在1班或都在2班）的情况，即分法为：24C 24-=，因此不同的分法的总数为：448+=． 故答案为：8．点评：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．15.设过曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．答案：[]1,2-考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：求出函数()e x f x x =--的导函数，进一步求得()10,1e 1x ∈+，再求出()g x 的导函数的范围，然后把过曲线()e xf x x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥转化为集合间的关系求解．解答：解：由()e x f x x =--，得()'e 1x f x =--，e 11x +>，()10,1e 1x∴∈+， 由()2cos g x ax x =+，得()'2sin g x a x =-， 又[]2sin 2,2x -∈-，[]2sin 2,2a x a a ∴-∈-++， 要使过曲线()e x f x x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥， 则2021a a -+⎧⎨+⎩≤≥，解得12a -≤≤． 即a 的取值范围为12a -≤≤． 故答案为： []1,2-．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平分线所在的直线为l ，过1F ，2F 分别作l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为 ． 答案：2πa考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且S 是2PF 的中点，由此可求得OS 的长度是定值，即可求点S 的轨迹的几何特征．解答：解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为S ，延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==， 连接OS ，知OS 是三角形12F F Q 的中位线，OS a ∴=，即点SM 到原点的距离是定值a ，由此知点S 的轨迹是以原点为圆心、半径等于a 的圆． 同理可得，点R 的轨迹是以原点为圆心、半径等于a 的圆． 故点R ，S 所形成的图形的面积为2πa ．点评：本题考查求轨迹方程，关键是证出OS 是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出1QF 的长度，进而求出OS 的长度，再利用圆的定义得出点M 的轨迹是一个圆，属于难题． 三、解答题：17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，且1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和． 考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，当2n ≥时，11n n a S λ-=+，可得()11n n a a λ+=+，利用等比数列的通项公式可得3a ，再利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出． 解答：解：（1）()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，∴当2n ≥时，11n n a S λ-=+，1n n n a a a λ+∴-=，即()11n n a a λ+=+，又11a =，2111a a λλ=+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，()231a λ∴=+， 1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项．()()241113λλ∴+=+++，整理得()210λ-=，解得1λ=． 12n n a -∴=，()13132nb n n =+-=-．（2）()1322n n n a b n -=-⋅，∴数列{}n n a b 的前n 项和()2114272322n n T n -=+⨯+⨯++-⋅， ()()231224272352322n n n T n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯，()()()()121221132323232213322532521n n nn n n T n n n --⨯-∴-=+⨯+⨯+⨯--⨯=+⨯--⨯=-⨯--()3525n n T n ∴=-⨯+．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元． （Ⅰ）求集成电路E 需要维修的概率； （Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率1P 的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率2P 的值，再把1P 和2P 相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从52,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得()()100P X P k ξξ===的值，可得X 的分布列，从而求得X 的期望．解答：解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A ，B ，C ，则()12P A =，()12P B =，()23P C =．依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为()()()()1111122312P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=． ②3个元件中的2个不能正常工作，概率为()()()211111111212232232233P P ABC P ABC P ABC ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以，集成电路E 需要维修的概率为1211512312P P +=+=． （Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从52,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而100X ξ=，()()2257100C 1212k kk P X P k ξξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2k =．010*******721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=． 点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，AP AD AB ==BC t =，PAB PAD α∠=∠=．（Ⅰ）当t =PA 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AEEP的值；（Ⅱ）当60α=︒时，若平面PAB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．BAPDC考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质． 专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =，连接AC ，BD 交于点F ，证明EF PC ∥，即可证明PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）取BC 上一点G 使得BG =DG ，则ABGD 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连结OA ，OB ，OD ，OG ，以O 坐标原点，分别以OG ,OB ,OF 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量()π1,1,1=-、同平面PCD 的法向量21,1,1n t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，由0m n ⋅=，解得BC 的长． 解答：解：（1）在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =，连接AC ，BD 交于点F ，因为AD BC ∥，所以12AF AD FC BC ==，所以AE AFEP AC=，所以，EF PC ∥ 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE（Ⅱ）取BC 上一点G 使得BG =DG ，则ABGD 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连结OA ，OB ，OD ，OG ． AP AD AB ==，60PAB PAD ∠=∠=︒，所以PAB △和PAD △都是等边三角形，因此PA PB PD ==， 所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABGD 对角线的交点，以O 坐标原点，分别以OG ,OB ,OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．则()0,0,0O ，()0,0,1P ，()1,0,0A -，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()1,0,0G设棱BC 的长为t ，则,1,0C ⎫⎪⎪⎝⎭， ()1,0,1PA =--，()0,1,1PB =-，2,1,1PC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()0,1,1PD =--设平面PAB 的法向量为()π,,x y z =，则 00x z y z --=⎧⎨-=⎩，取()π1,1,1=- 同理平面PCD 的法向量21,1,1n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭由0m n ⋅=，解得t =BC 的长为点评：本题主要考查了线面平行的判定定理及性质，考查向量方法的运用，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．20．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设P 是曲线E 的动点，点B 、C 在y 轴上，PBC △的内切圆的方程为()2211x y -+=，求PBC △面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）运用抛物线的定义，可得轨迹为抛物线，进而得到方程；（Ⅱ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，求得直线PB 的方程，运用直线和圆相切的条件：d r =，求得b ，c 的关系，求得PBC △的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知圆心到1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =． （Ⅱ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ， 直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=， 又圆心()1,0到PB 的距离为11=，整理得：()2000220x b y b x -+-=，同理可得：()2000220x c y c x -+-=，所以，可知b ，c 是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，依题意0bc <，即02x >， 则()()222000204482x y x c b x +--=-，因为2002y x =，所以：0022x b c x -=- 所以()0001424822S b c x x x =-⋅=-++-≥ 当04x =时上式取得等号，所以PBC △面积最小值为8．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和圆相切的条件：d r =，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数()22ln f x x a x x=++．（Ⅰ）若()f x 在区间[]2,3上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设()f x 的导函数()'f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点()11,A x y 、()22,B x y 所在直线的斜率为k ，求证：当a ≤4时，1k >．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由函数单调性，知其导函数0≥在[]2,3上恒成立，将问题转化为()222g x x x=-在[]2,3上单调递减即可求得结果；（2）根据题意，将()()12''f x f x -写成()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-利用不等式的性质证明()12221212221x x ax x x x ++->，所以()()1212''f x f x x x ->-，即得1k >． 解答：解：（1）由()22ln f x x a x x =++，得()22'2a f x x x x=-+． 因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，所以()22'20af x x x x =-+≥在[]2,3上恒成立，即222a x x -≥在[]2,3上恒成立， 设()222g x x x =-，则()22'40g x x x=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故()()max 27g x g ==-，所以7a -≥； （2）对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有 ()121212122x x x x x x x x ++>+12x x =≥4.5a =>>，()12221212221x x ax x x x +∴+->， 而()22'2a f x x x x=-+， ()()121222112222''22a a f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12121222121222x x ax x x x x x x x +=-⋅+->-， 故：()()1212''f x f x x x ->-，即()()1212''1f x f x x x ->-，∴当4a ≤时，1k >．点评：本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，已知O 和M 相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，直线BD 交O 于点C ，点G 为BD 中点，连接AG 分别交O 、BD 于点E 、F 连接CE ． （1）求证：AG EF CE GD ⋅=⋅；（2）求证：22GF EF AG CE =．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段． 专题：证明题；压轴题． 分析：（1）要证明AG EF CE GD ⋅=⋅我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得DAG GDF ∠=∠，又由公共角G ∠，故DFG AGD △∽△，易得2DG AG GF =⋅，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论． 解答： 证明：（1）连接AB ，AC ，AD 为M 的直径，90ABD ∴∠=︒，AC ∴为O 的直径，CEF AGD ∴∠=∠， DFG CFE ∠=∠，ECF GDF ∴∠=∠， G 为弧BD 中点，DAG GDF ∴∠=∠， ECB BAG ∠=∠，DAG ECF ∴∠=∠，CEF AGD ∴△∽△， CE AGEF GD∴=，AG EF CE GD ∴⋅=⋅ （2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠，DFG AGD ∴△∽△，2DG AG GF ∴=⋅,由（1）知2222EF GD CE AG =，22GF EF AG CE ∴=. 点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线1C 的参数方程为2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M 、N 分别为曲线1C 的上、下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求PM PN +的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线1C 的普通方程，由222x y ρ=+和题意求出2C 的直角坐标方程；（2）方法一：求出曲线2C 参数方程，设P 点的参数坐标，求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式求出PM PN +并化简，再化简()2PM PN +，利用正弦函数的最值求出()2PM PN +的最值，即可求出PM PN +的最大值；方法二：设P 点坐标为(),x y ，则224x y +=，求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式求出PM PN +并化简，再化简()2PM PN +，再求出()2PM PN +的最值，即可求出PM PN +的最大值．解答：解：（1）因为曲线1C 的参数方程为2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为22143x y +=，…由曲线2C 的极坐标方程为2ρ=得， 曲线2C 的普通方程为224x y +=；…（2）方法一：由曲线222:4C x y +=，可得其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为()2cos ,2sin αα，由题意可知(0,M ，(0,N ．因此PM PN +==则()214PM PN +=+ 所以当sin 0α=时，()2PM PN +有最大值28，因此PM PN +的最大值为方法二：设P 点坐标为(),x y ，则224x y +=，由题意可知(0,M ，(0,N ．因此PM PN +=则()214PM PN +=+ 所以当0y =时，()2PM PN +有最大值28,因此PM PN +的最大值为点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．考点：基本不等式；函数的定义域及其求法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）由函数定义域为R ，可得130x x m ++--≥恒成立，设函数()13g x x x =++-，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知4n =，变形()12174622432a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：（1）函数定义域为R ，130x x m ∴++--≥恒成立， 设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又()()13134x x x x ++-+--=≥，即()g x 的最小值为4，m ∴≤4． （2）由（1）知4n =，()()()23221211746225432423a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=++++=++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭195244⎛+⨯= ⎝≥, 当且仅当23a b a b +=+，即3210b a ==时取等号． 74a b ∴+的最小值为94． 点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足52(2(=++））i i z ,则z = .A i 23- .B i 23+ .C 23i - .D i 32+2.已知实数,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．23.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是56, 则输入的N 的值 可以等于 A. 4 B. 5 C. 6 D. 74.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形． 则该四棱锥的体积等于A.．．．5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(1,2)--，则双曲线的焦距为A．6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *N ∈都有11,n n a a a n +=++则A7.已知以下4个命题:①若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题②若,023,2<--∈∀x x R x p ：则023,:2≥--∈∃⌝x x R x p ③设R b a ∈,，则b a >是b b a a )1(1->-）（成立的充分不必要条件④若关于实数x 的不等式x a x x <++-3121无解，则实数a 的取值范围是(]5,∞-. 其中,正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48．定义域为R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+2-，当(0.2]x ∈时，[]2(0,1)()11,2x x x f x x x⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩ ，若(0,4]x ∈时，t x f t t -≤≤-3)(272恒成立，则实数t 的取值范围是A.[]2,1B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1 D.[)+∞,22015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)11. 已知ABC ∆中,1AB =，sin sin A B C +=，3sin 16ABC S C ∆=，则cos _____C =.12. 如图,ABC ∆是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D ，若PE PA =，60ABC ∠= ，且2PD =，6BD =，则AC ＝______.13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线M cos()14πθ+=, 曲线N 的参数方程为244{x t y t==（t 为参数）. 若曲线M 与N 相交于,A B 两点，则线段AB 的长等于 .14. 已知O 为ABC ∆的外心，22,,120,AB a AC BAC a==∠=若AO xAB yAC =+ ，则36x y +的最小值为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()2cos cos )2f x x x x =++ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）某银行招聘，设置了A 、B 、C 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙独自参加B 组测试，丁、戊两人各自独立参加C 组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为23；丙通过B 组测试的概率为12；而C 组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（Ⅱ）记A 、B 两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望.17．（本小题满分13分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：11//AB BDC 平面； （Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.18．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ，右焦点为(,0)F c ，直线l 是椭圆C 在点B 处的切线. 设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP 与直线l 的交点为D ，且当||B D c=时，AFD ∆是等腰三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设椭圆C 的长轴长等于4，当点P 运动时，试判 断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．19．（本小题满分14分）设数列}{n b ，}{n c ，已知31=b ，51=c ，241+=+n n c b ，241+=+n n b c （*N ∈n ）． （Ⅰ）设n n n a c b =-,求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（Ⅲ）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点为M ，()f x 在M 处的切线与直线10x y -+=平行.(Ⅰ)求函数()()T x xf x =的单调区间；(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,， 存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案9．100 ； 10．10-； 11．13； 12．6； 13．8； 14．6+三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()2cos cos )2f x x x x =++ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间； (Ⅱ) 求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()22cos 2f x x x =++ ……1分2cos23x x ++ …………2分2sin(2)36x π=++ …………4分∴()f x 的最小正周期22T ππ== ……………5分 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈ ……………7分 （Ⅱ）由[0,]2x π∈得72666x πππ≤+≤ ………9分故1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ………11分 所以2()5f x ≤≤ ………12分 因此,()f x 的最大为5, 最小值是2 ……13分解法二: ()f x 在区间[0,]6π上单调递增; 在区间[,]62ππ上单调递减………11分又(0)4,()5,()262f f f ππ===所以()f x 的最大为5, 最小值是2 ………13分16．（本小题满分13分）某银行招聘，设置了A 、B 、C 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙独自参加B 组测试，丁、戊两人各自独立参加C 组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为23；丙通过B 组测试的概率为12；而C 组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少 答对3题者就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（Ⅱ）记A 、B 两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 16.解：（Ⅰ）设参加C 组测试的每个人竞聘成功为A 事件，则()43144246+=C C C P A C 1+83==155 …………3分 故丁、戊都竞聘成功的概率等于3395525⨯= …………5分（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3， …………6分 ()21210(1)(1)2318P ξ==-⨯-=，()22112151(2)(1)(1)3323218P ξ==⨯⨯⨯-+-⨯=，()22112182(2)()(1)3323218P ξ==⨯⨯⨯+⨯-=，()22143()3218P ξ==⨯=， （每个结果各1分） …………10分故ξ的分布列为：…………11分所以158433()01231818181818E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=17．（本小题满分13分）如图，三棱柱1A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC 13AA =，D 为AC 的中点. （Ⅰ）求证：11//BDC AB 面；（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得 1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.17.（本小题满分13分）解法一: （Ⅰ）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系1C xyz -，………1分 则C 1（0，0，0），B （0，3，2），B 1（0，0，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0）， ………2分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =- . …………4分又1(2,3,2)AB =-- ,所以12110AB m ⋅=-++= ,即1AB m ⊥ ∵AB 1⊄面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………6分（Ⅱ）易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………7分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯. …………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. …………9分 （Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………11分 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………12分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………13分解法二: （Ⅰ）证明：连接B 1C,与BC 1相交于O ，连接OD ．∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． …………1分 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1． …………2分 ∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………4分（Ⅱ）解1(0,3,2)C B = ，1(1,3,0)C D =， ………5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =- . …………6分易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………7分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯. …………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. …………9分 （Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………11分 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………12分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………13分18．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ，右焦点为(,0)F c ，直线l 是椭圆C 在点B 处的切线. 设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP 与直线l 的交点为D，且当||BD =时，AFD ∆是等腰三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设椭圆C 的长轴长等于4，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题可知(,0)A a -、(),D a ， ………1分 由||||AF FD =，得，a c += ………2分化简得122c a c e a =∴==， ………3分 故椭圆C 的离心率是12………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆C 的长轴长等于4得，椭圆C 的方程为22143x y +=，且()()0,2,0,2B A -, 在点B 处的切线方程为2=x . 以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ……5分 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠. 则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．…………………7分 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k =+=+． …………………9分 因为点F 坐标为(1, 0)，（1）当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，直线PF 的方程 为1x =，点D 的坐标为(2, 2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切…10分（2）当12k ≠±时，直线PF 的斜率0204114PF y kk x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14k y x k =--,即214104k x y k---=． 故点E 到直线PF的距离221414|221||2|k k k d k -+-⨯-===………12分 (算法二: 或直线PF 的方程为224401414k kx y k k --=--, 故点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-…12分) 又因为k R BD 42== ，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．……13分解法二: 由（Ⅰ）及椭圆C 的长轴长等于4得，椭圆C 的方程为22143x y +=，且()()0,2,0,2B A -, 在点B 处的切线方程为2=x . 以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ……5分证明如下: 设点(,)P x y ,则221(0)43x y y +=≠ (1)当1x = 时,点点P 的坐标为3(1, )2±，直线PF 的方程为1x =， ……6分点D 的坐标为(2, 2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切…7分(2)当1x ≠ 时直线AP 的方程为(2)2y y x x =++, …8分点的坐标为4(2,)2y x + ,BD 中点E 的坐标为2(2,)2y x + ,故2||||2y BE x =+…9分直线PF 的斜率为1PF y k x =-,故直线PF 的方程为(1)1y y x x =-- ,即110x x y y ---= ,………10分所以点E 到直线PF的距离12|21|2||||2x y y d BE x --⨯-===+………12分故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分19．（本小题满分14分）设数列}{n b ，}{n c ，已知31=b ，51=c ，241+=+n n c b ，241+=+n n b c （*N ∈n ）． （Ⅰ）设n n n a c b =-,求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（Ⅲ）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）所以22241+=+=+n n n c c b ，221+=+n n bc ， )(21)(2111n n n n n n b c c b b c --=-=-++,即112n n a a +=-， ……………………2分又11120a c b =-=≠, 故数列{}n a 是首项为2，公比为21-的等比数列，所以1122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭． …………………………………………………4分（Ⅱ）解：4)(2111++=+++n n n n c b c b ， 所以)8(2142811-+=-+=-+++n n n nn n c b c b c b ，………………………………6分 而0811=-+c b ，所以由上述递推关系可得，当*N ∈n 时，08=-+n n c b 恒成立，即n n b a +恒为定值8． ……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=+-1212,8n n n n n b c c b ，所以1214-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n c ，…9分所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--+=nnn n n S 2113242112114， ……………10分 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-⋅nn p n S p 21132)4(， 由]3,1[)4(∈-⋅n S p n 得3211321≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅≤np ， 因为0211>⎪⎭⎫⎝⎛--n，所以nnp ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111， ………………11分当n 为奇数时，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而增大，且121110<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<n， 当n 为偶数时，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而减小，且12111>⎪⎭⎫ ⎝⎛--n， 所以，n ⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111的最大值为34，n⎪⎭⎫⎝⎛--2113的最小值为2．……………13分 由nn p ⎪⎭⎫⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111，得23234≤≤p ，解得32≤≤p ． 所以，所求实数p 的取值范围是]3,2[．……………………………………14分20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线与直线10x y -+=平行.(Ⅰ)求函数()()T x xf x =的单调区间；(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分14分）(Ⅰ)解:点(,0)M a ，'()2f x x a =- ，由题意可得()1f a '=，故1a =，……1分∴2(),f x x x =- ()32T x x x =-，()22323()3T x x x x x '=-=- ……………2分 令()0T x '>，得()T x 的增区间是2(,0),(,)3-∞+∞； ………………3分令()0T x '<，得()T x 的减区间是2(0,)3； ……………4分 (Ⅱ)解法一：令()()u h x xg x t ==+，（[]1,x e ∈），则()(ln )ln 10h x x x t x ''=+=+>， …………………………5分∴()h x 在[]1,e 单调递增，故当[]1,x e ∈时，t u e t ≤≤+ ……………6分因为()(1)f x x x =-在(,0.5)-∞上单调递减，在(0.5,)+∞上单调递增，故可分以下种情形讨论（1）当0.5e t +≤即0.5t e ≤-时()f u 在[,]t e t +上单减，所以()f u 的最小值是2()()()f e t e t e t +=+-+ ………………7分（2）当0.5t e t <<+即0.50.5e t -<<时()f u 的最小值是(0.5)0.25f =-，…8分（3）当0.5t ≥时()f u 在[,]t e t +上单增，所以()f u 的最小值是2()f t t t =- ………9分解法二：2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…5分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ ……………6分 22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122t u -=，抛物线开口向上①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ……………7分 ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ………8分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………9分 （Ⅲ）1()()()ln ,F x g x g x x x'=+=+22111'()0x F x x x x -=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………10分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0,注意到121x x << ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………11分 ∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<,2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. …………12分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ………………13分 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ………………14分 说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.。
