江苏省高邮市界首中学学年高二数学 第8课时 函数的奇偶性与周期性课后作业 苏教版

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一、选择题
2．已知y＝是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
①y＝；②y＝－；③y＝；④y＝＋x.
A．①③B．②③
C．①④ D．②④
解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.
答案： D
3．已知定义在R上的奇函数满足＋＝－，则的值为
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：是奇函数，且＋＝－
＝－＝＝－＝0.
答案： B
4．若奇函数＝3sin x＋c的定义域是[a，b]，则a＋b－c等于
A．3 B．－3
C．0 D．无法计算
解析：由于函数是奇函数，且定义域为[a，b]，所以a＋b＝0，又因为
＝0，得c＝0，于是a＋b－c＝0.
答案： C
8．已知在R上是奇函数，且满足＋＝，当时，＝2x2，则等于________．
解析：由＋4＝，得＝＝－，
又为奇函数，－＝－，＝2×12＝2，
＝－2.
答案：－2
12．已知函数是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．求的值；
证明：函数是周期函数；
若＝，求x∈[－1,1]时，函数的解析式．解析：由是定义在R上的奇函数知－＝－，即＝0.
证明：由已知条件对于任意x∈R，都有－＝－，且－＝
因此函数为周期函数，周期为4.
当－1≤x<0时，＝－－＝x，又＝0，
则当－1≤x≤1时，＝x.。

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －2，则f (12log 6)的值等于( )．A ．－43B ．－72 C.12 D ．－122．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的表达式为( )．A ．－x ＋1B ．－x －1C ．x ＋1D ．x －13．(2013届湖南师大附中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g x ，x <0，且函数f (x )为偶函数，则g (－2)＝( )．A ．6B ．－6C ．2D ．－2 4．定义两种运算：a ⊕b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f (x )＝2(2)2xx ⊕⊗-为( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 013)＋f (－2 014)的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．26．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )．A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数7．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )．A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负二、填空题8．(2013届湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，g x ，x <0，若f (x )是奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19的值为__________． 9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是__________．10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是__________．三、解答题11．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数；(2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈N *)上的值域．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．参考答案一、选择题1．C 解析：f (12log 6) ＝－f (12log 6-)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)＝－(2log 622-－2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫64－2 ＝12，故选C. 2．B 解析：x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )＋1]＝－x －1.选B.3．A 解析：g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.4．A 解析：f (x )＝log 2(4－x 2)(x －2)2－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2>0，|x －2|－2≠0，得－2＜x ＜2且x ≠0，∴f (x )＝log 2(4－x 2)－x为奇函数． 5．C 解析：依题意得，x ≥0时，有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝－f (0)＝－log 2(0＋1)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 013)＋f (－2 014)＝1.6．D 解析：由y ＝f (x ＋1)为奇函数知f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)．①由y ＝f (x －1)为奇函数知f (x －1)＝－f (－x －1)．②由①得f (－x )＝－f (2＋x )；由②得f (－x )＝－f (x －2)，∴f (2＋x )＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )．∴函数y ＝f (x )是以4为周期的函数．∴由②知，f (x －1＋4)＝－f (－x －1＋4)．∴f (x ＋3)＝－f (－x ＋3)，∴函数f (x ＋3)是奇函数．7．A 解析：不妨设等差数列{a n }的公差d ＞0，若a 1＞0，则a 5＞a 3＞a 1＞0.由函数f (x )在R 上是增函数且为奇函数，知f (a 5)＞f (a 3)＞f (a 1)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0；若a 1＜0，则a 5＋a 1＝2a 3＞0，a 5＞－a 1＞0.由奇函数f (x )为R 上的增函数，知f (a 5)＞f (－a 1)＝－f (a 1)，所以f (a 1)＋f (a 5)＞0，又f (a 3)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0.故选A.二、填空题8．2 解析：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－log 319＝2. 9.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <12，或x <－2 解析：当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2(－x )，x <0.∴f (x )＜－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－log 2(－x )<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2.10．①②⑤ 解析：f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数．又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．同理，f (x ＋4)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )关于直线x ＝2对称．由此可得①②⑤正确．三、解答题11．(1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)＜f (x 1)，故f (x )是R 上的减函数．(2)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立，∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)．又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.从而任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故y ＝f (x )是奇函数．(3)解：由于y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝f (x )在[m ，n ]上也是减函数， 故f (x )在[m ，n ]上的最大值f (x )max ＝f (m )，最小值f (x )min ＝f (n )．由于f (n )＝f [1＋(n －1)]＝f (1)＋f (n －1)＝…＝nf (1)，同理f (m )＝mf (1)．又f (3)＝3f (1)＝－3，∴f (1)＝－1.∴f (m )＝－m ，f (n )＝－n .因此函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]．12．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )， ∴－f (x )＝12(x －2)．∴f (x )＝－12(x －2)(1＜x ＜3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

第8课时 函数的奇偶性与周期性【学习目标】1、了解函数奇偶性的概念、图象特征及性质，并能判断一些简单函数的奇偶性。

2、了解函数周期性的概念及图象特征，并能应用它解决一些简单的问题。

【学习重点】函数的奇偶性的图象特征及其性质的应用。

【必记知识点】1、函数的奇偶性：（1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称：如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有_______________，那么函数)(x f 为奇函数； 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有 ，那么函数)(x f 为偶函数.（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .（4）若奇函数)(x f 在0x =处有定义，则必有(0)0f =。

（5）若函数()y f x a =+是偶函数，则()()f a x f a x +=-，从而()f x 的图象关于 对称。

（6）若函数()y f x a =+是奇函数，则()()f a x f a x +=--，从而()f x 的图象关于 对称。

2、函数的周期性对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期.3、与函数周期有关的结论：设a 为非零常数，若对()f x 定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①()()f a x f x +=-；②()()1f a x f x +=；③()()1f a x f x +=-，则函数()f x 的周期为 。

【基础练习】1．(2020·南通三模)对于定义在R 上的函数f(x)，给出三个命题：①若f(－2)＝f(2)，则f(x)为偶函数；②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；③若f(－2)＝f(2)，则f(x)一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．解析：根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x ，若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．从而命题①错误，命题②正确；对于常数函数，命题③错误．答案：①2．已知f(x)＝ax2＋bx 是定义在上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f(－x)＝f(x)，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：133. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f(1)＝2，则f(2 014)＝________. 解析：∵f(x)＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f(x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f(x)． ∴f(x)是以3为周期的周期函数．则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.答案：24、已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的偶函数，当0x >时，()2log f x x =，则0x <时，()f x = 。

课时作业(八) 函数的奇偶性及周期性1．(多选)下列函数中是偶函数的有( ) A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝2x ＋12xC ．y ＝x －1 ＋1－xD ．y ＝|x ＋1|＋|x －1|ABD [根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 2＋1为二次函数，其对称轴为y 轴是偶函数，对于B ，y ＝2x ＋12x ，其定义域为R ，有f (－x )＝2－x ＋12－x＝2x ＋12x ＝f (x )是偶函数，对于C ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x≥0，得x ＝1.即定义域为{1}，不关于原点对称．不是偶函数，对于D ，y ＝|x ＋1|＋|x －1|，其定义域为R ，有：f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x ＋1|＋|x －1|＝f (x ).则f (x )为偶函数，故选ABD.]2．已知定义在[m －5，1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )的值为( ) A ．－15 B ．－7 C ．3D ．15A [由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.]3．(2020·广州市阶段训练)已知偶函数f (x )满足f (x )＝x －2x (x >0)，则{x |f (x ＋2)>1}＝( )A ．{x |x <－4或x >0}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <－2或x >2}D ．{x |x <－2或x >4}A [因为当x >0时，f ′(x )＝1＋2x2 >0，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝1，所以不等式f (x ＋2)>1等价于f (|x ＋2|)>f (2)，即|x ＋2|>2，即x ＋2<－2或x ＋2>2，得x <－4或x >0.所以{x |f (x ＋2)>1}＝{x |x <－4或x >0}，故选A.]4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x ).若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1＋∞)D [因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是定义在R 上的以3为周期的周期函数，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2).又因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1，所以a >1，即a ∈(1，＋∞).故选D.]5．若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x2）－f （x1）x2－x1<0，则( )A ．f (3)<f (1)<f (－2)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (－2)<f (1)D [因为∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x2）－f （x1）x2－x1 <0，所以当x ≥0时，函数f (x )为减函数，因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1).] 6．若函数f (x )＝x（x ＋2）（x －a ）为奇函数，则实数a 的值为________，且当x ≥4时，f (x )的最大值为________．解析： 由f (x )为奇函数易知a ＝2，当x ≥4时，f (x )＝1x －4x 在[4，＋∞)上单调递减，∴当x ＝4时，f (x )max ＝13 .答案： 2；137．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，f (0)＝ 3 ，则f (10)等于________． 解析： 由题意，函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，即f (2－x )＝f (x )，又因为函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (2－x )＝f (－x )，则f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )是以2为周期的周期函数，则f (10)＝f (2×5)＝f (0)＝ 3 .答案：38．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，|2－x|，0≤x ＜1， 其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________．解析： 由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )， 所以f (x )是周期为2的周期函数．又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)， 即－1＋a ＝1.5，解得a ＝2.5. 答案： 2.59．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．解析： (1)证明：由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )， 知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x＝－f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 且f (－1)＝－f (1)＝－2， 又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式． 解析： (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (－x )＝f (2＋x ). 又f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x ). 又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].11．(多选)已知f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为4B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为2D ．当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为－12ABD [由f (x ＋1)＝f (x －3)得，f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，故函数f (x )的周期为4，A 正确；由f (1＋x )＝f (3－x )可得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确；作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2，C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫152 ＝f ⎝⎛⎭⎫12 ＝－14，D 错误．] 12．(创新型)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ，x<0，kx ＋2，x≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围为________．解析： 由“优美点”的定义，可知若点(x 0，f (x 0))是曲线y ＝f (x )的“优美点”，则点(－x 0，－f (x 0))也在曲线y ＝f (x )上．如图所示作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x (x >0).由图可知，若曲线y ＝f (x )存在“优美点”，则直线y ＝kx ＋2与函数y ＝－x 2＋2x (x ＞0)的图象有交点，即kx＋2＝－x2＋2x，x2＋(k－2)x＋2＝0，△≥0且k＜0，解得k≤2－2 2 .答案：(－∞，2－2 2 ]13．(开放型)给出关于函数f(x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上单调递减；②在(－∞，0)上单调递增；③是奇函数；④是偶函数；⑤f(0)＝0.在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面问题中，并解决这个问题．定义在R上的函数f(x)，________(填写你选定条件的序号)，且f(－1)＝0.求不等式f(x－1)>0的解集．解析：由题意易知条件①和②最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④最好也只选择一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．如果选择条件①③.由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，且f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致，且f(1)＝－f(－1)＝0，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，当0<x<1或x<－1时，f(x)>0，当x≥1或－1≤x≤0时，f(x)≤0，f(x－1)>0⇔0<x－1<1或x－1<－1，即1<x<2或x<0.故不等式f(x－1)>0的解集为(－∞，0)∪(1，2).如果选择条件①④⑤.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，注意到f(－1)＝0，所以f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(－1)⇔f(|x－1|)>f(|－1|)⇔|x－1|<1⇔0<x<2，但x－1≠0，所以不等式f(x－1)>0的解集为(0，1)∪(1，2).选择其他条件组合的解法类似．如果同时选择条件③④.易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x－1)>0的解集为空集．14．(创新型)已知命题p：“函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y＝f(x＋a)－b是奇函数”．(1)试判断命题p的真假？并说明理由；(2)设函数g(x)＝x3－3x2，求函数g(x)图象对称中心的坐标；(3)试判断“存在实数a和b，使得函数y＝f(x＋a)－b是偶函数”是“函数y＝f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”成立的什么条件？请说明理由．解析： (1)命题p 为真命题；充分性：若y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数，则f (a —x )－b ＝－f (a ＋x )＋b ，即f (a －x )＋f (a ＋x )＝2b . 设M (x ，y )为f (x )图象上任一点，则M 关于(a ，b )的对称点为N (2a －x ，2b －y )， ∵f (2a －x )＝f (a ＋(a －x ))＝2b －f (a －(a －x ))，∴N 在y ＝f (x )图象上，即f (x )的图象上，即f (x )的图象关于(a ，b )对称．必要性：若y ＝f (x )的图象关于(a ，b )成中心对称图形，设M (x ，y )为f (x )图象上任一点， 则由上述可知f (2a －x )＝2b －f (x ). 令x 取x ＋a ，则f (a －x )＋f (a ＋x )＝2b ， 即f (－x ＋a )－b ＝－f (a ＋x )＋b ， ∴y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数， 综上命题为真．(2)设函数f (x )＝g (x ＋a )－b 为奇函数，则f (x )＝(x ＋a )3－3(x ＋a )2－b ＝x 3＋(3a －3)x 2＋(3a 2－6a )x ＋a 3－3a 2－b ， ∵f (x )＝g (x ＋a )－b 为奇函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －3＝0，a3－3a2－b ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 由命题p 为真命题，则函数g (x )＝x 3－3x 2的图象对称中心为(1，－2).(3)若存在实数a 和b ，使得函数y ＝f (x ＋a )－b 是偶函数，则可以通过上下平移和左右平移，即可得到y ＝f (x )的图象，此时“函数y ＝f (x )的图象关于某直线成轴对称图象”成立，即充分性成立．若函数y ＝f (x )的图象关于y ＝x 成轴对称图象，则无论怎么平移都无法平移到关于y 轴对称，即必要性不成立，故“存在实数a 和b ，使得函数y ＝f (x ＋a )－b 是偶函数”是“函数y ＝f (x )的图象关于某直线成轴对称图象”成立的充分不必要条件．。

正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝－2.( )(6)(2014·菏泽模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．( )2．对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上是周期函数．( )[感悟·提升]1．两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．2．两个结论一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)．二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±1f x(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)(8).教学过程【例3】(经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小顺序为________．规律方法关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.【训练3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)．教学效果分析。

文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编借•欢迎下载支持.函数I 第8练函数的奇偶性和周期性练习理 训练目标 (1)函数奇偶性的概念：(2)函数周期性.训练题型(1)判泄函数的奇偶性：(2)函数奇偶性的应用(求函数值，求参数)；(3)函数周 期性的应用. 解题策略 (1)判断函数的奇偶性首先要考虑函数定义域是否关于原点对称；(2)根据奇偶 性求参数，可先用特殊值法求出参数，然后验证：(3)理解并应用关于周期函数 的重要结论：如f(x)满足f(x+a) =-f(x),则f(x)的周期T=2 a .+ b+ c — ________ .2. (2016 •南京模拟)设fG)是宦义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间 (一2,1］上的图象，则 f(2 014) 4-/(2 015)= _________ ・3. (2016 •镇江模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当 曲［0,2］时，f(x)=x —l,则不等 式xf(x) >0在［―1, 3］上的解集为 _______________ •4. (2016 •扬州模拟)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数满足f(£+g3=e”,则gCv) = ___________ ■5. 泄义在 R 上的函数 满足 X-.Y ) =-/(.?), f(x-2)=f(x+2),且当丄€ ( —1,0)时，=2—4,则 /(log ：20) = __________ ・ □6. (2016 •苏北四市一模)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当*0时，f3=log ：(2—x),那么f(0) + f(2)的值为 _________ •7. 若函数f(x)是左义在R 上的偶函数，且在区间［0, +8)上是单调增函数.如果实数t满足Ain t) +f(ln £) W2f(l),那么t 的取值范囤是 ______________ .8. 设是建义在R 上且周期为2的函数，在区间［一 1, 1］上，f3 =9. (2016 •南京、盐城一模)已知f3是左义在［-2, 2］±的奇函数，且当曲(0,2］时，=2乂一 1,又己知函数g(x) =x~—2x+zz?.如果对于任意的x£［ —2, 2］,都存在加丘［—2, 2］, 使得心=心,那么实数加的取值范围是 ____________________ .10. (2016 •南京、淮安、盐城二模)已知f3是圧义在R 上的奇函数，当0£A W1时，A.Y ) =女、当x>0时，fU+l)=f(x)+f(l).若直线尸加与函数y=f(.y)的图象恰有5个不同的公共点，则实数&的值为 _________ .11. (2015・课标全国I )若函数百匚?)为偶函数，则a= ________________________ .(江苏专用)2018版高考数学专题复习专2函数概念与基本初等加+2x+1其中吕，gR.若fg)=f§),则卄3b 的值为 _________________12・已知定义在R上的函数满足f⑴=1, —对任意曲R恒成立，则f xf(2 015)= _________ ・2為13.若函数f(0= 「八是奇函数，则实数&的值为___________ ・I 一才+m JV<014.(2017・山东乳山一中月考)定义在(一8,+8)上的偶函数f3满足f(x+l)= — f(£,且在［-1,0］上是增函数，下面是关于f(x)的判断：①f(x)的图象关于点彳£，0)对称：②f(x)的图象关于直线X=1对称；③fG")在［0,1］上是增函数；④f(2)=f(0).其中正确的是________ ・(把你认为正确的序号都填上)答案精析1. 02.33. (-1,0) U (1,3)4.|(e x -e ")5・一1解析 因为f (一£=-f(x),所以是奇函数.当 xW (0, 1)时，—-vE ( — 1,0),则 fCr) =_f(_x) = _2 ”_g.因为 fGr-2)=f(x+2),所以 f(x)=f(x+4),所以是周期为4的周期函数.而 4<log ：20<5,所以 f(log s 20) =/(log ：20-4)z 、 1 21 1=-(log ：20-4)-5= -21og :20_5 = _1-6. —2解析 因为函数f(w)是左义在R 上的奇函数，所以f(0)=0,且A2) = -r(-2)=-log ：4 =一2,所以 f(0)+f(2) = -2・7. 土 e]e 解析 /(In f)+f(ln £) =f(ln r)+f( —In t) =2/(ln t) =2/( In t|),因为 f(ln t) +Ain 2)W2f(l),所以 f( In t )S1),所以 lln t W],所以一lWln tWl,所以丄 te 8. -10解析 由题意知/•(》=¥，f(|)=f(-》=-^+l,从而字=一右+1,化简得3a+2b=—2.又 所以一a+l=容，所以&+3b=-10・b= — 2 心 .3a+2b= —2, a=2, 解得I —4.9.［—5, —2］解析由题意矢口，当—2,2］时，f(x)的值域为［—3,3］.因为对任意的2,2］, 都存在抡丘［-2, 2］,使得=/U)，所以此时£(冬)的值域要包含［一3, 31.又因为&3心=g(—2), ^(A*)3i n=^(l),所以g(l)W —3 且g(—2)23,解得一5WznW—2.10.2^2-2解析当1W2 时,令JV= t+1,则f(x) =/(t+l) =f(t) +f(l) = t s+l = (jr-l)3+b由题意作岀函数在［-2,2］上的图象，根据奇函数图象的对称性，若直线y=kx与函数卩= f(x)的图象恰有5个不同的公共点，当且仅当直线与区间(1,2］上的一段函数y= C Yy=kx^-1)：4-1相切，联立方程一［y= x-1解得¥—4+2)*+2=0,令4 = (&+2尸一8=0,解得R=±2住一2,舍去负值，得A=2^2 —2.11. 1解析f(x)为偶函数,则ln(x+{T匚?)为奇函数，所以lnG+pa+A7) +ln(―X+Q Z+A7) =0,即ln(a+丘一¥) =0,所以a=l.12. 1解析由fd+2)=，一，f x得f(—1+2) = 一1 —,即f⑴ f(一1) = 1,而XI) =1,故f(一1)=1,又因为f(x+4)=一—=f(x),所以f(2 015) =f(504X4-1)= f(_l)=l・13.— 2解析因为f(0是奇函数，所以f(0)=0,当JV>O 时，一xVO,由f(-x) = -f(x)9文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借•欢迎下载支持. 得一(一x)'+a( —x) =—2-Y),则a= — 2：当x<0 时，一x>0,由X--Y) = -r(x),得(一£ = 一2 (—x) = —(一f+ax),得¥+2x=€-ax,则a=-2・所以a——2.14.①②④解析根据题意有彳x+扌)=一右一》，结合偶函数的条件，可知石+』=一£一』，所以函数图象关于点伶，0)对称,故①正确：式子还可以变形为f(x+2)=f(x)=f(—切，故②正确：根据对称性，可知函数在［0,1］上是减函数，故③错；由②可知f(2)=f(0),故④正确.故答案为①②④.。

函数的奇偶性与周期性 姓名________ 设计： 备课组长审核 ： 年级审核：1．函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )是偶函数,关于 对称奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )是奇函数,关于 对称 2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．( ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． ( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)若函数f (x )＝x(x －2)(x ＋a )为奇函数，则a ＝2.( )(5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0. ( )2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－124．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．985．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x ；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x >0)0(x ＝0)－x 2－2(x <0).题型二 函数周期性的应用例2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于 ( )A ．335B ．336C ．1 678D ．2 012(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.(1)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 (2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52等于 ( ) A ．－12B ．－14C.14D.12题型三 函数性质的综合应用例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．(1)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)忽视定义域致误典例：(1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．6函数的奇偶性与周期性A 组 专项基础训练一、选择题1．(2013·广东)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)4．定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则f (x )＝x2－(x ⊗2)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数5．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154C.174D ．a 2二、填空题6．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.8．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________.三、解答题9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．B 组 专项能力提升1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算2．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤233．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________．4．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．5．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．。

7月21日 函数的奇偶性与周期性（2）高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆已知函数)(x f 满足0)1()1(=-++x f x f ，且)()(x f x f =-，当21≤≤x 时，12)(-=x x f ，则)2017(f =A ．−1B ．0C ．1D ．2【参考答案】C【解题必备】1．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0k ≠)也是函数的周期.2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=-，()2y f x =-关于y 轴对称，当()0,2x ∈时，()22l o g f x x =，则下列结论中正确的是A ．()()()4.57 6.5f f f <<B ．()()()7 4.5 6.5f f f <<C ．()()()7 6.5 4.5f f f <<D ．()()()4.5 6.57f f f <<2．定义在()(),00,-∞+∞上的函数)(x f ，总有)()()(n f m f mn f =，且0)(>x f ，当1>x 时，1)(>x f ． （1）求)1(),1(-f f 的值；（2）判断函数的奇偶性,并证明.【名师点睛】利用周期性与对称性比较函数值的大小，一般是将要比较大小的函数值利用周期性与对称性转化为已知区间上的函数值，再利用函数的单调性即可比较大小．2．【解析】（1）令1==n m ，则有)1()1()1(f f f =，又0)(>x f ，所以(1)0f >，所以(1)1f =．令1-==n m ，则有)1()1()1(--=f f f ， 又1)1(=f ，()0(1)0f x f >⇒->，所以1)1(=-f ．学*科网（2）函数()f x 为偶函数，证明如下：令,1m x n ==-，则有)()1()()(x f f x f x f =-=-，又()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，所以()f x 为偶函数．。

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中,既是奇函数又在(0,＋∞)上单调递增的是( D ) A ．y ＝e x ＋e －x B ．y ＝ln(|x |＋1) C ．y ＝sin x|x |D ．y ＝x －1x解析：选项A,B 显然是偶函数,排除；选项C 是奇函数,但在(0,＋∞)上不是单调递增函数,不符合题意；选项D 中,y ＝x －1x 是奇函数,且y ＝x 和y ＝－1x 在(0,＋∞)上均为增函数,故y ＝x －1x 在(0,＋∞)上为增函数,所以选项D 正确．2．设函数f (x )为偶函数,当x ∈(0,＋∞)时,f (x )＝log 2x ,则f (－2)＝( B ) A ．－12 B.12 C ．2D ．－2解析：由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.故选B.3．(唐山模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g (f (－7))＝( D ) A ．3 B ．－3 C ．2D ．－2解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3,所以g (f (－7))＝g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝－log 2(3＋1)＝－2,故选D. 4．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R ),若f (a )＝2,则f (－a )的值为( B ) A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ,显然F (x )为奇函数,又F (a )＝f (a )－1＝1,所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1,从而f (－a )＝0.5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )＝3x －1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝( D ) A.3＋1 B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解析：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x ),所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 008＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 又当x ∈(0,1)时,f (x )＝3x－1,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3＋1.6．(北京石景山高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x ，x >0，sin x ，x ≤0.则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1,＋∞)解析：因为f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3－x ，x <0，－sin x ，x ≥0＝－f (x ),所以f (x )是奇函数；x ≤0时f (x )＝sin x 有增有减,所以B 错；x >0,f (x )＝x 3＋x 不为周期函数,C 错；x >0,f (x )＝x 3＋x >0；x ≤0时f (x )＝sin x ∈[－1,1],所以f (x )的值域为[－1,＋∞),故选D.7．(江西联盟质检)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x ＋m |－1(m 为实数)为偶函数,记a ＝f (2 13 ),b ＝f (log 132),c ＝f (m ＋1),则a ,b ,c 的大小关系为( D )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a解析：由函数f (x )为偶函数,可知m ＝0,即f (x )＝2|x |－1,显然f (x )在[0,＋∞)上单调递增,又|213|>1,|log 132|＝|log 32|<1,m ＋1＝1,∴a ＝f (213 )>c ＝f (m ＋1)>b ＝f (log132),故选D.8．(广东综合模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )＝e x (x ＋1),给出下列命题：①当x >0时,f (x )＝e －x (x －1)；②函数f (x )有3个零点；③f (x )>0的解集为(－∞,－1)∪(0,1)；④∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)－f (x 2)|<2.正确个数为( B ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由题意得,当x >0时,则－x <0,因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (x )＝－f (－x )＝－e －x (－x ＋1)＝e －x (x －1),所以①是正确的；令e x (x ＋1)＝0,可解得x ＝－1,当e －x (x －1)＝0时,可解得x ＝1,又函数f (x )是定义在R 上的奇函数,所以有f (0)＝0,故函数的零点有3个,所以②是正确的；因为当x <0时,由f (x )＝e x (x ＋1)>0,解得－1<x <0；当x >0时,由f (x )＝e －x (x －1)>0,解得x >1,故f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1,＋∞),所以③是不正确的；因为当x >0时,由f (x )＝e －x (x －1),图象过点(1,0),又f ′(x )＝e －x (2－x ),可知当0<x <2时,f ′(x )>0,当x >2时,f ′(x )<0,所以函数在x ＝2处取得极大值f (2)＝1e 2,且当x →0时,函数值趋向于－1,当x →＋∞时,函数值趋向于0,由奇函数的图象关于原点对称可作函数f (x )的图象,可得－1<f (x )<1,所以|f (x 1)－f (x 2)|<2成立,所以④是正确的．综上所述正确的个数为3,故选B.二、填空题9．已知函数f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )＝ln x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为－ln2.解析：由已知可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是奇函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2.10．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数,则a ＝－32.解析：由于f (－x )＝f (x ),∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ,化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R ),则2a ＋3＝0,∴a ＝－32.11．(广西柳州联考)已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3),y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称且f (2)＝4,则f (22)＝－4.解析：因为y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称,所以y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称,即函数f (x )为奇函数,由f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3)得f (x ＋12)＋f (x ＋6)＝2f (3),所以f (x ＋12)＝f (x ),T ＝12,因此f (22)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数,f (x ＋1)是偶函数,当x ∈(2,4)时,f (x )＝|x －3|,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.解析：因为f (x )为奇函数,f (x ＋1)为偶函数,所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1),所以f (x ＋2)＝－f (x ),所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ),所以函数f (x )的周期为4,所以f (4)＝f (0)＝0,由题知f (3)＝0,又f (3)＝f (－1)－f (1),所以f (1)＝0.在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中,令x ＝1,可得f (2)＝f (1)＝0,所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.13．(河南洛阳一中高三一模)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数,且f (1)＝π3,设F (x )＝f (x )＋f (－x ),则F (3)＝ ( B )A.π3B.2π3 C ．πD.4π3解析：由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x ),且f (x ＋2)＝f (－x ＋2),则f (x ＋2)＝f (x －2),则f (x )＝f (x ＋4)．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.故选B.14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1),已知当x ∈[0,1]时,f (x )＝2x ,则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1,最小值是0. 其中所有正确命题的序号是①②.解析：在f (x ＋1)＝f (x －1)中,令x －1＝t ,则有f (t ＋2)＝f (t ),因此2是函数f (x )的周期,故①正确；当x ∈[0,1]时,f (x )＝2x 是增函数,根据函数的奇偶性知,f (x )在[－1,0]上是减函数,根据函数的周期性知,函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确；由②知,f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2,f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数,∴f (x )的最大值是2,最小值是1,故③错误．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(江西临川二中、新余四中联考)已知函数f (x )＝|2x －m |的图象与函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称,若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减,则实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[4,＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2,4]D ．[4,＋∞)解析：因为函数y ＝g (x )与f (x )＝|2x －m |的图象关于y 轴对称,所以g (x )＝|2－x－m |,函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减,所以函数f (x )＝|2x －m |和函数g (x )＝|2－x －m |在[1,2]上单调性相同,因为y ＝2x －m 和函数y ＝2－x －m 的单调性相反,所以(2x －m )(2－x －m )≤0在[1,2]上恒成立,即1－m (2x ＋2－x)＋m 2≤0在[1,2]上恒成立,即2－x ≤m ≤2x在[1,2]上恒成立,得12≤m ≤2,故选B.16．(河南省中原名校联考)已知函数f (x )＝2sin 2(x ＋π4),g (x )＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4的图象在区间(π2－m ,π2＋m )上有且只有9个交点,记为(x i ,y i )(i ＝1,2,…,9),则∑i ＝19 (x i ＋y i )＝92π＋9.解析：由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4＝1,可得函数g (x )的图象关于点π2,1对称．又f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos(2x ＋π2)＝1＋sin2x ,可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1,故函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1对称．故f (x )与g (x )图象的交点也关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1对称, 所以∑i ＝19 (x i ＋y i )＝∑i ＝19x i ＋∑i ＝19y i＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋π2＋[4×(2×1)＋1]＝9π2＋9.。