2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高一(上)期末数学试卷(解析版)

河北省正定中学2016届高三上学期期末考试文数试题1．已知集合{}0342<+-=x x x A ，{}42<<=x x B ，则=B A （ ） A ．)3,1( B ．)4,1( C ．)3,2( D ．)4,2( 【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}310342<<=<+-=x x x x x A ，{}{}{}414231<<=<<<<=x x x x x x B A ．故选B ．考点：集合的运算． 2．已知R a ∈，若复数iia z +-=12为纯虚数，则=+ai 1（ ） A ．10 B ．10 C ．5 D ．5 【答案】D 【解析】 试题分析：2)2()2()1)(1()1)(2(12ia a i i i i a i i a z +--=-+--=+-=为纯虚数，则2=a ．1ai +=12i +=D ．考点：复数的概念与运算．3．已知)(sin )(3R x x x x f ∈+=是（ ） A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】试题分析：33()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以)(x f 是奇函数．故选B ． 考点：函数的奇偶性．4．抛物线241x y =的焦点坐标为（ ） A ．)0,161( B ．)161,0( C ．)1,0( D ．)0,1(【答案】C 【解析】试题分析：抛物线的标准方程为24x y =，2p =，焦点在y 轴正半轴上，为(0,1)． 考点：抛物线的几何性质．5．为了了解高一、高二、高三的身体状况，现用分层抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为3:5:k ，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（ ）A ．240B ．300C ．360D ．400 【答案】C 【解析】试题分析：由已知高一年级抽取的比例为511200240=，所以5135=++k k ，得2=k ，故高三年级抽取的人数为36035231200=++⨯．考点：分层抽样．6．函数x x f 2log 1)(+=与x x g -=12)(在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：x x f 2log 1)(+=的图象由函数x x f 2log )(=的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过)1,1(点，且为单调函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点)0,1(，而不是)1,1(，故不满足； 函数x xx g )21(22)(1⨯==-，其图象经过)2,0(点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为)1,0(，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A ，B ，D ．故选C ． 考点：函数的图象．7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．21B ．1-C ．2D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环2,21==i a ；第二次循环3,1=-=i a ；第三次循环4,2==i a ；第四次循环2,21==i a ；周期为3，则执行该程序后输出的结果是1-．故选B ． 考点：程序框图．8．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以h km /40的的速度由A 处出发，沿北偏东60方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西45方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是（ ）A ．km )26(5+B ．km )26(5-C ．km )26(10-D ．km )26(10+【答案】C 【解析】试题分析：由题意，知303060=-=∠BAC ，754530=+=∠ABC ，753075180=--=∠ACB ，∴)(202140km AB AC =⨯==，由余弦定理，得 )32(400340080030cos 202022020cos 22222-=-=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+= BAC AB AC AB AC BC ∴))(26(10)13(210)13(200)32(4002km BC -=-=-=-=．故选C ．考点：解三角形的应用． 9．若“81≥a ”是“c xax x ≥+>∀2,0”的充分不必要条件，则实数c 的取值范围为（ ） A ．10≤<c B ．10≤≤c C ．1≤c D ．1≥c 【答案】C 【解析】试题分析：若0≤c ，则0≥a ，符合题意，若0>c ，则82222c a c a x a x ≥⇒≥≥+，于是108182≤<⇒≤c c ．所以1≤c ．故选C ． 考点：充分必要条件．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．π231+ B ．12211++π C ．2211+π D ．ππ2211+ 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：122111221221222++=⨯⨯+⨯⨯+⨯++πππππ，故选B ． 考点：三视图，几何体的表面积．11. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左，右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．]3,1(B ．]3,1(C ．]3,3[D ．),3[+∞ 【答案】A ． 【解析】试题分析：设t PF =2，则a c t t a PF -≥+=,21．又a a ta t t t a PF PF 844)2(22221≥++=+=，当且仅当a t 2=时等号成立．所以a a c 2≤-，所以31≤<e ．故选A ． 考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】本题以双曲线为素材，综合考察双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．要求离心率e 的取值范围，就要想办法建立一个关于,a c 的不等式，题中已知条件是221PF PF 的最小值为a 8，由双曲线性质知设2PF t =，则有t c a ≥-，而已知条件为()228a t a t+≥，由函数性质可求得2t a =时最小值取到，因此有2a c a ≥-，这样目标达到了．12．已知函数2ln )(bx x a x f -=，R b a ∈,．若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）A ．),[+∞eB ．),2[2+∞eC ．),2[22e e D ．),[2+∞e【答案】B 【解析】试题分析：若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即x bx x a ≥-2ln 对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即2ln bx x x a ≥-对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即0ln ≥-x x a 对],(2e e x ∈都成立，即xx a ln ≥对],(2e e x ∈都成立，即a 大于等于x x ln 在区间],(2e e 上的最大值，令xx x h ln )(=，则2)(l n 1ln )(x x x h -='，当],(2e e x ∈时，0)(>'x h ，)(x h 单调递增，所以x x x h ln )(=，],(2e e x ∈的最大值为2)(22e e h =，即22e a ≥，所以a 的取值范围为),2[2+∞e ． 考点：不等式恒成立问题，导数与函数的单调性、极值．【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明与恒成立问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而得出结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设向量a ，b 是相互垂直的单位向量，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数=λ________. 【答案】2 【解析】试题分析：由题意1a b ==，0a b ⋅=，又()(2)0a b a b λ+⋅-=，即22(12)20a a b b λλ+-⋅-=，所以20λ-=，2λ=．考点：向量的数量积与垂直．14．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-131y y x x y ，则2+=x y z 的最大值为_______．【答案】23【解析】试题分析：画出可行域，目标函数)2(02---=+=x y x y z 表示可行域内的点),(y x 与点)0,2(-连线的斜率，当其经过点)2,1(A 时，2+=x y z 取到最大值为32=z ．考点：简单的线性规划的应用．15．直三棱柱111C B A ABC -中，2==AC AB ，32π=∠BAC ，41=AA ，则该三棱柱的外接球的体积为________． 【答案】3264π【解析】试题分析：设O 是外接球球心，1O 是ΔABC 外接圆圆心，则1OO ⊥底面ABC ，11122OO AA ==，又2s i 2233πBC AB=⨯=⨯=，所以24sin sin 3BC OB BAC ===∠，即12O B =，所以OB ==，所以334433球V πOB π=⨯=⨯=．C 1B 1A 1O 1OCB A考点：棱柱与外接球，球的体积．【名师点睛】几个与球有关的切、接常用结论 （1）正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R； ②正方体的内切球，则2R ＝a ；③球与正方体的各棱相切，则2Ra ．（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，16．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=是常数，且0,0>>ωA ）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π； ②将)(x f 的图象向左平移6π个单位，所得到的函数是偶函数；③1)0(=f ；④)1314()1112(ππf f <； ⑤)35()(x f x f --=π，其中正确的是_______．【答案】①④⑤ 【解析】试题分析：由图可知，ππϕπωππππ2321272,2431274,2+=+⨯=⇒=⇒=-==k T T A ，.,32Z k k ∈+=ππϕ3)0()32sin(2)(=⇒+=f x x f π，)322sin(2)332sin(2)6(ππππ+=++=+x x x f ，对称轴为直线Z k k x ∈+=,122ππ，一个对称中心为)0,65(π，所以②、③不正确；因为)(x f 的图象关于直线1213π=x 对称，且)(x f 的最大值为)1213(πf ，121313141213111212131112⨯=->⨯=-ππππππ，所以)1314()1112(ππf f <，即④正确；设))(,(x f x 为函数)32sin(2)(π+=x x f 的图象上任意一点，其对称中心)0,65(π的对称点))(,35(x f x --π还在函数)32sin(2)(π+=x x f 的图象上，即)35()()()35(x f x f x f x f --=⇒-=-ππ，故⑤正确． 考点：函数()sin()f x A ωx φ=+的解析式、图象与性质．【名师点睛】本题在解答过程中用到了数形结合的数学思想，从图中准确提取有效信息是解答本题的关键．根据五点法的作图规律，认清图中的一些已知点属于五点法中的哪一点，进而选择对应的方程得出ϕ的值．对于()sin()f x A x h ωϕ=++，应明确A ω、决定“形变”，h ϕ、决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A ωϕ、、影响单调性．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设数列{}n a 的前n 项和12a a S n n -=，且41+a 是32,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n T ．【答案】（1）nn a 2=；（2）222n nn T +=-． 【解析】试题分析：（1）已知n S 与n a 的关系求通项公式，一般是利用1(2)n n n a S S n -=-≥化关系式为n a 的关系，从而得得{}n a 是等比数列，通项公式可得；（2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是由等差数列与等比数列相除（乘）得到的，因此其前n 项和n T 只能用错位相减法求得． 试题解析：（1）由已知12a a S n n -=，有)1(2211>-=-=--n a a S S a n n n n n ， 即)1(21>=-n a a n n ．从而122a a =，134a a =．又因为41+a 是32,a a 的等差中项，即321)4(2a a a +=+．解得21=a ． 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故nn a 2=．（2）由（1）得n n n a n 2=，所以n n n T 223222132+⋅⋅⋅+++=， 12223112-+⋅⋅⋅+++=n n nT 两式相减 nn nn n n n n n T 2222211)21(12212121112+-=---=-+⋅⋅⋅+++=-． 考点：已知n S 与n a 的关系求通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和．18. 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于cm 173的同学，求身高为cm 176的同学身高被抽中的概率．【答案】（1）乙班同学的平均身高较高；（2）)(2.572cm ；（3）52=P ． 【解析】试题分析：（1）由茎叶图，获得所有身高数据，计算平均值可得；（2）由方差公式2211()ni i s x x n ==-∑计算方差；（3）由茎叶图知乙班这10名同学中身高不低于cm 173的同学有5人，可以把5人编号后，随便抽取2名同学这个事件含有的基本事件可以用列举法列举出来（共10个），其中含有身高176cm 基本事件有4个，由概率公式计算可得．试题解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班10位同学身高为甲x ，乙班10位同学身高为乙x ，则)(170)158162163168168170171179179182(101cm x =+++++++++=甲．2分 )(1.171)159162165168170173176178179181(101cm x =+++++++++=乙．4分 ∵甲乙x x >，据此可以判断乙班同学的平均身高较高．设甲班的样本方差为2甲s ，由（1）知cm x 170=甲．则22222222)170168()170168()170170()17017()170179()170179()170182[(101-+-+-+-+-+-+-=1甲s )(2.57])170158()170162()170163(2222cm =-+-+-+， 8分由茎叶图可知：乙班这10名同学中身高不低于cm 173的同学有5人，身高分别为cm 173、cm 176、cm 178、cm 179、cm 181．这5名同学分别用字母A 、B 、C 、D 、E 表示．则记“随机抽取两名身高不低于cm 173的同学”为事件Ω，则Ω包含的基本事件有：],[B A 、],[C A 、],[D A 、],[E A 、],[C B 、],[D B 、],[E B 、],[D C 、],[E C 、],[E D 共10个基本事件． 10分记“身高为cm 176的同学被抽中”为事件M ，则M 包含的基本事件为：],[B A 、],[C B 、],[D B 、],[E B 共4个基本事件． 由古典概型的概率计算公式可得：52104)()()(==Ω=n M n N P ． 12分 考点：茎叶图，均值，方差，古典概型．19. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：∥PB 平面AEC ；（2）设1=AP ，2=AD ，60=∠ABC ，求点A 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 试题分析：（1）要证线面平行，由判定定理知要证线线平行，而由性质定理知，这条平行线是过直线PB 的平面与平面AEC 相交所得，由图可知设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，EO 就是要找的平行线；（2）要求点到平面的距离，可根据定义作出点到平面的垂线，从已知条件可知由平面PAC ⊥平面PBD ，因此只要作AH PO ⊥于点H ，由有AH ⊥平面PBD ，在ΔAPO 中求得AH 即可，另外求点到平面的距离也可用体积法，由P ABD A PBD V V --=易得所求距离．试题解析：（1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又因为E 为PD 的中点，所以PB EO ∥．⊂EO平面AEC ，⊄PB 平面AEC ，所以∥PB 平面AEC设CD AB ,交于点O ，由题设知⊥BD 平面PAC ，所以面PBD PAO ⊥，作PO AH ⊥交PO 于H ，故⊥AH 平面PAO ，又22=⋅=PO AO PA AH ， 所以A 到平面PBD 的距离为22． 方法二：33120sin 6131=⋅⋅=⋅⋅=∆- AD AB PA PA S V ABD ABD P ， 5==PD PB ，2==AD AB ， 120=∠BAD ， 所以32=BD ，2=PO ，ABD P PBD A V V --=，设A 到平面PBD 的距离为d ，所以有3331=∆d S PBD ，22=d ， 所以A 到平面PBD 的距离为22． 考点：线面平行的判断，点到平面的距离．20. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 和2F ，由4个点),(b a M -，),(b a N ，2F 和1F 组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点B A ,，求AB F 2∆面积的最大值．【答案】（1）13422=+y x ；（2）3． 【解析】试题分析：（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一是b =的面积得3a c +=，再结合222a c b -=可得；（2）此题中直线AB 的斜率可能不存在，但不能为0，因此可设直线方程为1-=my x ，同时设交点为),(),,(2211y x B y x A ，把直线方程代入椭圆方程得y 的一元二次方程，由韦达定理得1212,y y y y +，再求出2ΔF A B S ，注意2Δ121212F A B S F F y y =-，最终把2ΔF AB S 表示为m 的函数，由函数单调性可得最值． 试题解析：（1）由条件，得3=b ，且333222=+c a ，所以3=+c a ． 又322=-c a ，解得2=a ，1=c ．所以椭圆的方程13422=+y x ． 显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为1-=my x ，直线与椭圆交于),(),,(2211y x B y x A ， 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ，消去x 得，096)43(22=--+my y m ． 因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交． ∴439,436221221+-=+=+m y y m m y y ． 22221221212121)43(1124)(212++=-+=-=-=∆m m y y y y y y y y F F S AB F )1(9132114)311(1422222++++=+++=m m m m , 令112≥+=m t ，设t t y 91+=，易知)31,0(∈t 时，函数单调递减，),31(+∞∈t 函数单调递增，所以当112=+=m t 即0=m 时，910min =y ，AB F S 2∆取最大值3． 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题．【名题点睛】求椭圆标准方程，一般要列出关于,,a b c 的两个方程（不含222a b c =+），这可由已知条件及椭圆的几何性质可得；（2）解析几何中最值问题，处理方法是选取适当的参数，求出相应量，再求得这个函数的最值，题中涉及到直线与椭圆相交问题，因此设交点为()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为3x my =+（这样设包含了斜率不存在的情形），代入椭圆方程由韦达定理可用m 表示出1212,y y y y +，把2ΔF A B S 用12,y y 表示，最后把1212,y y y y +代入化简，即把2ΔF AB S 表示为m 的函数．这是解析几何中常用的“设而不求”法．21．设函数x a x x f ln )()(+=．x ex x g 2)(=．已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行．（1）求a 的值；（2）是否存在自然数k ，使得方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的实根？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1a =；（2）1=k 时，方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根．【解析】试题分析：（1）本小题考查导数的几何意义同，由题意知'(1)2f =，由此可得a 值；（2）实质是方程()()f x g x =只有一解，为此研究函数x e x x x x g x f x h 2ln )1()()()(-+=-=，首先从函数值可以看出(0,1]x ∈时，()0h x <，而24(2)3ln 20h e =->，因此方程)()(x g x f =要有解必定在(1,2)上，再利用导数证明()h x 在(1,)+∞是单调递增即可．试题解析：（1）由题意知，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线斜率为2，所以2)1(='f ． 又1ln )(++='xa x x f ，所以1=a ． （2）1=k 时，方程)()(x g x f =在)2,1(内存在唯一的根． 设x ex x x x g x f x h 2ln )1()()()(-+=-=， 当]1,0(∈x 时，0)(<x h ．又01148ln 42ln 3)2(22=->-=-=e e h ， 所以存在)2,1(0∈x ，使0)(0=x h ． 因为x e x x x x x h )2(11ln )(-+++='，所以当)2,1(∈x 时，011)(>->'ex h ， 当),2(+∞∈x 时，0)(>'x h ，所以当),1(+∞∈x 时，)(x h 单调递增．所以1=k 时，方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根．考点：导数的几何意义，函数的零点，导数与单调性．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：（1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′（x 0）；（2）已知斜率k ，求切点A （x 1，f （x 1）），即解方程f ′（x 1）＝k ；（3）已知过某点M （x 1，f （x 1））（不是切点）的切线斜率为k 时，常需设出切点A （x 0，f （x 0）），利用k ＝()()1010f x f x x x --求解．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 选修4-1：几何证明选讲22. 已知AB 是半圆O 的直径，4=AB ，点C 是半圆O 上一点，过C 作半圆O 的切线CD ，过点A 作CD AD ⊥于D ，交半圆于E ，1=DE ．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）问题实际上是证明CAD OAC ∠=∠，这不能直接证明，但它们的余角是同弧所对的圆周角与弦切角，是相等的，结论得证；（2）要求BC 长，由（1）知BC CE =，这样只要证得CDE RT∆ACB RT ∆，正好由已知的两线段长求得BC ．试题解析：（1）连接OC ，因为OC OA =，所以OCA OAC ∠=∠，因为CD 为半圆O 的切线，所以CD OC ⊥，因为CD AD ⊥，所以AD OC ∥，所以CAD OCA ∠=∠，CAD OAC ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠．连接CE ，由（1）知CAD OAC ∠=∠，所以CE BC =．因为D C B A ,,,四点共圆，故CED ABC ∠=∠，因为AB 是半圆O 的直径，所以ACB ∠是直角，CDE RT ∆ACB RT ∆，AB CB CE DE ::=，2=BC ．考点：切线的性质，弦切角定理，圆周角定理，相似三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在极坐标系中，已知曲线)4sin(22:πθρ-=C ，P 为曲线C 上的动点，定点)4,1(πQ ． （1）将曲线C 的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求P 、Q 两点的最短距离．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：02222=-++y x y x 且曲线C 是以)1,1(-为圆心，2为半径的圆；（2）23-．【解析】试题分析：（1）由22y x +=ρ，22sin y x y+=θ，22cos y x x +=θ或cos ,sin ,ρθx ρθy ==222ρx y =+可将极坐标方程化为直角坐标方程，方程配方后得圆标准方程；（2）由圆性质知，PQ 的最短距离等于Q 到圆心的距离减去圆的半径．试题解析：（1）由)cos (sin 2)4sin(22θθπθρ-=-=，得到θρθρρcos 2sin 22-=，∴曲线C 的直角坐标方程为：02222=-++y x y x 且曲线C 是以)1,1(-为圆心，2为半径的圆． Q 点直角坐标为)22,22(，Q 点到圆心)1,1(-的距离为3)221()221(22=-+--， PQ 的最短距离为23-．考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点间距离公式，圆的性质．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数112)(++-=x x x f ．（1）求不等式2)(≥x f 的解集；（2）若关于x 的不等式a x f <)(的解集为R ,求参数a 的取值范围．【答案】（1）),32[]0,(+∞-∞ ；（2）23≤a ． 【解析】试题分析：含绝对值的函数与不等式工，可根据绝对值定义，令每个绝对值里式子为0，求得x 的值，这些x 的值把实数分成若干区间，在每个区间内去绝对值符号可得解，（1）在每个区间求得不等式的解后，要求并集；（2）求出函数()f x 的最小值就可得到结论．试题解析：（1）当21≥x 时，23)(≥=x x f ，得到32≥x ， 当211≤≤-x 时，22)(≥-=x x f ，得到01≤≤-x ， 当1-<x 时，23)(≥-=x x f ，得到1-<x ， 综上，不等式解集为),32[]0,(+∞-∞ ．（2）由题意知，a x f ≥)(对一切实数x 恒成立， 当21≥x 时，233)(≥≥x x f ， 当211≤≤-x 时，232)(≥-=x x f ， 当1-<x 时，33)(>-=x x f ． 综上，23)(min =x f ．故23≤a ． 考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值．。

河北高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设是等差数列的前项和，若,则（）A．B．C．D．2.从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则直线不经过第三象限的概率为（）A．B．C．D．3.在等比数列中,若,则这个数列的公比为（）A．B．C．或D．或4.在中, 角所对边分别为,且,则角的大小为（）A．B．C．D．5.在中, 角所对边分别为,且,面积,则（）A．B．C．D．6.若满足约束条件,则的最大值为（）A．B．C．D．7.某校三个年级共个班，学校为了了解学生心理状况，将每个班编号，依次为到,现用系统抽样方法，抽取个班进行调查，若抽到编号之和为，则抽到的最小编号（）A．B．C．D．8.运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．9.设点,若直线与线段没有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.当方程表示圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（）A．B．C．D．11.已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（）A．B．C．D．12.若圆上有且仅有两点到直线的距离等于,则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知,若向区域随机投一点，则点落入区域的概率为．2.已知样本数据如表所示，若与线性相关，且回归方程为,则．3.若,则的最小值是．4.若不等式组的整数解只有，则的取值范围为．三、解答题1.已知三点，求的外接圆的方程.2.已知公差不为等差数列满足：,成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和,求数列的前项和．3.在锐角中, 角所对的边分别为,且.（1）求角；（2）若，且的面积为,求的值.4.某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为）进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在的数据）.（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；（2）在选取的样本中，从高度在厘米以上（含厘米）的植株中随机抽取株，求所取的株中至少有一株高度在内的概率.5.某厂家拟在2016 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售只能是万件.已知2016 年生产该产品的固定投入为万元.每生产万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2016 年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2016 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？6.已知数列是首项为,公比的等比数列，设,数列满足.（1）求数列前项和；（2）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.河北高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设是等差数列的前项和，若,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据等差数列的前项和公式和，，选A．【考点】1.等差数列前项和公式；2.等差数列的性质．2.从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则直线不经过第三象限的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线不经过第三象限即，设点为，则一共有九种情况，符合的有：两种情况，所以概率为：，选A．【考点】古典概型．3.在等比数列中,若,则这个数列的公比为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，两者相比得：，解得：或，所以选C．【考点】等比数列．4.在中, 角所对边分别为,且,则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据已知条件和正弦定理得：，化简得：，根据余弦定理：，即，选A．【考点】1.正弦定理；2.余弦定理．5.在中, 角所对边分别为,且,面积,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得：，则．由余弦定理得：，即，选B．【考点】1.三角形的面积；2.余弦定理．6.若满足约束条件,则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】可行域如图，可化为，则需求直线在轴上截距的最小值，根据图象，在直线的交点处取得最小值，解方程组得：，所以，选A．【考点】线性规划．7.某校三个年级共个班，学校为了了解学生心理状况，将每个班编号，依次为到,现用系统抽样方法，抽取个班进行调查，若抽到编号之和为，则抽到的最小编号（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设抽到的最小编号为，组距为：，所以抽取的编号依次为：，根据已知条件得：，解得：，选B．【考点】系统抽样．8.运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据程序框图：；；；；，此时输出结果，选B．【考点】1.程序框图；2.裂项相消法．9.设点,若直线与线段没有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线过定点，，若直线直线与线段有交点，根据图象可知或，若直线与线段没有交点，则，即，解得：，选B．【考点】直线间的位置关系．【易错点晴】本题考查的是直线间的位置关系，属于中档题．解题时一定要注意两点：第一，本题要求的是直线与线段没有交点的范围；第二，本题可以从其反面考虑即若直线与线段有交点，求出其范围．由题意易得和，此时一定要注意和图像结合，否则其范围容易表示错误．10.当方程表示圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方程可化为：①，若表示圆，则满足条件：，即②．根据题意若圆的面积最大，则半径最大，由①知，，根据②，可得，即．此时直线为，倾斜角为，选A．【考点】1.圆的标准方程；2.直线的倾斜角．11.已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆可化为：，由题意得：点在直线上，所以．因为，所以根据基本不等式，（当且仅当即时等号成立），选D．【考点】1.直线与圆；2.基本不等式．【易错点晴】本题考察的是直线与圆、点与直线和基本不等式，属于中档题．首先根据已知条件可得到，此时注意学生易错的这种解法：根据基本不等式：，即，则。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设全集，集合，则 ( )A ．B ．C ．D ．2. 设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点，则OA OB OC OD +++= ( )A ．B ．C ．D ． 3．已知在中，为ABC 的面积，若向量222(4,),(3,)p a b c q S =+-=满足，则 ( )A ．B ．C ．D ．4. 设，记()()()()ln ln ,lg lg ,ln lg ,lg ln a x b x c x d x ====则的大小关系( )A ．B ．C ．D ．5. 已知，，且，，则的值为( )A. B. C. D ．或6．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7. 为得到函数的图象，只需将函数的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度B ．向左平移5π12个单位长度8．定义在上的函数满足：()()(),(1)f x f x f x f x -=-+=，当时，，则 ( )10. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )A ．B ．C ．D ．11．已知π()2sin(),(0,||)2f x x ωφωφ=+>≤在上单调，且，，则等于( ) A ．﹣2 B ． C ． D ．12. 知函数在区间上均有意义，且是其图象上横坐标分别为的两点．对应于区间内的实数，取函数的图象上横坐标为的点，和坐标平面上满足()λλ-+=1的点，得．对于实数，如果不等式对恒成立，那么就称函数在上“k 阶线性近似”．若函数在上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应位置）13．已知，则πsin()cos(π)2πsin()sin(π)2θθθθ+--=--- ． 14.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于 ．15. 已知为坐标原点，点(2,0),(0,2),(cos ,sin )A B C αα，且．若，则与的夹角为 ．16．给出下列四个命题： ①函数2212-+-=x x y 为奇函数； ②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③函数的值域是；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤函数的单调递增区间是．其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本题满分10分)设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.求：（1）集合；（2）集合.18. (本题满分12分)在锐角中，满足；（1）求角A 的大小；（2）求的取值范围.19. (本题满分12分) 闽东某电机厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产某型号电机产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）.销售收入 (万元)满足⎩⎨⎧>≤≤+-=)12(28)120(52.0)(2x x x x x R ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数的解析式（利润=销售收入—总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？20. (本题满分12分)函数()()03sin 32cos 62>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值.21. (本题满分12分)已知定义域为的函数是奇函数.（1）判断函数的单调性，并用定义证明；（2）若对于任意都有2()(21)0f kx f x +->成立，求实数的取值范围.22. (本题满分12分)设)10()(log )(≠>=a a x g x f a 且（1）若，且满足，求的取值范围；（2）若，是否存在使得在区间[，3]上是增函数？如果存在，说明可以取哪些值；如果不存在，请说明理由.（3）定义在上的一个函数，用分法:q x x x x x p n i i =<<<<<<=- 110将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得不等式M x m x m x m x m x m x m x m x m n n i i ≤-++-++-+---|)()(||)()(||)()(||)()(|111201 恒成立，则称函数为在上的有界变差函数. 试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由.高一数学期末考试试题答案ADCCB DABDD CC13．14.15．16．①④⑤17.（1）}1<3≥|{=x x x N 或（2）3|12M N x x x ⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭或18.（1） ——————————————————------------————6分（2）的取值范围------------------------------------12分20. (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的单调增区间为102[8,8],33k k k -++∈．(2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.-故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝76521．(12分)(1)因为在定义域为上是奇函数，所以=0，即又>0 ∴>0即∴在上为减函数. ．．．．．．．8分（3）因是奇函数，从而不等式：等价于)21()12()(2x f x f kx f -=-->，………...….8分因为减函数，由上式推得：．即对一切有：恒成立， ．．．．．．．10分设221211()2x g x x x x -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，令,则有21()2,,23g t t t t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，min min ()()(1)=-1g x g t g ∴==，即k 的取值范围为。

河北省石家庄市中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C【考点】E7：循环结构．【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．2. 已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角参考答案：C[由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．]3. 如图所示的是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为a，b，c的正方形和一个直角三角形围成，现已知，，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的阴影部分的概率为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先计算总面积，再计算阴影部分面积，相除得到答案.【详解】图形总面积为：阴影部分面积为：概率为：故答案选C【点睛】本题考查了几何概型计算概率，意在考查学生的计算能力.4. 已知数列{a n}为等差数列，若，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由等差数列的性质可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．【详解】∵数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π，∴a1+a7+a13=3a7=4π，解得a7=，∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣故选：D．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题．5. （4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．解答：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题．6. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：A【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2， =，∴=，∴λ=，故选A．7. 设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】化简这三个数为2x的形式，再利用函数y=2x在R上是增函数，从而判断这三个数的大小关系．【解答】解：∵=21.8，=（23）0.48=21.44，=21.5，函数y=2x在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴21.8＞21.5＞21.44，故y1＞y3＞y2，故选C．8. 函数y=ax2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（）A. b>0且a<0B. b=2a<0C. b=2a>0D. a，b的符号不定参考答案：B试题分析：由函数的单调性可知函数为二次函数，且开口向下，对称轴为考点：二次函数单调性9. 设全集，则等于 ( ）A． B． C． D．参考答案：D10. 设向量均为单位向量，且，则夹角为( )A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是．参考答案：60°【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，解直角三角形求出∠ADE的大小，即为所求．【解答】解：由题意可得，三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则AE⊥∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE===，∴∠ADE=60°，故答案为60°．12. 方程在R上的解集为______________.参考答案：；【分析】先解方程得，写出方程的解集即可.【详解】由题得，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角方程的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13. 若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．参考答案：14. 已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____.参考答案：2 2【分析】设扇形的半径是，由扇形的周长为，圆心角为，解得半径，再求面积。

河北正定中学高一年级第一学期期末考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.若{}{}1|,2|-====x y x N y y M x，则=N M I （ ）A.{}1|>y yB.{}1|≥y yC.{}0|>y yD.{}0|≥y y 2.已知2log 0.3a =，0.12b =， 1.30.2c =，则c b a 、、的大小关系为（ ）A.c b a <<B.b a c <<C.b c a <<D.a c b << 3.对于向量c b a ,,和实数λ，下列命题中正确的是（ ）A ．若0=⋅b a ，则b a ⊥B ．若0=a λ，则0λ=或0=aC ．若22b a =，则b a =或b a -= D ．若c a b a ⋅=⋅，则c b =4.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线30x y -=上，则()()θπθπθπθπ--⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+sin 2sin cos 223sin 等于（ ） A ．32-B ．32C ．0D ．235.已知函数()322++-=x x x f ，则函数()23-x f 的定义域为（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,31 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-35,1 C.[]1,3- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,316.设⎩⎨⎧<++≥-=)2(,1)]1([)2(,12)(x x f f x x x f ，则=)1(f ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 7.为得到函数x x y 2cos 2sin -=的图象，可由函数x y 2sin 2=的图象( )A.向左平移8π个单位 B.向右平移8π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位 8.已知定义域为R 的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，且221=⎪⎭⎫⎝⎛f ，则不等式4(log )2f x >的解集为( )A ．()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0YB ．()+∞,2C ．()+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,222,0Y D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 9.已知函数()x x x f 2cos 2sin 3-=，有下列四个结论：①()x f 的最小正周期为π；②()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上是增函数；③()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称；④3π=x 是()x f 的一条对称轴.其中正确结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 10.如图，在ABC ∆中，0=++GC GB GA ,b CB a CA ==,，已知点Q P 、分别为线段CB CA 、（不含端点）上的动点，PQ 与CG 交于H ，且H 为线段CG 中点，若b n CQ a m CP ==,，则=+nm 11（ ） A.2 B.4 C.6 D.811.函数()()42cos 21ln ≤≤-+-=x x x x f π的所有零点之和等于（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 12.函数()2tan sin 2tan 2sin 21xx x x x f +=的值域为（ ） A.[]4,0 B.[)4,0 C.[)(]4,33,0Y D.[)()4,33,0Y 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.若()x f 是幂函数，且满足()()239=f f ，则=⎪⎭⎫⎝⎛91f .14.已知ABC ∆中，2,4,AB AC ==点D 是边BC 的中点，则BC AD ⋅u u u r u u u r等于 . 15.化简=-︒︒︒24cos 12sin 312tan . 16.函数2()log 1(0)f x a x a =+≠，定义函数(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩，给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立； ④当0a >时，函数()F 2y x =-有4个零点． 其中正确命题的序号为 ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分） 已知()()2,4,1,-==b x a ． (Ⅰ)当b a //时，求b a +；(Ⅱ)若a 与b 所成角为钝角，求x 的范围.18.（本小题满分12分）已知55sin -=α，()3tan -=+βα，23παπ<<，πβ<<0.(Ⅰ)求βtan ； (Ⅱ)求βα+2的值.19.（本小题满分12分） 已知()13sin sin 4-⎪⎭⎫⎝⎛+=πωωx x x f ()0>ω，()f x 的最小正周期为π. (Ⅰ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,0πx 时，求()x f 的最大值；(Ⅱ)请用“五点作图法”画出()x f 在[]π,0上的图象．20.（本小题满分12分） 已知函数()21ax bf x x +=+的定义域为()1,1-，满足()()f x f x -=-，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）解不等式()()210f x f x -+<．21.（本小题满分12分）如图所示，游乐场中的摩天轮匀速逆时针旋转，每转一圈需要min 6，其中心O 距离地面m 5.40，摩天轮的半径为m 40，已知摩天轮上点P 的起始位置在最低点处，在时刻()m in t 时点P 距离地面的高度为()()()0,0,0,0sin ≥<<->>++=t A h t A t f ϕπωϕω. (Ⅰ)求()t f 的单调减区间；(Ⅱ)求证：()()()42++++t f t f t f 是定值.22.（本小题满分12分） 已知函数[]()R a x a a x f x x∈∈+⋅-=+,1,039)(21，记()x f 的最大值为()a g .(Ⅰ)求()a g 解析式；(Ⅱ)若对于任意[]2,2-∈t ，任意R a ∈，不等式()tm m a g +-≥2恒成立，求实数m 的范围.高一年级期末数学答案一、选择题：P1-5 BCBBA 6-10 DBACC 11-12 CD 二、填空题： 13.4114.6 15.8- 16.②③④ 三、解答题：17.【解析】(Ⅰ)当b a //时，有042=--x ，解得2-=x ， 故()1,2-=+b a ，所以5=+b a .……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由24-=⋅x b a ，若a 与b 所成角为钝角，则满足024<-x 且a 与b 不反向，由第(Ⅰ)问知，当2-=x 时，a与b反向，故x的范围为()⎪⎭⎫⎝⎛--∞-21,22,Y .……………………………………………………………10分（注：求出“12x <”给到8分）18.【解析】(Ⅰ)因为23παπ<<，所以52sin 1cos 2-=--=αα，因此21tan =α.……………3分()3tan 211tan 21tan tan 1tan tan tan -=-+=-+=+βββαβαβα，解得7tan =β.……………………6分 (Ⅱ)因为()3tan -=+βα，21tan =α，所以()()[]()()1tan tan 1tan tan tan 2tan -=+-++=++=+βααβααβααβα…………………………………9分 由(Ⅰ)知0tan >β，所以20πβ<<.又因为23παπ<<，所以2722πβαπ<+<，所以4112πβα=+.…………………………………………………………………12分 19.【解析】(Ⅰ)由()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2cos sin 321sin 213sin sin 42πωωωωπωωx x x x x x x f ，………………………………………………………………2分 由()f x 的最小正周期为π，得1=ω，所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin 2πx x f .因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,0πx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-67,662πππx ，故当262ππ=-x ，即3π=x 时（没有此式扣1分），()x f 取得最大值2.……………………………………6分(Ⅱ)由()⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin 2πx x f 知: 62π-x6π-2π π23π 611πx12π3π 127π 65π π()x f1-22-1-…………………………………………………………………………………………………9分……………………………………………………………………………………………………12分20.【解析】（1）由()()f x f x -=-，得22011ax b ax bb x x-+--=⇒=++，……………2分 则()21ax f x x =+，又由1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所得1a =；所以()21x f x x =+……………4分 （2）任取1211x x -<<<，则()()1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 又1211x x -<<<，∴221212120,10,10,10x x x x x x -<->+>+>，从而()()120f x f x -<，即()()12f x f x <所以()f x 在()1,1-上是增函数．………………………………………………………8分 由()()210f x f x -+<得()()21f x f x -<-即()()21f x f x -<-因为()f x 在()1,1-上是增函数，则22111111x x x x ⎧-<-<⎪-<<⎨⎪-<-⎩………………………………10分所以，原不等式的解集为()11,00,2⎛-- ⎝⎭U ……………………………………12分 21.【解析】(Ⅰ)由题意知362ππω==，40=A ,5.40=h ，2πϕ-=，故()5.4023sin 40+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππt t f .（()40.540cos 3f t t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭也对）……………………4分 令()N k k t k ∈+≤-≤+ππππππ2232322，解得()N k k t k ∈+≤≤+6663，故()t f 的单调减区间为[]()N k k k ∈++66,63（说明：如果写成Zk ∈，扣1分）.…………………………………………6分(Ⅱ)由()5.403cos 405.4023sin 40+⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t f πππ，所以()()()5.121343cos 323cos 3cos 4042+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++πππππt t t t f t f t f .其中sin 233cos 213sin 233cos 213cos 343cos 323cos 3cos ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t t t t t πππππππππ. 所以()()()5.12142=++++t f t f t f (12)分22.【解析】(Ⅰ)令[]3,13∈=xu ，则()()223a au u u h x f +-==.当223≤a 即34≤a 时，()()()9932max +-===a a h u h a g ；当223>a 即34>a 时，()()()1312max +-===a a h u h a g .故()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤+-=34,1334,9922a a a a a a a g .………………………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)当34≤a 时，()299g a a a =-+，()min 41139g a g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； 当34>a 时，()231g a a a =-+，()4523min -=⎪⎭⎫⎝⎛=g a g .因此()45min-=a g .……………8分 对于任意R a ∈，不等式()tm m a g +-≥2恒成立等价于452-≤+-tm m .令()2m mt t F -=，由于()t F 是关于t 的一次函数，故对于任意[]2,2-∈t 都有()45-≤t F 等价于()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤-452452F F ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-+0584058422m m m m ， 解得25-≤m 或25≥m .…………………………………………………………………12分。

2016—2017学年高一年级下学期期末考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.【答案】 D【解析】本题选择D选项.2. 设等差数列的前项和为，已知，则的值为( )A. 38B.C.D. 19【答案】C【解析】由等差数列的性质可知．即．．故本题答案选．3. 下列函数中同时具有以下性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】对于,其周期，为最大值,故其图象关于对称，由得,，∴在上是增函数，即具有性质①②③，本题选择A选项.4. 已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，则C. 若在平面内的射影互相平行，则D. 若，，则【答案】A【解析】由题知，则，又，则．正确；，可能会现，错误；若在内的射影互相平行，两直线异面也可以，错误；若，可能会出现，错误．故本题选．5. 已知直线与平行，则的值是( )A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或2【答案】C【解析】由两直线平行得,当k-3=0时,两直线的方程分别为y=-1 和，显然两直线平行。

当k-3≠０时,由，可得k=5.综上，k的值是3或5，本题选择C选项.点睛：(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．6. 直线绕着其上一点沿逆时针方向旋转，则旋转后得到的直线的方程为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由于直线的斜率为，故它的倾斜角为，故旋转后得到的直线的倾斜角为，故旋转后得到的直线的斜率为，故旋转后得到的直线的方程为，即，故选B．7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的。

2016-2017学年河北省石家庄一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 化简AB →+BD →−AC →−CD →=( ) A.AD →B.0→C.BC →D.DA →2. 函数f(x)=1lg x +√2−x 定义域为( ) A.(0, 2] B.(0, 2)C.(0, 1)∪(1, 2]D.(−∞, 2]3. 集合P ={−1, 0, 1}，Q ={y|y =cos x, x ∈R }，则P ∩Q = ( ) A.P B.QC.{−1, 1}D.[0, 1]4. 在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 边上的中线，G 是它们的交点，则下列等式中不正确的是( )A.BG →=23BE →B.DG →=12AG →C.CG →=−2FG →D.13DA →+23FC →=12BC →5. 已知函数是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−2sin x ，则当x <0时，f(x)=( ) A.−x 2−2sin x B.−x 2+2sin x C.x 2+2sin x D.x 2−2sin x6. 设k ∈Z ，函数y =sin (π4+x2)cos (π4+x2)的单调增区间为( ) A.[(k +12)π, (k +1)π]B.[(2k +1)π, 2(k +1)π]C.[kπ, (k +12)π]D.[2kπ, (2k +1)π]7. 设f(sin α+cos α)=sin α⋅cos α，则f(sin π6)的值为( )A.−38 B.18C.−18D.√388. 若α是第一象限角，则sin α+cos α的值与1的大小关系是（ ） A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1 C.sin α+cos α<1 D.不能确定9. 函数y =sin (2x +π3)的图象可由函数y =cos x 的图象（ ） A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π6个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位10. 函数f(x)=(13)x −log 2x ，若实数x 0是函数的零点，且0<x 1<x 0，则f(x 1)( )A.恒为正值B.恒为负值C.等于0D.不大于011. 已知tan α，tan β是方程x 2+3√3x +4=0的两个根，且−π2<α<π2，−π2<β<π2，则α+β=( )A.π3 B.−23πC.π3或−23πD.−π3或23π12. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(2+x)=f(2−x)，当x ∈[−2, 0]时，f(x)=(√22)x −1，若在区间(−2, 6)内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0，恰有4个不同的实数根，则实数a(a >0, a ≠1)的取值范围是（ ) A.(14, 1)B.(1, 4)C.(1, 8)D.(8, +∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分已知a →⊥b →，|a →|=2，|b →|=3，且3a →+2b →与λa →−b →垂直，则实数λ的值为________．已知，0<β<α<π4，cos (α−β)=1213，且sin (α+β)=45，则sin 2α的值为________．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP →=3PD →，AP →⋅BP →=2，则AB →⋅AD →的值是________．已知二次函数f(x)=x 2+2bx +c(b, c ∈R )满足f(1)=0，且关于x 的方程f(x)+x +b =0的两个实数根分别在区间(−3, −2)，(0, 1)内，则实数b 的取值范围为________． 三、解答题：本题共6小题，共70分．已知0<α<π2，3sin (π−α)=−2cos (π+α)． (1)求4sin α−2cos α5cos α+3sin α的值；(2)求cos 2α+sin (α+π2)的值.已知向量a →=(2,3)，b →=(−2,4)，向量a →与b →夹角为θ， (1)求cos θ；(2)求b →在a →的方向上的投影．已知函数y =√2−x2+x +lg (−x 2+4x −3)的定义域为M ． (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求函数f(x)=a ⋅2x+2+3⋅4x (a <−3)的最小值．已知O 为坐标原点，OA →=(2cos x, √3)，OB →=(sin x +√3cos x, −1)，若f(x)=OA →⋅OB →+2．(1)求函数f(x)的对称轴方程；(2)当x ∈(0,π2)时，若函数g(x)=f(x)+m 有零点，求m 的范围．已知函数f(x)=sin (ωx +π6)+sin (ωx −π6)−2cos 2ωx 2，x ∈R （其中ω>0）.(1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的a ∈R ，函数y =f(x)，x ∈(a, a +π]的图象与直线y =−1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y =f(x)，x ∈R 的单调增区间．已知f(x)是定义在[−1, 1]上的奇函数，且f(1)=1，若a ，b ∈[−1, 1]，a +b ≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立．(1)判断f(x)在[−1, 1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f(2x −1)<f(1−3x)；(3)若f(x)≤m 2−2am +1对所有的a ∈[−1, 1]恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2016-2017学年河北省石家庄一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 B【考点】向量加减混合运算及其几何意义 零向量【解析】根据向量加法的三角形法则，我们对几个向量进行运算后，即可得到答案． 【解答】解：AB →+BD →−AC →−CD →=(AB →+BD →)−(AC →+CD →) =AD →−AD → =0→. 故选B. 2.【答案】 C【考点】对数函数的定义域 函数的定义域及其求法 【解析】由函数的解析式可得，{lg x ≠02−x ≥0，即 {x >0x ≠1x ≤2，解此不等式组，求得函数的定义域．【解答】解：由函数f(x)=1lg x +√2−x 的解析式可得 {lg x ≠0，2−x ≥0，即 {x >0，x ≠1，x ≤2，解得 0<x <1，1<x ≤2，故函数的定义域为{x|0<x ≤2, 且x ≠1}.故选C. 3.【答案】 A【考点】余弦函数的定义域和值域 交集及其运算【解析】先依据余弦函数的值域化简集合B ，再利用交集的定义求两个集合的公共元素即得P ∩Q ． 【解答】解：∵ Q ={y|y =cos x, x ∈R }， ∴ Q ={y|−1≤y ≤1}. 又∵ P ={−1, 0, 1}， ∴ P ∩Q ={−1, 0, 1}． 故选A. 4.【答案】 B【考点】平行向量（共线向量） 【解析】由三角形的重心定理和向量共线定理可得：BG →=23BE →，CG →=−2FG →，13DA →+23FC →=DG →+GC →=DC →=12BC →，DG →=12GA →．即可判断出．【解答】解：由三角形的重心定理可得：BG →=23BE →，CG →=−2FG →，13DA →+23FC →=DG →+GC →=DC →=12BC →，DG →=12GA →．可知：A ，C ，D 都正确，B 不正确． 故选B. 5. 【答案】 A【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】函数f(x)是定义在R 上的奇函数，可得f(−x)=−f(x)，当x ≥0时，f(x)=x 2−2sin x ，当x <0时，−x >0，带入化简可得x <0时f(x)的解析式． 【解答】解：函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(−x)=−f(x).当x≥0时，f(x)=x2−2sin x，当x<0时，则−x>0，可得f(−x)=x2+2sin x=−f(x)，∴f(x)=−x2−2sin x.故选A.6.【答案】B【考点】二倍角的正弦公式余弦函数的单调性【解析】利用二倍角的正弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵函数y=sin (π4+x2)cos (π4+x2)=12sin(x+π2)=12cos x，它的增区间，即y=cos x的增区间，为[2kπ+π, 2kπ+2π]，k∈Z. 故选B.7.【答案】A【考点】三角函数的化简求值【解析】用换元法求出函数f(x)的解析式，从而可求函数值．【解答】解：令sinα+cosα=t（t∈[−√2, √2]），平方后化简可得sinαcosα=t 2−12，再由f(sinα+cosα)=sinαcosα，得f(t)=t 2−12，所以f(sinπ6)=f(12)=(12)2−12=−38．故选A.8.【答案】A【考点】任意角的三角函数三角函数线【解析】设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论．【解答】解：如图所示：设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．在△OPM中，∵|MP|+|OM|>|OP|=1，∴sinα+cosα>1.故选A.9.【答案】B【考点】诱导公式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用诱导公式，y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=cos x=sin(x+π2)的图象的横坐标变为原来的12倍，可得y=sin(2x+π2)的图象，再把所得图象再向右平移π12个单位，可得y=sin[2(x−π12)+π2]=sin(2x+π3)的图象.故选B.10.【答案】A【考点】函数的零点【解析】利用函数的单调性和函数零点的存在性定理进行判断．【解答】解：函数f(x)=(13)x−log2x在(0, +∞)上单调递减，若实数x 0是函数的零点，则f(x 0)=0． ∵ 0<x 1<x 0，∴ f(x 1)>f(x 0)=0． 即f(x 1)恒为正值． 故选A. 11. 【答案】 B【考点】两角和与差的正切公式一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】先根据韦达定理求得tan α⋅tnaβ和tan α+tan β的值，进而利用正切的两角和公式求得tan (α+β)的值，根据tan α⋅tnaβ>0，tan α+tan β<0推断出tan α<0，tan β<0，进而根据已知的α，β的范围确定α+β的范围，进而求得α+β的值． 【解答】解：依题意可知tan α+tan β=−3√3，tan α⋅tan β=4 ∴ tan (α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β=√3.∵ tan α⋅tan β>0，tan α+tan β<0 ∴ tan α<0，tan β<0. ∵ −π2<α<π2，−π2<β<π2， ∴ −π2<α<0，−π2<β<0， ∴ −π<α+β<0， ∴ α+β=−2π3.故选B. 12. 【答案】 D【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质，及当x ∈[−2, 0]时，函数解析式，画出函数f(x)的图象，则数y =f(x)与y =log a (x +2)，在区间(−2, 6)上有四个不同的交点，由对数函数的运算性质，即可求得a 的取值范围． 【解答】解：对于任意的x ∈R ，都有f(2+x)=f(2−x)，∴ f(x +4)=f[2+(x +2)]=f[2−(x +2)]=f(−x)=f(x)， ∴ 函数f(x)是一个周期函数，且T =4． 又∵ 当x ∈[−2, 0]时，f(x)=(√22)x−1，且函数f(x)是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2, 6)内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0，恰有4个不同的实数解， 则函数y =f(x)与y =log a (x +2)，在区间(−2, 6)上有四个不同的交点， 如下图所示：又f(−2)=f(2)=f(6)=1，则对于函数y =log a (x +2)，根据题意可得，当x =6时的函数值小于1， 即log a 8<1，由此计算得出：a >8， ∴ a 的范围是(8, +∞). 故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 【答案】32【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】两个向量垂直的充要条件为两向量的数量积为零． 【解答】 解：∵ a →⊥b →， ∴ a →⋅b →=0.∵ 3a →+2b →与λa →−b →垂直， ∴ (3a →+2b →)(λa →−b →)=0， 即3λa →2−2b →2=0， ∴ 12λ−18=0， ∴ λ=32. 故答案为：32. 【答案】 6365【考点】二倍角的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由0<β<α<π4，可得0<α−β<π4，0<α+β<π2，利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin (α−β)，cos (α+β)的值，根据sin 2α=sin [(α−β)+(α+β)]由两角和的正弦函数公式即可求值． 【解答】解：∵ 0<β<α<π4，cos (α−β)=1213，sin (α+β)=45， ∴ 0<α−β<π4，0<α+β<π2，∴ sin (α−β)=√1−cos 2(α−β)=513，cos (α+β)=√1−sin 2(α+β)=35，∴ sin 2α=sin [(α−β)+(α+β)]=sin (α−β)cos (α+β)+cos (α−β)sin (α+β) =5×3+12×4 =6365． 故答案为：6365． 【答案】 22【考点】向量在几何中的应用 平面向量数量积的运算 【解析】由CP →=3PD →，可得AP →=AD →+14AB →，BP →=AD →−34AB →，进而由AB =8，AD =5，CP →=3PD →，AP →⋅BP →=2，构造方程，进而可得答案． 【解答】解：∵ CP →=3PD →，∴ AP →=AD →+14AB →，BP →=AD →−34AB →.又∵ AB =8，AD =5，∴ AP →⋅BP →=(AD →+14AB →)⋅(AD →−34AB →)=|AD →|2−12AB →⋅AD →−316|AB →|2=25−12AB →⋅AD →−12=2， 故AB →⋅AD →=22.故答案为：22． 【答案】(15, 57) 【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】利用f(1)=0，推出b ，c 关系，利用函数的零点所在区间列出不等式组，求解即可． 【解答】解：二次函数f(x)=x 2+2bx +c(b, c ∈R )满足f(1)=0， 可得：1+2b +c =0，关于x 的方程f(x)+x +b =0即x 2+2bx +x +b +c =0的两个实数根分别在区间(−3, −2)，(0, 1)内， 可得{(6−5b +c)(2−3b +c)<0，(b +c)(2+3b +c)<0，即：{(5−7b)(1−5b)<0，(−1−b)(1+b)<0，解得b ∈(15, 57)． 故答案为：(15, 57)．三、解答题：本题共6小题，共70分． 【答案】解：(1)由3sin (π−α)=−2cos (π+α)， 得3sin α=2cos α， ∴ tan α=23，∴ 4sin α−2cos α5cos α+3sin α=4tan α−25+3tan α=4×23−25+3×23=221；(2)∵ sin α=23cos α，sin α2+cos α2=1，∴ cos α2=913， 又∵ 0<α<π2，∴ cos α=3√1313， ∴ cos 2α+sin (α+π2)=cos 2α+cos α=2cos 2α+cos α−1 =2×(3√1313)2+3√1313−1=5+3√1313. 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 同角三角函数基本关系的运用 三角函数值的符号 【解析】由已知求得tan α的值．(1)化弦为切可求4sin α−2cos α5cos α+3sin α的值；(2)由tan α的值，再由同角三角函数的基本关系式求得cos α，则cos 2α+sin (α+π2)的值可求．【解答】解：(1)由3sin (π−α)=−2cos (π+α)， 得3sin α=2cos α， ∴ tan α=23，∴ 4sin α−2cos α5cos α+3sin α=4tan α−25+3tan α=4×23−25+3×23=221；(2)∵ sin α=23cos α，sin α2+cos α2=1，∴ cos α2=913，又∵ 0<α<π2，∴ cos α=3√1313， ∴ cos 2α+sin (α+π2)=cos 2α+cos α=2cos 2α+cos α−1 =2×(3√1313)2+3√1313−1=5+3√1313. 【答案】解：(1)由题知，|a →|=√22+32=√13，|b →|=√(−2)2+42=2√5，∴ cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=−4+12√13×√20=4√6565； (2)b →在a →的方向上的投影为 |b →|cos θ=2√5×4√6565=8√1313．【考点】 向量的投影数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算【解析】（1）利用向量的数量积求解向量的夹角即可． （2）利用向量的数量积求解b →在a →的方向上的投影．【解答】解：(1)由题知，|a →|=√22+32=√13，|b →|=√(−2)2+42=2√5， ∴ cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=√13×√20=4√6565；(2)b →在a →的方向上的投影为 |b →|cos θ=2√5×4√6565=8√1313．【答案】解：(1)由题意{2−x 2+x≥0，−x 2+4x −3>0，解得1<x ≤2， ∴ M =(1, 2]；(2)令t =2x (t ∈(2, 4])，f(x)=g(t)=4at +3t 2=3(t +2a 3)2−4a 23①−6<a <−3，即2<−2a 3<4时，g(t)min =g(−2a 3)=−4a 23；②a ≤−6，即−2a 3≥4时，g(t)min =g(4)=48+16a ， ∴ f(x)min ={48+16a,a ≤−6，−4a 23，−6<a <−3.【考点】函数最值的应用 对数函数的定义域 函数的最值及其几何意义 复合函数的单调性 函数的定义域及其求法【解析】（1）利用被开方数非负，真数大于0，建立不等式组，即可求得函数的定义域； （2）换元，利用配方法，结合函数的定义域，分类讨论，即可求得结论． 【解答】解：(1)由题意{2−x 2+x≥0，−x 2+4x −3>0，解得1<x ≤2， ∴ M =(1, 2]；(2)令t =2x (t ∈(2, 4])，f(x)=g(t)=4at +3t 2=3(t +2a 3)2−4a 23①−6<a <−3，即2<−2a 3<4时，g(t)min =g(−2a3)=−4a 23；②a ≤−6，即−2a 3≥4时，g(t)min =g(4)=48+16a ， ∴ f(x)min ={48+16a,a ≤−6，−4a 23，−6<a <−3.【答案】解：(1)∵ OA →=(2cos x,√3)，OB →=(sin x +√3cos x,−1)， ∴ f(x)=OA →⋅OB →+2=2cos x sin x +2√3cos 2x −√3+2 =sin 2x +√3cos 2x +2 =2sin (2x +π3)+2，∴ 对称轴方程为2x +π3=π2+kπ，k ∈Z ，即x =kπ2+π12，k ∈Z ；(2)∵ 当x ∈(0,π2)时，函数g(x)=f(x)+m 有零点， ∴ −m =f(x). ∵ x ∈(0,π2)，∴ 2x +π3∈(π3, 4π3)，∴ −√32<sin (2x +π3)≤1，∴ f(x)∈(−√3+2, 4]， ∴ m ∈[−4, √3−2). 【考点】平面向量数量积的运算 正弦函数的对称性 函数的零点【解析】（1）根据向量的数量积公式和二倍角公式，化简f(x)，再根据对称轴方程的定义即可求出， （2）当x ∈(0,π2)时，若函数g(x)=f(x)+m 有零点，转化为−m =f(x)，求出f(x)的值域即可．【解答】解：(1)∵ OA →=(2cos x,√3)，OB →=(sin x +√3cos x,−1)， ∴ f(x)=OA →⋅OB →+2=2cos x sin x +2√3cos 2x −√3+2 =sin 2x +√3cos 2x +2=2sin (2x +π3)+2，∴ 对称轴方程为2x +π3=π2+kπ，k ∈Z ， 即x =kπ2+π12，k ∈Z ；(1)∵ 当x ∈(0,π2)时，函数g(x)=f(x)+m 有零点， ∴ −m =f(x). ∵ x ∈(0,π2)，∴ 2x +π3∈(π3, 4π3)， ∴ −√32<sin (2x +π3)≤1，∴ f(x)∈(−√3+2, 4]， ∴ m ∈[−4, √3−2). 【答案】 解：(1)f(x)=√32sin ωx +12cos ωx +√32sin ωx −12cos ωx −(cos ωx +1)=2(√32sin ωx −12cos ωx)−1=2sin (ωx −π)−1由−1≤sin (ωx −π6)≤1， 得−3≤2sin (ωx −π6)−1≤1，可知函数f(x)的值域为[−3, 1]；(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知， y =f(x)的周期为π， 又由ω>0，得2πω=π，即得ω=2．于是有f(x)=2sin (2x −π6)−1.再由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z )， 解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z )，所以y =f(x)的单调增区间为[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z ). 【考点】两角和与差的正弦公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 正弦函数的单调性 正弦函数的定义域和值域【解析】（1）化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的有界性求出函数f(x)的值域；（2）对任意的a ∈R ，函数y =f(x)，x ∈(a, a +π]的图象与直线y =−1有且仅有两个不同的交点，确定函数的周期，再确定ω的值，然后求函数y =f(x)，x ∈R 的单调增区间． 【解答】 解：(1)f(x)=√32sin ωx +12cos ωx +√32sin ωx −12cos ωx −(cos ωx +1)=2(√32sin ωx −12cos ωx)−1=2sin (ωx −π)−1由−1≤sin (ωx −π6)≤1，得−3≤2sin (ωx −π6)−1≤1， 可知函数f(x)的值域为[−3, 1]；(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知， y =f(x)的周期为π， 又由ω>0，得2πω=π，即得ω=2．于是有f(x)=2sin (2x −π6)−1.再由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z )， 解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z )．所以y =f(x)的单调增区间为[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z ).【答案】解：(1)单调递增，理由：任取x 1，x 2∈[−1, 1]，且x 1<x 2， 则−x 2∈[−1, 1]， ∵ f(x)为奇函数，∴ f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)+f(−x 2)=f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)⋅(x 1−x 2)，由已知得f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)>0，∵ x 1−x 2<0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)在[−1, 1]上单调递增； (2)∵ f(x)在[−1, 1]上单调递增，∴ {−1≤2x −1≤1，−1≤1−3x ≤1，2x −1<1−3x ，∴ 不等式的解集为{x|0≤x <25}；(3)∵ f(1)=1，f(x)在[−1, 1]上单调递增， ∴ 在[−1, 1]上，f(x)≤1．问题转化为m 2−2am +1≥1，即m 2−2am ≥0，对a ∈[−1, 1]恒成立． 下面来求m 的取值范围，设g(a)=−2m ⋅a +m 2≥0．①若m =0，则g(a)=0≥0，对a ∈[−1, 1]恒成立；②若m ≠0，则g(a)为a 的一次函数，若g(a)≥0，对a ∈[−1, 1]恒成立， 必须g(−1)≥0且g(1)≥0， ∴ m ≤−2或m ≥2．综上，m =0 或m ≤−2或m ≥2. 【考点】函数单调性的判断与证明 其他不等式的解法 函数恒成立问题【解析】（1）任取x 1，x 2∈[−1, 1]，且x 1<x 2，利用函数的单调性的定义证明f(x)在[−1, 1]上单调递增． （2）利用f(x)在[−1, 1]上单调递增，列出不等式组，即可求出不等式的解集．（3）问题转化为m 2−2am ≥0，对a ∈[−1, 1]恒成立，通过①若m =0，②若m ≠0，分类讨论，判断求解即可．【解答】解：(1)单调递增，理由：任取x 1，x 2∈[−1, 1]，且x 1<x 2， 则−x 2∈[−1, 1]， ∵ f(x)为奇函数，∴ f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)+f(−x 2)=f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)⋅(x 1−x 2)，由已知得f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)>0，∵ x 1−x 2<0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在[−1, 1]上单调递增； (2)∵ f(x)在[−1, 1]上单调递增，∴ {−1≤2x −1≤1，−1≤1−3x ≤1，2x −1<1−3x ，∴ 不等式的解集为{x|0≤x <25}；(3)∵ f(1)=1，f(x)在[−1, 1]上单调递增， ∴ 在[−1, 1]上，f(x)≤1．问题转化为m 2−2am +1≥1，即m 2−2am ≥0，对a ∈[−1, 1]恒成立． 下面来求m 的取值范围，设g(a)=−2m ⋅a +m 2≥0．①若m =0，则g(a)=0≥0，对a ∈[−1, 1]恒成立；②若m ≠0，则g(a)为a 的一次函数，若g(a)≥0，对a ∈[−1, 1]恒成立， 必须g(−1)≥0且g(1)≥0， ∴ m ≤−2或m ≥2．综上，m =0 或m ≤−2或m ≥2.。

河北省石家庄市2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 化简=--+CD AC BD ABA.0；B.BC ；C.0；D. ；2. 函数1f (x )lg x=+ A.(0，2] B.(0，2) C.(01)(12],, D.(2],-∞3. 已知集合{}1,0,1P =-,{}cos ,Q y y x x R ==∈,则P Q =A.PB.QC.{}1,1-D.{}0,1 4. 在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是 A.23BG BE = B.2CG GF = C.12DG AG = D.121332DA FC BC += 5.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，2()2sin f x x x =-，则当0<x 时，)(x f =A ．22sin x x --B ．22sin x x -+C ． 22sin x x +D ．22sin x x -6sin()cos()4242.x x k Z y ππ∈=++设，函数的单调增区间为 A.1[(),(1)]2k k ππ++ B.[(21),2(1)]k k ππ++ C.1[,()]2k k ππ+ D. [2,(21)]k k ππ+ 7.设,cos sin )cos (sin αααα⋅=+f 则)6(sin πf 的值为 A. ;83 B. ;81 C. ;81- D. ;83- 8.若α是第一象限角，则sin cos αα+的值与1的大小关系是A.sin cos 1αα+>B.sin cos 1αα+=C.sin cos 1αα+<D.不能确定9.函数sin(2)3y x π=+的图象可由函数cos y x =的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位 201011()()log ()03()x f x x x f x x x f x =-<<10.已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于011．已知tan tan ，αβ是方程240x ++=的两根，且2222，ππππαβ-<<-<<，则αβ+是 222333333A ．或 B ． C ．或 D ．ππππππ---- 12. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当[]0,2-∈x 时，若在区间)6,2(-内关于x 的方程0)2(lo g )(=+-x x f a ,恰有4个不同的实数根，则实数a )1,0(≠>a a 的取值范围是 B.(1,4) C. (1,8) D.)(8,+∞第II 卷（非选择题，共70分）二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分 13,2,3,32a b a b a b a b λλ⊥==+-．已知且与垂直，则实数的值为______；14. 已知40παβ<<<,1312)cos(=-βα,且54)sin(=+βα,则sin 2α的值为_______； 15.在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP =，则AB AD = ．16．已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，则实数b 的取值范围为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分。

2016-2017学年河北省高一上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若点(,9)a 在函数3x y =的图象上，则tan 6a π的值为( )A. 0 C. 12. 若sin 0α> 且tan 0α<，则2α的终边在( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第一象限或第三象限D. 第三象限或第四象限3. 若2弧度的圆心角所对的弦长为4sin1cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A.22cmB. 24cmC.22cm πD. 24cm π4. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b + 等于( )C.45. 已知0x 是函数()24xf x e x =+-的零点，若1020(1,),(,2)x x x x ∈-∈，则( ) A. 12()0,()0f x f x << B. 12()0,()0f x f x <> C. 12()0,()0f x f x ><D. 12()0,()0f x f x >>6. 已知函数()sin()(,0)4g x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos f x x ω=的图象，只要将()y g x =的图象( )A. 向左平移8π个单位长度B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度7. 设(3,),(4,3)a m b =-=，若a 与b 的夹角是钝角，则实数m 的范围是( )A. 4m >B. 4m <C. 4m <且94m ≠D. 4m <且94m ≠-8. 已知幂函数()f x 的图象过点(2,)2，则()f x 是（ ） A. 偶函数B. 奇函数C. 定义域上的增函数D. 定义域上的减函数9. 设全集U R =，集合219{{log (),[1,]}22A x y B y y x x ====-∈，则()U A B = u ð（ ）A. φB. [1,0)-C. 9[1,]2D. [0,2]10. ()f x 是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，则下列关系成立的是（ ）A. (2)(1)(3)f f f -<<B. (1)(2)(3)f f f <-<C. (3)(2)(1)f f f <-<D. (2)(3)(1)f f f -<<11. 已知函数()f x 是定义在闭区间[,](0)a a a ->上的奇函数，()()1F x f x =+，则()F x 的最大值与最小值的和为（ ） A.4B. 2C. 1D. 012. 据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）,()(,x m f x m c x m <=≥为常数），已知工厂组装第4件产品所用的时间为30分钟，工人组装第m 件产品所用的时间为15分钟，则m =( )A.49B. 25C. 16D. 9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．20.5203252731()()(0.1)()lg2lg59649π--++-++= ______________． 14. 若对于任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+，且(8)3f =-，则1()2f a =时，正数a = . 15. 已知P 是函数2y x =图象上的一点，(1,1)A -，则OP OA ⋅的最大值为 .16．()y f x =为R 上的偶函数，且满足(4)(4)f x f x +=-，当[0,4]x ∈时，()f x x =，则2[2016s i n (2)s i n ()c o s ()]f αππαα+-⋅+--= _____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题12分）已知3log 14a <，求a 的取值集合.18. （本题12分）已知()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的图象如图所示.（1）根据图象写出()f x 的解析式；（2）A 为锐角三角形的一个内角，求()f A 的最大值，及当()f A 取最大值时A 的值.19．（本题12分）已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122,AB e e =+1212,2,BE e e EC e e λ=-+=-+且,,A E C 三点共线.（1）求实数λ的值；若12(2,1),(2,2)e e ==-，求BC 的坐标；（2）已知点(3,5)D ，在（1）的条件下，若四边形ABCD 为平行四边形，求点A 的坐标．xyO20. （本题12分）有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是是半圆的直径，上底CD 的端点在半圆上.（1）若这个梯形上底为2CD a =，求它的腰长x ；（2）求出这个梯形的周长y 关于腰长x 的函数解析式，并指出它的定义域； （3）求这个梯形周长的最大值，并求出当它最大时，梯形的面积S.21．（本题12分）已知函数2()()21x f x a a R =-∈+ 是奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，（不需证明）（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)()0f kt f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围．22．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点(3,4)P -（1）求sin α和cos α的值；（2）化简并求值：11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+.2016-2017学年河北省高一上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题：二、填空题：13. 10115.1416. 1三、解答题： 17. 解：1a >时，3331log 0,log 1,log 1log 444aa a a a<∴-<>-= 314,43a a ∴<< 413a ∴<<……………………5分当01a <<时，3log 04a > 3log 1log 4a a a ∴>=34a ∴< 314a ∴<<……………………10分 综合得：34(,1)(1,)43a ∈ ……………………12分18. 解：（1）2A =373(),,41264T T ππππ=--== 2w ∴= 6x π=-时， 2()0,6πϕ-+= 3πϕ∴=()2sin(2)3f x x π∴=+……………………6分（2）(0,)2A π∈42(,)333A πππ∴+∈∴当且仅当2,3212A A πππ+==时()f A 最大，max ()2f A =……………………12分19. 解：（1）1212(2)()AE AB BE e e e e =+=++-+12(1)e e λ=++A E C 、、三点共线 ∴存在实数k 使得AE kEC =即1212(1)(2)e e k e e λ++=-+ 得12(1)(1)e k e λλ+=--由题意得12013,122k k k λλ+=⎧∴=-=-⎨=-⎩……………4分此时1213(7,2)2BC BE EC e e =+=--=--……………6分（2） 四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴= 设(,)A x y 则(3,5)AD x y =--又(7,2)BD =--3752x y -=-⎧⎨-=-⎩ 得107x y =⎧⎨=⎩ (10,7)A ∴……………12分20. 解：（1）22222(2)a x a -=--284,x a ∴=- x ∴=4分（2）由（1）知：242,2x a -=224124622x y x x x -∴=++=-++0a x >∴< ， 定义域为……………8分（3）由（2）知，1x =时，y 最大此时梯形的上底72,2a =高h =17(4)22416S ∴=+⋅=21. 解：（1） 由题意：2()21x f x a =-+是定义域为R 的奇函数 (0)0f ∴= 即02021a -=+ 1a ∴= 当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++ 211221()()212121x x x x x x f x f x -------===-=-+++故1a =进满足题意………………5分（2）单调递增函数……………7分（3）由（2）得22(2)()0f kt f t tk ++->等价于22(2)()f kt f t tk +>-即222kt t tk +>-+∴2(1)20k t tk +-+>对任意t R ∈恒成立①1k =-时，20t +>不恒成立②1k ≠-时，10t +>⎧⎨∆<⎩解得：(4k ∈-+综合得：k 的取值范围是(4-+. …………12分 22. 解（1）3,4,5x y r =-==43sin ,cos 55y x r r αα∴====-………………3分 （2）原式＝(sin )(cos )(sin )(sin )(cos )sin sin cos αααααααα-----sin 4tan cos 3ααα-=-==-………………10分。

2016-2017高一数学必修一期末考试试卷2016-2017高一数学必修一期末考试试卷一、选择题（共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的范围是（）A.a≥2 B.a≥1 C.a≤1 D.a≤22.若函数f(x)=x-x（a∈R）在区间（1，2）上有零点，则a的值可能是（）A.-2 B.0 C.1 D.33.设a=log0.6 0.4，b=log0.6 0.7，c=log1.5 0.6，则a，b，c 的大小关系是（）A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.c＞b＞a4.函数f(x)=lg(x^2-4)的定义域为() A.{x|-21} C.{x|x>2}D.{x|-22}5.若直角坐标平面内关于原点对称，则对称点对两点满足条件：①点都在f(x)的图象上；②点与f(x)的一个“兄弟点对”（点对可看作一个“兄弟点对”）．已知函数f(x)=2x−1，(x≤0) g(x)=f(x-1)+1，(x>0)的个数为 A.2 B.3 C.4 D.56.已知函数g(x)=2x-1，f(x)=g(ax+b)，若关于f(x)=0的方程g(x)=0有5个不等实根，则实数a的值是（）A.2 B.4 C.2或4 D.不确定的7.已知a，b都是负实数，则a+2b+a+b的最小值是（）A.6B.2(2-1)C.22-1D.2(2+1)8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)，g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A.x n=n-1 B.a n=n(n-1) C.a n=n(n-1)/2 D.x n=2x−29.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象如图所示，为了得到g(x)的图象，只需将f(x)的图象（）A.向左平移1个长度单位 B.向右平移1个长度单位 C.向左平移π/2个长度单位 D.向右平移π/2个长度单位10.f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数且单调递减，若f(2-a)+f(4-a^2)<1，则a的取值范围是（）A.(3，2) B.(−∞，3)∪(2，+∞) C.(5，3) D.(−∞，5)∪(3，+∞)11.已知集合A={x|x≥0}，B={y||y|≤2，y∈Z}，则下列结论正确的是() A.A∩B=ϕ B.A∪B=R C.A∩B=Z D.A∪B={y|y≥-2}答案：1.D2.C3.A4.B5.C6.B7.A8.B9.A 10.B 11.D1.合并重复的信息，删除明显有问题的部分：A) ∪ B = (-∞。