高中数学新教材第六章不等式教学思考

对高中数学新教材“解不等式”顺序安排的反思摘要：由原来使用的人民教育出版社出版的教材，到2009年开始使用北京师范大学出版社的普通高中课程标准实验教科书。

改革幅度之大超过了以往的任何一次，由原来的应试型转向应用型，应该说新教材的优点是显而易见的。

但是新教材中部分内容的安排顺序，还是有许多不妥之处。

比如说必修五“解不等式”这一章的安排顺序就很不妥。

关键词：高中数学；新课程；顺序安排；解不等式数学新课程教学改革最终通过教材“教什么”和“如何教”，与学生“学什么”和“如何学”来实现的。

所以教材的安排应该围绕这个主题进行，内容的安排应该从这些方面来考虑。

一、学生的学习是循序渐进的、逐步发展的现在心理学，大多数被认为，是先从量变到质变的结论。

人的发展，是从连续性到阶段性的发展，先是知识量的增加，到一定时候，再到质的变化。

明白了量变到质变以后，就可以回答为什么学习要循序渐进了。

所以教材编写时应充分注意这些问题，不要因为高中数学课程内容划分了若干模块，而忽视相关内容的联系，“解三角形”这章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

在学习了必修四的“三角函数”“平面向量”和“三角恒等变形”之后，学生对三角函数的知识有一个量的积累，进而在学习“解三角形”这章应该就比较能够体现这一循序渐进的、逐步发展的学习过程。

而北师大版的新教材必修五的安排是先学习“数列”后学习“解三角形”，本人觉得不妥，违背了这一学习规律。

学习，要根据学习者的心理发展规律。

教育心理学有一个最近发展区域的概念，也就是，要教的知识，是在激发学生潜能就能解答时，最有利于学生的发展。

《不等式及其性质》教学课时：1课时教学设计理念：通过糖水不等式引入不等关系，由实际生活抽象出数学问题，体现数学建模素养；通过数轴和作差法作为预备知识，从数和形的角度来证明不等式性质，体现了数形结合的思想；利用不等式性质通过综合法由条件推出结论来证明不等式，体现逻辑推理的数学素养。

教学目标：1、通过实际问题让学生能够找到不等关系，并能列出不等式和不等式组，抽象成数学问题2、通过作差的方法比较大小3、通过类比等式的性质猜想不等式的性质并证明4、通过不等式的性质去证明不等式的推论，并利用性质和推论证明不等式和判断命题的真假。

教学重点：引导学生运用对比联想，得到不等式的简单性质，并学会用综合法证明不等式；掌握做差法比较两个数或两个代数式的大小.教学难点：不等式性质的直观解释和逻辑证明.教学过程：一、情景导入：【学生活动1】1.观看小视频；2.思考两次甜度之间的不等关系，回忆前面学习过哪些不等号；3.思考从这个视频中得到的数学问题是什么.【教师活动1】1. 播放小视频，提出问题。

2. 引导学生从视频中得到数学问题，提示学生实际问题不要忘记范围【设计意图】通过实际问题引入，选取贴近学生实际生活的素材，通过糖水不等式的视频创设情境，通俗易懂，学生更容易接受，关键是使学生能在实际问题中找到不等关系，并能列出不等式和不等式组，抽象成数学问题.根据学生的实际认知水平回顾不等式的概念，并可以借助生活常识成立的不等式引出比较大小的方法——作差法。

二、预备知识【学生活动2】4.思考怎样理解两个实数之间的大小；5.思考糖水不等式如何证明6.做练习：练习1：比较与的大小练习2：当时，比较与的大小【教师活动2】3．启发学生从数和形的角度去比较大小，以后做题的时候可以多角度的考虑问题。

4. 投屏显示答案，并让学生讲解。

5.总结作差法的步骤【设计意图】将实际的不等关系写成对应的不等式时，需要用到相应的数学符号，为后面学习不等式性质做铺垫；借助数轴，让学生观察实数的大小与数轴上点的运动的关系，体会数轴上点的运动引起实数大小的变化规律，进而直观感受到比较大小的变化规律，进而直观感受到比较较大小的原则，这有助于学生从形的角度思考问题，体现数形结合的数学思想方法.三、探究猜想不等式性质对比等式，不等式会有哪些类似性质；【学生活动3】7.自己思考后与同伴进行交流讨论8.思考如何证明这些猜想。

浅谈高中数学不等式内容的教学策略前言高中数学的不等式内容是数学的一个重要分支，不同于规律性代数式的推导和解答，数学不等式作为一种不确定性的表达方式，需要学生对数学基本概念抽象化和信息提取的能力，更需要学生对于信息的变革、转换以及解释的能力。

然而，由于学生其前期对于基本知识的掌握存在问题，部分同学容易出现理解不够深刻、题解难度升级等问题。

教师在高中数学不等式的教学中，需要有重点有难点地突出教学，在掌握基本概念的基础上，帮助学生对于信息的提取和解释能力的锻炼，加强解答多层次使用和对于重要知识真正掌握的关键技巧能力。

教材分析数学不等式在高中的学习过程中，通常是在代数式运算后进行教授的，通常初期会对于不等式的定义、性质、应用等进行教授。

教材中，会给出相关定义和例题，并会在相关习题中让学生进行归纳总结和思维的运用。

教学策略突出思维模式培养不等式教学的核心是帮助学生认识不等式教学与普通代数式运算的重要区别，帮助学生从对于信息的提取、解释和转化角度进行深入研究，提高学生的解决问题思维能力和解题技巧，从而培养学生的思维模式。

同时，不等式教学的另一个特点是，是一个锻炼理性思维能力的过程，教学中需要尤其强调注重培养数学逻辑思维、数学形式思维、数学图像思维等方面的能力，通过采用多元化教学，提升学生思维策略的运用能力。

建议教师采用问题解决式教学，将学生分成小组进行合理思考，引导学生慢慢培养数学思维的本质，从而提升学生思维的创造动力。

提高基本概念教育教学方法在高中不等式教学过程中，学生对于基本概念掌握程度并不完备，教师需要针对性强调不等式的定义、性质等方面进行教授，并对于常见基本概念进行讲解。

在样例讲解的过程中，可以引导学生透析解答过程中的重点难点，提高学生对于基本概念的透彻认识。

同时，在对于基本概念课程教授之余，教师可以利用习题进行重点挖掘和巩固训练。

在针对性训练过程中，可以采用分类训练、模拟对比训练等技巧，以提高学生对于基本概念的深刻认识。

高中数学教学反思：不等式的解法与应用教学策略与实践高中数学教学是培养学生数理思维能力，提高他们解决实际问题的能力的重要环节。

在数学教育中，不等式是一个重要的内容，它在许多实际问题中都有广泛的应用。

因此，如何有效地教授不等式的解法，并将其应用于实际问题中，是数学教学中需思考和探索的一个重要问题。

本文将对不等式的解法和应用教学策略与实践进行反思并提出相关建议。

一、不等式的解法反思在高中数学教学中，不等式的解法是学生必须掌握和运用的基本内容之一。

然而，在实际教学中，我们发现学生对不等式的解法常常缺乏深入理解，仅仅是机械地记忆公式和套用解题步骤。

这种解题方式不仅使学生缺乏对不等式概念本质的认识，而且限制了学生解决实际问题的能力。

为了提高学生对不等式的理解和解题能力，我们应该改变传统单一的解题模式，引导学生从多个角度理解和解决不等式问题。

例如，在教学中可以引入与图像相关的解法，通过绘制不等式的图像帮助学生形象地理解不等式的解集。

此外，还可以通过构建实际问题与不等式的对应关系，让学生将抽象的数学符号与实际情境相联系。

这种综合运用的解题方法将增强学生对不等式的认识，并培养他们解决实际问题的能力。

二、不等式的应用教学策略与实践反思在高中数学教学中，将不等式的解法应用于实际问题是提高学生数理思维能力的重要途径。

然而，我们在实践中发现，学生在解决实际问题时常常无法将抽象的不等式与具体情境相联系，从而使得解题过程变得困难和迷惑。

为了解决这个问题，我们需要在教学中注重培养学生的实际建模和问题转化的能力。

例如，在教学中可以通过引入实际生活中的案例，让学生感受到不等式的实际应用，同时培养他们将实际问题抽象为数学模型的能力。

同时，我们还应该鼓励学生在解决问题时，采用不同的解题方法和思路，培养他们的创新思维和解决问题的能力。

此外，教师在教学实践中应该充分发挥自身的示范作用，给学生提供解题的思路和方法。

例如，通过引入解题思路的演绎过程，让学生在实际操作中感受到解题的逻辑和思维过程。

课题：不等式的性质（1）教学目的：1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引入：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a>bab-⇔>baa=b-=⇔ab<ba<-⇔由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．三、讲解范例：例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小 把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项解：由题意可知：（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８）＝－７＜0∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）例2已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x 有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项解：由题意可知：（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1）＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1＝x 2∵x ≠0 ∴x 2＞0∴（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＞0∴（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么意味着x 可以全取实数，在解决问题时，应分x ＝0和x ≠0两种情况进行讨论，即：当x ＝0时，（x 2＋1）2＝x 4＋x 2＋1当x ≠0时，（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要 例3已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与ab 的大小 解：)()()(m a a b a m m a a bm ab am ab a b m a m b +-=+--+=-++ ∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0∴0)()(>+-m a a b a m ∴m a m b ++a 从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵例4 比较a 4-b 4与4a 3(a-b)的大小．解： a 4-b 4 - 4a 3(a-b)=(a-b)(a+b)(a 2+b 2) -4a 3(a-b)= (a-b)(a 3+ a 2b+ab 2+b 3-4a 3)＝(a-b)[(a 2b-a 3)+(ab 3-a 3)+(b 3-a 3)]= - (a-b)2(3a 3+2ab+b 2) =- (a-b)20323322≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a (当且仅当d ＝b 时取等号) ∴a 4-b 4≥4a 3(a-b)说明：“变形”是解题的关键，是最重一步和等是“变形”的常用方法 例5 已知x>y ，且y ≠0，比较y x 与1的大小 解：yy x y x -=-1 ∵x>y ，∴x-y>0当y<0时，y y x -<0，即yx <1 当y>0时，y y x ->0，即y x >1 说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论四、课堂练习：1在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（3＋2）2 ６＋26；（2）（3－2）2 （6－1）2；（3；(4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 21b答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜ 2选择题若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )A a ＞ab ＞ab 2B ab 2＞ab ＞aC ＞a ＞ab 2D ab ＞ab 2＞a 分析：利用作差比较法判断a ，ab ，ab 2的大小即可∵a ＜0，－1＜b ＜0∴ab ＞0，b －1＜0，1－b ＞0，0＜b 2＜1，1－b 2＞0∴ab －a ＝a （b －1）＞0⇒ab ＞aab －ab 2＝ab （1－b ）＞0⇒ab ＞ab 2a －ab 2＝a （1－b 2）＜0⇒a ＜ab 2故ab ＞ab 2＞a 答案：D 3比较大小：(1)（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2；(2)log 2131与log 23解：(1)（x ＋５）（x ＋７）－（x ＋６)2＝（x 2＋12x ＋3５）－（x 2＋12x ＋3６）＝－1＜0∴（x ＋５）（x ＋７）＜（x ＋６）2 (2)解法一：(作差法)log 2131－log 2131＝3lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 2lg 3lg 31lg 21lg 21lg 31lg 22-=-=-＝3lg 2lg )2lg 3)(lg 2lg 3(lg -+＞0∴log 2131＞log 2131解法二：(中介法，常以“－1，0，1”作中介)∵函数y ＝log 21x 和y ＝log 31x 在（0，＋∞）上是减函数且21＞31 ∴log 2131＞log 2121＝1，log 3121＜log 3131＝1 ∴log 2131＞log 312 4如果x ＞0，比较（x －1）2与（x ＋1）2的大小解：（x －1）2－（x ＋1）2＝［（x －1）＋（x ＋1）］［（x －1）－（x ＋1）或［（x －2x ＋1）－（x ＋2x ＋1）］＝－4x∵x ＞0 ∴x ＞0 ∴－4x ＜0 ∴（x －1）2＜（x ＋1）2解：（a 2＋2a ＋1）（a 2－2a ＋1）－（a 2＋a ＋1）（a 2－a ＋1）＝［（a 2＋1）2－（2a ）2］－［（a 2＋1）2－a 2］＝－a 2∵a ≠0，∴a 2＞0 ∴－a 2＜0故（a 2＋2a ＋1）（a 2－2a ＋1）＜（a 2＋a ＋1）（a 2－a ＋1）五、小结 ：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论第三步：得出结论在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系六、课后作业：1．已知142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解： 241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)解： 2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a ，0>t ，比较t a log 21与21log +t a 的大小 解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a4．设0>a 且1≠a ，比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解： )1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a七、板书设计（略）八、课后记：。

高中课程标准下不等式性质教学内容安排的思考﹡李克大(南京市人民中学 210018) 当前，高中课程改革正在全国各省市逐步推开.新课程标准关于不等式的内容与以前的教学大纲相比有了明显的改变.原有的主要内容分别归人了必修模块5和选修模块4一5，归并、增添了一些新的内容.因此，不等式教学面临着明显的变化.其中不等式的性质在教学内容上课程标准未给出具体要求，使得不同版本的教材之间形成了一定的差异，也对教学的实施带来了不确定因素和几个相关的问题.我们回顾课程改革之前高中不等式性质教学的内容、方法与成效，反思其中的得与失，思考不等式性质教学应当如何改进，以此为鉴，会对新课程标准下不等式性质的教材建设和教学实施带来一些有益的启示.1不等式性质在中学数学中的作用从总体上看，不等式性质的作用是为不等式的变形提供方法.它与其他教学内容有如下关系：1.1不等式的基本性质是“比较法”的依据运用比较法比较大小或证明不等式，是贯穿于高中阶段的解决不等式问题的一个常用方法. 它的基本形式就是将两式的大小关系问题转化为它们差的符号问题，而转化的依据则是不等式的基本性质：0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a .例如高一对函数单调性的证明， 由于学生对不等式相关知识和方法的掌握方面还很欠缺，所以我们将证明)()(21x f x f 与的大小关系，转化为判断)()(21x f x f -的符号问题，从而以)()(21x f x f -的恒等变形作为主要步骤，避免了对运用不等式性质进行变形的依赖.1.2不等式的性质为不等式的变形提供了依据和方法无论是解不等式、证明不等式，还是运用基本不等式求最小、最大值，都不可避免地将不等式的变形作为解决问题过程的一部分.不等式的性质不仅是不等式变形的理论依据，同时还引导我们形成根据需要进行变形的方法.例如不等式证明的过程，就是将待证的不等式通过变形，找出与已知条件或已知不等式之间的因果关系.而课程标准中所给出的运用“放缩法”证明不等式的要求， 本质上就是学会在不等式性质中的“不等量传递性”的引导下，主动找寻适当的“中间量”，通过它与不等式两边大小关系的比较证明结论的方法.1.3不等式的性质是命题与逻辑用语学习的良好载体在命题与逻辑用语的学习过程中，我们常常会列举与不等式性质相关的问题作为范例.不仅在大纲版人教社教材和课标版各教材的简易逻辑部分，都配有与此相关的例题、练习题作为逻辑学习的载体，在各类教辅用书和重要考试的考题中， 以不等式性质或其运用作为素材的逻辑问题也是屡见不鲜的.这不仅是因为不等式的性质具有形式简洁明确、易于体现逻辑关系的特点，还因为它的工具作用使得我们在以许多其他教学内容作为题材提出围绕命题与逻辑用语的问题时，也与不等式的性质相关.由此可见，不等式的性质在高中数学教学中是一个重要的内容.2不等式性质教学的回顾与反思回顾多年来高中不等式性质的教学，能引发我们理性的反思和新的设想.我们在使用教学大纲下的人教版教材实施不等式性质的教学过程中，从学生的理解、掌握、运用上来看，对性质本身的理解要求能够较好地达成.这不仅是因为教材的表述清晰明确，并做出了严格证明，同时还应当归功于判断是非的教学活动，它帮助学生对不等式性质的认识从形式进人实质.大纲版的人教社教材在练习和习题中，配备了一组是非判断性问题，并要求学生举例说明理由，这就为培养学生的数学判断能力起到了积极的作用.通过说明理由或列举反例的训练，使学生学会了怎样判断是非、说清原因.这样，不等式性质的教学在培养学生的思维能力方面也有了建树.然而在不等式性质的运用方面，则存在着比较明显的缺陷.我们考察了学生对不等式性质的运用情况，发现运用得最顺利、最充分的还是初中已经学过的那几条.在解决不等式证明问题时，常常因为不善于运用不等式的性质而找不出解决|《题的关键.例如已知正数b a ,满足1=+b a .求证：941≥+ba . 学生在经过不等式证明的学习之后，一般都会采用常数逆代”的方法，得到942545))(41(41=+≥++=++=+ba ab b a a b b a b a b a 但将问题稍加变动，改为：已知正数b a ,满足1<+b a .求证：941>+ba .我们只需将以上的过程改为94545))(41(1)41(41=+≥++=++>⋅+=+ba ab b a a b b a b a b a b a . 而这却使得许多学生感到无从下手.比较两者的差别，后者只是将前者证明过程中的“等量替换”变为“不等量传递”，就带来了证明的困难.这个现象有可能是历年来高考在不等式证明方面得分率低的原因之一.究其原因，主要是教学过程中只能顾及对每条性质形式上的注意和理解，没有能从实质特征和作用方面区分这些性质.证明不等式的变形，与用“同解变形”方法解不等式的变形，本质区别就在于前者的变形不必具有等价性， 可以由“强”及“弱”，这就使得所有各条性质都有了运用的前提.而那些在条件与结论之间具有等价性的性质，由于在解不等式的学习时就被反复运用，以后在解决其他不等式问题中也仍在使用，所以被强化到掩盖住了不具有等价性性质作用的地步.产生这个现象的原因，首先是教材中不等式性质的内容设计不够合理，只注意到教学内容的系统性，而忽视了认知效果.不等式性质的工具特点，决定了它的教学应当密切联系运用.初中所学的几条，正是由于紧密结合了解一元一次不等式和不等式组的运用，才得以牢固掌握.而在高中，我们用一两节课密集地进行了大量不等式性质及其推论的教学，——这是个多环节反复的过程. 由于性质和推论数量多，又具有一致的单纯符号的表现形式，所以教学过程显得枯燥、生硬，难以留下完整印象（几乎没有人愿意设置这个内容作为公开课或教学竞赛的题材，就是这个原因）.在以后的运用不等式性质变形的场合中，也缺少对哪些性质适用于解决什么问题的分析和归纳.这样就造成了以上所说的现象.只要我们对此有所认识,课程改革就有可能成为解决这个问题的一个契机.3高中课程标准实施后不等式性质教学安排的思考高中数学课程标准〈实验）在必修部分的不等式要求中未涉及到不等式的性质，而是在选修系列4的“不等式选讲”中有“回顾和复习不等式的基本性质”的要求，但未具体列出包括哪些性质. 这就带来了几个问题：不等式性质的教学内容怎样设计才合理？0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a 是导出不等式性质的基础，显然不可缺少.而不等式的对称性、传递性，不等式的加、乘、乘方、开方，同向不等式相加、同向非负不等式相乘，是否都应被列人不等式的基本性质？对性质证明的要求应当如何把握？对此，课标版的各教材都作出了调整和尝试.例如人教社13本就在必修5中加人了不等式的性质，并在选修4一5中再次给出了这个内容；人教社A本则将大纲版中的两条性质⇒>+，；bda+>c>bdacdb>>>,0.⇒acda>cb改为两个结论；各版本对不等式性质的证明都适当降低了要求，等等.这使得课程改革前不等式性质教学中过度追求形式化所带来的缺陷和问题有所改变.但我们也需要关注在淡化推证的同时，不等式性质之间的相互关系、来龙去脉是否变得模糊了？不等式证明的逻辑严密性会不会受到负面影响？除此以外，从以前教学大纲中的“性质”到课程标准中的“基本性质”，两种称呼区别是什么？哪一个更合理？这也需要作出推敲.在教材选修4一5中进行“回顾和复习”与在此之前的学习应当怎样呼应？由于课程标准必修部分和选修系列1、2、3中都未提及不等式的性质，使得不同版本教材对不等式性质的安排产生了一定程度的差别.在实施教学的过程中，不等式性质何时引人、怎样引人，对不等式以及相关内容的学习最有利？由于课程标准打破了以往的知识系统，有可能导致教学过程中在不等式证明上违背逻辑关系.在必修模块5的“不等式”和选修系列的“推理与证明”中，有的教材中出现了运用不等式的传递性或同向不等式相加、同向非负不等式相乘证明不等式的例题和习题，而这些性质在未导入和推证之前就作为论证的大前提，是我们应当注意避免的逻辑错误.怎样才能在不犯逻辑错误的前提下充分运用不等式的性质？面对当前教学内容、措施方面的问题和以往教学成效方面的问题，我们需要拿出既合理而又有效的方案，实施不等式性质的教学，为不等式的证明和其他运用、为使用不等式的性质培养学生思维能力创设条件.为此，我们对当前实验期课程标准的教材编写和教学实施提出以下的设想和建议：(一）在必修模块5的不等式部分关于“不等关系”的内容之中，以不等式的现实背景作为开始，导人不等式的基本性质、不等式的对称性，并以形式化的表述方式复习初中学过的不等式性质，简单归纳它们在不等式变形中的作用，使学生在了解到不等式实际意义的同时，从“温故”中感受到作为工具的不等式在解决问题中的特点，因而有所“知新”、有所感悟.(二）选择适当时机引入其他不等式的性质，主要包括传递性、同向不等式的相加、同向非负不等式的相乘.这三条性质为不等式的非等价变形提供了依据，不仅引导出了不等式证明中的重要变形方法，还能顺势引人“放缩法”等证明技巧和方法.引人这些性质的安排应当与实际运用的需要相一致.具体的教学设置方案，如果在必修5和选修2之后再学习不等式性质，则需要注意选用的例题、习题所使用的不等式性质应控制在初中所学过的范围内；而如果我们为了在平均不等式的运用或在“推理与证明”教学中，将能力要求和逻辑思维的发展作为重要的目标和要求，则应当将部分不等式性质的补充作为必要的前提，以适应不等式变形的需要，以后再在选修4一5的学习过程中复习总结.新课程标准为教师的教学提供了更广阔的自主活动空间，去尝试怎样达成数学教育的目标；同时也需要教师在教学过程中对数学知识的逻辑关系有深刻的认识，从而能积极主动地关注教材的合理使用.从这个意义上说，新课标提高了对教师的要求.减少不等式性质的数量.例如原来的“乘方”、“开方”性质就可以精简为例题或习题，与“取倒数”性质同等作为运用问题出现在例题或习题中.这样做虽然从运算上来看不够系统，但更能适应中学阶段解决问题的需要，因为不等式“乘方”、“开方”性质对典型方法的形成起不到关键作用.总的来说，就是对原先的不等式性质内容采取分割的方法，以适应与运用相衔接的需要；采取适当删减的作法，以突出重点，保证教学效果.进行这样的调整，不仅能为不等式证明中变形方法的形成创造条件，也应当能改变以往的不等式性质教学形式单一、枯燥乏味、效果不够理想的状况，使不等式性质的教学走上学与用紧密结合的新路.注﹡：本文来自《数学通报》，2009（12）.案例分析：1.选题是作者在熟谙教材内容并经深思后的结果，显示作者对教材有整体、宏观把握，又很善于积累教学经验。

高中数学不等式解题技巧思考沈子儒(安徽省利辛县第一中学ꎬ安徽亳州２３６７００)摘㊀要:不等式知识应用范围广ꎬ涉及到的题型更是复杂多变ꎬ文章通过举例详细剖析了不等式的反证解题技巧㊁不等式的换元解题技巧㊁不等式的性质解题技巧和线性规划题的解题技巧等.关键词:高中数学ꎻ不等式ꎻ解题技巧中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２２－００４６－０３收稿日期:２０２３－０５－０５作者简介:沈子儒(１９８７.９－)ꎬ男ꎬ安徽省亳州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀不等式是用符号大于㊁小于㊁大于等于㊁小于等于等表示大小关系的一类式子.在高中数学中ꎬ涉及题型比较广泛ꎬ包括选择题㊁填空题与计算题等ꎬ假如学生没有透彻理解不等式知识ꎬ难以熟练掌握解题技巧ꎬ他们就无法很好地解题.高中数学教师应高度重视不等式解题技巧的思考ꎬ利用各种常见的题型组织学生进行集中训练ꎬ使其结合具体题目使用相应的技巧分析和解答ꎬ不断提高他们的解题水平ꎬ反过来辅助对理论知识的深化理解.１不等式的反证解题技巧不等式作为高中数学教学中比较重要的一部分内容ꎬ通常以各种题型出现在平常练习与考试当中.解答有关不等式的题目时往往要用到各种技巧ꎬ其中反证方式应用的较为广泛ꎬ这是以正难则反为基础形成的ꎬ在证明类的问题中使用有着不错的效果.对此ꎬ高中数学教师可指导学生在处理不等式证明类题目时采用反证法ꎬ使其将整个证明过程变得更为便捷与简单ꎬ将不等式证明问题的解答变得更为高效ꎬ帮助他们掌握不等式证明题的解题技巧[１].例１㊀已知ａ＋ｂ＋ｃ>０ꎬａｂ＋ｂｃ＋ａｃ>０ꎬａｂｃ>０ꎬ请结合以上条件证明ａ>０ꎬｂ>０ꎬｃ>０.解析㊀根据题干中提供的条件ａｂｃ>０ꎬ能够得出ａꎬｂꎬｃ均不可能是０ꎬ这里要用到反证的方式.假设ａ<０ꎬ则ｂｃ<０ꎬ又因为ａ＋ｂ＋ｃ>０ꎬ所以ｂ＋ｃ>－ａꎬ由此可以得到ａ(ｂ＋ｃ)<０.所以ａ(ｂ＋ｃ)＋ｂｃ<０.不过这一式子明显同题干中提供的信息相冲突ꎬ所以说这个假设是无法成立的ꎬ也就是表明ａ>０ꎬｂ>０ꎬｃ>０.２不等式的换元解题技巧处理部分数学问题时ꎬ把其中一个式子当作一个整体来看待ꎬ且运用一个变量进行替换ꎬ从而将问题变得更为简单ꎬ这就是常用的换元法ꎬ广泛适用于方程㊁函数㊁不等式等解题实践中ꎬ根本思想是转化ꎬ关键在于构建 元 与设置 元 .在高中数学不等式解题训练中ꎬ教师可以引导学生采用换元解题技巧ꎬ把研究对象进行变换ꎬ问题转移至新对象上面ꎬ目的是让非标准的问题变得标准化ꎬ复杂问题变得简单化ꎬ最终让他们轻松解答不等式问题[２].例２㊀已知ａꎬｂꎬｃɪＲ＋ꎬ请证明ａｂｃȡ(ｂ＋ｃ－ａ)(ｃ＋ａ－ｂ)(ａ＋ｂ－ｃ).解析㊀使用换元法假设ｘ＝ｂ＋ｃ－ａꎬｙ＝ｃ＋ａ－６４ｂꎬｚ＝ａ＋ｂ－ｃꎬ这时可以转变为证明(ｘ＋ｙ)(ｙ＋ｚ)(ｘ＋ｚ)ȡ８ｘｙｚ.由于ｘ＝ｂ＋ｃ－ａꎬｙ＝ｃ＋ａ－ｂꎬｚ＝ａ＋ｂ－ｃꎬ则ａ＝１２(ｙ＋ｚ)ꎬｂ＝１２(ｘ＋ｚ)ꎬｃ＝１２(ｘ＋ｙ).因为ａꎬｂꎬｃɪＲ＋ꎬ所以当ｘｙｚ<０时ꎬ可以得到(ｘ＋ｙ)(ｙ＋ｚ)(ｘ＋ｚ)ȡ８ｘｙｚ.当ｘｙｚ>０时ꎬ有ｘꎬｙꎬｚɪＲ＋ꎬ假如ｘꎬｙꎬｚ三者当中有任意两个比０小ꎬ那么ｃɤ０与ｃ>０是相矛盾的ꎬ由此得到ｘ＋ｙȡ２ｘｙ>０ꎬｙ＋ｚȡ２ｙｚ>０ꎬｘ＋ｚȡ２ｘｚ>０.则(ｘ＋ｙ)(ｙ＋ｚ)(ｘ＋ｚ)ȡ８ｘｙｚ.然后把ｘꎬｙꎬｚ代入到原式中可以得到ａｂｃȡ(ｂ＋ｃ－ａ)(ｃ＋ａ－ｂ)(ａ＋ｂ－ｃ).３用不等式性质解题技巧在高中数学不等式解题教学中ꎬ教师应关注学生对不等式基本性质的合理运用ꎬ这是一项最基础的解题方式与技巧ꎬ可以应用至各种类型的不等式试题中ꎬ不少题目都要用到不等式的基本性质.如:不等式具有传递性ꎬ也就是如果ａ>ｂꎬｂ>ｃꎬ则ａ>ｃꎻ不等式还有可加性特点ꎬ假如ａ>ｂꎬ就表明ａ＋ｃ>ｂ＋ｃꎬｃ>０时ꎬａｃ>ｂｃ.所以ꎬ学生可以利用不等式的基本性质进行解题ꎬ能够快速找到解题的切入口ꎬ继而提高他们解题的准确率[３].例３㊀平面上有ｎ个圆ꎬ其中每两个圆都相交于两点ꎬ每三个圆都不相交于同一个点ꎬ请证明ｎ个圆将平面分成ｆ(ｎ)＝ｎ２－ｎ＋２个部分.解析㊀(１)归纳法ꎬ当ｎ＝１时ꎬ一个圆可以把平面分成两个部分ꎬ即ｆ(１)＝１２－１＋２＝２ꎬ故命题成立.(２)假设ｎ＝ｋꎬ该命题成立ꎬ也就是说ｋ个圆将平面分成ｆ(ｋ)＝ｋ２－ｋ＋２个部分ꎬ则设第ｋ＋１个圆的圆心为Ｏꎬ根据题意可知它与ｋ个圆中每个圆相交于两个点ꎬ又无三个圆相交于同一点ꎬ那么与其它ｋ个圆相交于２ｋ个点ꎬ以此结合题目中提供的条件有效证明出命题的结论ꎬ这是对不等式基本性质的充分运用.４线性规划题的解题技巧不等式与线性规划结合到一起也是高中数学中一类比较常见的题目ꎬ与其它题型相比解题难度稍大ꎬ主要求解的是目标最大值与最小值ꎬ但是学生在处理这类试题时十分容易出现错误ꎬ教师需给予格外关注ꎬ帮助他们扫除解题障碍ꎬ使其掌握相应的解题技巧.具体来说ꎬ处理不等式与线性规划结合类的题目时ꎬ学生应当精准掌握求解面积与定义域的相关知识ꎬ了解不等式性质与线性规划两者之间的内在联系ꎬ从而帮助他们学会准确解答此类试题[４－５].例４㊀已知ａ>０ꎬ参数ｘꎬｙ会满足以下三个条件ꎬｘ＋ｙɤ３ꎬｘȡ１ꎬｙȡａ(ｘ－３)ꎬ如果ｚ＝２ｘ＋ｙ的最小值为１ꎬ那么ａ的值是什么?解析㊀可以根据题意画出图１所示的坐标轴示意区ꎬ当所求的目标函数经过Ａ区域时ꎬ点Ａ坐标是(１ꎬ－２ａ)ꎬ然后把函数的目标值代入就能求出ａ＝１２.㊀图１㊀坐标轴示意图５用数形结合解不等式题数形结合指的是 数 与 形 之间的有机结合ꎬ这是数学思想方法中最为常用的一种ꎬ不仅可以用来解答不等式相关的试题ꎬ还能够运用至其它数学试题的解答中ꎬ与其它解题技巧相比ꎬ数形结合能够将题目变得更为形象与直观ꎬ有助于学生快速找到解题思路ꎬ让他们高效解题.当运用数形结合思想解决不等式类题目时ꎬ高中生要注重 以形助数 的应７４用ꎬ将 数 由 形 的形式呈现出来ꎬ使其找到更简便的解题方法ꎬ锻炼他们的解题技巧[６].例５㊀已知关于ｘ的不等式ｘ２ɤ４－｜２ｘ＋ｍ｜ꎬ如果至少存在一个ｘȡ０使得该不等式成立ꎬ那么ｍ的取值范围是什么?解析㊀对原不等式进行整理后得到｜２ｘ＋ｍ｜ɤ－ｘ２＋４ꎬ将不等式的左右两边均看作成函数ꎬ即为ｙ＝｜２ｘ＋ｍ｜与ｙ＝－ｘ２＋４ꎬ这里要从反面思考问题ꎬ即:如果对于任意的ｘȡ０ꎬ均有｜２ｘ＋ｍ｜>－ｘ２＋４ꎬ在同一个平面直角坐标系中画出两个函数图象ꎬ如图２所示ꎬ根据图片信息能发现当ｍ的值发生变化时ꎬ函数ｙ＝｜２ｘ＋ｍ｜的图象将会沿着ｘ轴进行运动ꎬ图２中两个临界条件ꎬ分别对应于ｍ>４ꎬ或者ｍ<－５ꎬ由此表明要想满足题意ｍ的取值范围应该是[－５ꎬ４].图２㊀函数图象示意图６不等式高次题解题技巧在高中数学不等式相关内容教学中ꎬ高次不等式问题不仅属于一项重要教学内容ꎬ还是一大难点ꎬ处理此类不等式问题时ꎬ最经常出现错误的地方就是划分区域时容易混乱ꎬ无法准确判断出特殊的区域或者特殊点.对此ꎬ高中数学教师可以结合高次不等式开展专题训练ꎬ指引学生采用因式分解的方法进行解题ꎬ借此把高次不等式转变为低次不等式ꎬ复杂问题作简化处理ꎬ将问题变得更为清晰明了ꎬ使其极易找到解题的切入点ꎬ继而掌握解题技巧[７].例６㊀求解不等式(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)>０.解析㊀结合题目中给出的三次不等式方式能够画出如图３所示的图象ꎬ第一步ꎬ画出一个坐标轴ꎬ在坐标轴上面标出１ꎬ２ꎬ３三个点的位置ꎬ由此将坐标轴划分为４个区间ꎻ第二步ꎬ把靠近右边区间看作为正ꎬ其它的看作为正负相间ꎬ在各个区间内标出正负号ꎻ第三步ꎬ用 ＋ 表示不等式大于０ꎬ用 － 表示不等式小于０ꎬ这样能更为形象地观察到不等式的区域ꎬ可明显得出ｘ的取值范围是１<ｘ<２或者ｘ>３.图３㊀不等式曲线图使用 穿根法 进行解题时ꎬ应先画出一个坐标轴ꎬ再在坐标轴上面绘制出不等式的情况ꎬ结合所画坐标轴及穿线顺序判断不等式的大小情况ꎬ这一解题技巧显得简单㊁直观ꎬ解题难度有所降低.总而言之ꎬ在高中数学教学活动中ꎬ解题训练是相当关键的构成部分ꎬ是学生运用所学知识处理问题的主要途径与渠道ꎬ尤其是在不等式教学实践中ꎬ教师要充分考虑到不等式知识的广泛运用ꎬ精心设计多种多样的题型展开不等式解题训练ꎬ使其通过亲身实践掌握大量的不等式解题技巧ꎬ逐渐树立起学习数学的自信心ꎬ全面提升他们的数学解题水平.参考文献:[１]鲁亚萍.核心素养下高中数学不等式的解题思路研究[Ｊ].中学课程辅导ꎬ２０２２(１７):９－１１.[２]李光星.基于高中数学基本不等式解题技巧分析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１９):１６－１７.[３]古智良.高中数学不等式易错题型及解题技巧分析[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(５２):７５－７６.[４]陈大祥.浅析新课改下高中数学基本不等式解题技巧[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１２):４８－４９.[５]黄细盈.高中数学不等式难点有效解题方法分析[Ｊ].数学大世界(上旬)ꎬ２０２１(０２):８１.[６]祝永华.高中数学不等式易错题型解题技巧分析[Ｊ].中学教学参考ꎬ２０２０(３５):２９－３０.[７]丁晓军.数学思想在高中不等式解题教学中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(３０):１２－１３.[责任编辑:李㊀璟]８４。

不等式教学反思篇一：不等式教学反思不等式一章，对学生来说是难点，把握好教学很关键，我经过教学反思见下。

1、教学“不等式组的解集”时，用数形结合的方法，通过借助数轴找出公共部分求出解集，这是最容易理解的方法，也是最适用的方法。

用“大大取较大、小小取较小、大小小大取中间、大大小小取不了”求解不等式，我认为减轻学生的学习负担，有易于培养学生的数形结合能力。

在教学中我要求学生两者皆用。

2、加强对实际问题中抽象出数量关系的数学建模思想教学，体现课程标准中：对重要的概念和数学思想呈螺旋上升的原则。

教学中，一方面加强训练，锻炼学生的自我解题能力。

另一方面，通过“纠错”题型的练习和学生的相互学习、剖析逐步提高解题的正确性。

3、把握教学目标，防止在利用一元一次不等式（组）解决实际问题时提出过高的要求，重点加强文字与符号的联系，利用题目中含有不等语言的语句找出不等关系，列出一元一次不等式（组）解答问题，注意与利用方程解实际问题的方法的区别（不等语言），防止学生应用方程解答不等关系的实际问题。

4、本节课课堂容量（安排的例题的题量太多）偏大，而且在思维上也有比较特殊的地方，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。

因此今后在课时的安排上要尽可能的安排更多的课时，以减少每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。

同时还要重视思考题的作用，因为班上有一部分同学体现出基础比较扎实，而且对数学也比较有兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的同学能有所提高。

5.从课堂的效果来看学生对象客观题这样的题型（如：选择题、填空题）用特殊方法解题的思维还不够，他们总是担心会出问题，特别是选择题缺乏比较和分析的能力，因为选择题是一种比较特殊的题型，它的特殊性在于这类题目的答案是已知的，有的学生在做题的时候根本就不看题目中的四个选择答案，实际的解题过程中对于选择题来讲能把四个答案选项分析清楚对提高解题的速度和准确性是很有好处的。

新教材《不等式》的教学体会新教材《不等式》的教学体会不等式是中学教学的重要内容之一，是进行计算、推理、数学思想方法渗透的重要题材，也是中学数学其它内容的基本支柱，下面就依据新教材谈谈自己教学这一部分内容的一些体会：一、教材分析1、不等式的地位与作用（1）不等式是中学数学基本内容，其性质及解法在其它内容中得到体现和应用，如函数的定义域、单调性、最值、复数有关问题等等。

（2）不等式有着广泛的应用，如建房面积、人口增长、经济发展、生态环境等一系列问题都需用到不等式的有关知识。

（3）不等式是培养学生数学思想方法的良好题材，如分类讨论问题、整体换元、数形结合、转化化归等等。

2、不等式的重点与难点不等式这一部分的重点内容是不等式的性质及一些常见不等式的解法，难点内容是实际应用及解不等式所涉及到的分类讨论、转化化归、换元等数学思想方法的理解和应用。

3、教材与旧教材的比较（1）内容的合理性针对职业中学学生的实际情况，新教材降低了起点，以中学内容为主体，穿插了许多初中基本内容，这样既达到复习旧知识和掌握新知识的目的，又进一步增强学生学习的信心，从而激发学生的学习兴趣。

如一元一次不等式（组）、一元二次方程（函数），在初中已经学过，但在新教材中不但提出来，而且又系统复习了有关内容，这在以往的教材中是从来没有过的。

（2）例题、习题的层次性新教材根据不同的专业及学生的差异，例题和习题进行分层编排，以往教材只分了两个层次，但新教材分层更细化、更清楚。

新教材的习题分四个层次，第一层次是课内练习，基本与课内讲例一一对应，学生通过模仿例题就能顺利完成；第二层次是A类课外习题，它的要求和功能与课内练习相同，可以说是“依葫芦画葫芦”；第三层次是B 类课外习题，它的功能与要求则是“依葫芦画瓢”，需要学生对所学知识稍有改造或创造，达到“依猫画虎”的地步。

应该说，这样的习题配备既有针对性又有实效性，既减轻了教师的负担又增加了学生选择的空间。

《不等式》教材分析与教学建议 20XX 年9月28日增城中学 程泽兵不等关系在现实生活中大量存在，不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了在量上的区别，是研究函数的工具。

在这次课程改革中，新教材与旧教材相比，对“不等式”这块内容进行了调整，课程内容有了较大的变化。

我们就新教材必修模块数学5“不等式”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理等方面的变化进行简要的分析，并对数学教学中应注意的几个问题谈一些设想和教学建议，供大家参考。

一．新教材中“不等式”与原课程中“不等式”的比较1．课程理念的变化：以往的高中数学内容中，不等式部分重在理论阐述、推导、和解不等式的技巧训练，新课程则强调不等式的现实背景和实际应用。

把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述、刻画优化问题的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论探讨。

新课程标准特别强调发展学生的数学应用意识，新教材的各个章节无论是在问题的提出还是例题配备上实际背景的应用题随处可见，这是新教材的一大特色；另外，新课程标准要求与时俱进地认识“双基”，把算法内容作为新的数学基础知识和基本技能融入到数学课程的各个相关部分。

不等式这一节内容中要求学生尝试设计一元二次不等式的求解流程图，这是新教材的又一特色；2．课程内容的变化：理念的变化必然导致教材内容的变化，新教材中“不等式” 与旧教材相比，删减的内容有三项： ①不等式的性质；②不等式的证明；③含有绝对值的不等式。

增加的内容也有三项：①二元一次不等式表示的平面区域；②二元一次不等式组表示的平面区域；③简单的线性规划问题。

3．教学要求的变化旧教材对不等式的教学要求是：①理解不等式的性质与证明。

②掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

③掌握用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

④掌握二次不等式、简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法。