浙江向量 高考试题

专题11平面向量1．【2021·浙江高考真题】已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b =，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件故选：B.2．【2021·全国高考真题】已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A ．12OP OP = B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α=====，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC3．【2020年高考全国III 卷理数】6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b +== ，因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ .故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB⋅的取值范围是A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()2,4-D ．()4,6-【答案】A 【解析】如图，AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.5．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．6．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=- ，1BC == ，得3t =，则(1,0)BC = ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．7．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅ ，即22||||AB AC AC AB +>- ，因为AC AB BC -= ，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC|”的充分必要条件,故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8．【2021·浙江高考真题】已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅= .记向量d 在,a b方向上的投影分别为x ，y ，d a - 在c方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得22x y +=，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n === ，，则()20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y = ，所以d a - 在c 方向上的投影()||d a c z c -+-⋅===，即22x y +=,所以(()()222222222211221210105x y z x y z x y ⎡⎤++=++++≥+=⎢⎥⎣⎦ ，当且仅当2122x y x y ⎧==⎪⎨⎪+=⎩ 即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出,,x y z 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.9．【2021·全国高考真题（理）】已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.10．【2021·全国高考真题】已知向量0a b c ++= ，1a =，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-【分析】由已知可得()20a b c++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：92-.11．【2021·全国高考真题（理）】已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．12．【2021·北京高考真题】(2,1)a = ，(2,1)b =-，(0,1)c = ，则()a b c +⋅=_______；a b ⋅=_______．【答案】03【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+= ，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.13．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||-=a b ______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以||||1==a b所以||1+====a b ，解得：21⋅=-a b ，所以||-===a b ，故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.14．【2020年高考全国II 卷理数】已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得：11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】(1).16；(2).132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠= ，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴ ，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为333,22A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭,∵又∵16AD BC = ,则5,22D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,22DM x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3,22DN x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以，当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.16．【2020年高考北京】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．；1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =-，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.17．【2020年高考浙江】已知平面单位向量1e ，2e满足122||-≤e e ．设12=+a e e ，123=+b e e ，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是_______．【答案】2829【解析】12|2|e e -≤u r u r Q 124412e e ∴-⋅+≤u r u r，1234e e ∴⋅≥u r u r ，222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅u r u r u r u r r r u r u r u r u r u r u rr r 12424228(1(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯u r u r .故答案为：2829.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.18．【2020年高考江苏】在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是▲．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时，32PA PC = ，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=> ．19．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=-c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=-⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．20．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= ___________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B，5(,)22D .因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(3y x =-，直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-.由(333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -.所以35(,)1)122BD AE =-=- .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.21．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则AB AC的值是___________．3【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC = 即,AB = 故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.22．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 的最小值是___________；最大值是___________．【答案】0； 0所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.。

浙江省平⾯面向量量历年年⾼高考题⼀一、选择题1.（）设是两个⾮非零向量量，则有（） A 、若，则B 、若，则C 、若，则存在实数，使得D 、若存在实数，使得，则2.（）若⾮非零向量量满⾜足，则（ ） A 、 B 、 C 、 D 、3.（）设向量量满⾜足：。

若以的模为边⻓长构成三⻆角形，则它的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个4.（）设是边上⼀一定点，满⾜足，且对于边上任⼀一点，恒有，则（ ）A 、B 、C 、D 、5.（）记， ，设为平⾯面向量量，则（ ） A 、 B 、 C 、 D 、2012⋅5a ,b |a +b |=|a |−|b |a ⊥b a ⊥b |a +b |=|a |−|b ||a +b |=|a |−|b |λb =λa λb =λa |a +b |=|a |−|b |2007⋅7a ,b |a +b |=|b ||2a |>|2a +b ||2a |<|2a +b ||2b |>|a +2b ||2b |<|a +2b |2009⋅7a ,b |a |=3,|b |=4,a ⋅b =0a ,b ,a−b 2013⋅7△ABC ,P 0AB P 0B =14AB AB P PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ∠ABC=90o ∠BAC =90o AB =AC AC =BC 2014⋅8max {x ,y }={x ,x ≥y y ,x <y min {x ,y }={y ,x ≥y x ,x <ya ,b min {|a +b |,|a −b |}≤min {|a |,|b |}min {|a+b |,|a −b |}≥min {|a |,|b |}min {|a +b |2,|a −b |2}≤min {|a |2,|b |2}min {|a+b |2,|a −b |2}≥min {|a |2,|b |2}6.（）已知是平⾯面内两个互相垂直的单位向量量，若向量量 满⾜足，则的最⼤大值是（ ） A 、1 B 、2 C 、 D 、7.（(⽂文)）设为两个⾮非零向量量的夹⻆角，已知对任意实数，的最⼩小值为1，则（ ）A 、若 确定，则唯⼀一确定B 、若 确定，则唯⼀一确定C 、若确定，则唯⼀一确定D 、若确定，则唯⼀一确定 8.（）已知是平⾯面向量量，是单位向量量，若⾮非零向量量与的夹⻆角为，向量量满⾜足则的最⼩小值是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、9.（）已知向量量，，满⾜足对任意，恒有，则（ ）A 、B 、C 、D 、 ⼆二、填空题10.（）已知，若平⾯面内三点，，共线，则____________. 11.（）设向量量满⾜足，，. 若，则____________.12.（）已知平⾯面上三点，，满⾜足，，，则____________13.（）若平⾯面向量量 满⾜足，，且以向量量为邻边的平⾏行行四边形的⾯面积为，则 的夹⻆角 的取值范围是____________2008⋅9a ,b c (a −c )⋅(b −c )=0|c |2222014⋅9θa ,b t |b +ta |θ|a |θ|b ||a |θ|b |θ2018⋅9a ,b ,c e a e π3b b 2−4e ⋅b +3=0,|a −b |3−13+122−32005⋅10a ≠e |e |=1t ∈R |a −te |≥|a −e |a ⊥e a⊥(a −e )e ⊥(a −e )(a +e )⊥(a −e )2008⋅11a >0A (1,−a )B (2,a 2)C (3,a 3)a=2006⋅13a ,b ,c a +b +c =0(a −b )⊥c a ⊥b |a |=1|a |2+|b |2+|c |2=2004⋅14A B C AB =3BC =4CA =5AB ⋅BC +BC ⋅CA +CA ⋅AB =2011⋅14α,β|α|=1|β|≤1α,β12α,βθ14.（）在中，是的中点，，，则____________15.（）已知是空间单位向量量，。

平面向量练习1．.设向量 a b c ，，满足()=0 a b c a b c ++-⊥，，a b ⊥若=1a ，则222a b c ++的值是2．已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ． 3．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝ ．4．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝（ ）A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab5．设a ，b 是两个非零向量．（ ）A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6．记⎩⎨⎧<≥=,,,,},max{y x y y x x y x ，⎩⎨⎧<≥=,,,,},min{y x x y x y y x ，设a ,b 为平面向量，则（ ）A ．|}||,min{||}||,min{|≤-+B ．|}||,min{||}||,min{|≥-+C ．2222||||}||,|max{|b a b a b a +≤-+D ．2222||||}||,|max{|b a b a b a +≥-+ 7．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta +是最小值为1（ ） A ．若θ确定，则||a 唯一确定 B ．若θ确定，则||b 唯一确定 C ．若||a 确定，则θ唯一确定 D ．若||b 确定，则θ唯一确定8．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则（ ）A ． a ⊥eB ． a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ． (a ＋e )⊥(a －e )9．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ?→PC ≥→P 0B ?→P 0C ，则（ ）A ．?ABC =90?B ．?BAC =90?C ．AB =ACD ．AC =BC10．设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3 B ．4 C ．5 D ．611．已知a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()=0a c b c -- ，则c 的最大值是（ ）(第4题图)A ．1B ．2C ．2D ．22 12．已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是 ．13．若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 ▲ 。

第五章 平面向量一、选择题1.（2018年浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ． 【答案】A【解析】设， 则由得，由得 因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记 ，，，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ．I ３< I １<I ２D ．I ２<I １<I ３【答案】C【解析】 因为，，，所以，故选C ．二、填空题3.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 【解析】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ 要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ= 此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。

比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===则123456max AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ==4.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______。

高考数学精品复习资料2019.5第三讲 平面向量1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a ·b 运算结果不仅与a ，b 的长度有关而且与a 与b 的夹角有关，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．1． (20xx·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10答案 C解析 因为AC →·BD →＝0， ∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.2． (20xx·湖北)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C. －322D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322.3． (20xx·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建立直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.4． (20xx·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为______．答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 5． (20xx·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．答案2解析 方法一 坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)． 故AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)， BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x . 又AB →·AF →＝2，∴x ＝1. ∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.方法二 用AB →，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →) ＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF →＝2，∴2x ＝2，∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝⎛⎭⎫22－1×2＋12×4＝ 2.题型一 向量的概念及线性运算例1 (1)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于 ( )A ．3B.13 C ．－3 D ．－13(2)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA→＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n＝________.审题破题 (1)直接根据向量共线的坐标表示求tan α，再用差角公式求tan ⎝⎛⎭⎫α－π4；(2)寻找点C 满足的条件． 答案 (1)C (2)3解析 (1)∵a ∥b ，∴cos α＝－2sin α.∴tan α＝－12，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－12－11＋⎝⎛⎭⎫－12＝－3. (2)方法一 |OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0， 不妨假设点C 在AB 上，且∠AOC ＝30°.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(0，3)，C 点坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，所以存在m ＝34，n ＝14使假设成立，此时mn＝3.方法二 由条件|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，可建立以O 为原点，OA 所在直线为x轴，OB 所在直线为y 轴的直角坐标系，则OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)． 由OC →＝mOA →＋nOB →，得OC →＝(m ，3n )． 又因为∠AOC ＝30°，点C 在∠AOB 内，可得3n m ＝tan 30°＝13，n m ＝13，即m n ＝3.反思归纳 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a ，b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA →＝xOB →＋yOC →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1.变式训练1 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →(m ，n >0)，则1m ＋4n的最小值为( )A ．2B ．4 C.92D ．9答案 C解析 MO →＝AO →－AM →＝AB →＋AC →2－1m AB →＝⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →.同理NO →＝⎝⎛⎭⎫12－1n AC →＋12AB →，M ，O ，N 三点共线，故⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－1n AC →＋12AB →， 即⎝⎛⎭⎫12－1m －λ2AB →＋⎝⎛⎭⎫12－λ2＋λn AC →＝0，由于AB →，AC →不共线，根据平面向量基本定理12－1m － λ2＝0且12－λ2＋λn＝0，消掉λ即得m ＋n ＝2， 故1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝12⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥12(5＋4)＝92. 题型二 平面向量的数量积例2 (1)已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.(2)(20xx·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．审题破题 (1)利用公式|a |2＝a ·a 直接计算；(2)利用基向量法，把AM →，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积． 答案 (1)7 (2)[1,4]解析 (1)|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2－10a·b ＋b 2＝25×12－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12＋32＝49， 所以|5a －b |＝7.(2)如图所示，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM →＝λBC →， CN →＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →) ＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD →＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1. ∴AM →·AN →∈[1,4]．反思归纳 向量的数量积计算有三种方法：(1)利用向量数量积的定义，计算两个向量的模及夹角；(2)根据向量数量积的几何意义，明确向量投影的含义；(3)建立坐标系写出向量坐标，利用向量的坐标进行运算．变式训练2 (1)(20xx·天津)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝________.答案 23解析 由题意知BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，且AB →·AC →＝0， 故BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.(2)(20xx·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案 712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 题型三 平面向量与三角函数的综合例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．审题破题 求解本题的关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题．(1)应用向量的数量积公式可得f (x )的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值．注意利用换元法令t ＝sin x ＋cos x 时，要确定t 的取值范围．(2)由夹角公式及a ⊥c 可得关于角α的三角函数等式，通过三角恒等变换可得结果． 解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x ·cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1， 且－1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋222－32，－1<t <2，∴当t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22.即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π，∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12. ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a·b |a|·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. 反思归纳 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．变式训练3 (20xx·辽宁)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.典例 (1)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1(2)(20xx·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ等于 ( )A.12B.1±22C.1±102 D.－3±222解析 (1)如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1.又∵a ·b ＝－12，∴|a |·|b |·cos ∠AOB ＝－12，∴cos ∠AOB ＝－12.∴∠AOB ＝120°.又∵〈a －c ，b －c 〉＝60°，而120°＋60°＝180°， ∴O 、A 、C 、B 四点共圆． ∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ， ∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°， ∴|OA →|＝12|OC →|，∴|OC →|＝2|OA →|＝2.(2)BQ →·CP →＝(BA →＋AQ →)·(CA →＋AP →)＝[BA →＋(1－λ)AC →]·(CA →＋λAB →)＝－32，所以4λ2－4λ＋1＝0.所以λ＝12.答案 (1)A (2)A得分技巧 (1)解决本题关键是将向量a ，b ，c 的起点移至同一点C ，得到四点A 、O 、B 、C 共圆．(2)向量坐标化，利用向量的坐标运算是解题的突破点．阅卷老师提醒 (1)树立数形结合意识、向量是数形结合的载体，充分挖掘条件的几何意义． (2)拓宽思维层面，对向量的数量积运算的三种方法要灵活运用．1． △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在CB→上的投影的长度为( )A. 3B ．3C ．－ 3D ．－3答案 A解析 由OA →＋AB →＋AC →＝0， 得AB →＋AC →＝AO →.又O 为△ABC 外接圆的圆心，OB ＝OC ， ∴四边形ABOC 为菱形，AO ⊥BC . 由|OA →|＝|AB →|＝2，知△AOC 为等边三角形．故CA →在CB →上的投影的长度为|CF →|＝2cos π6＝ 3.2． 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 B解析 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝⎛⎭⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.3． (20xx·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则 ( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析 设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2∵PB →·PC →≥P0B →·P 0C →恒成立， ∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立． 即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ，则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.4． 已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案 3 2解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.5． (20xx·课标全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t＝________. 答案 2解析 ∵c ＝t a ＋(1－t )b ， ∴c ·b ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝t ×1×1×cos 60°＋(1－t )×12 ＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0. ∴t ＝2.6． (20xx·浙江)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于______． 答案 2解析 ①当x ＝0时，|x ||b |＝0；②当x ≠0时， |b |2＝(x e 1＋y e 2)2 ＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2＋y 2＋3xy . ∴|x ||b |＝|x |x 2＋y 2＋3xy ＝ 1⎝⎛⎭⎫y x 2＋3⎝⎛⎭⎫y x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≤2. 由①②知|x ||b |的最大值为2.专题限时规范训练一、选择题1． (20xx·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C解析 a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选项易知C 满足题意． 2． (20xx·辽宁)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为AB→|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 3． 已知a ，b 是平面向量，若a ⊥(a －2b )，b ⊥(b －2a )，则a 与b 的夹角是 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 B解析 由a ⊥(a －2b )得|a |2＝2a ·b ， 由b ⊥(b －2a )得|b |2＝2a ·b ，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.4． 设向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(3sin θ，1)，且a ∥b ，则cos 2θ等于( )A ．－13B ．－23 C.23 D.13答案 D解析 ∵a ∥b ，∴3sin 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－23＝13.5． 等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值范围是 ( )A ．[－1,0]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－2,0]答案 D解析 以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，M (1,1)．设P (x ，y )，由于点P 在△ABC 内部或其边界上运动，故x ≥0，y ≥0且x ＋y ≤2，BP →·AM →＝(x －2，y )·(1,1)＝x －2＋y ，所以BP →·AM →的取值范围是[－2,0]．6． 如图，已知点O 是边长为1的等边三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)的值为( )A.19 B ．－19C.16D ．－16答案 D解析 ∵点O 是边长为1的等边三角形ABC 的中心，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝33，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3，∴(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝OA →2＋OA →·OC →＋OA →·OB →＋OB →·OC →＝⎝⎛⎭⎫332＋3×⎝⎛⎭⎫332cos 2π3＝－16.7． 已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，5π12C.⎣⎡⎦⎤π12，5π12D.⎣⎡⎦⎤5π12，π2答案 C解析 OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，设A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α，其中α是参数，消掉α， 即(x －2)2＋(y －2)2＝2，这是一个以点(2,2)为圆心、2为半径的圆，作出图象如图所示，从图中可知两向量OA →，OB →夹角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π12，5π12. 8． 在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足P A →＋xPB→＋yPC →＝0.设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S＝λ2，S 3S＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，2x ＋y 的值为 ( )A ．－1B ．1C ．－32 D.32答案 D解析 由题意知S 1S ＝λ1＝12，即S 1＝12S .所以S 2＋S 3＝S －S 1＝12S ，两边同除以S ，得S 2＋S 3S ＝12，即λ2＋λ3＝12，所以12＝λ2＋λ3≥2λ2λ3，所以λ2·λ3≤116，当且仅当λ2＝λ3＝14，此时点P 位于EF 的中点，延长AP 交BC 于D ，则D 为中点，由P A →＋xPB →＋yPC →＝0，得xPB →＋yPC →＝－P A →＝AP →， AP →＝PD →＝12(PB →＋PC →)＝12PB →＋12PC →， 所以x ＝12，y ＝12，所以2x ＋y ＝32，选D.二、填空题9． (20xx·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.答案 －16解析 利用向量数量积的运算求解． 如图所示，AB →＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC → ＝AM →－MB →， ∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →) ＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16.10．(20xx·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.11．(20xx·四川)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.12．(20xx·安徽)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．答案 －98解析 由向量减法的三角形法则知，当a 与b 共线且反向时，|2a －b |的最大值为3. 此时设a ＝λb (λ<0)，则有|2a －b |＝|2λb －b |＝3，∴|b |＝3|2λ－1|，|a |＝3|λ||2λ－1|.又由a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉，知 当a 与b 共线且反向时，a ·b 最小．有：a ·b ＝|a |·|b |·cos π＝－9|λ|(2λ－1)2＝9λ4λ2－4λ＋1＝9－⎝⎛⎭⎫－4λ－1λ－4≥－98⎝⎛⎭⎫当且仅当λ＝－12时取“＝”， ∴a ·b 的最小值为－98.三、解答题13．在△ABC 中，已知2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC →2，求角A 、B 、C 的大小．解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|得2bc cos A ＝3bc ，所以cos A ＝32. 又A ∈(0，π)，因此A ＝π6.由3|AB →|·|AC →|＝3BC →2，得cb ＝3a 2.于是sin C ·sin B ＝3sin 2A ＝34.所以sin C ·sin ⎝⎛⎭⎫5π6－C ＝34， sin C ·⎝⎛⎭⎫12cos C ＋32sin C ＝34， 因此2sin C ·cos C ＋23sin 2 C ＝3，sin 2C －3cos 2C ＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫2C －π3＝0. 由A ＝π6知0<C <5π6，所以－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0，或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3，故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6，或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)m·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， ∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32.。

向量一、九年浙江试题回顾1．（04浙江）已知平面上三点A ，B ，C 满足||AB ＝3，||BC ＝4，||CA＝5，则AB BC BC CA CA AB⋅+⋅+⋅ 的值等于 2．（05浙江）已知a ≠e 且|e |＝1，若对任何实数t 均有|a －t e |≥|a －e |成立，则 A ．a •e ＝0 B ．a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ．(a －e )⊥(a ＋e )解 构造如图（1），可以判断当且仅当()e a e ⊥-时，有a te a e -≥- ．3．（06浙江）设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是 4．（07浙江）若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则A ．|2a |＞|2a ＋b |B ．|2a |＜|2a ＋b |C ．|2b |＞|a ＋2b |D ．|2b |＜|a ＋2b | 解 背景一：（向量加法的平行四边形法则，教材（必修4）P81）解法一：因为||||a b b +=，即AC=AB ，所以四边形ABCD 为菱形，如图（3），故AO < AB ，所以22a bb +< ，即|2||2|a b b +=．解法二：如图（4），△ADC 是直角三角形，所以AD <AB ．即|2||2|a b b +<．背景二：（三角形中线向量的表达式，教材（必修4）P89）已知OA ，OB （点O 、A 、B 不共线），求作向量1()2OM OA OB =+．解法三：1|||()|2OM a b b =++||||OB b <= ． 即|2||2|a b b +< ．背景三：（三角形不等式，选修4-5）P11）||||||||||||a b a b a b -≤+≤+解法四：|2||()||()|||2||a b a b b a b b b +≤++≤++=．背景四：（向量垂直的充要条件，教材（必修4）P91）已知a 、b 为非零向量，求证：a b ⊥ ⇔()()a b a b +=-． 解法五：||||a b b +=即|2()||2|a b b +=，改写成：|(2)||(2)|a b a a b a ++=+-，即2a b a +⊥，（例题5图（4））例5图（5）ABCDaa+2b2b例5图（6）故可构造如图所示的矩形，结论显然．【评注】 本题考查学生对向量的代数和几何结构之间的转化，如何充分挖掘向量的代数运算和几何性质之间的关系是掌握向量数学本质的关键． 5．（2008浙江）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )(b －c )＝0，则|c |的最大值是（A ）1 （B ）2 （C（D【分析】 一种思路是把向量坐标化；一种思路是转化式子 ()()0a c b c -⋅-=；另一种思路是挖掘式子 ()()0a c b c -⋅-=的几何意义．【解答】 解法一 不妨设(1,0)a = ，(0,1)b = ，(,)c x y =．由()()0a c b c -⋅-=，得 (1,1)(,1)x y x y --⋅--=，即22x y x y +=+≤解法二 ∵||||1a b ==，0a b ⋅= ，故展开()()0a c b c -⋅-= ，得2||()||||cos c c a b c a b θ=⋅+=⋅+．∴||||cos c a b θθ=+． 则c【评注】 本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题．解决这个问题的难点是熟练掌握向量的基本运算把问题转化为代数不等式或三角函数．部分学生可能混淆了向量运算和实数运算，从而无法得到表达式：||c θ=．另解：如图，作互相垂直的单位向量OA 与OB，再以OA ，OB 为邻边作正方形正方形OAC 1B ，那么1OC =连结AB ，以AB 为直径作半圆M ，在半圆M 上的任何一点C 2都满足∠AC 2B=90°，也即符合条件22()()0a c b c -⋅-=，再连接MC 2，那么221OC OM MC OC ≤+=，即1OC =事实上点C 的轨迹是22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即||||c OC ≤该解法既充分利用了向量的特点，又着意发挥了几何的优势，真是向量几何，珠联璧合啊！（例2图）6．（09浙江）设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a •b ＝0．以a ，b ，a －b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7．（10浙江）已知平面向量α,β（α≠0，α≠β）满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是 ． 8．（11浙江）若平面向量,αβ满足||1,||1αβ=≤，且以向量,αβ为邻边的平 行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 9．（12浙江）（a ）设a ，b 是两个非零向量．A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |(b)在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝______________．二、典型例题1．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为120︒.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧 AB上变动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是________．解 建立如图所示的直角坐标系设AOC θ∠=，20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由三角函数定义得：(1,0)A，12B ⎛- ⎝⎭，(cos ,sin )C θθ．所以 (1,0)OA =，12OB ⎛=- ⎝⎭，(cos ,sin )OC θθ= ．把上述坐标代入OC xOA yOB =+，得1(cos ,sin )(0,1)2x y θθ⎛=+- ⎝⎭，即得i n c o s x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以cos 2sin 6x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以当3πθ=时，()max 2x y +=．【评注】 尽管本题的解法很多，但这个解法直观，容易被大多数学生接受和理解．（例6图2）1．在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，已知点O 是△ABC 内一点，且满足340OA OB OC ++=，则(2)OC BA BC ⋅+=．（2012宁波十校联考）答案 40解析 因为 34()3()4O A O B O C O C C A O C C B O C++=++++=，所以 1388OC AC BC =+．所以 13(2)(3)88OC BA BC AC BC BC AC ⎛⎫⋅+=+⋅- ⎪⎝⎭221(9||||)408BC AC =-=． 评注 考查向量的线性运算和数量积运算．问题注重对向量基本定理理解的考查．2．在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上．若△ABC 的面积为2，则2PC PB BC ⋅+ 的最小值是_____．（2012南京二模）答案解析一 如图，设PD ＝12h ，BD ＝x ，DC ＝y ．则 h (x ＋y )＝∴ 2()()PC PB BC PD DC PD DB BC ⋅+=+++＝22()PD DC DB x y -⋅++＝221()4h xy x y -++ ≥22211()()44h x y x y -+++＝2213()44h x y ++≥ ＝解析二 设△PBC 中点P ，B ，C 所对的边分别为p ，b ，c ．由题设知 bc sinP ＝2，∴ 2PC PB BC ⋅+ ＝bc cosP ＋(b 2＋c 2－2bc cosP)＝b 2＋c 2－bc cosP≥2bc －bc cosP ＝2(2cos )sin P P-．设 f (P)＝2(2cos )sin P P -，则 f ′(P)＝212cos sin θθ-＝0，即 cos θ＝12．此时 2PC PB BC ⋅+ 的最小值为3．设点A ，B 是函数y ＝3sin(2x ＋θ) 的图像与x 轴两相邻的交点，点C 是图像上位于点A ，B 之间最低点（如图所示），则AB AC ⋅＝______．（2012苏北四市第二次质量检测）答案 2π8解析 因为 T ＝π，所以 AB ＝12π． ∴ AB AC ⋅ ＝||(||cos )AB AC CAD ⋅∠＝2πππ||||248AB AD ⋅=⋅= ．4．设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则PC PD ⋅的取值范围是 ．（宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试）答案 [0，16]解析一 如图，过P 作PE ⊥DC ，设PE ＝h ，DE ＝x ，EC ＝4－x ． ()()PC PD PE EC PE ED ⋅=+⋅+＝2PE EC ED +⋅＝h 2－x (4－x )显然当x ＝2时，PE 取得(h ＝2)最小，而x (4－x )取得最大4，所以此时 PC PD ⋅取得最小值0；当x ＝0或4时，PE(h ＝4)取得最大值，而x (4－x )取得最小值0，yACDPE所以此时 PC PD ⋅取得最大值16．解析二 如图建立直角坐标系， 设P(2cos θ，2sin θ)，D(－2，4)，C(2，4)．则 PC＝(2－2cos θ，4－2sin θ)，PD＝(－2－2cos θ，4－2sin θ)．故 P C P D ⋅ ＝16－16sin θ∈[0，16]．6．设点A 在圆x 2＋y 2＝1内．，点B(t ，0)，O 为坐标原点．若集合{C(x ，y ) |OC OA OB =+ }⊆{(x ，y ) | x 2＋y 2≤9}，则示数t 的最大值为 ．答案 2解析 因为点A 在圆x 2＋y 2＝1内．，设A(r cosθ，r sinθ)，其中|r |<1． 设C(x ，y )，则 (x ，y )=(r cosθ，r sinθ)＋(t ，0)．所以 cos sin x r ty r θθ=+⎧⎨=⎩， 即 (x -t )2＋y 2=r 2<1．即点C 的轨迹为以B 为圆心，1为半径的圆的内部．要使 {(x ，y ) | (x -t )2＋y 2=r 2<1}⊆{(x ，y ) | x 2＋y 2≤9}显然当t =2时t 值最大．8．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a •b ＝2，(a －c )•(b －2c )＝0，则|b －c |的最小值为ABCD（2012绍兴模拟试题）答案 B解答 设c ＝(x ，y )． 则由 (a －c )•(b －2c )＝0，得 (2－x ，－y )•(1－2x2y )＝0．整理，得225344x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（如图的圆C ）．所以C 54⎛ ⎝⎭．连接BC 交圆C 于点D ，当c ＝OD时，|b －c |最小．此时，|b －c |min ＝|BC|－． 评注 从点c 轨迹入手，巧妙．事实上，可以把 (a －c )•(b －2c )＝0改写为 (a －c )•(12b －c )＝0．这样我们就轻而易举地得到c 的轨迹是AE 为直径的圆C ．。

一．基础题组1.【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】均为单位向量，且它们的夹角为，设满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依据题意求出的轨迹，然后求出的最小值【详解】【点睛】本题较为综合，在解答向量问题时将其转化为轨迹问题，求得满足题意的图像，要求最小值即算得圆心到直线的距离减去半径，本题需要转化，有一定难度。

2. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】已知点为单位圆上的动点，点为坐标原点，点在直线上，则的最小值为__________．【答案】2.【解析】分析：题设的都是动点，故可设，，从而可表示关于的函数，求出函数的最小值即可．点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．3. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知，，则的最大值为______，最小值为______．【答案】 6【解析】分析：可设出，画出向量，由向量数量积的定义和点与圆的距离最值，即可得到所求最值.详解：点睛：本题主要考查向量的几何运算及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.4. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：设，由共线可得，由此,利用基本不等式可得结果.点睛：利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 5. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A 为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；若向量，则的最小值为_________.【答案】【解析】分析：首先根据图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，根据正方形的边长，设出点P的坐标，利用终点坐标减去起点坐标，得到对应向量的坐标利用向量数量积坐标公式求得结果；再者就是利用向量相等得到坐标的关系，将其值转化为对应自变量的函数关系，结合自变量的取值范围，求得最小值.详解：如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以，因为，所以，所以，所以的范围是；点睛：该题考查的是有关向量的问题，在解题的过程中，注意建立相应的坐标系，将向量坐标化，从而容易求解，再者就是利用向量相等的条件是坐标相等，得到关于的关系式，利用三角式子的特征求得相应的最值.6. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知平面向量, 满足，若，则的最小值为__________．【答案】.【解析】分析：先建立直角坐标系，设A(x,y)，B(5，0),C(0,5),再转化为求的最小值，再转化为求|PD|+|PA|的最小值.点睛：（1）本题主要考查坐标法的运用，考查对称的思想方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力.(2)本题有三个难点，其一是要想到建立直角坐标系，其二是转化为求的最小值，其三转化为求|PD|+|PA|的最小值.7. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知向量,a b 满足32a b a b -=-=，则a 的取值范围是__________． 【答案】[]2,4【解析】分析：根据绝对值三角不等式即可求出. 详解：∵32a b a b -=-= ∴336a b -=∴26333333=2a b b a a b b a a +=-+-≥-+--，即4a ≤；()()623333332a b a b a b a b a -=---≤---=，即2a ≥.∴a 的取值范围是[]2,4 故答案为[]2,4.点睛：本题考查向量的模，解答本题的关键是利用绝对值三角不等式，即a b a b a b -≤±≤+. 8. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】在△中，角所对的边分别为，已知，点满足，则__________；__________．【答案】 8..【解析】分析：由已知利用余弦定理即可求得的值，进而求得的值，利用余弦定理可求的值.详解：如图，，，.点睛：本题主要考查余弦定理解三角形. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.9. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，连接，利用三点共线时取得最值，即可求解.10. 【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知平面内任意不共线三点，，，则的值为（）A．正数 B．负数 C． 0 D．以上说法都有可能【答案】B【解析】.即的值为负数.本题选择B选项.11.【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】已知向量满足的夹角为，则=_____；与的夹角为_____．【答案】【解析】分析：根据向量模的性质以及向量数量积求以及||，再根据向量数量积求向量夹角.12. 【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性】平行四边形中，在上投影的数量分别为，则在上的投影的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【详解】建立如图所示的直角坐标系：设，则：则：解得：．所以：．在上的摄影当时，，得到：．当时，，故选：A．13. 【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为________________.【答案】.【解析】14. 【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟】已知，向量满足.当的夹角最大时，________．【答案】【解析】设，，即，所以，此时，故答案为.15. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b，c 满足| a |＝| b |＝a•b＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）A． |a－c|max＝ B． |a＋c|max＝C． |a－c|min＝√ D． |a＋c|min＝【答案】A【解析】分析：由条件可设，，由向量数量积的坐标表示可得C在以圆心，半径为的圆上运动，根据向量模长的几何意义以及圆的性质，运用最大值为，计算可得所求．详解：根据题意，建立平面直角坐标系，不妨取，，则，设，由，得，即对应点在以圆心为，半径为的圆周上，且表示点A 与点C 的距离，则，故选A.16. 【浙江省绍兴市2018届高三3月模拟】已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．【答案】【解析】如图所示,17. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】已知在ABC ∆中, 3AB =, BC =2AC =，且O 是ABC ∆的外心，则AO AC ⋅=___， AO BC ⋅=_____________【答案】 2 52-【解析】设外接圆半径为,32R AB BC AC AO CO R ==＝，＝，224122R R cos OAC R R+-∠==⋅则122AO AC AO AC cos CAO R R⋅=⋅∠=⨯⨯= 18. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】设数列{}n x 的各项都为正数且11x =. ABC ∆内的点()*n P n N ∈均满足n P AB ∆与n P AC ∆的面积比为2:1，若()112102n n nn n PA x P B x P C ++++=，则4x 的值为( )A ． 15B ． 17C ． 29D ． 31 【答案】A【解析】由()112102n n n n n P A x P B x P C ++++=得()11212n n n n n P A x P C x P B +++=- ， 设()21n n n P D x P C =+以线段n n P A P D 、 作出平行四边形n AEDP ，如图， 则111,22n n n n n n n P E P A P D P E x P B P B ++==-∴=， 12PnAE n PnABSx S +∴=， 121n n n n P C P C AE x P D ==+ ∴1,12PnAC PnAC PnADPnAEnS SSSx ==+则()112122PnAC n PnABn S x Sx +==+即1121121n n n n x x x x ++=+∴+=+，（）， 则{}1n x + 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以3412216x +=⨯= ，所以415x =；故选A ．19. 【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知平面向量，满足且，则的最大值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】B【解析】分析：由满足可得，再由，两边同时乘以，可得，则=即可得出答案.20. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】如图，在平面四边形中，，则________【答案】【解析】【分析】运用向量的基底转化，向已知向量上进行转化，然后求值【详解】所以21.【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）】如图，在平面四边形中，，则_________【答案】【解析】 【分析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．【详解】 由题意得，∴．22.【浙江省台州中学2018届高三模拟】已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．【答案】【解析】分析：首先对模平方，根据向量数量积化简，对配方，根据实数平方为非负数求最小值.详解：当且仅当时取等号，即的最小值是3.二．能力题组1. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知O 为锐角ABC ∆的外心， 3AB =， 23AC =若AO xAB yAC =+，且9128x y +=.记1l OA OB =⋅ ， 2l OB OC =⋅， 3l OA OC =⋅，则（ ）A ． 213l l l <<B ． 321l l l <<C ． 312l l l <<D ． 231l l l << 【答案】D【解析】分析：由已知结合数量积的几何意义列关于x ， y ， cos BAC ∠的方程组，求得cos BAC ∠，再由余弦定理求得BC ，展开数量积，结合OA OB OC ==，且余弦函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数即可得答案． 详解：分别取AB ， AC 的中点为D ， E ，连接OD ， OE ，根据题设条件可得OD AB ⊥， OE AC ⊥.∵OA OB OC ==，且余弦函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 ∴OB OC OA OC OA OB ⋅<⋅<⋅ ∴231l l l << 故选D.点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题. (3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 2. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知向量满足，若的最大值为，则向量的夹角的最小值为__________，的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：由题意，求得，所以的最小值为，再利用向量的模的计算公式，即可求解. 详解：由题意，则，解得，所以，所以的最小值为，所以，所以.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．3. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】【解析】分析：由题意知，，所以，由此可知，当时取得最大值．。

浙江向量高考试题 Revised by Jack on December 14,2020平面向量练习1．.设向量 a b c ，，满足()=0 a b c a b c ++-⊥，，a b ⊥若=1a ，则222a b c ++的值是2．已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ． 3．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝ ．4．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝（ ） A ．b 2－a 2 B ．a 2－b 2 C ．a 2＋b 2 D ．ab 5．设a ，b 是两个非零向量．（ ）A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6．记⎩⎨⎧<≥=,,,,},max{y x y y x x y x ，⎩⎨⎧<≥=,,,,},min{y x x y x y y x ，设a ,b 为平面向量，则（ ）A ．|}||,min{||}||,min{|b a b a b a ≤-+B ．|}||,min{||}||,min{|b a b a b a ≥-+C ．2222||||}||,|max{|+≤-+D ．2222||||}||,|max{|+≥-+ 7．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta +是最小值为1（ ） A ．若θ确定，则||a 唯一确定 B ．若θ确定，则||b 唯一确定 C ．若||a 确定，则θ唯一确定 D ．若||b 确定，则θ唯一确定8．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则（ ） A ． a ⊥e B ． a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ． (a ＋e )⊥(a －e )9．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB →PC ≥→P 0B →P 0C ，则（ ）A ．ABC =90B ．BAC =90C ．AB =ACD ．AC =BC10．设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(第4题图)11．已知a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()=0a c b c -- ，则c 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．22 12．已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是 ．13．若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 ▲ 。