不等关系与不等式(第一课时)

不等关系与不等式（第一课时）
课题：3．1．1 不等关系与不等式（第一课时）
教学目标：
1．了解不等式（组）的实际背景，掌握比较实数大小的方法；
2．经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，体会不等式、方程以及函数
之间的联系；
3．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，培
养学生对客观世界的认识能力；体会不等式组对于刻画不等关系的意义和价值．教学重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；
教学难点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；
教学方法：启发式教学，讲解法
教学用具：多媒体
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
1、创设情境引入课题：
问题1 请同学们看这几幅图片，能感觉到美吗？请同学们欣赏美，感受美．
【设计意图】选用几幅重叠起伏的壮丽画图（章头图）让学生自由的展开联想，把学生引入到“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中，让学生感受在
现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式的实际背景，唤起
学生的学习热情．
（教师:该山具有雄山的刚毅，秀山的温柔，灵山的潇洒，此山是以自然景观为
载体，人文景观为内涵的庐山.正因为庐山之美，古往今来，多少文人墨客到此
为庐山题诗作画，同学们记得大诗人苏轼为庐山题写的《题西林壁》吗（学生
回答）？正如诗中所提到的“高”与“低”，“远”与“近”描述的是庐山在数量上的一
些不等关系，谈到不等关系，同学们会想到我们非常熟悉的不等关系，相等关
系体现的是整齐划一之美，不等关系体现的是错落有致之美）
问题2 庐山为什么美？请同学们思考．
【设计意图】通过《题西林壁》中所提到的“高”与“低”，“远”与“近”让学生感受庐山的美丽，进而把这种“美”上升到一个高度---不等关系，引出课题．在引出不等关系的定义之后，教师指出：在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．
2、具体情境感受不等关系：
问题：请同学们从下列情境中感受不等关系，并说出每幅图片中都有哪些不等关系？
1）古代文明代表作之一----金字塔
2）现代化大都市
3）股票K线图
4）宇宙空间
5）科幻中的星球人
归纳总结（师生探讨）：人们经常用长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．
【设计意图】课程标准明确提出：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．该问题的设计，通过大量的学生感兴趣的和富有时代感的素材，让学生感受不等关系，使学生认识到不等关系是客观存在的广泛的数量关系．
3、不等关系的数学表示：
通过大量事实，在学生感受完不等关系之后，教师指出不等关系与我们生活息息相关，同时提出如下问题：
问题1 数学来源于生活，并应用于生活，生活中的不等关系该如何研究?
在数学上，我们常运用不等式来研究不等关系的问题．
问题2 什么是不等式？
不等式的定义：我们用数学符号，连接两个数或不等式，以表示他们之间的不等关系，含有这些符号的式子叫做不等式
问题3 不等式是刻画现实世界和日常生活中数量之间差异的一种工具，用不等式如何刻画生活中的不等式关系呢？
实例1如下两个图标，请同学说出不等关系和不等式．
限速标志限高标志
实例2 该酸奶中脂肪的含量f 不少于2．5%，蛋白质的含量p不少于2．3%，
写成不等式组为：
实例3 如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径
相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形.将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，
随机地抽取一张纸片,若抽到的是一个半圆则甲方赢；若抽到的是个一个正方形
则乙方赢。

你认为这个游戏对双方是公平的吗？为什么？怎么用不等式表示呢？
(甲赢) > (乙赢)
【设计意图】实例3的设计，其意图是使学生认识到现实世界和日常生活中大
量的数量关系是可以通过不等式来表示的，不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值．
学生讨论同学们挖掘现实世界和日常生活中的不等关系，并通过分析其中的基
本数量关系，用不等式把这种不等关系表示出来．
4、几种重要的不等模型：
问题1 已知三角形的两边分别为 =2cm， =5cm，怎样用不等式表示第三边c的
取值范围呢？
模型一：一元一次不等式组：
问题2 某人为自己制定的月支出的计划中，规定手机话费不超过150元，他所
选用的中国电信卡的收费标准为：
设这个人每月通话时间为x分钟，怎样用不等式表示x满足的关系?
模型二：一元一次不等式：
问题3 某种杂志原以每本2．5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高 0．1元，销售量就可能相应减少 2000本．若把提价后杂志的定
价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
模型三：一元二次不等式：
问题4 某钢铁厂要把长度为40dm的钢管截成5dm和6 dm种．按照生产的要求，6d m的数量不能超过5dm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的
不等式呢？
模型四：二元一次不等式组：
方法总结：不等式可以看成是表示不等关系、处理优化问题的一种数学模型，
建立不等式模型的步骤为：1）问题分析；2）变量的确定；3）建立模型；4）
模型求解；5）还原问题．
【设计意图】在感受不等关系实例的基础上，设计了四个问题，每一个问题对
应一种数学模型，每一个问题都是在学生独立思考的基础上经小组充分的讨论，建立起来的一个不等模型．《课标》对“不等式”的定位是：刻画现实世界和日
常生活中数量之间差异的一种工具，把不等式看成是表示不等关系、处理优化
问题的一种数学模型．因此，学生经历这样的建模过程是必要的，让学生在充
分审题的基础上，确定变量并理解变量的实际意义，初步学会用不等式表示不
等关系的方法．鉴于不等模型的重要性，笔者认为有必要将这四种重要的不等
模型归类整理，让学生头脑中形成一个知识体系，模型一和模型二是初中学习
过的两种不等模型，而模型三和模型四是必修5《不等式》这一章要研究的三
种重要模型中两种．
5．不等式基本事实：
利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质有必要的了解,下面我们来研究
不等式的性质：
思考1 任给两个实数,它们之间有什么关系？
两个实数有三种关系，，，，它们有且仅有一个关系成立，这是由实数的有
序性决定的．
思考2 如何比较两个实数的大小？
几何角度：通过数轴，实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系，那
些表示实数的点在数轴上有次序地排列．数轴上的任意两点中，右边点对应的
实数比左边点对应的实数大
代数角度：作差法
如果是正数，则；如果，则是正数；
如果是负数，则；如果，则是负数；
如果等于零，则；如果，则等于零．
基本事实：；
不等式的基本事实为我们比较大小提供了依据，通过利用差与零比较大小，得
到两个数的大小关系
6．例题讲解：
例1、比较的大小．
解:
【设计意图】初步体会作差比较大小的方法．
例2、比较的大小
【设计意图】从“数”和“形”两个角度去思考该问题，以进一步巩固作差比较大小的方法，同时培养学生数形结合的意识．
【预设】1），可以说明
2），构造函数，并画其函数图像，由于，所以，可以说明
3）构造函数和，并在同一坐标系下作图，发现的图像在的图像上方，可以说明(由下图可以说明）
例3、当 ,比较的大小
【设计意图】从“数”和“形”两个角度去思考该问题，以进一步巩固作差比较大小的方法，同时培养学生数形结合的意识．
练习：已知，比较的大小．
【设计意图】该题用作差法比较很容易得到，此时引导学生从“几何”的角度去思考该问题，并解释为什么．从代数”和“几何”两个角度去思考该问题，让学生体会不等式和函数是密切相关的，同时培养学生数形结合的意识．
方法归纳：做差比较法的一般步骤为：（教师引导，学生回答）
（1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）得出结论．
7．课堂小结：
1）知识总结：通过具体情境，感受了在现实世界和日常生活中存在存在着大量的不等关系，了解了不等式（组）的实际背景；
2）方法总结：掌握了作差法比较两个实数大小的方法;学习了用不等式表示实际问题中的不等关系的方法．
8．板书设计：
3．1．1不等关系与不等式
1、几种重要的不等模型
2、基本事实：例1、。