函数符号的故事

函数符号的故事论文1000字一、省略号过去。

未来。

永恒。

它们被人生省略了。

记忆的录像带回放着,我的头脑却始终混乱。

过去的一切一切,我忘却了许多,零零碎碎的记忆,使我的人生变得残缺不全。

我只能用省略号来代替它们,代替我无法想起的美好。

未来!我们都在懂憬。

想像着自己在什么什么时候会变成什么,会拥有什么,会遇见什么。

可是,那只能是想,并不能确定那就是我们的未来。

因此,当别人问我未来会怎样,我只会给他一串省略号。

我不敢去奢想。

永恒!永远到底有多远?谁能给谁永远?永。

远。

很长很长的一段时间罢?直至生命的结束?那是一个怎样的概念?我不清楚,因为我从来没得到过永恒。

一种模模糊糊的理解:一次无休止的进行。

因此,当别人再对我提起永恒时,我只能用省略号代表我的心情:我不相信永恒!不可能有永恒!那只是个天真的幻想!庞二、感叹号它修饰着烦闷,气愤,还有快乐。

最近的心情好烦好顽,导致我每天在本子上画着N个感叹!又大,又密,很似我的心。

这个时候,什么事都进不去。

倘若某人突然想死了,闯进我的思维,我会马上给他个大大的感叹号,把他压得喘不过气来!接着继续整理我的神经系统。

愤怒时,说什么话所带的语气都很强烈,因此不得不用上一个大感叹,向惹怒你的人示威!哼!小样的!你不想活了啊?!敢和老娘撒野!对方或许有骨气,撒野撒到底,那感叹号就奉陪到底,或者会夹着尾巴临阵脱逃。

这里呢,只是余怒未消。

感到快乐的时候心情当然好了,可是我似乎很久没触碰到过它了。

先笑笑吧!哈哈!呵呵!嘿嘿!嘻嘻!但这样的话,应该很容易被人误认为是疯子。

算了,笑自己的!让别人说去吧!我们好人不会去和他们计较的!瑞士数学家、物理学家和机械师。

他在数学的许多领域都有重大发现。

此外，他还在力学、光学和天文学方面做出了突出贡献。

数学中有十几个术语以他的名字命名；他有“数学英雄”的美誉。

XXX的名字几乎可以在每一个数学领域看到——初等几何的XXX线、多面体的XXX定理、三维解析几何的XXX变换公式、数论的XXX函数、变分法的XXX方程、复变函数的XXX公式...XXX也是数学史上最多产的数学家。

笛卡尔爱心函数的故事在数学史上，笛卡尔爱心函数是一种独特且美丽的数学函数，它以其特殊的形状和心灵之美而闻名。

这个函数的名字源自法国数学家笛卡尔，他在17世纪提出了这个函数，为我们展示了数学领域的无限魅力。

笛卡尔爱心函数的数学表达式为：(x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2 *y^3 = 0。

当我们将这个函数的图形绘制在坐标系中时，它呈现出一个迷人的心形图案。

这个函数之所以被称为"爱心函数"，是因为它的图形形状与人们普遍认可的爱心符号非常相似。

这个函数的图案由两个对称的圆锥曲线组成，它们在一点处相交，并展现出一种优雅而连续的曲线。

这个曲线不仅美丽，而且具有一定的数学特征，因此吸引了无数数学爱好者的研究。

除了其美丽的形状，笛卡尔爱心函数还具有一些有趣的性质。

例如，它是一个奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。

这意味着对于任意给定的点(x, y)在曲线上，点(-x, -y)也将在曲线上。

这种对称性使得爱心函数在数学探索和表达爱的主题时具有重要意义。

数学家们对笛卡尔爱心函数进行了广泛的研究，探索了它在数学和几何领域中的应用。

这个函数不仅是理论研究的对象，还被应用到生物学、物理学和工程学等领域中。

例如，在图像处理中，可以利用爱心函数生成漂亮而富有艺术感的图案。

在心理学中，爱心形状也被用作表达爱和情感的符号。

总之，笛卡尔爱心函数是数学界的一颗璀璨明珠，以其独特的形状和数学特性吸引了许多人的研究和探索。

它不仅展示了数学的美丽，还启发人们去发现并表达爱的本质。

无论是数学爱好者还是普通人，都可以通过欣赏和理解这个函数来领略数学的魅力和情感的力量。

写⼀写三⾓函数⼀家的⼏个⼩故事
1.sin和cos不得不说的故事~有⼀天，sin⽅了⼀下，cos也⽅了⼀下，他们于是相爱了。

成了完美的1
2.三⾓函数家有许许多多招式。

但是始终遵循着“奇都变了偶还不变。

符号他妈还要看象限。

”
3.sin和cos有⼀天除了⼀下，于是tan诞⽣了
4.tan很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot陪陪他
5.tan找不到妈妈cos时，就会⽅⼀下然后去找1，于是在根号叔叔的帮助下，找回了cos
6.cos⼀直不喜欢别⼈叫她原名：y/r。

y太丑，r弯弯的也不好看
7.sin倒是觉得x蛮酷的
8.cos有的时候蛮⽆聊的，把⼈家好好的阿尔发和贝塔硬是弄得分居，结果上去调停的还是她。

9.sin也会做差不多的事。

但他⽐较懒。

不变号
10.tan也想学爹妈做差不多的事，结果他遇到y轴⽼⼤哥罩着的⼀帮⾓就肯定没辙了，pai公公有时也会四分之⼀下耍耍他。

11.但分类讨论哥永远不会抛弃tan,事实上他从未抛弃过任何⼈
12.任你⾓度⼤到天涯海⾓，让我⽤诱导公式将你瞬间秒杀。

13.当遇到所有招式的对付不了的⾓度时，三⾓函数⼀家也绝不会⽓馁，他们还有⼤杀器：辅助⾓
14.他们⼀家的⼩⼉⼦sec和⼩⼥⼉csc，还没长⼤，还得靠tan哥哥和cot姐姐来解决困难
15.有的时候⾓度会阴险的穿上绝对值防护罩，这时候请信分类讨论哥
16.信分类讨论哥!不挂科！
That's all~。

【导语】以下是整理的《⼩学数学故事五篇》，⼀起来看看吧！ ⼩学数学故事（1） 由于圆周率是⼀个⽆限不循环⼩数，⼈们为了记住它，编撰了很多与圆周率谐⾳的⼩故事。

下⾯的⼩故事就是想利⽤谐⾳记住圆周率的⼩数点后100位数字。

下⾯的⼩故事同样是利⽤谐⾳记住圆周率的⼩数点后100位数字。

先设想⼀个酒徒在⼭上寺中狂饮，醉死⼭沟的情景： ⼭巅⼀寺⼀壶酒(3.14159)， ⼉乐(26)， 我三壶不够吃(535897)， 酒杀尔(932)! 杀不死(384)， 乐⽽乐(626)， 死了算罢了(43383)， ⼉弃沟(279)。

[前30位] 接着设想“死”者⽗亲得知⼉“死”后的⼼情： 吾疼⼉(502)， ⽩⽩死已够凄矣(8841971)， 留给⼭沟沟(69399)。

[15位] 再设想“死”者⽗亲到⼭沟寻找⼉⼦的情景： ⼭拐我腰痛(37510) 我怕你冻久(58209)， 凄事久思思(74944)。

[15位] 然后是⽗亲在⼭沟⾥把⼉⼦找到，并把他救活。

⼉⼦迷途知返的情景： 吾救⼉(592)， ⼭洞拐(307)， 不宜留(816)。

四邻乐(406)， ⼉不乐(286)， ⼉疼爸久久(20899)。

爸乐⼉不懂(86280)。

三思吧(348)! ⼉悟(25)。

三思⽽依依(34211)， 妻等乐其久(70679)[最后40位] 还有⼀⾸诗是这样编的： ⼭颠⼀寺⼀壶酒，(3.14159) 尔乐苦煞吾。

(26535) 把酒吃，酒杀尔，(897932) 杀不死，乐尔乐。

(384626) 思再三，不杀尔，吃酒!(43383279) 吾同尔爸爸是要酒吃，(502884197) 邀六舅三舅舅再吃。

(16939937) 吾邀同吾爸、尔同舅吃。

(510582097) 赐酒寺，赐吾酒。

(494459) 尔再同七爸⼀乐，是同乐：(2307816406) 尔爸乐，尔同⼋舅舅、爸乐。

(2862089986) 尔爸同三四爸(280348) ⽽吾三四⼉(25342) 要⼀起同乐吃酒!(1170679) ⼩学数学故事（2） 魏、晋时期出现的⽞学，不为汉儒经学束缚，思想⽐较活跃;它诘辩求胜，⼜能运⽤逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提⾼。

数学家小故事数学家小故事数学是一门令人神往的学科，它涵盖了我们整个宇宙中所有可能的数学形状和关系。

迷人的是，这些数字和形状的整个世界与我们的直觉和经验有着平行的宇宙。

正是在这些数学中，一些伟大的数学家闷头研究数学的规律和性质，他们在黑板上画出的图形和公式展示了人类智慧的辉煌成果。

那么，下面让我们一起了解一些数学家的故事，探究数学家是如何发掘数学规律和性质的。

一. 神奇的文字生成器许多人可能没有听说过斐波那契之名，但是大多数人都听说过斐波那契数列。

这个数列的前几项分别是0，1，1，2，3，5，8，13，21……每一项的值都是它前面两个数项的和，它是一个具有无限个项的数列，其中每一项都是前两项的和。

斐波那契数列在自然界中随处可见，比如菜花、梅花、松果、太阳花和贝壳等都呈现出斐波那契数列的规律。

斐波那契数列得名于来自意大利的数学家斐波那契，他对这个数列深入研究，并提出了这个数列的公式。

当斐波那契研究这个数列的时候，他考虑到将它表示为符号表示，于是创造了斐波那契的恩经书，它不仅仅是斐波那契数列，还包含许多有关比率和几何图案的内容。

这个恩经书不仅利用了斐波那契数列，还包括离黄金比例的内容，黄金比例是一个神秘的数字，它的值约等于1.618，黄金比例的发现与斐波那契数列密切相关。

据说，斐波那契的恩经书包含了一些预测下一个斐波那契数的文本，这似乎是一个更准确的方法而不是计算。

斐波那契的恩经书是数学史上一个非凡的成就，它在欧洲也很流行，人们们一致认为它是一本神奇的文字生成器，因为它可以生成几乎所有的元素、几何形式和拓扑形状。

今天，人们依然喜欢使用斐波那契数列和黄金比例来设计建筑、绘画和其他艺术品，这种使用斐波那契像神奇的数列和黄金比例的不仅仅是为了要追求美学上的完美，还有一些更深刻的数学含义。

二. 救命的计算器计算器可以说是现代工程师和数学家的最爱。

如果现在的计算器失灵了，工程师和科学家们肯定会感到非常的焦虑。

但是，在二十世纪的初期，计算器的使用是相对困难且昂贵的。

3-10故事敉学2021年第3期莱布尼茨还是欧拉？—谈函数概念的历史发展姚少魅1张浩2(1.北京市第八十中学，北京100102; 2.北京市朝阳区教育研究中心，北京100021)1引言：源自两本教科书的疑问函数是中学数学最基本的概念之一，是贯 穿高中数学课程的一条主线，同时也是现代数 学最重要的概念之一，它是描述客观世界中变 量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.哥廷根数学学派的创始人、德国数学家F •克莱因（Felix Klein, 1849-1925)称函数是 数学的灵魂，他强调用近代数学观点改造中学 数学内容,并提出用“函数观念和几何直观作 为数学教学的核心”，以函数为核心概念的教 材结构体系是学生理解数学、应用数学解决问 题的典型载体[1]，他在19世纪末领导的德国 数学教育改革的口号就是“用函数来思考”(func-tional thinking)⑵.同样来自德国的语言学家洪堡特认为“语 言决定人的世界观”，数学语言作为一种特殊 的语言也影响了人的世界观.数学符号作为数 学语言的重要组成部分，其含义明确、表达简 明、使用方便，并且还体现了数学的特征:形式 化、抽象化、符号化.没有数学符号，数学就难 以快速发展，科学的发展也会步履维艰.关于函数符号的创立,2019年人教A版普 通高中教科书数学必修第一册（简称人教A版 新教材）在3. 1.1节（第62页）给出函数概念 时介绍道:“函数符号y=/(幻是由德国数学家 莱布尼茨在18世纪引人的.”在之前的人教A 版教材1.2. 1节也有同样的介绍.2019年人教 B版普通高中教科书数学必修第一册（简称人 教B版新教材）在拓展阅读《函数定义的演变 过程简介》中称：“欧拉于1734年首先使用字 母/表示函数.”人教社的这两本教科书中出现了不一致 的说法，哪个说法准确呢？函数符号/到底是谁最先使用的？莱布尼茨还是欧拉？莱布尼 茨和欧拉在函数概念发展中起到了怎样的作 用？还有哪些数学家对函数概念的形成起到 了关键作用？2函数的概念发展简史二十世纪六十年代，我国数学史学家杜石 然先生在《函数概念的历史发展》一文中介绍 了函数概念经历了六次扩张，其中提到17世纪 末莱布尼茨（G_W.Leibniz,1646- 1716)引入 了函数的概念，但他把函数理解为幂的同义词，而函数符号/(幻是欧拉（L.Euler，1707 - 1783)于1734年首先引人的[3].杜石然先生的 说法参考的是苏联大百科全书“数学符号”这 一词条.关于函数符号的引人，M •克莱因（M. Kline, 1908 - 1992)在《古今数学思想》中写 道:“在函数的符号表示方面，约翰•伯努利 1718年用％表示;c的函数，Leibniz同意这样 做.记号/(幻是欧拉于1734年首先引进的.”[4]徐品方、张红的《数学符号史》在介绍函 数符号史时将函数的概念发展分成七次扩张，称欧拉在1734年的著作中就用/(子+ c)表示f + C的任意函数，并称“这是数学史上首次用/(幻表示％的函数，一直沿用至今”，此外拉 丁语函数“function” 一词最早作为专门数学术 语使用的是莱布尼茨[5].世界著名数学史学家 卡尔•博耶（Carl B.Boyer, 1906-1976)在《数 学史》中称“莱布尼茨不是现代函数记号的发 明者，但‘函数’这个词要归功于他，这个词跟今天所使用的在很大程度上是一样的意义，，[6]由此可见，针对前面在两本教科书中发现 的问题已经有了一个确定的回答，函数符号/2021年第3期3-11故爹軋学最先是欧拉使用的，而莱布尼茨最早使用了 “function”一词表示函数的含义•亨利•庞加莱曾说：“如果我们想要预测 数学的未来，那么适当的途径是研究这门学科 的历史和现状.”在《普通高中数学课程标准 (2017年版）》中对于“函数的形成与发展”这 部分内容提出了以下要求：“收集、阅读函数的 形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函 数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件 及其对人类文明的贡献.”因此,尽管前面的问 题已经得到回答，但是我们仍想对教材中出现 的有关函数概念的数学文化和数学史做一些 深人的探讨.2- 1教科书中的函数发展史首先给出各版本的教材对函数概念发展 的简介，按照原文出现的历史人物及贡献将部 分节选内容列举如下.人民教育出版社A版高中数学必修第一 册(2019年出版>《函数概念的发展历程》：莱布尼茨：“function”一词最初由德国数学 家莱布尼茨在1692年使用.李善兰：在中国，清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积 拾级》中首次将“function”译做“函数”•约翰•伯努利：瑞士数学家约翰.伯努利 强调函数要用公式表示.欧拉：瑞士数学家欧拉将函数定义为“如 果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数狄利克雷:德国数学家狄利克雷在1837年 时提出：“如果对于x的每一个值总有一个完全确定的值与之对应，那么;K是;c的函数.”说明：与人教A版旧教材的内容完全相同.人民教育出版社B版普通高中教科书数 学必修第一册（2019年出版）《函数定义的演 变过程简介》：莱布尼茨：“函数”一词是莱布尼茨创造 的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段 长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系.欧拉：欧拉于1734年首先使用字母/表示 函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另 一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也 随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数.黎曼：1851年，德国数学家黎曼给出的函 数定义是:假定z是一个变量，它可以逐次取所 有可能的实数值.如果对它的每一个值，都有 未知量W的唯一的一个值与之对应，则M；称为 Z的函数.布尔巴基学派：1939年，法国布尔巴基学 派在集合论的基础上给出了函数的定义……人民教育出版社B版高中数学必修第一 册（旧教材）《函数概念的形成与发展》：笛卡儿：当时人们把函数理解为变化的数 量关系，把曲线理解为几何形象.法国哲学家、数学家笛卡儿引入了坐标系，创立了解析几何.他把几何问题转化为代数问题.牛顿：英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿，以流数来定义描述连续量----流量(fluxion)的变化率，用以表示变量之间的关系.因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那 个时代函数的概念.莱布尼茨：函数（function)—词首先是由德 国哲学家莱布尼茨引入的，他用函数一词来表 示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并 引入了常量、交量、参变量等概念.欧拉：瑞士数学家欧拉于1734年引入了函 数符号/(*)，并称变量的函数是一个解析表达 式，认为函数是由一个公式确定的数量关系.狄利克雷：直到1837年，德国数学家狄利克 雷放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和 运算组成的表达式的观点,提出了 y=/U)是;c 与y之间的一种对应的现代数学观点.李善兰：1859年我国清代数学家、天文学 家、翻译家和教育家李善兰第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今•江苏凤凰教育出版社高中数学必修第一 册《函数概念的形成与发展》：笛卡儿：1637年，法国数学家笛卡儿在《几 何学》中第一次提到“未知和未定的量”，涉及 了变量，同时也引入了函数的思想.莱布尼茨=1692年，德国数学家莱布尼茨 最早使用“函数”这个词，他用“函数”表示随着3-12故f敉学2021年第3期曲线的变化而改变的几何量，如切线和点的纵 坐标等•约翰•伯努利：1718年，瑞士数学家约翰•伯努利给出函数新的解释：“由变量x和 常量用任何方式构成的量都可以叫作尤的函数•，，欧拉：1755年，瑞士数学家欧拉给出了函 数的如下定义……狄利克雷：1837年，德国数学家狄利克雷 认为：“如果对于x的每一个值总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”李善兰：1859年，我国清朝数学家李善兰 将function —词译成“函数”，并给出定义：“凡 此变数中函彼变数者，则此为彼之函数• ”这里 的“函”，是包含的意思.在国外的数学书上，习惯将函数（即对应关系）记为/,而在国内的数 学书上，通常将函数写为/(*).北京师范大学出版社高中数学必修第一 册《函数概念的起源>:伽利略：意大利科学家伽利略第一个提出 了函数或称为变量关系的这一概念.莱布尼茨：“function(函数）”这个词作为 数学术语，最初是由微积分奠基人之一、德国 哲学家、数学家莱布尼茨在1673年的手稿中首 次使用的.李善兰：1859年，我国清代数学家李善兰 在翻译《代数学》时，把“function”译为“函数以上不同版本教材中，莱布尼茨和欧拉都 经常出现，那么在函数概念发展的历程中，教 材中提到的这些人物做出了哪些贡献,还有哪 些关键人物呢？为了对函数概念有更全面的 理解，也方便师生在撰写函数发展过程的小论 文时参考，我们以人物为线索，简要回顾函数 概念发展的几种学说，不同历史阶段更多数学 家对函数的理解还可参考文[7].2.2变量说对运动与变化的研究是函数概念产生的 直接原因.16世纪以来，由于人们对地球运动、天体运动以及如何测量时间等实际问题的需 要，使得自然科学转向对运动的研究以及对各 种变化过程和各个变化着的量之间关系的研 究,因此数学中出现了“变量”的概念.从此，数 学从漫长的常量数学时期进展到变量数学时期，也就是从研究“数”变为了研究“函数尽管初中教材已经出现函数的概念，但直到高中 教材函数一章的全面介绍，中学数学才真正从 对数的研究转变为对函数的研究.函数概念的 发展离不开微积分观念的发展,要研究运动变 化过程自然离不开“微分”，因此学生在高中接 触导数与微积分之后，也正式跨入了近代数学 的大门.笛卡儿、费马、牛顿众所周知，笛卡儿与费马是解析几何的奠 基者，他们引入了坐标系，使代数表达式和平 面上的几何图形相对应，从而可以将几何问题 转化为代数问题来研究.但事实上，他们也是 函数概念的奠基人，他们提出了坐标U,y)中X和y具有某种关系，如费马所说“每当我们找 到两个未知量的等式，我们就有一条轨迹，它 描写的不外乎是一条直线或曲线”，这里出现 的轨迹和曲线就是早期函数的类似物.牛顿首次用专门术语genita(拉丁文）描述 了从一个量中得到的另一个量.牛顿称他的变 量为流数.牛顿为函数概念的发展作出的最大 贡献在于他使用了幂级数，幂级数对函数概念 的后续发展非常重要.莱布尼茨北师大版新教材中称“function(函数）”这 个词作为数学术语最初是由德国数学家莱布 尼茨在1673年的手稿中首次使用的，而人教A 版新教材、苏教版新教材均称莱布尼茨于1692 年最早使用“函数”这个词.事实上，这两个事 实是不矛盾的.莱布尼茨在1673年的一篇手稿《反切线或 函数方法》(M ethodus tangentium inversa,seu de fuctionibus)中首先使用了 “function”的拉丁文，但这个词并不表示函数的含义.术语“function”首次出现在印刷品上是莱布尼茨在1692年发 表的论文《De linea ex lineis num ero infinitis ordinatim ductis》，这篇文章中也包含了许多现 在常用的其他数学术语在1694年莱布尼 茨的另一篇论文中也出现了函数，他用函数表 示任何一个随着曲线上的点变动而变动的几 何量，如曲线上点的坐标、弦、切线、法线等.莱布尼茨的函数定义过分限制在几何领 域.事实上，作为微积分的奠基人，牛顿和莱布2021年第3期故学敉学3-13尼茨当时所研究的微积分并不是现代意义下 基于函数的微积分，而是基于几何学的微积分.约翰•伯努利之后，莱布尼茨的学生约翰•伯努利（J. Bernoulli，1667- 1748)使用了函数这个术语•1698年7月，莱布尼茨在给约翰•伯努利的信 中写道:“我很高兴你在我的意义下使用函数 这个术语.”伯努利在1698年8月的回信中说: “为了表示某个不定量x的函数，我喜欢使用 相应的大写字母Z或希腊字母f这样我们就 可以同时看到这个函数所依赖的不定量.”在 同一封信中，他使用了符号A： = a:和X= 之 后，函数的概念逐渐脱离几何.1718年，伯努利首次明确给出函数的正式 定义:“一个变量的函数是指由这个变量和常 数以任意一种方式构成的量.”他试验过几种 表示z的函数的符号，其中用数学符号_表示 函数是最接近现代记法的一种.“变量”一词也 是这时引人的.伯努利的这个定义脱离了几何 语言,但他没有解释“以任意一种方式构成”的含义.欧拉下一位关键人物是欧拉，他是约翰•伯努 利的学生.在约翰•伯努利的基础上，欧拉在 18世纪30年代发表的一篇论文中用j i— + c)表7K— + c的任意函数，之后在1748 \a)a年出版的《无穷分析引论》中使用了伯努利的 定义，并且首次用“解析式”[9]来定义函数，把 一个变量z的函数看作由该变量2和一些常数 以任何方式构成的解析表达式，如a + 3z，az -欧拉在这本书的前言中说数学分析就是研 究变量及其函数的一门学科，并且他认为微积 分是关于函数的，而不是关于曲线的.这是欧 拉的“解析式”定义.1755年，欧拉在他的《微分学原理》中给出 了新的函数定义：“如果某些量以如下方式依 赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也 发生变化，则称前一些量是后一些量的函数.”这是欧拉的“依赖关系”定义.总之,欧拉是第一位突出函数概念的数学家，欧拉还对函数进行了分类，使用了“代数函 数”“超越函数”“单值函数”“多值函数”等术 语，他定义的函数关系可以用诸如多项式、正 弦、对数表达的解析式或解析式的积分来表示.欧拉的定义涉及到刻画两个变量之间的变 化关系，人们通常称欧拉的定义为函数的“变 量说欧拉对函数发展的更多贡献可参考文[10].欧拉及同时代的其他数学家都认为函数 是通过一个解析式表达出来的，根据他们的 观点，不能被称为一个函数.在这一时期，使用解析 式来定义函数的观点的著名数学家还有很多，以下简述其中几位.丹尼尔•伯努利在研究弦振动方程时，获 得了一个称为三角级数（即后来的Fourier级 数）形式的解，伯努利从物理的眼光相信所有 的函数都可以表示为三角级数的形式.拉格朗日在《解析函数论》（1797年）中称 一个或几个量的函数是指任意一个适于计算 的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中……一般地，我们用字母/或F放在一个变 量的前面以表示该变量的任意一个函数，即表 示依赖于这个变量的任何一个量，它按照一种 给定的规律随着那个变量一起变化.拉格朗曰 在这本书中以幂级数为出发点，将函数概念限 制为解析函数.德摩根在1837年的《代数学》中将函数定 义为以任意方式包含x的表达式.1851年，罗密士在《解析几何与微积分基础》中称：“若一 个变量等于含有另一个变量的代数式，则称第 一个变量为第二个变量的函数.”英国传教士 伟烈亚力（A.Wylie,1815 - 1887)和清代数学 家李善兰（1810 - 1882)翻译的《代数学》和《代 微积拾级》（即《解析几何与微积分基础》）这 两本书采用的都是函数的“解析式”定义，因此 他们将变量翻译为变数，包含变数的表达式翻 译为“函数”，意为“一个式子中含有数字符号”，其中“函”与“含”意义相同.李善兰将函 数符号“/”用“函”表示，从而函数y =/U)用3-14故学敉学2021年第3期汉字化符号表示成“地=函（天）”•《代数学》中函数定义为:“凡式中含天，为天之函数”（中国古代以天地人物表示未知数），《代微积拾 级》中称“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函 数”，这就是中文数学名词“函数”的由来.当代 数学大家丘成桐认为《代数学》和《代微积拾 级》是清末西方代数学译著中最重要的两本译 著,因为它们给中国传统数学带来了西方符号 表示的理论体系和系统化的微积分理论人教A版教材称“在中国，清代数学家李 善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的 《代微积拾级》中首次将‘function’译做‘函数’”，而北师大版新教材称“1859年，我国清 代数学家李善兰在翻译《代数学》时，把 ‘function’译为‘函数那么李善兰究竟是在《代数学》还是《代微积拾级》中最早把function 翻译成函数的呢？事实上，这两本书可能是同 时进行翻译的，并且都是在1859年于墨海书馆 出版的.因此，更确切的说法是：1859年，我国 清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力在 合译《代数学》与《代微积拾级》时首次将“function”译为“函数”■徐品方、张红在《数学 符号史》中使用了这种说法[5].用函数的解析式定义有很大的局限性，比如某些变量之间的对应关系无法用解析式表 达.更多关于解析式定义的内容，我们推荐读 者阅读文[9].2.3对应说1755年，欧拉就给出了函数的“依赖关系”定义，这种定义也逐渐演变为“对应说之后，傅里叶摆脱了欧拉单一解析式定义的束缚，柯 西、狄利克雷和黎曼等给出了函数的现代定义.傅里叶法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768 _ 1830)在研究热传导方程的解时，得到结论:在 不同的区间一个三角级数的和可用不同的算 式表达.他认为函数是否由单一解析式给出并 不重要，他在1822年《热的解析理论》中给出 函数的如下定义：“函数/(幻代表一系列的值 或纵坐标，它们中的每一个都是任意的.对于 无限多个给定的横坐标a：的值，有同样多个纵 坐标/U).……我们不假定这些纵坐标要服从一个共同的规律.”柯西法国数学家柯西（A.Cauchy, 1789-1857) 指出了拉格朗日用幂级数定义函数的局限，他 研究了函数丄f(x) = j e，2>以 〇，[0，A t = 0,并证明/U)在X= 0处的各阶导数均为0，但按 照泰勒级数给出的函数/(；«) = 0 + 0% + Ox2 + 0不是原来的函数.1823年，柯西用关系给出了 函数的定义：“在某些变量之间存在着一定的 关系，只要其中某一变量的值给定了，其他变 量的值可随之而确定时,则将最初的变量叫自 变量，其他各变量就叫做函数.”狄利克雷1837年，德国数学家狄利克雷（L. Dirichlet, 1805- 1859)改进了傅里叶的定义，给出了函数的以下定义：“如果对于给定区间 上的每一个x的值,有唯一有限的y的值同它 对应，那么y就是X的一个函数.至于在整个区 间上y是否按照一种规律依赖于^或者y依 赖于x是否可用数学运算来表达，那都是无关 紧要的.”由此，函数可以理解为一个规则，变量x的值固定了,按照这个规则确定了（或对应着）唯 一的一个y值.函数的这个定义打破了十八世 纪占统治地位的函数只能由一个解析式来表 达的想法，狄利克雷在研究傅里叶级数的收敛 性问题时出现了狄利克雷函数1，x是有理数，〇,^是无理数，这样定义的对应关系在狄利克雷的意义下成 为函数.狄利克雷的函数定义已经接近中学教 科书中的函数概念[121.自狄利克雷的工作之后，出现了大量的 “病态”函数，分析学的特征也出现了变化.17 世纪以来，分析学被认为可以应用于“所有”函数，从狄利克雷开始，分析学转向研究特定的2021年第3期故錄学3-15函数类，如连续函数、可微函数、可积函数、单 调函数等.而一些数学家也开始研究一些不规 则的函数，如魏尔斯特拉斯（Weierstrass, 1815 - 1897)在1872年给出的著名的处处不可 微的连续函数.黎曼1851 年，黎曼（B.Riemann，1826- 1866) 给出的函数定义是:“假定z是一个变量，它可 以逐次取所有可能的实数值，若对它的每一个 值，都有不定量w的唯一的值与之对应，则称w 为z的函数.”狄利克雷和黎曼的定义中采用了“唯一的 一个值与之对应”，通常这样的定义称为函数 的“对应说”，这样函数的概念从“变量说”转变 为“对应说”，我国现行高中教科书大多采用这 样的定义[13].因此，用“对应说”定义函数，主要关心的 是对应的结果，而不是过程，对应法则是手段，对应结果才是目的[14].相同的对应关系可以有 不同的式子来表达，在这一点上，柯西给出了—个很简单的例子，/(幻：广’也可[-X, X< {)以用y u) = #或y u) = 来表示.我们还可以举出其他初等例子，比如y = (a; - I)2 -x2 +2尤与y= sin2x +cos2尤是同一*个函数；y = 和〇0) = {丨’，x是同一个函数，等等.此外，对于函数{〇, 11)与;r= e|〇,i|),由于对应法则不同，它们貌似是两个不同的函数,但仔细分析，它们的定义域相同，并且一旦变量*的值固定，按照这两个解析式给出的规则都确定了相同 的y值，因此这“两”个函数是同一个函数.2.4关系说1874年，康托尔开创了集合论，到20世纪 初,集合论的思想与方法渗透到数学的各个领 域.在建立集合论之后，函数定义又以集合对 应的方式进行了改写.1888年，戴德金把函数定义为集合间的映 射，而映射指一种规则:在这种规则少下，系统 S(即集合S)中的任意元素s对应于确定的对象少⑴.1904年,J.Tannery给出了基于集合论的 函数定义：考虑不同的数组成的一个集合，这 些数可作为赋予字母x的值，则x称为一个变 量，设x的每一个值对应于一个数，后者可作为 赋予字母y的值，则我们称y是由集合所确定 的*的函数.1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基 础上，给出的函数定义如下:设£和F是两个 集合，它们可以不同，也可以相同.£中的变元 和/^中的变元;K之间的一个关系称为一个函 数关系，如果对于每一个* e都存在唯一的y e F,它满足于；c给定的关系，称这样的运算 为函数.它以上述方式将与x有给定关系的元 素y e F与每一个元素;c E £相联系，称y是函 数在元素;c处的值，函数值由给定的关系所确定•布尔巴基学派还给出了函数用笛卡尔积 子集（有序对）来定义的方法，这个定义也可以 在《普通高中数学课程标准（2017年版）》案例 2中找到:设F是定义在集合X和y上的一个 二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一 个x e Z，都存在唯一的y e I使得(*，y) e F.但课程标准在此处未明确二元关系的定义，实际上集合X和F上的一个二元关系f指集合 尤和r的笛卡尔积尤x丨（X，y)丨* e Z，y e W的一个子集这个定义可以用形式化的语言描述如下:设X和F为两个集合，任意a;e尤,存在y使得U,y)e若(*，y)e F且e F蕴含y=z，则称F是集合Z到 集合y的函数.以“关系”为桥梁，通过集合来定义函数称 为函数的“关系说“关系说”通过附加条件避 免了交代“对应关系”，国外的一些中学教材[15]也有采用.另外，布尔巴基学派是研究数 学结构的先驱，最早用集合论语言刻画了数学 结构.在20世纪，将任意集合之间的映射作为 函数的概念逐渐占据主导地位.现代范畴论的 奠基人麦克莱恩（S.MacLane，1909 - 2005) 1986 年在《Mathematics:Form and Function》一-书中详细探讨了函数的各种“直观”看法，使用 有序数对给出了一个形式化定义，并用—。