等比数列求和公式(课堂PPT)

从而
Sn＝14×5n＋1－54或
1 Sn＝
080×[1－－56n]
11
.
7
(2)由 Sn＝a1＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1，
∴a1·2n＝192，即 2n＝1a912，
∴189＝a1(2n－1)＝a1(1a912－1)，
x2
bn x
(1)n 2
0 的两根，又
a1=2
求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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跟踪练习
1.
设数列{an}的首项
a1=a≠
1 4
，且
an1 a12nan ,14n为, n为偶奇数数，
bn=a2n-1
1 4
(1)求 a2，a3
(2)判断{bn}是否为等比数列，并证明。
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2. 已知数列{an},{bn}中，a1= b1=1，a2= b2=2，a3= b3=4， (1)若{an－an-1 }是等差数列，求 an (2)若{bn－bn-1 }是等比数列，求 bn
2.4.2
等比数列的求和公 式
(第一课时)
1
新课讲解
等比数列前 n 项和公式
知识点
基本内容
基本 公式
等比数列 前 n 项和公 式
Sn＝naqa1≠111－1－qq＝qn1＝
a1－anq 1－q
根据 q 是否为 1，有两种形式
推导等比 错位相减法：解决由等比数列与
基本
两边乘公比，错
数列前 n 项 等差数列对应项的积组成的数
∴a1＝3,2n－1＝936＝32，∴n＝6.
8
[例 2] 已知等比数列{an}中，an>0，Sn＝80，S2n＝6560，则 前 n 项中最大项为 54，求 n.
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跟踪练习
1. (1)等比数列{an}中，q＝－12，S5＝11，则 a1，a5 分别为(
)
A．14,1
B．16，－1
C．16,1
D．14，－1
(2)求数列{an an+1 }的前 n 项和；
(3)求数列{(2n+1) an }的前 n 项和。
[例 4] 设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
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解：(1)由已知得，当 n≥1 时， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2 ＝22(n＋1)－1. 而 a1＝2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
提示：已知 a1，q，n 且 q≠1 时用 Sn＝a111－－qqn， 已知 a1，q，an 且 q≠1 时，用公式 Sn＝a11－－aqnq.
4
3．等比数列前 n 项和的公式是如何推导的？
提示：设 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an① 则把①式两边同乘以 q 得： qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an－1q＋anq qSn＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1② ①－②得(1－q)Sn＝a1－an＋1 ∴当 q≠1 时，Sn＝a11－－aqn＋1＝a1(11－－qqn). 又当 q＝1 时，∵a1＝a2＝…＝an，∴Sn＝na1.
a1q2＝2 ①
则a11－q4＝5×a11－q2 ②
1－q
1－q
由②得 1－q4＝5(1－q2)，
(q2－4)(q2－1)＝0.
(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，
因为 q<1，解得 q＝－1 或 q＝－2.
12
当q＝－1时，代入①得a1＝2， 通项公式an＝2×(－1)n－1； 当q＝－2时，代入①得a1＝12， 通项公式an＝12×(－2)n－1. 综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1. 当q＝－2时，an＝12×(－2)n－1.
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a5＝1.1a4－b＝1.1(1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b)－b ＝1.15a－1.14b－1.13b－1.12b－1.1b－b
b1－1.15
＝1.6a－
＝1.6a－6b
1－1.1
由题意 1.6a－6b＝1.3a，解得 b＝2a0，所以每年拆除的 旧住房面积为2a0m2.
27
31
[错因分析] 在上面的求解过程中，没有讨论公比 q 是 否为 1，就直接使用了等比数列的前 n 项和公式 Sn＝ a1(11－－qqn)，从而有可能出现漏解情况．
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[正解] 若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式， 得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得 q＝1(舍去)或 q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2 或 q＝－2，a3＝8.
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2. 已知数列{bn}前n项和为Sn，且bn=2-2sn,
数列{an}是等差数列,a5=
5 2
7 , a7 = 2
.
(1)求{bn}的通向公式。
(2) 若cn=an.bn,n=1,2,3…..求；数列{cn}前n项和Tn
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例题讲解
类型三 等比数列的综合应用
[例 5] 设数列{an}的相邻两项 an，an＋1 是方程
跟踪练习
1. 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知 西部某地区有耕地 3 000 万亩需要退耕还林，国家确定 2000 年在该地区退耕还林的土地面积为 300 万亩，以后每年退耕 还林的土地面积比上一年递增 20%.那么从 2000 年起，到哪 一年该地区基本解决退耕还林问题？(计算时取 log1.23＝6)
1. 求和 Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解：分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1，
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两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1， 即Sn＝aan－an1a－－n1a2 －1. 综上所述，得 Sn＝anan2n＋－a1n1a，－－an1＝a21－，1，a≠1.
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(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
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跟踪练习
＋a3＝12，则此数列的前 8 项和为( )
A．514
B．513
C．512
D．510
38
解析：由题意，得
a1＋a1q3＝18， a1q＋a1q2＝12，
解得q1＝2，q2＝
12，q3＝－1，q2，q3不合题意，舍去．
∴q＝2，a1＝2. ∴S8＝a111－－qq8＝2×1－1－2 28＝510.
答案：D
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解：设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一 个数列{an}，由题意，得an＋1＝an(1＋20%)，
∴{an}是首项为a1＝300，公比为1.2的等比数列． 设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝3 000. ∴3001.12.－2n－1 1＝3 000. ∴1.2n＝3，解得n＝log1.23＝6. 故到2005年该地区基本解决退耕还林问题．
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(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住 房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？ (计算时取 1.15＝1.6)
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解：设第 n 年末实际住房面积为 an(n∈N*)． (1)由题意，则 a1＝1.1a－b(m2)． a2＝1.1a1－b＝1.1(1.1a－b)－b＝1.21a－2.1b(m2) (2)a3＝1.1a2－b＝1.1(1.12a－1.1b－b)－b＝1.13a－1.12b －1.1b－b a4＝1.1a3－b＝1.1(1.13a－1.12b－1.1b－b)－b ＝1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b
(2)设等比数列{an}的公比 q<1，前 n 项和为 Sn，已知 a3＝2，
S4＝5S2，求{an}的通项公式．
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解析：(1)S5＝a1[11－－－－12125]＝11⇒a1＝16， a5＝a1·q4＝16×(－12)4＝1.
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(2)由题设知 a1≠0，Sn＝a111－－qqn(q<1)，
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易错点：忽略 q 的取值范围而导致出错 [错题展示] 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6， 求 a3 和 q.
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[错解] 由等比数列的前 n 项和公式， 得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得 q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8， 综上所述，q＝－2，a3＝8.
解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝11－－225＝31. 答案：31
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5．求 Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)． 解：当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋2 1； 当x≠1时，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1. ∴(1－x)Sn＝x11－－xxn－nxn＋1.
5
例题讲解
类型一 等比数列前 n 项和公式的基本运算 [例 1] 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n.
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