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等比数列求和公式有哪些等比数列是数学中的一种常见数列，其中每个项都与前一项的比值相等。
求等比数列的和是数学中的基础问题，对于等比数列的求和，常用以下两个公式：1. 等比数列前n项和公式：等比数列的前n项和记作Sn，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比，n为等比数列的项数。
2. 等比数列无穷项和公式：等比数列的无穷项和记作S∞，公式为：S∞ = a / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和存在。
这两个公式是求等比数列和的基本公式，可以用来计算等比数列的和。
下面将通过例子来说明这两个公式的使用。
例1：已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的前5项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)= 2 * (1 - 243) / (-2)= 2 * (-242) / (-2)= 242根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 2 / (1 - 3)= 2 / (-2)= -1所以，该等比数列的前5项和Sn为242，无穷项和S∞为-1。
例2：已知等比数列的首项a为5，公比r为0.5，求该等比数列的前10项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 5 * (1 - 0.5^10) / (1 - 0.5)= 5 * (1 - 0.0009766) / (0.5)= 5 * (0.9990234) / (0.5)= 9.990234根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 5 / (1 - 0.5)= 5 / (0.5)= 10所以，该等比数列的前10项和Sn为9.990234，无穷项和S∞为10。
通过以上例子可以看出，等比数列的求和公式能够方便地计算等比数列的和。
高中数学等比数列求和等比数列是数学中常见的一种数列，它的特点是每一项与前一项的比值都相等。
在高中数学中，我们经常需要计算等比数列的和，这对于我们掌握数列的性质和运算规律非常重要。
我们来回顾一下等比数列的定义和性质。
等比数列可以用以下公式来表示：a，ar，ar²，ar³，...，其中a是首项，r是公比。
公比r不等于0，否则数列将变成等差数列。
在求等比数列的和时，我们可以通过以下方法来计算：1. 等比数列求和公式等比数列求和的公式是一个重要的工具，它可以用来计算任意项数的等比数列的和。
公式如下：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项的和，a是首项，r是公比。
2. 等比数列求和的步骤求等比数列的和一般可以分为以下几个步骤：（1）确定首项a和公比r；（2）确定要求和的项数n；（3）代入公式Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)计算结果。
需要注意的是，在使用等比数列求和公式时，我们需要确保公比r 不等于1，否则公式中的分母为0，无法计算。
此外，当公比r的绝对值小于1时，等比数列的和会趋于一个有限值；当公比r的绝对值大于1时，等比数列的和会趋于无穷大。
3. 实例分析为了更好地理解等比数列求和的过程，我们来看一个实例。
例题：求等比数列1，3，9，27，...的前10项和。
解：根据题目，我们可以确定首项a=1，公比r=3，要求和的项数n=10。
将这些值代入公式Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以得到：S10 = 1 * (1 - 3^10) / (1 - 3)计算得到S10 = -29524/2 = -14762。
所以，等比数列1，3，9，27，...的前10项和为-14762。
通过这个例子，我们可以看到等比数列求和的具体步骤和计算过程。
当然，在实际应用中，我们也可以利用等比数列的性质，通过递推关系来求解等比数列的和。
.5等比数列的前n 项和（第一课时） 进山中学高中数学组 李林霞一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n 项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n 项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n 项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二.认知:三、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维学情分析 掌握等差数列和等比数列的有关知识.能力:初步具备运用知识解决问题的能力；但对知识的整合能力、问题的探究能力及思维的严密性上还需要进一步培养和提高.情感:学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强.的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．四、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n 项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.五、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.六、教学过程教学过程设计意图创设情境【漫画演示】话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍．”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；……哇，发财了……”心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”【教师提问】(1)假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？(2)29323022221+++++=S(观察数字特征引出课题)依托市场经济背景，运用学生熟悉的人物编拟故事，以趣引思,激发学生学习热情.探究问题1.学生自主探究：29323022221+++++=S2.解决情境问题3.师生共同探讨一般等比数列前n项和：?1321=+++++=-nnn aaaaaS即?11212111=++++=--nnn qaqaqaqaaS方法1：错位相减法⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111nnqaaSq11)1(-=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=111)1(11qnaqqqaSnn方法2：提取公比q11212111--++++=nnn qaqaqaqaaS）（21111-+++=n qaqaaqa）（111--+=nn qaSqann qaaSq11)1(-=-∴方法3：利用等比定理领悟数学应用价值从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高．通过学生个别学习，互相讨论，揭示知识的内在联系. 通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的洞察力．增强学生思维=12a a =23a a =34a aq a a n n =-1nn n n na S a S q a a a a a a --==+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++-112132q a a S q n n -=-1)1(……的严谨性.通过实物展示学生解决问题的方法，破除思维定势. 辨 析 质 疑1．口答：在公比为q 的等比数列}{n a 中(1)若31,321==q a ，则=n S ________（2）若1,11==q a ，则=n S ________ 2．判断是非：(或据情况换题)①21)21(1)2(84211--⨯=-++-+--n n （ ） ②21)21(12222132--⨯=+++++n n （ ）③若0≠c 且1≠c ，则=++++ncc c c 26422221])(1[cc c n -- （ ）对公式的再认识．(1)、对公比q 的分类讨论 (2)、公式中n 的理解剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式. 巩 固 提 高例1．已知}{n a 是等比数列，请完成下表：题号1aqnn a n S(1) 21 21 8(2)27 32 8(3) 2--32-21例2．求等比数列 ,161,81,41,21的第5项到第10项的和．方法1： 观察、发现：4101065S S a a a -=+++ ． 方法2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为165=a ，公比为2=q ，项数为6=n ．变式1：求 3215,1614,813,412,211的前n 项和．变式2：求 325,164,83,42,21的前n 项和．（留作达标检测后思考题）熟练公式运用，着重强调公式的选择.本例由书中的例题改编而成，一题多解及变式,有利于提高思维的灵活性和梯度.反 思 拓 广( 一)达标检测1.据下列条件求相应的等比数列 的2. 求等比数列 1，2，4，…从 第5 项到第10 项的和. （二）小结引导学生从知识、思想、方法三个方面进行总结．从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学的学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. 作业布置 作业： 必做题：课本P 129 练习3(1) 习题3.5 1 选做题：画一个边长为2cm 的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和．布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展.提供参考网站，便于学生开展自主学习.七．板书设计 （ 附 后 ）.{}n a nS ;6,2,3)1(1===n q a ;21,21,8)2(1===n a q a。
等比数列的公式求和在咱们的数学世界里，等比数列就像是一群排着整齐队伍的小精灵，而等比数列的公式求和呢，就是解开它们神秘魔法的钥匙。
先来说说啥是等比数列。
比如说有这么一组数：1，2，4，8，16……你看，后一个数跟前一个数的比值是一样的，在这个例子里比值就是 2。
这就是等比数列啦！那等比数列的求和公式是啥呢？设这个等比数列的首项是 a₁，公比是 q ，项数是 n ，当q ≠ 1 时，它的求和公式就是：Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q) 。
记得我上学那会，刚开始学这个公式的时候，也是一头雾水。
老师在讲台上讲得唾沫横飞，我在下面听得云里雾里。
有一次做作业，遇到一道等比数列求和的题目，我盯着题目看了半天，愣是没思路。
抓耳挠腮之际，我决定从头再好好研究一下这个公式。
我把公式写在草稿纸上，一遍又一遍地看，一边看一边在脑子里想老师讲过的例子。
突然，就像黑暗的房间里突然亮起了一盏灯，我好像明白了！我赶紧按照公式一步一步地算，嘿，还真算出答案来了！那种恍然大悟、豁然开朗的感觉，真的太棒了！等比数列求和公式在生活中也有不少用处呢。
比如说，你要是想知道银行存款按照复利计算，若干年后能有多少钱，这就可以用等比数列求和来算。
还有那种细胞分裂的问题，一个细胞分裂一次变成两个，两个分裂成四个，依次类推，经过 n 次分裂后细胞的总数，也能通过等比数列求和来搞定。
再给大家举个例子加深理解。
假设一个等比数列，首项 a₁是 3 ，公比 q 是 2 ，一共 5 项。
那按照求和公式来算，S₅ = 3×(1 - 2⁵) / (1 - 2) = 3×(1 - 32) / (-1) = 3×(-31) / (-1) = 93 。
是不是很神奇？其实啊，数学里的这些公式就像是一个个神奇的工具，只要我们掌握了它们，就能解决很多看似复杂的问题。
就像等比数列的求和公式，虽然一开始可能觉得有点难，但只要我们多琢磨、多练习，就能熟练运用，让数学为我们的生活服务。
等比数列前n 项和(1)教学目标（1）掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；（2）会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题．教学重点，难点（1）等比数列的前n 项和公式；等比数列的前n 项和公式推导； （2）灵活应用公式解决有关问题．教学过程一．问题情境 情境：1．求和：（1）2391012222S '=+++++ ，（2）2310102222S =++++ ，2．问题：（1），（2）两式的和之间有什么关系？能否根据它们之间的关系求232222nn S =++++ ？能否求等比数列的前n 项和？二．建构概念1．等比数列前n 项和公式：qq a S nn --=1)1(1 或11n n a a q S q-=-说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况． 三．数学运用 1．例题：例1．求等比数列{}n a 中， （1）已知；14a =-，12q =，求10S ；（2）已知；11a =，243k a =，3q =，求k S ．例2．求等比数列{}n a 中，372S =，6632S =，求n a ；例3．求数列11111,2,3,,,2482nn ++++的前n 项和．．说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．例4．在等比数列{}n a 中，n S 表示该数列的前n 项和，若1049S =，20112S =，求30S备选练习：1、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2nn S =，那么5_____________a =2、已知等差数列{}n a ，259,21a a ==（1）、求{}n a 的通项公式；（2）令2nan b =，求数列{}n b 的前n 项和n S3. 在等比数列{}n a 的前n 项和中，1a 最小，且128,66121==+-n n a a a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q4、设{}n a 是等比数列，求证：232,,n n n n n S S S S S --成等比数列．。
§3.5.1 等比数列的前n 项和教学目标1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题.教学重点1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式推导.教学难点灵活应用公式解决有关问题.教学方法启发引导式教学法教具准备教学过程(I)复习回顾师：首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质.生：（1）定义：q a a n n =-1（n ≥2，)0≠q （2）通项公式：11n 11 --==n m m q a a q a a等比数列通项公式：)0,(111≠=-q a q a a n n（3）性质：①b G a ,,成等比数列ab G =⇔2②若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ⋅=⋅（Ⅱ）讲授新课师：前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n 项和如何求？下面我们一起来看引言.生：引言中提到的问题：求数列1，2，4，…262，263的各项和。
即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为： 636264228421+++++= S ①6463642216842+++++= S ②由②—①可得：126464-=S一、前n 项和公式师：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n nn q a a a a a a S得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=1)1 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.二、例题讲解例1：求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由2 2,121===q a a 得102321)21(11521)21(1101044=--⨯==--⨯=∴S S 从第5项到第10项的和为S 10-S 4=1008例2：一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列则：一天内获知此信息的人数为：12212124244-=--=∴S （Ⅲ）课堂练习生：（板演练习）课本P 132练习1（2），（4）（Ⅳ）课时小结 师：等比数列求和公式：qq a a S q q a S n n n n --=--=1)1)1(11或 )1(≠q 及推导方法：错位相减法是本节课应重点掌握的内容，课后应进一步熟练公式掌握其基本应用。
等比数列的求和方式是什么等比数列求和公式q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)q=1时Sn=na1(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。
注：q=1 时，{an}为常数列。
利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。
等比数列求和公式推导Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)a(n+1)=a1qnSn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)高中数学公式总结圆的公式1、圆体积=4/3(pi)(r^3)2、面积=(pi)(r^2)3、周长=2(pi)r4、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2【(a,b)是圆心坐标】5、圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0【d2+e2-4f0】椭圆公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差.3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率t,但这两个公式都是通过椭圆周率t推导演变而来。
两角和公式1、sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa2、cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb3、tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) 4、ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga) 倍角公式1、tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga2、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式1、sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)2、cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)3、tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))4、ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))和差化积1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb等差数列1、等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)2、前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}若m,n,p,q∈N__,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.和=(首项+末项)__项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项项数=(末项-首项)/公差+1等比数列1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.抛物线1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。
等⽐数列求和公式等⽐数列等⽐数列的通项公式等⽐数列求和公式 (1) 等⽐数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推⼴式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为⽐值，n为项数） (4)性质： ①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等⽐数列中，依次每 k项之和仍成等⽐数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等⽐中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等⽐数列中，⾸项a1与公⽐q都不为零. 注意：上述公式中an表⽰等⽐数列的第n项。
等⽐数列 如果⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐等于同⼀个常数，这个数列就叫做等⽐数列。
这个常数叫做等⽐数列的公⽐，公⽐通常⽤字母q表⽰(q≠0)。
（1）等⽐数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作⾃变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的⼀群孤⽴的点。
（2）等⽐数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q≠ 1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等⽐数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等⽐中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等⽐中项。
等比数列求和公式大全
等比数列的求和公式包括通项公式和求和公式。
通项公式为an=a1×q^(n-1)，其中an是第n项，a1是首项，q是公比。
推广式是an=am·q^(n-m)，其中am是第m项。
等比数列的求和公式是Sn=n×a1（q=1）或Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=（a1-a1q^n）/（1-q）=a1/(1-q)-a1/(1-q)q^n（前提：q不等于 1）。
此外，等比数列还有以下性质：
1. 若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=apaq。
2. 在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
3. 若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(a)^2。
4. 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）。
5. 在等比数列中，首项a₁与公比q都不为零。
6. 在数列{aₙ}中每隔k(k∈N)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q。
7. 当数列{aₙ}使各项都为正数的等比数列，数列{lgaⁿ}是lgq的等差数列。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士。
等比数列n项和求和公式(一)等比数列n项和求和公式1. 简介等比数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的比值保持不变。
2. 等比数列公式对于等比数列，我们可以通过以下公式来求解：通项公式通项公式用来表示等比数列中第n项的数值。
对于等比数列a1,a2,a3,...,a n，其中a1是首项，q 是公比，第n项a n可以由下式给出：a n=a1⋅q n−1其中n≥1。
n项和公式n项和公式用来计算等比数列的前n项和。
对于等比数列a1,a2,a3,...,a n，其中a1是首项，q 是公比，前n项和S n可以由下式给出：S n=a1⋅(q n−1)q−1其中n≥1。
3. 举例说明以下是两个具体的例子，来解释等比数列的n项和求和公式的应用：例子1考虑一个等比数列：1, 2, 4, 8, 16, …根据通项公式，我们可以计算第5项的值：a5=a1⋅q5−1=1⋅24=16根据n项和公式，我们可以计算前5项的和：S5=a1⋅(q5−1)q−1=1⋅(25−1)2−1=31因此，这个等比数列的第5项为16，前5项的和为31。
例子2考虑另一个等比数列：3, 6, 12, 24, 48, …根据通项公式，我们可以计算第6项的值：a6=a1⋅q6−1=3⋅25=96根据n项和公式，我们可以计算前6项的和：S6=a1⋅(q6−1)q−1=3⋅(26−1)2−1=189因此，这个等比数列的第6项为96，前6项的和为189。
结论等比数列的n项和求和公式是计算等比数列的重要工具，通过通项公式和n项和公式，我们可以轻松地计算等比数列的任意项和前n 项的和。
