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复数的几种表示形式的转换及计算课件

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1.2复数的几种表示形式

1.2复数的几种表示形式
P8
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .

复数的课件ppt

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详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。

复数的基本概念及运算ppt课件

复数的基本概念及运算ppt课件

8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________

1.2复数的几种表示

1.2复数的几种表示

)
Arg
z1
-
Arg z2
.
(在集合意义下)
两个复数的商的 模等于它们的模的商；
幅角等于它们幅角的差。
13
§1.2 复数的几种表示
第 例 计算 i .
一
1- i
章 复
解
由
i
πi
e2 ,
1-i
-πi
2e 4
有
数 与 复 变
i 1- i
πi
e2
-πi
2e 4
1
( π π )i
e2 4
1
3π i
e4
2
§1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示
一 章
2. 复数的模与辐角 P5
将复数和向量对应之后，除了利用
复
数
实部与虚部来给定一个复数以外，
与
还可以借助向量的长度与方向来给
复
变
定一个复数。
函
数 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，
y
y
r
O
z x yi
x
x
(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 | z |.
复 数
令 π 有 eiπ 1 0 . 克莱茵认为这是数学中最卓越的
与
公式之一，它把五个最重要的数 1, 0, i, π,e 联系起来。
复
变
ei( ) cos( ) i sin( ) ,
函
数
ei ei (cos i sin )(cos i sin )
(cos cos - sin sin ) i (sin cos cos sin ),
复 变
即 n(cos n i sin n ) r(cos i sin ) ,

复数课件ppt免费

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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。

复数的四则运算课件

复数的四则运算课件

共轭复数
1.设Z =a+bi (a,b∈R )
Z + Z = 2a
Z－ Z = 2bi
2.共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2
(2) z1 z2 z1 z2
(3) z1 z2 z1 z2
(4)
z1 z2
z1 z2
(5)zz R, z z R; (6)z z; (7)zn (z)n (n 2).
c di
a c
bi di
(a (c
bi)(c di) di)(c di)
ac
bd (bc c2 d2
ad )i
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
例题选讲
1 i i
1.计算： ①
1 1
i i
①
i
②
1 1
i i
②
-
i
③ （1+2i)÷(3-4i);
③ (- 1＋2i)/5
对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
其中Z =a + bi 与a – bi 叫共轭复数.
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数。（当虚部 不等于0时也叫做互为共轭虚数） 思考：复数Z 为实数的充要条件是 Z = Z
即 实数的共轭复数仍是其本身.
证明: Z 1+Z2 = Z1+Z2 ，Z1-Z=2 Z-1 Z2
证明：设Z=1 a1+b1i， Z2= a2+b2i (a1 , a2 , b1 , b2) ∈R ，则
Z1+Z2 = (a1+b1i )+ (a2+b2i ) = (a1+a2) + (b1+b2 )i = (a1+a2)－( b1+b2 )i = (a1－b1i)+( a2－b2 i) =Z1+ Z2

《复数基础知识》课件


02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。

复数的表示及其运算页PPT文档


cos3
10
,
co5ssin25
sin
3
10
,
zcos3isin3
10 10

3 i
e 10
.
思考题1
复数为什么不能比较大小？
参考答案
观察复 i和 数 0, 由复数的定义i 可0, 知 (1)若i0, 则 ii0i, 即 10,矛;盾 (2)若i0, 则 ii0i, 同样 10,有 矛. 盾 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
小结
本课学习了复数的有关概念、性质、四种表 示形式及相关的运算. 重点掌握复数的四种表示 形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形 式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
( 1 )z 1 2 2 i; ( 2 )z 1 2 + 2 i;
r z 124 4,
z在 第 二 象 限 ,
arctan 122+πarctan（-
3)
3

5, 6
z4cos56isin56
5 i
4e6 .
(3) zsinicos
5
5
显r然 z1,
sin5cos25
的 观 念 ， 这 称 为 复 数 的 点 表 示 法 .
y
横 轴 即 x轴 上 的 点 对 应 复 数 的 实 部 ，
虚轴
所 以 也 称 x轴 为 实 轴 ；
y
纵 轴 即 y轴 上 的 点 对 应 复 数 的 虚 部 ，Leabharlann zxiy (x, y)
所 以 也 称 y轴 为 虚 轴 ；
oxx
由 实 轴 和 虚 轴 确 定 的 平 面 称 为 复 平 面 . 实轴

复数的三角形式及运算通用课件


加法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$的 和为 $z_1+z_2=7(cos(frac{pi}{3}+frac{pi}{4})+ isin(frac{pi}{3}+frac{pi}{4}))$。
幅角的取值范围
幅角的取值范围是[0, 2π)，并且对于 任意非实数z，其幅角是唯一的。
共轭复数的性质
共轭复数的定义
如果复数z=a+bi，那么它的共轭复数是z*=a-bi。
共轭复数的性质
共轭复数的模相等，即|z|=|z*|=sqrt(a^2+b^2)。
04
复数三角形式的实际应用
在电路分析中的应用
theta_1} + r_2^n e^{i n theta_2}$
应用
03
幂运算性质在解决复数幂运算问题中非常有用，如求解复数方
程、计算复数幂级数等。
THANKS
感谢观看
复数三角形式的加法和减法运算
加法运算规则
根据复数三角形式的定义，两个复数 $z_1=r_1(costheta_1+isintheta_1)$和 $z_2=r_2(costheta_2+isintheta_2)$的和 为 $z_1+z_2=r_1(costheta_1+isintheta_1)+ r_2(costheta_2+isintheta_2)$。
VS
除法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$ 和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$ 的商为$frac{z_1}{z_2}=frac{3}{4}(cos(frac{7pi}{12})+isin(-frac{7pi}{12}))$。

复数的概念与运算复习ppt课件


3.复数13＋－24ii2的值是( A．－1 C．－i
)
B．1 D．i
【解析】13＋－24ii2＝1＋3－4i4－i 4＝－1， 故选 A.
4.已知复数 z 满足(1＋ 3i)z＝i，则 z＝
3＋i 4.
5.若1－2 i＝a＋bi(i 为虚数单位，a，b∈R)，则 a＋b＝ 2 .
【解析】由已知得 1＋i＝a＋bi，所以 a＝1，b＝1， 所以 a＋b＝2.
【例 3】设复数 z 满足|z＋4i|＋|z－4i|＝6 2，求|z＋ 2| 的最大值．
复数加Байду номын сангаас运算的几何意义及应用
【解析】 由|z＋4i|＋|z－4i|＝6 2的几何意义知 z 对应点 在椭圆x22＋1y82 ＝1 上．
所以|z＋ 2|＝ x＋ 22＋y2 ＝ x＋ 22＋18－9x2 ＝ －8x2＋2 2x＋20 ＝ －8x－ 822＋841. 故当 x＝ 82，|z＋ 2|有最大值92.
【点评】先进行加法运算 z1＋z2，因为 z1＋z2 是虚数，利用 虚部不为零解之，同时，要注意实数中含有分母，一定要 使分母不为零．
素材1
计算： (1)12－＋23i45； (2)－1＋2 23＋3ii＋(1－2i)2012.
【解析】(1)原式＝1－
161＋i4 3i41－
3i
＝－2－2163·i2i221－ 3i
【点评】实数集扩充为复数集后，解决了实系数一元二次方 程在实数集中无解的问题，即在复数集中，实系数的一元二 次方程总有解．当 Δ<0 时，实系数的一元二次方程有成对共 轭虚数根．
STEP1 STEP2 STEP3
设z=a+bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解 复数常用的方法．
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2．角频率ω：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹） ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
SUCCESS
THANK YOU
2020/3/3
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ωt+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
u1
2Ucos（t


）
u1
i2
2
Icos（t


）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π/2 ⑤|12|=π
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交； －－u1和i2反相。
实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减。
②图解法：
++jj F2
F2
O
O
F1 F1+F2
++j j F2
+1F2
O
F1-F2
F1 -F2
复数减法的平行四+1边形法和三O角形法
复数加法的平行四边形法和三角形法
F1-F2 F1 F1+F2 F2 +1
F1
+1
2．乘法运算：
①代数形式：
F1F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 ) ( a1a2 b1b2 ) j( a2b1 a1b2 )
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
5．极坐标形式： F F
负数几种形式的转换
例1：将 F1 9.573 化为直角坐标形式。
解： F1 9.5cos73 j9.5sin73 2.78 j9.08
例2：将 F2 20 j40 化为极坐标形式。
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2

a1 a2

jb1 jb2
（（aa21

jb1）（a2 jb2）（a2
jb2） jb2）
（aa12）a22
b1b2 （b2）2

j（aa22）b21
a1b2 （b2）2
②指数形式：
F1 F2

| |
F1 F2
| |
e e
j 1 j 2
| F1 | e j（1 2） | F2 |
④图解法：
+j
F1
③极坐标形式：
F1 F2

| F1 | 1 | F2 | 2

| |
F1 F2
| |

1


2
模相除，辐角相减。
F1/F2
1 1 - 2
F2
O
2
+1
复数的乘法
4．旋转因子： +j
a F cos
b F sin
+j
F a2 b2 --复数F的模(值) b |F|
argF --复数F的辐角

由
于
主
值arctan（b）〔

，
〕
，
若实
O
部为
负
数，
a
22
则arctan（b） 才是正确的辐角。
a
F
a
+1
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
主值12 〔 ，〕， 若12 〔 ，〕，则用 12 2 来规范它。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
②指数形式：
F1F2 | F1 | e j1 | F2 | e j2 | F1 || F2 | e j（1 2）
③极坐标形式：
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | 1 2
模相乘，辐角相加。
④图解法：
+j
F1F2
F2
1 + 2
I def
1 T i 2dt T0
1 T
T 0
Im
2cos（2 t

i）dt
－－均方根值
I Im / 2 0.707Im
工程中使用的交流电气设备铭牌上标注的额定电 压、电流的数值，以及交流电压表、电流表表面上标注的 数字都是有效值。
三、几个概念
2．相位差：
同频率正弦量的相位之差，为一常数，与时间无关。
e j 1
F2
－－旋转因子 jF1
F1 -jF2


j
e2

j
，e- j 2
j
，e j

-1
O
+1
旋转因子示意
乘以j，即把复数逆时针旋转π/2； 乘以-j（除以j），即把复数顺时针旋转π/2。
§8-2 正弦量
一、正弦电压和电流
1．定义：
随时间按正弦规律变换的电压和电流。
2．数学表达式：
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
（ωt+）|t=0 =
单位：弧度
通常，||≤180°－－主值范围。
三、几个概念
1．有效值：
工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电 流或电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值。用相 应的大写字母表示。
u（t）
U
m
cos（t


）
u
i（t）
I m cos（t


）
i
－－本书采用cosine函 数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ωt+)=1时，imax=Im；当cos(ωt+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
第八章 相量法
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：