3.1 设效用函数ρρρ/12121)(),(x x x x u -=，其中：0ρ≠<1;这就是常替代弹性效用函数。
求相应的瓦尔拉斯需求函数、间接效用函数。
并且验证间接效用函数关于价格和收入是零次齐性的，关于价格是递减的。
解：（1）构造拉格朗日函数： L(x 1,x 2,λ)=(x 1ρ+x 2ρ)1ρ⁄+λ(y −p 1x 1−p 2x 2) ∂L∂x 1=(x 1ρ+x 2ρ)(1ρ⁄)−1x 1ρ−1− λp 1=0 ∂L∂x 2=(x 1ρ+x 2ρ)(1ρ⁄)−1x 2ρ−1−λp 2=0∂L∂λ=y −p 1x 1−p 2x 2=0 整理，得x 1=x 2(p 1p 2)1(ρ−1)⁄解，得x 1=p 11(ρ−1)⁄yp 1ρρ(ρ−1)⁄+p 2ρ(ρ−1)⁄ x 2=p 21(ρ−1)⁄yp 1ρ(ρ−1)⁄+p 2ρ(ρ−1)⁄ 如果定义r =ρ/(ρ−1），可将瓦尔拉斯需求函数化简为：x 1(p,y )=p 1r−1yp 1r +p 2rx 2(p,y )=p 2r−1yp 1r +p 2r（2）间接效用函数将上述两个瓦尔拉斯需求函数带入直接效用函数，可得间接效用函数：v(p,y)=[(x 1(p,y)ρ)+[(x 2(p,y)ρ)]1ρ⁄=(p 1r−1y p 1r +p 2r )ρ+(p 2r−1yp 1r +p 2r )ρ1ρ⁄=y (p 1r +p 2r )−1r ⁄（3）验证间接效用函数关于价格和收入是零次齐性的v(tp,ty)=ty [(tp 1)r +(tp 2r )]−1r ⁄=y (p 1r +p 2r )−1r ⁄=v(p,y)(4) 关于价格是递减的∂v (p,y )∂y=(p 1r +p 2r )−1r⁄>0∂v (p,y )∂p=-(p 1r+p 2r )(−1r ⁄)−1y p ir−1<0,i=1,2 3.2 设直接效用函数为CES 形式，ρρρ/12121)(),(x x x x u +=，其中：0ρ≠<1；试从他对应的间接效用函数推导出支出函数，以及从支出函数推导出间接效用函数。
(1)从间接效用函数推导出指出函数间接效用函数为：V （p,y ）=y (p 1r+p 2r )−1r ⁄将V （p,y ）替换为u,解出yu=y (p 1r+p 2r )−1r ⁄;y=u (p 1r+p 2r )1r ⁄再将y 替换成e(p,u),得到支出函数为：e(p,u)= u (p 1r+p 2r )1r ⁄(2)从支出函数推导出间接效用函数支出函数为：e(p,u)=u(p 1r +p 2r )1r ⁄将u 替换为v(p,y),将e(p,u)替换为y ,解出v(p,y)。
y= v(p,y) (p 1r+p 2r )1r ⁄→v(p,u)= y(p 1r+p 2r )−1r ⁄3.3设效用函数为CES 形式，ρρρ/12121)(),(x x x x u +=，其中：0ρ≠<1；求对应的希克斯需求函数，支出函数。
希克斯需求函数 ：min x 1x 2p 1x 1+p 2x 2s.t. u-(x 1ρ+x 2ρ)1ρ⁄=0构造拉格朗日函数为：L (x 1,x 2,λ)=p 1x 1+p 2x 2+λ[u −(x 1ρ+x 2ρ)1ρ⁄]∂L∂x 1=p 1−λ(x 1ρ+x 2ρ)(1ρ⁄)−1x 1ρ−1=0 ∂L∂x 2=p 2−λ(x 1ρ+x 2ρ)(1ρ⁄)−1x 1ρ−1=0∂L ∂λ=u −(x 1ρ+x 2ρ)1ρ⁄=0 通过消去λ，这些式子被简化为：x 1=x 2(p 1p 2)1(ρ−1)⁄u =(x 1ρ+x 2ρ)1ρ⁄使r =ρ/(ρ−1），可求出希克斯需求函数：h 1(p,u )=u (p 1r+p 2r )(1r ⁄)−1p 1r−1 h 2(p,u )=u (p 1r+p 2r )(1r ⁄)−1p 2r−1支出函数：将希克斯需求函数代入目标函数，可得支出函数：e(p,u)=p 1h 1(p,u)+p 2h 2(p,u)=u p 1(p 1r+p 2r )(1r ⁄)−1p 1r−1 + u p 2(p 1r+p 2r )(1r ⁄)−1p 2r−1 = u (p 1r+p 2r )1r ⁄3.4 验证由CES 效用函数ρρρ/12121)(),(x x x x u +=导出的瓦尔拉斯需求函数),(w p x 和间接效用函数),(w p v 满足以下性质： (1)在x(p,w)上是零次齐次的。
x(αp,αw)=αw (αp 1)δ+(αp 2)δ(αp 1δ−1),( αp 2)δ−1)=w(p1)δ+(p 2)δ(p 1δ−1,p 2δ−1)=x(p,w)(2) ),(w p x 满足瓦尔拉斯定律。
p·x(p,w)= w(p1)δ+(p 2)δ(p 1·p 1δ−1+p 2·p 2δ−1)=w (3) ),(w p v 在),(w p 上是零次其次的。
v(αp,αw)=αw[(αp 1)δ+(αp 2)δ]1δ⁄=αwαδ∙1δ(⁄p 1δ+p 2δ)1δ⁄ =wα(p 1δ+p 2δ)1δ⁄=v(p,w) (4) ),(w p v 是逆凸的。
∂v(p,w)∂w=1(p 1δ+p 2δ)1δ⁄ >0∂v(p,w)∂p 1=-wp 1δ−1(p 1δ+p 2δ)1δ+1⁄ <0.3.5 验证由CES 效用函数ρρρ/12121)(),(x x x x u +=导出的希克斯需求函数),(u p h 和支出函数),(u p e 具有下列性质：(1) ),(u p h 在P 上是零次其次的。
h (α,p,u )=u[(αp 1)δ+(αp 2)δ](1−δ)δ⁄[(αp 1)δ−1,(αp 2)δ−1] = h (p,u )(2) ),(u p h 满足u u p h u =)),((，即没有超额效用。
对于任意的x ∈h (p,u ),有u(h (p,u ))=u(p 1δ+p 2δ)1−δδ⁄(p 1(δ−1)ρ+p 2(δ−1)ρ)1ρ⁄注意到(δ−1)δ=−1ρ⁄，于是u(h (p,u ))=u (3) ),(u p e 在P 上是一次其次的。
e (α,p,u )=u((αp 1)δ+(αp 2)δ)1δ⁄=αe (p,u )(4) ),(u p e 在P 上是凹的。
∂e (p,u )∂u=(p 1δ+p 2δ)1δ⁄>0 ∂e (p,u )∂p 1=up 1δ−1(p 1δ+p 2δ)1δ−1⁄>0 所以，支出函数对效用函数严格递增，且是价格的单调非减函数。
通过计算可知D P 2e (p,u )是负半定的，因此e (p,u )是价格的凹函数。
第四节 消费者的最优行为、最优休闲4.1 考虑一个两期消费的消费者，假定他的效用函数21c c U =，其中t c (t=1,2)表示消费者在第t 期的消费支出。
他的实际收入和预期收入分别为y 1=10000，y 1=5250，假设利率为5%，试求消费者的跨期最优消费选择。
如果利率为8%，跨期最优消费选择如何变化？解：消费者的问题： max c 1,c 2c 1c 2s.t.(10000-c 1)+(5250-c 2)(1+i)−1=0列出拉格朗日函数：V ∗=c 1c 2+λ[(10000-c 1)+(5250-c 2)(1+i)−1] 令有关的偏导数等于零:∂V ∗∂c 1=c 2-λ=0∂V ∗∂c 2=c 1-λ(1+i)−1=0∂V ∗∂λ =(10000-c 1)+(5250-c 2)(1+i)−1=0 求解得到： c 1=7500,c 2=78504.2 假定消费者的收入取决于其供给的工作量),(y L g U 试中，L 代表休闲，y 代表收入。
以W 表示消费者提供的工作量，以r 表示工资率。
根据定义有：L =T-W 式中，T为可利用的事件总数，试求并且画出消费者的劳动供给曲线。
当U =48L+Ly-L 2时，消费者的劳动供给曲线发生怎样的变化？ 解：假定消费者的满足决定于收入和闲暇，假定他以不变价格购买各种商品，因而收入当作一般性的购买力，其效用函数： U=g(L,y) g 1=∂U∂L ,g 2=∂U ∂y (1)式中L 代表闲暇 Du =g 1dL+g 2dy =0则收入对闲暇的替代率为：-dy dL =g1g 2 (2)以W 表示消费者完成的工作量，以r 表示工资率。
根据定义得， L=T-W …………3 式中，T 是可利用的总时间数。
预算约束是Y=rW …………4 把3,4代入1 则U=g(T-W,rW) …………5 为了效用最大，使5关于W 的导数等于零： dUdW =-g 1+g 2r =0 由2式得： -dy dL =g 1g 2=r (6)这说明，收入对闲暇的替代率等于工资率。
二阶条件说明 d 2UdW 2 =g 11−2g 12r +g 22r 2=0方程式6中表明的是W 和r 的关系，并且是建立在单个消费者的最优化行为基础上的。
W当U=48L+Ly-L 2时，U=48（T-W ）+（T-W ）W r -(T −W)2令偏导数为零，dU dW =-48-W r +r （T-W ）+2（T-W ）=0所以 W=T (r+2)−482(r+1)把上式带入4式可求出y 。
二阶条件已经满足，因为，对任何正的工资， d 2UdW 2=-2（r+1）=04.3 对于个定价格1p ，2p ，当收入变动时，预算约束线与无差异曲线切点的轨迹为收入扩张线，进而可以求得恩格尔曲线。
请画图表明，对于效用函数21q q U =，其中r>0的情况下，恩格尔曲线为一条直线。
证明：由于消费者在预算约束条件下，追求效用最大化，即 Maxu=q 1q 2s.t.p 1q 1+p 2q 2=y其中，y 为消费者收入。
构造拉格朗函数 L=q 1q 2-λ（p 1q 1+p 2q 2−y ） 然后微分，得出三个一阶条件：∂L ∂q 1=q 2−λp 1=0∂L∂q 2=q 1−λp 2=0∂L∂λ=p 1q 1+p 2q 2−y =0 求解上述三个方程得出 q 1=y 2p 1,q 2 =y2p 2即y=2p 1q 1或y=2p 2q 2(p 1p 2给定)显而易见，需求量q 1，q 2与收入y 之间存在正比例关系，即恩格尔曲线为一条 直线。
q 1(q 2) 4.4设两期消费的消费者的效用函数6.021c c U =，收入流为：y 1=1000，y 2=648，市场利率为8%，试求最大化消费者效用的1c 和2c 的数值，消费者是借入还是贷出？ 解：根据题意有：Max C 10.4C 20.6s.t.C 1+C 21+r=1000+6481+r建立拉格朗日函数有：L =C 10.4C 20.6+λ(1000+6481+r −C 1−C 21+r)=0 ∂L∂C 1=0.4C 1−0.6C 20.6−λ=0∂L ∂C 2=0.6C 1−0.4C 20.4−λ(11+r )=0∂L ∂λ=1000+6481+r −C 1−C21+r =0把x=8%代入上式可得出：C 1=y 1=1000，C 2=y 2=648 消费者既不借入也不贷出。
