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梁的弯曲计算剪力计算公式在工程力学中，梁是一种常见的结构元素，用于支撑和承载荷载。
在设计和分析梁的时候，我们需要考虑到梁的弯曲和剪切力。
本文将重点讨论梁的弯曲计算和剪力计算公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
梁的弯曲计算公式。
在梁的弯曲计算中，我们需要考虑梁的受力情况以及梁的几何形状。
弯曲时梁的受力情况可以用弯矩来描述，弯矩的大小和位置取决于梁的荷载和支撑条件。
在弯曲计算中，我们通常使用以下公式来计算梁的弯矩：M = -EI(d^2y/dx^2)。
其中，M表示弯矩，E表示梁的弹性模量，I表示梁的惯性矩，y表示梁的挠度，x表示梁的位置。
这个公式描述了梁在弯曲时的受力情况，可以帮助我们计算梁的弯曲应力和挠度。
梁的剪力计算公式。
除了弯曲力之外，梁在受荷载时还会产生剪切力。
剪切力是梁上各点间的内力，它的大小和位置取决于梁的荷载和支撑条件。
在剪力计算中，我们通常使用以下公式来计算梁上各点的剪切力：V = dM/dx。
其中，V表示剪切力，M表示弯矩，x表示梁的位置。
这个公式描述了梁上各点的剪切力分布情况，可以帮助我们计算梁的剪切应力和剪切变形。
梁的弯曲和剪力计算实例。
为了更好地理解梁的弯曲和剪力计算，我们可以通过一个实例来说明。
假设有一根长度为L，截面为矩形的梁，受均布荷载w作用。
我们可以根据梁的受力情况和几何形状，计算出梁的弯矩和剪切力分布情况。
首先，我们可以计算出梁的弯矩分布情况。
根据梁的受力情况和几何形状，我们可以得到梁的挠度y(x)的表达式。
然后，我们可以通过弯矩公式M = -EI(d^2y/dx^2)来计算出梁上各点的弯矩分布情况。
接着，我们可以计算出梁上各点的剪切力分布情况。
根据梁的弯矩分布情况，我们可以通过剪切力公式V = dM/dx来计算出梁上各点的剪切力分布情况。
通过以上计算，我们可以得到梁在受均布荷载作用时的弯矩和剪切力分布情况。
这些计算结果可以帮助我们更好地了解梁的受力情况，指导我们设计和分析梁的结构。
梁弯曲的概念梁是一种常见的结构元素，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
在工程应用中，梁可以承受各种荷载导致的弯矩和剪力。
而梁的弯曲是指梁在承受荷载的作用下产生的曲率变化。
针对梁的弯曲问题，可以利用梁弯曲理论进行力学分析和结构设计。
梁弯曲的概念实际上涉及到两个重要的力学概念：弯矩和曲率。
弯矩是由外力作用在梁上产生的，它可以使梁产生弯曲或者使梁产生剪切变形。
曲率描述了梁的弯曲程度，是弯曲轴线的弯曲半径的倒数。
在分析梁弯曲时，通常会采用欧拉—伯努力学说，即假设梁在弯曲过程中，横截面平面仍然保持垂直于位移方向。
这个假设为了简化问题，但在一些特殊情况下可能需要引入其他理论模型。
梁弯曲的特点是在横向距离上产生剪切力和弯矩。
在梁的底部表面上，由于负弯矩的存在，会产生压应力；在梁的顶部表面上，由于正弯矩的存在，会产生拉应力。
而在距离横截面中性轴较远的位置，弯矩和曲率的值较大；而在中性轴附近位置，弯矩和曲率的值较小。
对于简单支承的梁，弯曲会导致两个基本的反应：梁曲率和梁挠度。
梁的曲率是横截面在垂直于曲线切线方向上的曲率半径的倒数。
梁的挠度是指梁在一点的纵向位移。
在分析梁弯曲时，可以利用弯曲方程和边界条件求解梁的曲率和挠度。
梁弯曲的分析可以应用不同的方法，其中最常用的方法是基于理想化梁的假设和采用弯曲方程。
对于简支梁，弯曲方程可以表示为：M = EI * d²y/dx²其中M是弯矩，E是弹性模量，I是截面惯性矩，y是梁的纵向位移，x是横向距离。
这个方程可以用来描述弯曲梁的受力和变形情况。
对于常见的梁形状，如矩形梁、T形梁或I形梁等，可以通过求解弯曲方程来得到梁的曲率和挠度分布。
这些分布信息可以用来评估梁的性能、设计合理的梁结构和验证结构的可靠性。
此外，在实际工程中，还需要考虑梁的极限弯矩和极限弯矩系数。
极限弯矩是指在不发生塑性滞后的情况下，梁能够承受的最大弯矩。
而极限弯矩系数是指实际弯矩与极限弯矩之间的比值。
各种梁的弯矩计算公式在工程设计中，梁是一种常见的结构元素。
梁的弯曲是指当梁受到外力作用时，其截面发生弯曲变形。
为了计算梁的弯矩，设计者需要了解不同类型的梁及其特性。
1.矩形截面梁：矩形截面梁是最简单和常见的梁类型之一，其截面形状为矩形。
可以使用以下公式计算矩形截面梁的弯矩：M=(b*h^2*σ)/6其中，M是弯矩，b是梁的宽度，h是梁的高度，σ是应力。
2.T型截面梁：T型截面梁是梁的一种变体，其截面形状类似于字母“T”。
计算T 型截面梁的弯矩可以使用以下公式：M=((b1*h1^2*σ1)/6)+((b2*h2^2*σ2)/6)其中，M是弯矩，b1和b2是梁上下翼板的宽度，h1和h2是梁上下翼板的高度，σ1和σ2是应力。
3.I型截面梁：I型截面梁是一种常见且有效的梁形态，其截面形状类似于字母“I”。
计算I型截面梁的弯矩可以使用以下公式：M=(b1*h1^2*σ1/6)+(b2*h2^2*σ2/6)+(b3*h3^2*σ3/6)其中，M是弯矩，b1、b2和b3是梁的不同部分的宽度，h1、h2和h3是梁的不同部分的高度，σ1、σ2和σ3是应力。
4.简支梁：简支梁是一种在两端支承的梁结构，常见于桥梁和楼板等应用中。
计算简支梁的弯矩可以使用以下公式：M=(w*L^2)/8其中，M是弯矩，w是梁的均布载荷，L是梁的跨度。
5.连续梁：连续梁是一种具有多个支点的梁结构，常见于长跨度桥梁和大型建筑物中。
计算连续梁的弯矩可以使用以下公式：M=(w*L^2)/(8*n)其中，M是弯矩，w是梁的均布载荷，L是梁的跨度，n是支点的数量。
这里只是列举了几种常见梁的弯矩计算公式，实际上，基于梁的几何形状和加载条件，还可以有其他更复杂的公式。
因此，在实际工程设计中，如果遇到需要计算梁的弯矩的情况，应根据具体问题，选择适合的公式进行计算。
同时，为了确保计算结果的准确性，建议使用专业的结构分析软件进行梁的弯矩计算。
弯曲的定义：承受的外力作用线垂直于杆轴线。
在这种外力作用下，杆轴线由直线变为曲线。
这种变形称之为弯曲。
平面弯曲：梁变形后的轴线变成一条在纵向对称面内的平面直线，这类弯曲称之为平面弯曲。
按照支撑情况可以把梁分为悬臂梁、简支梁、外伸梁三种。
内力的计算一、内力方程：内力与截面位置坐标（x ）间的函数关系式。
Q=Q （x ）————剪力方程 M=M （x ）————弯矩方程 方法：截面法xY M m la l P Y Q Y A C A⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0PalAB1. 弯矩：M构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。
2. 剪力：Q构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
二、剪力图与弯矩图 1、求出支座反力2、写出剪力与弯矩的内力方程（含x 的方程）3、将写出的内力方程整理成含x 的已知函数关系，取特殊点描点连线即可。
（端点，与x 、y 轴的坐标点）弯曲构件横截面上的（内力）应力 1、弯矩M ———正应力σz I My=σ（弯曲正应力计算公式）maxZ Z y I W =(Wz —截面的抗弯截面系数) z t W M =max ,σ几种常见截面的 Iz 和 Wz 园截面： 644z d I π=323z d W π=空心截面： )1(6444z απ-=D I )1(3243z απ-=D W矩形截面： 123z bh I = 62z bh W =空心矩形截面： 12123300z bh h b I -= )2//()1212(03300z h bh h b W -=关于正应力的强度校核：① 校核强度： [m a xσ≤zW M② 设计截面尺寸：[m a xσM W z ≥③ 计算许可载荷：[max σz W M ≤2、剪力Q ——剪应力t*=zzbI QS 1τ其中Q 为截面剪力；S z 为y 点以下的面积对中性轴之静矩 Iz 为整个截面对z 轴之惯性矩；b 为y 点处截面宽度。
梁弯曲知识点总结一、弯曲概念在物理学和工程力学中，弯曲是指在材料受到外力作用下，产生一种曲率变化的变形形式。
在梁的情况下，当梁受到外部载荷作用时，梁将发生一种曲率变化，即梁的一部分受到压力而另一部分受到拉力，使得梁产生一种弯曲的变形形式。
梁的弯曲是梁理论研究的重要内容之一。
二、弯曲的原理梁的弯曲原理是由梁的弯矩和弯曲应力来描述的。
梁在弯曲时，横截面上的各个点受到的弯矩不同，由于弯矩的不平衡，在梁的上表面产生的张力，下表面产生的压力，产生了一种称为弯曲应力的内力形式。
弯曲应力的作用下，梁在弯曲的过程中产生了曲率变化，弯曲原理是用来描述梁在弯曲时的变形和内力情况的。
三、梁的弯曲方程梁的弯曲方程是用来描述梁在弯曲时的曲率和弯矩之间的关系的。
梁的弯曲方程可以通过力学原理和材料力学原理来推导出来。
梁的弯曲方程可以用来计算梁在受载时的弯曲变形和各个截面上的应力情况，对于工程结构的设计和分析具有非常重要的意义。
梁的弯曲方程通常包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形方程：描述梁在弯曲时产生的曲率变化和曲线形状；2.梁的弯矩方程：描述梁在受力状况下产生的弯矩大小和分布情况；3.梁的弯曲应力方程：描述梁在弯曲状况下产生的应力大小和分布情况。
梁的弯曲方程是梁理论的核心内容，对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。
四、梁的弯曲理论梁的弯曲理论是研究梁在受载时的弯曲变形和内力情况的理论。
梁的弯曲理论是以弹性理论和材料力学为基础的，通过对梁在弯曲时的力学原理和材料力学原理进行分析和推导，得出了梁在弯曲时的各种数学模型。
梁的弯曲理论可以应用于工程结构的设计和分析中，能够比较准确地描述梁在受载时的变形和内力情况，为工程结构的安全和稳定性提供理论依据。
梁的弯曲理论包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形分析：描述梁在受载时产生的形状和曲率变化；2.梁的弯曲应力分析：描述梁在受载时产生的应力大小和分布情况；3.梁的弯曲挠度分析：描述梁在受载时产生的挠度大小和分布情况；4.梁的弯曲裂缝分析：描述梁在受载时产生的裂缝情况。
梁的弯曲概念梁的弯曲概念是指材料在作用力下发生弯曲变形的现象。
梁是一种常见的结构元素，广泛应用于建筑、机械、航空航天等领域。
在实际工程中，梁往往承受各种外部载荷，如重力、风载荷、地震载荷等。
因此，了解梁的弯曲行为对于结构设计和分析非常重要。
梁的弯曲行为可以通过经典的梁理论来描述。
经典梁理论假设梁是细长且直线的，在其轴向上受到均匀分布的轴向力和转矩，而其弯曲刚度足够大，可以忽略在轴向变形产生的内力，通过简化的数学模型来分析梁的弯曲行为。
在这种理论下，梁的弯曲变形可以用弯曲挠度和曲率来描述。
弯曲挠度是指梁在弯曲过程中沿截面上某一点的位移。
根据梁的弯曲方向和弯曲曲率的不同，可以分为正弯曲和负弯曲。
在梁的中性轴上，弯曲曲率为零，挠度最大。
根据梁的不同截面形状和外载荷的不同，梁的弯曲挠度可以用不同的数学表达式来计算。
曲率是指梁在弯曲过程中的曲率半径的倒数。
曲率反映了梁曲线的弯曲程度，曲率越大，梁的弯曲程度越大。
根据经典梁理论，梁的曲率与横截面的二阶惯性矩之比成正比。
对于不同形状和材料的截面，其曲率特性也有所不同。
在梁的弯曲过程中，材料内部产生了一系列力和应变。
根据材料力学理论，梁的弯曲行为可以用应变-应力关系来描述。
在弯曲曲率较小的情况下，弯曲应变可以通过材料的线弹性理论来描述。
根据胡克定律，弯曲应变与弯曲曲率成正比，弯曲应力与弯曲挠度成正比。
这种线性关系被称为小形变理论。
然而，在某些情况下，梁的弯曲程度较大，线弹性假设不再成立。
这时，需要考虑材料的非线性行为，如屈服、塑性变形和蠕变等。
这就需要使用非线性理论来描述梁的弯曲行为。
梁的弯曲行为对于结构设计和分析非常重要。
首先，了解梁的弯曲特性有助于确定合适的梁截面形状和材料。
其次，可以通过对梁的弯曲行为进行分析，评估梁的结构安全性和承载能力。
最后，可以根据梁的弯曲行为来制定适合的施工、保养和维护方案，以延长梁的使用寿命。
综上所述，梁的弯曲概念和行为在结构工程中占据重要地位。
梁的弯曲变形应用原理简介梁是一种常见的结构元素，用于承受和传递载荷。
在实际应用中，梁常常会发生弯曲变形，这种变形有着重要的应用原理和工程意义。
本文将介绍梁的弯曲变形的应用原理，以及它在工程领域中的具体应用。
梁的弯曲变形原理当梁受到外部载荷作用时，其会发生弯曲变形。
梁的弯曲变形主要是由内力矩引起的，内力矩是梁截面上的剪力和弯矩引起的。
弯曲变形原理可以用以下几个要点来描述：1.梁撑杆法：梁在弯曲时，可以看做由无数撑杆组成的系统。
每个撑杆受到不同大小的拉伸或压缩力，整个梁发生的弯曲变形是各撑杆弹性变形的综合效果。
2.中性轴和截面旋转：梁弯曲时，存在一个中性轴，该轴是在截面内法线应力为零的位置。
梁在弯曲时，截面内部会发生旋转，上部受拉，下部受压，截面的变形呈现出弯曲的形态。
3.弯矩与曲率关系：梁的弯曲变形与弯矩和曲率有关。
弯矩是横截面上的合力矩，而曲率则是截面内部形成的曲线的曲率半径的倒数。
根据弯矩和曲率之间的关系，可以计算出梁的变形情况。
梁的弯曲变形应用梁的弯曲变形在工程领域中有着广泛的应用。
下面列举了梁的弯曲变形应用在不同工程中的具体案例：1. 建筑结构设计在建筑结构设计中，梁的弯曲变形是必须考虑的因素之一。
通过合理的梁的尺寸和形状设计，可以满足建筑物的结构强度和刚度要求，保证建筑物的安全性和稳定性。
2. 桥梁工程在桥梁工程中，梁的弯曲变形对于桥梁的承载能力和结构安全性影响重大。
通过分析梁的弯曲变形情况，可以确定桥梁的设计参数，保证桥梁承受车辆和行人的荷载，确保桥梁的正常使用和运行。
3. 机械设计梁的弯曲变形在机械设计中也有着广泛的应用。
例如，在起重机设计中，梁的弯曲变形会导致起重机的运动效果失真，因此需要精确计算梁的弯曲变形，以确保起重机的稳定性和可靠性。
4. 航天器设计在航天器设计中，梁的弯曲变形是非常重要的考虑因素。
航天器需要承受巨大的重力和惯性力，梁的弯曲变形对于航天器的结构强度和稳定性至关重要。
混凝土梁弯曲标准一、前言混凝土梁是建筑结构中常见的承载构件，其弯曲性能是评估其安全性和使用寿命的重要指标。
本文将介绍混凝土梁弯曲的标准规范，以便工程师和设计师能够更好地设计和评估混凝土梁的弯曲性能。
二、弯曲标准1.弯矩与曲率混凝土梁的弯曲性能通常用弯矩和曲率来描述。
弯矩是梁上的力矩，指在梁上某一点的力对该点的弯曲程度。
曲率是梁的弯曲程度，指梁上某一点的曲率半径的倒数。
2.弯曲极限状态弯曲极限状态是指混凝土梁遭受弯曲载荷时，其截面发生塑性变形，弯曲程度超过限值，导致梁的破坏。
弯曲极限状态的弯矩和曲率应符合以下标准：弯矩：M≤Mn，其中Mn是混凝土梁截面的弯曲承载力；曲率：ρ≤ρn，其中ρn是混凝土梁截面的曲率极限。
3.弯曲服务状态弯曲服务状态是指混凝土梁在使用过程中，受到弯曲载荷时的弯曲程度。
弯曲服务状态的弯矩和曲率应符合以下标准：弯矩：M≤Mcr，其中Mcr是混凝土梁截面的弯曲承载力；曲率：ρ≤ρcr，其中ρcr是混凝土梁截面的曲率极限。
4.截面形状要求混凝土梁的截面形状应符合以下要求：（1）梁的截面应尽量接近矩形，以便充分利用混凝土的抗拉强度；（2）梁的截面应尽量平稳，以便避免应力集中和裂缝；（3）梁的截面应尽量对称，以便降低反弯曲的影响。
5.钢筋配筋要求混凝土梁的钢筋配筋应符合以下要求：（1）钢筋应按照截面受力状态进行布置，以便充分利用钢筋的抗拉强度；（2）钢筋的直径和数量应符合设计要求；（3）钢筋的间距应按照设计规范进行布置，以便保证混凝土的充分填充；（4）钢筋的保护层应符合设计要求，以便保证钢筋的防腐蚀性能。
6.混凝土强度要求混凝土梁的混凝土强度应符合以下要求：（1）混凝土的抗压强度应符合设计要求；（2）混凝土的抗拉强度应符合设计要求；（3）混凝土的变形性能应符合设计要求；（4）混凝土的耐久性应符合设计要求。
7.施工要求混凝土梁的施工应符合以下要求：（1）混凝土的浇筑应按照设计要求进行，以便保证混凝土的密实性和强度；（2）钢筋的安装应按照设计要求进行，以便保证钢筋的受力状态；（3）模板的制作和安装应按照设计要求进行，以便保证梁的截面形状和尺寸；（4）施工过程中应按照设计要求进行质量检查和验收。
第九章梁的弯曲第一节平面弯曲一、平面弯曲的概念当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时（图9-1），杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。
以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图9-1 受弯杆件的受力形式弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形（9-2a、b），阳台挑梁（9-2 c、d）等，都是以弯曲变形为主的构件。
工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图9-3所示，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面（图9-4）。
如果作用在梁上的外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。
这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。
图9-2 工程中常见的受弯构件图9-3 梁常见的截面形状图9-4平面弯曲的特征二、单跨静定梁的几种形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：1．悬臂梁： 梁的一端为固定端，另一端为自由端（图9-5a ）。
2．简支梁： 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图9-5b ）。
3．外伸梁： 梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图9-5c ）。
(a ) (b ) (c )图9-5 三种静定梁第二节 梁的弯曲内力——剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。
下面将着重讨论梁的内力的计算方法。
一、截面法求内力1、剪力和弯矩图9-6 用截面法求梁的内力图9-6a 所示为一简支梁，荷截F 和支座反力R A 、R B 是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。
现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。
假想将梁沿m-m 截面分为两段，现取左段为研究对象，从图9-6b 可见，因有座支反力R A 作用，为使左段满足Σ Y ＝０，截面m-m 上必然有与R A 等值、平行且反向的内力Q 存在，这个内力Q ，称为剪力；同时，因R A 对截面m-m 的形心O 点有一个力矩R A · a 的作用，为满足Σ M o ＝０，截面m-m 上也必然有一个与力矩R A · a 大小相等且转向相反的内力偶矩Ｍ存在，这个内力偶矩M 称为弯矩。
由此可见，梁发生弯曲时，横截面上同时存在着两个内力素，即剪力和弯矩。
剪力的常用单位为Ｎ或kN ，弯矩的常用单位为N ·m 或 kN · m 。
剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得,即0=∑Y ， 0A =-Q R ， 得 A R Q =0o =∑M ， 0A =-⋅M a R ， 得 a R M ⋅=A如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面m-m 上的Q 和M ，根据作用与反作用力的关系，它们与从右段梁求出m-m截面上的Q和M大小相等，方向相反，如图9-6c所示。
2、剪力和弯矩的正、负号规定为了使从左、右两段梁求得同一截面上的剪力Q和弯矩M具有相同的正负号，并考虑到土建工程上的习惯要求，对剪力和弯矩的正负号特作如下规定：(1)剪力的正负号: 使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正（图9-7a）；反之，为负（图9-7b）。
(2)弯矩的正负号: 使梁段产生下侧受拉的弯矩为正（图9-8a）；反之，为负（图9-8b）。
(a) (b)图9-7剪力的正负号规定(a) (b)图9-8弯矩的正负号规定3、用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩用截面法求指定截面上的剪力和弯矩的步骤如下：(1)计算支座反力；(2)用假想的截面在需求内力处将梁截成两段，取其中任一段为研究对象；(3)画出研究对象的受力图（截面上的Q和M都先假设为正的方向）；(4)建立平衡方程，解出内力。
下面举例说明用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩。
例9-1简支梁如图9-9a所示。
已知F1＝30kN，F2 =30kN，试求截面1-1上的剪力和弯矩。
(a ) (b ) (c )图9-9 (例9-1图)解：（1）求支座反力，考虑梁的整体平衡0B =∑M 0625A 21=⨯-⨯+⨯R F F0A =∑M 0641B 21=⨯+⨯-⨯-R F F得 kN 35A =R (↑)， kN 25B =R (↑)校核 03030253521B A =--+=--+=∑F F R R Y(2) 求截面1-1上的内力在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力，内力1Q 和1M 均先假设为正的方向（图9-9b ），例平衡方程0=∑Y 011A =--Q F R01=∑M 01211A =+⨯+⨯-M F R得 530351A 1=-=-=F R Q kN40130235121A 1=⨯-⨯=⨯-⨯=F R M kN·m求得1Q 和1M 均为正值，表示截面1-1上内力的实际方向与假定的方向相同；按内力的符号规定，剪力、弯矩都是正的。
所以，画受力图时一定要先假设内力为正的方向，由平衡方程求得结果的正负号，就能直接代表内力本身的正负。
如取1-1截面右段梁为研究对象（图9-9c ），可得出同样的结果。
例9-2 悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图9-10所示，求截面1-1上的剪力和弯矩。
(a ) (b )图9-10 例9-2图解：对于悬臂梁不需求支座反力，可取右段梁为研究对象，其受力图如图9-10b 所示。
0=∑Y 01=--F qa Q01=∑M 021=-⋅--a F a qa M 得 135241=+⨯=+=F qa Q kN 18252242221-=⨯-⨯-=--=a F qa M kN·m 求得1Q 为正值，表示1Q 的实际方向与假定的方向相同；1M 为负值，表示1M 的实际方向与假定的方向相反。
所以，按梁内力的符号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负。
二、简便法求内力通过上述例题，可以总结出直接根据外力计算梁内力的规律。
1．剪力的规律计算剪力是对截面左（或右）段梁建立投影方程，经过移项后可得左Y Q ∑= 或 右Y Q ∑=上两式说明：梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和。
若外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时，等式右方取正号（参见图9-7a ）；反之，取负号（参见图9-7b ）。
此规律可记为“顺转剪力正”。
2．求弯矩的规律计算弯矩是对截面左（或右）段梁建立力矩方程，经过移项后可得C 左M M ∑= 或 C 右M M ∑=上两式说明：梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力（包括力偶）对该截面形心力矩的代数和。
将所求截面固定，若外力矩使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时（即上部受压，下部受拉），等式右方取正号（参见图9-8a ）；反之，取负号（参见图9-8b ）。
此规律可记为“下凸弯矩正”。
利用上述规律直接由外力求梁内力的方法称为简便法。
用简便法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。
现举例说明。
例9-3 用简便法求图9-11所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。
解：⑴求支座反力。
由梁的整体平衡求得kN 8A =R （↑）， kN 7B =R （↑）⑵计算1-1截面上的内力由1-1截面以左部分的外力来计算内力，根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得kN 2681A 1=-=-=F R Qm kN 122638231A 1⋅=⨯-⨯=⨯-⨯=F R M图9-11 例9-3图第三节 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图为了计算梁的强度和刚度问题，除了要计算指定截面的剪力和弯矩外，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，从而找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。
一、剪力方程和弯矩方程从上节的讨论可以看出，梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化的。
若横截面的位置用沿梁轴线的坐标x 来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x 的函数，即)(x Q Q =， )(x M M =以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。
二、剪力图和弯矩图为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。
以沿梁轴线的横坐标x 表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正剪力画在x 轴上方，负剪力画在x 轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x 轴下方，负弯矩画在x 轴上方。
如图9-12所示。
OM O图9-12画剪力图和弯矩图的规定例9-4 简支梁受均布荷截作用如图9-13a 所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力因对称关系，可得：ql R R 21B A == (↑) (2)列剪力方程和弯矩方程取距A 点为x 处的任意截面，将梁假想截开，考虑左段平衡，可得：图9-13 例9-4图)0( 21)(A l x qx ql qx R x Q <<-=-= (1) )0( 212121)(22A l x qx qlx qx x R x M ≤≤-=-= (2) (3)画剪力图和弯矩图由式(1)可见，)(x Q 是x 的一次函数，即剪力方程为一直线方程，剪力图是一条斜直线。
当 0=x 时 2A ql Q = l x = 时 2B ql Q -= 根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图9-13b 所示。
由式(2)知，Ｍ(x )是x 的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算三个截面的弯矩值,才可描绘出曲线的大致形状。
当 0=x 时， 0A =M2l x = 时， 82C ql M = l x = 时， 0B =M根据以上计算结果，画出弯矩图，如图9-13c 所示。
从剪力图和弯矩图中可知，受均布荷载作用的简支梁，其剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；最大剪力发生在两端支座处，绝对值为ql Q 21max = ；而最大弯矩发生在剪力为零的跨中截面上，其绝对值为2max 81ql M =。
结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。
在剪力等于零的截面上弯矩有极值。
例9-5 简支梁受集中力作用如图9-14a 所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
解：(1)求支座反力由梁的整体平衡条件：0B =∑M ， lFb R =A (↑) 0A =∑M ， lFa R =B (↑) 校核： 0B A =-+=-+=∑F l Fa l Fb F R R Y 计算无误。
(2)列剪力方程和弯矩方程梁在C 处有集中力作用，故AC 段和CB 段的剪力方程和弯矩方程不相同，要 分段列出。
图9-14 例9-5图AC 段：距A 端为x 1的任意截面处将梁假想截开，并考虑左段梁平衡，列出剪力方程和弯矩方程为)(0 )(1A 1a x lFb R x Q <<== (1) )0( )(111A 1a x x lFb x R x M ≤≤== (2) CB 段：距A 端为x 2 的任意截面外假想截开，并考虑左段的平衡，列出剪力方程和弯矩方程为)( )(2A 2l x a lFa F l Fb F R x Q <<-=-=-= (3) )( )()()(2222A 2l x a x l lFa a x F x R x M ≤≤-=--= (4)(3)画剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图。
