直梁的弯曲
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工程力学第八章 直梁弯曲
实际加工中，采用在铣刀 对面加顶尖的方式。其力学 原理是：增加铣刀的支座约 束，其受力图如图c所示，使 铣刀根部截面上的弯矩MW 减小。铣刀所受的径向力F， 一部分由顶尖承担，使铣刀 根部截面上的应力也相应减 小，从而保证了铣刀不被折 断，提高了生产效率。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
直梁的弯曲
MC,MA的坐标相连，画出 抛物线；再以直线MA,MD左 和MD右，MB的坐标，可得 全梁的弯矩图图c所示。 由图可见，在D稍右处横
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 15kN m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
(2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL
例题分析
(3)列弯矩方程，画弯矩图
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
-
－P1 (b －a) －P1 (l －a) －P2 (l －b)
bh2
IZ 12
WZ 6
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
截面几何量Iz 与Wz
其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２）
对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到
❖结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值 越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要 尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz 和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载 能力不同。
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 15kN m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
(2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL
例题分析
(3)列弯矩方程，画弯矩图
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
-
－P1 (b －a) －P1 (l －a) －P2 (l －b)
bh2
IZ 12
WZ 6
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
截面几何量Iz 与Wz
其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２）
对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到
❖结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值 越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要 尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz 和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载 能力不同。
化工设备基础4 直梁的弯曲
z
推论： 推论：
y
1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形； 纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形； 2、横截面上只有正应力，而无剪应力； 横截面上只有正应力，而无剪应力； 3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层 梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层， 与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区， 与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，中性 层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。 层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。 中性轴旋转的
σ =E
y
ρ
M = ρ EIZ
1
正应力公式
变形几何关系
ε=
y
ρ
σ =E
物理关系
σ = Eε
M = ρ EIZ
1
y
ρ
静力学关系
1
My σ= IZ
ρ
为曲率半径
ρ
为梁弯曲变形后的曲率
第四章 直梁的弯曲
起重机大梁
火车轮轴
P
P
弯曲特点
受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或 受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力） 力偶的作用 变形特点： 变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
平面弯曲 •具有纵向对称面 具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
二、弯曲正应力公式的推导 1、几何关系 、
dx
2、物理关系 、 z
胡克定理
σ = Eε
σ =E
y
ρ
y
工程力学第八章__直梁弯曲
作用面内的一条曲线。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
材力力学实验—直梁弯曲实验
材料力学实验
实验五
直梁弯曲实验
Page1
材料力学实验
➢ 实验目的
电测法测定纯弯梁横截面上的正应变分布，并与理论值进行
比较；
电测法测量三点弯梁某一横截面上的正应变分布与最大切
应变，并与理论值进行比较；
学习电测法的多点测量方法
➢ 实验设备与仪器
微机控制电子万能试验机 静态应变仪 游标卡尺
Page2
用平均值法进行数据处理（对多次实验结果取平均值）
Page9
思考题
材料力学实验
1. 设计本实验的夹具应考虑哪些因素？
2．安装试件时应当注意什么问题？
3. 如果在试件纯弯段的上表面和下表面，沿纵线方向分别再贴 上2’和8’两个应变片，如何用全桥接线法测最大弯曲正 应变？试画出桥路图。
Page10
Page8
➢ 实验结果处理
材料力学实验
1. 在坐标纸上，y——ε坐标系下描出实验点，然后拟合
成直线，与理论曲线进行比较，并计算同一y坐标所对应
的 理和论 之间实验的相对误差；
2. 计算上下表面的横向应变增量与纵向应变增量之比的
绝对值。
3. 对比纯弯状态与三点弯状态的实验结果，并分析横截面上 剪力的对应力分布的影响．
实心梁：纯弯：P0=2KN, Pmax=10KN, ΔP=8KN, ３遍 三点弯： P0=2KN, Pmax=10KN, ΔP=8KN, ３遍
空心梁：纯弯：P0=1KN, Pmax=5KN, ΔP=4KN, ３遍 三点弯： P0=1KN, Pmax=5KN, ΔP=4KN, ３遍
2、草拟实验所需各类数据表格 3、测量试件及结构尺寸 4、试验机准备、试件安装和仪器调整 5、确定组桥方式、接线和设置应变仪参数 6、检查及试车 7、进行试验 8、整理各种仪器设备，结束试验
实验五
直梁弯曲实验
Page1
材料力学实验
➢ 实验目的
电测法测定纯弯梁横截面上的正应变分布，并与理论值进行
比较；
电测法测量三点弯梁某一横截面上的正应变分布与最大切
应变，并与理论值进行比较；
学习电测法的多点测量方法
➢ 实验设备与仪器
微机控制电子万能试验机 静态应变仪 游标卡尺
Page2
用平均值法进行数据处理（对多次实验结果取平均值）
Page9
思考题
材料力学实验
1. 设计本实验的夹具应考虑哪些因素？
2．安装试件时应当注意什么问题？
3. 如果在试件纯弯段的上表面和下表面，沿纵线方向分别再贴 上2’和8’两个应变片，如何用全桥接线法测最大弯曲正 应变？试画出桥路图。
Page10
Page8
➢ 实验结果处理
材料力学实验
1. 在坐标纸上，y——ε坐标系下描出实验点，然后拟合
成直线，与理论曲线进行比较，并计算同一y坐标所对应
的 理和论 之间实验的相对误差；
2. 计算上下表面的横向应变增量与纵向应变增量之比的
绝对值。
3. 对比纯弯状态与三点弯状态的实验结果，并分析横截面上 剪力的对应力分布的影响．
实心梁：纯弯：P0=2KN, Pmax=10KN, ΔP=8KN, ３遍 三点弯： P0=2KN, Pmax=10KN, ΔP=8KN, ３遍
空心梁：纯弯：P0=1KN, Pmax=5KN, ΔP=4KN, ３遍 三点弯： P0=1KN, Pmax=5KN, ΔP=4KN, ３遍
2、草拟实验所需各类数据表格 3、测量试件及结构尺寸 4、试验机准备、试件安装和仪器调整 5、确定组桥方式、接线和设置应变仪参数 6、检查及试车 7、进行试验 8、整理各种仪器设备，结束试验
《汽车机械基础》第六章直梁的弯曲
灌南中专教师授课教案2018 /2019 学年第一学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.圆轴扭转的概念。
2.圆轴扭转的外力偶矩、扭矩的计算方法。
3.圆轴扭转的强度计算方法。
讲授新课：第六章材料力学基础第5节直梁的弯曲一、平面弯曲的概念1. 平面弯曲在工程实际中，把发生弯曲变形为主的构件称为梁，如跨江大桥两桥墩之间的横梁、汽车前梁等。
梁在自重和载荷的作用下会产生平面弯曲变形。
梁弯曲变形的受力特点：外力垂直于轴线或在轴线的平面内受到力偶的作用。
变形的特点：轴线在纵向对称平面内由直线弯曲成曲线。
2. 梁的基本类型根据支座对梁的约束，将梁简化为三种基本形式。
（1）简支梁梁的两端均用铰链支座约束，一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图6-26a所示。
（2）外伸梁简支梁的一端（或两端）伸出支座以外，如图6-26b所示。
（3）悬臂梁梁的一端为固定支座，另一端为自由端，如图6-26c所示。
3.载荷的简化作用在梁上的载荷可简化为以下三种形式。
（1）集中力集中力是将作用于梁上方的长度很短的力简化为作用于一点的力，单位为N或kN。
（2）集中力偶矩集中力偶矩是将作用于梁上方的长度很短的力偶矩简化为作用于某一截面的集中力偶矩，单位为N·m或kN·m。
（3）分布载荷分布载荷是指沿梁的长度或部分长度连续均匀分布的载荷，称为分布载荷。
单位长度上的力用q表示，称集度载荷，单位为N/m或kN/m。
二、梁弯曲变形的内力1.用截面法求梁的内力为了计算梁的强度，必须研究梁上各截面上的内力，分析内力和计算内力的方法仍旧采用截面法。
例6-8剪力和弯矩的大小、方向或转向的确定原则如下：（1）截面上剪力的大小等于此截面以左（或右）所有外力的代数和。
截面左侧的外力，向上取正号，向下取负号。
截面右侧的外力与此相反。
（2）截面上弯矩的大小等于此截面以左（或右）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
截面左侧的外力对截面形心的力矩顺时针转向为正，反之为负。
机械工程基础课件单元五直梁弯曲
单元五
一、弯曲概念
直梁弯曲
5.1 平面弯曲及工程实例
弯曲受力特点： 受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用
弯曲变形特点： 杆的轴线由直线弯成曲线 主要承受弯曲变形的杆称为梁
F
A B A
Me
B
单元五
直梁弯曲
厂房立柱
单元五
直梁弯曲
厂房行车
单元五
直梁弯曲
车床轴
单元五
对称弯曲：
直梁弯曲
① 梁至少具有一个纵向对称面
FRA
ql/2
x
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上剪力绝 对值为最大
F
F
l
悬臂梁
F
l
单元五
梁的力学模型的简化
直梁弯曲
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型 集中力偶 分布载荷 （3） 支座的类型 可动铰支座
A A
A
A
FRA
单元五
A
直梁弯曲
固定铰支座
FRAy
A A
FRAx A
固定端 FRy FRx M
单元五
5. 2 梁的内力及内力图
1.内力计算 例5.1 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
单元五
5.2.2 剪力和弯矩方程
q
直梁弯曲
剪力图和弯矩图
x
x
l
剪力方程： 描述梁的剪力沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
FS FS x
弯矩方程： 描述梁的弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
一、弯曲概念
直梁弯曲
5.1 平面弯曲及工程实例
弯曲受力特点： 受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用
弯曲变形特点： 杆的轴线由直线弯成曲线 主要承受弯曲变形的杆称为梁
F
A B A
Me
B
单元五
直梁弯曲
厂房立柱
单元五
直梁弯曲
厂房行车
单元五
直梁弯曲
车床轴
单元五
对称弯曲：
直梁弯曲
① 梁至少具有一个纵向对称面
FRA
ql/2
x
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上剪力绝 对值为最大
F
F
l
悬臂梁
F
l
单元五
梁的力学模型的简化
直梁弯曲
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型 集中力偶 分布载荷 （3） 支座的类型 可动铰支座
A A
A
A
FRA
单元五
A
直梁弯曲
固定铰支座
FRAy
A A
FRAx A
固定端 FRy FRx M
单元五
5. 2 梁的内力及内力图
1.内力计算 例5.1 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
单元五
5.2.2 剪力和弯矩方程
q
直梁弯曲
剪力图和弯矩图
x
x
l
剪力方程： 描述梁的剪力沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
FS FS x
弯矩方程： 描述梁的弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
直梁弯曲实验报告
直梁弯曲实验报告直梁弯曲实验报告引言：直梁弯曲实验是力学实验中的一种基础实验，通过对直梁在外力作用下的变形情况进行观察和测量，可以研究材料的力学性质和结构的稳定性。
本实验旨在通过对直梁弯曲实验的设计和实施，探究直梁的弯曲变形规律，从而深入了解材料的力学性质。
实验设计：本次实验采用了一根长度为L的直梁，材料为均匀的钢材。
实验中，我们将直梁固定在两个支点上，然后在梁的中间位置施加一个向下的力F。
通过改变施加力的大小和梁的长度，我们可以观察到直梁的变形情况，并记录相应的数据。
实验步骤：1. 准备工作：将直梁清洁干净，并测量直梁的长度L。
2. 固定直梁：将直梁的两端分别固定在两个支点上，确保直梁处于水平放置的状态。
3. 施加力：在直梁的中间位置施加一个向下的力F，注意控制力的大小和方向。
4. 观察变形：通过肉眼观察和测量工具，记录直梁在受力后的变形情况，包括梁的挠度、变形形状等。
5. 数据记录：将观察到的数据记录下来，并进行整理和分析。
实验结果：根据实验数据的记录和整理，我们得到了直梁在受力后的变形情况。
通过观察和分析，我们发现直梁的挠度与施加力的大小成正比，与梁的长度L的平方成反比。
这表明直梁的弯曲变形与施加力和梁的长度有密切关系。
讨论与分析：通过对直梁弯曲实验的观察和数据分析，我们可以得到一些有关材料力学性质的结论。
首先，弯曲变形是材料受力后的一种常见变形形式，可以用来评估材料的强度和刚度。
其次，直梁的弯曲变形与施加力和梁的长度有密切关系，这与材料的弹性模量和截面惯性矩有关。
最后，通过对直梁的弯曲变形进行观察和测量，可以进一步研究材料的力学性质和结构的稳定性。
结论：通过本次直梁弯曲实验，我们深入了解了材料的力学性质和结构的稳定性。
通过观察和测量直梁在受力后的变形情况，我们发现直梁的挠度与施加力的大小成正比，与梁的长度L的平方成反比。
这些结论对于研究材料的力学性质和设计结构的稳定性具有重要意义。
展望：本次实验只是直梁弯曲实验的基础研究，还有很多相关的实验和研究可以展开。
《过程设备设计基础》1.3直梁的弯曲8
第三节 直梁的弯曲
一、梁的弯曲实例与概念
1
梁的基本形式
a.简支梁:一端固定铰链，另一端活动铰链. b.外伸梁：简支梁一端或两端伸出支座以外. c.悬臂梁：一端固定，另一端自由.
二、梁横截面上的内力
（方法：外力—内力—应力—强度条件和刚度条件） (一)剪力和弯矩 (二)弯矩方程与弯矩图
2
三、弯曲时横截面上的正应力及其分布规律
max
M max WZ
材料远离中性轴
bh2 1 A h 6 6 hb2 1 Ab 6 6
WZ A
矩形0.167h,圆形0.125h,环形0.205h,工字钢和槽钢(0.27～0.31)h 7
W z1 Wz 2
六、梁的弯曲变形
（一）梁的挠度和转角 变形后梁的轴线称为弹性曲线或挠曲线，
挠度 ：f = f(x)； 转角：
df f ( x) dx
（二）梁的刚度条件
f max
f
或
f max l
f l
max
（注：吊车梁挠度一般规定≤L/250～L/750，架空管道的挠度≤L/500 ）8
梁纯弯曲时横截面上的最大正应力 m来自xM WZ3
4
四、梁弯曲时的强度条件
max
M max WZ
（注：利用强度条件，可对梁进行强度校核、选择截面尺寸及确定许可荷载）
5
五、提高梁弯曲强度的措施
1.支撑和荷载的合理布置.
max
M max WZ
6
2.选择合理的截面形状.
一、梁的弯曲实例与概念
1
梁的基本形式
a.简支梁:一端固定铰链，另一端活动铰链. b.外伸梁：简支梁一端或两端伸出支座以外. c.悬臂梁：一端固定，另一端自由.
二、梁横截面上的内力
（方法：外力—内力—应力—强度条件和刚度条件） (一)剪力和弯矩 (二)弯矩方程与弯矩图
2
三、弯曲时横截面上的正应力及其分布规律
max
M max WZ
材料远离中性轴
bh2 1 A h 6 6 hb2 1 Ab 6 6
WZ A
矩形0.167h,圆形0.125h,环形0.205h,工字钢和槽钢(0.27～0.31)h 7
W z1 Wz 2
六、梁的弯曲变形
（一）梁的挠度和转角 变形后梁的轴线称为弹性曲线或挠曲线，
挠度 ：f = f(x)； 转角：
df f ( x) dx
（二）梁的刚度条件
f max
f
或
f max l
f l
max
（注：吊车梁挠度一般规定≤L/250～L/750，架空管道的挠度≤L/500 ）8
梁纯弯曲时横截面上的最大正应力 m来自xM WZ3
4
四、梁弯曲时的强度条件
max
M max WZ
（注：利用强度条件，可对梁进行强度校核、选择截面尺寸及确定许可荷载）
5
五、提高梁弯曲强度的措施
1.支撑和荷载的合理布置.
max
M max WZ
6
2.选择合理的截面形状.
第7章直梁弯曲
梁弯曲时的内力
【例7-2】求下列图中指定截面的剪力和弯矩，并确定其正、负号。
1 Q1 ql 正 4
1 l M 1 ql 0 4 8 1 2 M 1 ql 32
1 Q2 ql 正 2
1 l M 2 ql 0 2 4 1 M 2 ql 2 8
梁弯曲时的内力
剪力、弯矩的正负号规定如下：使梁的脱离体产生顺时针转动的剪 力规定为正，反之为负；使梁的脱离体下侧受拉而上侧受压的弯矩 规定为正，反之为负，如图所示。
对某一指定的截面来说，在它左侧向上的外力，或右侧向下 的外力将产生正的剪力；反之，即产生负的剪力。至于弯矩， 则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩， 而向下的外力产生负的弯矩。
最大剪力Qmax在AC(b>a) （或CB,a>b）段
Qmax=Gb/l
最大弯矩在C截面处
Mmax=Gab/l
本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上 构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯 矩方程；即：
Q=Q(x) M=M(x)
梁弯曲时的内力
【例7-5】作图示梁的内力图。
1.
7.2 梁弯曲时的内力
7.2.1.弯曲内力——剪力和弯矩
如图所示简支梁AB受集中力 P作用，设其约束反力分别为 RA，RB。在距左支座x处用假 想截面将梁截开，取左脱离 体进行分析。
Y 0 RA Q 0 Q RA
M o 0 RA x M 0 M RA x
如上图1、2得纵向变形：
由图3得：
ydA M
即
M ydA
E
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2020/6/17
适用条件：
（1）线弹性范围 x
（2）小变形条件
7
（3）平面青弯岛科曲技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
二、积分法计算梁的变形
弯 曲 变
y M x
EI
y´
= y
θ
(
M
xMdExI)xdxdx
EI
＋C
Cx
＋D
C、D为积分常数，由位移边界与连续条件确定。
边界条件：
连续条件 ：
x
青岛科技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
4、挠曲轴近似微分方程
（1）在小变形条件下，
1
y y2
32
M x
EI
弯 y' 1 0.0175弧度 y2 1
曲 （2）正负号确定： 变
1 y2 1
形y
M>0
Mx
y
M<0
EI
y '' 0
y '' 0
o M与y´´保持同号
A
FAy
x
L
变
C=0 , D=0
F
B
M
形 3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
y' (x) Fx2
2EI
将 x=L 代入转角方程：
Fx 3 y
6EI
2020/6/17
B
FL2 2EI
11
青岛科技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
例2：简支梁AB，弯曲
刚度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求y(x)， θ(x)；
2020/6/17
5
青岛科技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
一、挠曲轴微分方程
1、中性层曲率表示的弯曲变形公式
弯 曲
1M
变
2、数学中的曲率公式
1
1
y y2
3
2
y
ρ
M
3、挠曲轴微分方程
y
1 y2
2020/6/17
32
Mx EI
o
6
y yx
X=0, y=0
FAy
F
弯
X=L,y=0
Ax
曲 变 形
C＝－Me L ，D＝0 6EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
L
B
M
y' (x) Me (3x2 l2 )
6EIl
y Mex (x2 l2)
6EIl
2020/6/17
13
青岛科技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
FAy
Ax
y 曲线）
y
曲
z
变
x
x
m-m
形
（1）挠度y：横截面形心在垂直于轴线方向的位移
符号规定：向上为正，向下为负。 y yx
（2）轴向位移ΔX：横截面形心在轴线方向的位移，
小变形情况下，略去不计。
（3）转角θ：横截面绕中性轴的转过的角度 x
2020/6/17 符号规定：逆时针为正，4 顺时针为负。青岛科技大学 机电工程学院
LOGO
化工设备机械基础
第四章 直梁的弯曲
弯曲变形
§4-9 梁的变形分析
1
一、弯曲实例
弯 曲
1、齿轮传动
变
形
1
2
2
变形带来的弊端：
• 轮齿不均匀磨损，噪声 增大，产生振动； • 加速轴承磨损，降低使 用寿命；若变形过大， 使传动失效。
2020/6/17
2
青岛科技大学 机电工程学院
§4-9 梁的变形分析
弯 曲 变 形
2020/6/17
2、继电器中的簧片 触 点
电磁力 簧片
当变形足够大时，可以有效接通电路；
当变形不够大时，不能有效接通电路；
工程中，一方面要限制变形，另一 方面要利用变形。
3
青岛科技大学 机电工程学院
§4-9 梁的变形分析
二、梁变形的表示方法 n-nθ
y
弯
ΔX
（连续、光滑 挠曲轴 平坦的平面
FAy
Ax
L
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分
F
B
M
B
A端约束反力 FAy=F
梁的弯矩方程： M (x) Fx
挠曲轴近似微分方程：
y'' Fx EI
y' (x) Fx2 C
y Fx3 Cx D
2EI
6EI
2020/6/17
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青岛科技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
2、确定积分常数
例：求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线和转角 方程，并确定其最大挠度和最大转角。
-
AC段：
M(X) M0
x l
MO/2
BC段： M
(
X
)
M
0
(
x l
1)
y1
M0 EI
x l
y2
M0 EI
x l
1
2020/6/17
y1'
M0 2EI
x2 l
C1
y1
M0 6EI
x3 l
C1x
D1
15
y2'
M0 EI
x2 2l
x
C2
y2
M0 EI
青 岛x6科l3 技大x学22机电工C程2学x院
④ 积分求 EIw 和 EIw;
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
2020/6/17
9
青岛科技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
弯
例1：悬臂梁AB，弯曲
刚度 EI为常数，受力F和 力偶M=FL作用，求y(x)，A
FAy
x
曲 θ(x)；并计算B截面的转
L
F
B
M
变 角值。
形 解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分
L
F
FAy
Ax
B
L
M
F
B
M
M (x) Fx
y' (x) Fx2 C
2EI
y Fx3 Cx D 6EI
2020/6/17
14
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§4-10 梁变形基本方程
例2：求图示梁的挠 A
L/2
曲轴微分方程。
MO
C
L/2
B
解：1 画出弯矩图：
MO/L
MO/2
+
MO/L
2 建立挠曲轴微分方程并积分
D2
§4-10 梁变形基本方程
3 边界和连续条件：
y10 0 y2l 0
y1 2l y2 2l y1 2l y2 2l
(连续条件) (光滑条件)
y1x
M0x 24lEI
4x2 l2
y2 x
M0x l
24EIl
2020/6/17
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§4-10 梁变形基本方程
A端约束反力 FAy=F
梁的弯矩方程： M (x) Fx
Fx
挠曲轴近似微分方程： y' '
EI
y' (x) Fx2 C
Fx3 y Cx D
2020/6/17
2EI
10
6EI
青岛科技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
2、确定积分常数
弯 曲
A端为固定端约束，X=0, y=0 X=0,θ=0
§4-9 梁的变形分析
三、挠度和转角之间的关系
y
弯
曲
变
形
o
θ(x)
挠曲轴 y yx
θ(x)
y(x)
x
x
k tg dy yx 挠曲轴曲线性质：
dx
（1）挠曲轴上任一点的纵坐标
(通常θ<1º=0.0175弧度)
等于梁上该截面的挠度值； （2）挠曲轴上任一点的切线斜
tg yx
率等于梁上该截面的转角值。
形 （1）固定端约束： A
B
yA 0, A 0
yC左 yC右
左 C
右 C
(2)铰支座：
A
2020/6/17
C
8
ByA yB
0 0
青岛科技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
积分法求解梁位移的思路： ① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程M(x) ；
③ 建立近似微分方程： EIw M x
适用条件：
（1）线弹性范围 x
（2）小变形条件
7
（3）平面青弯岛科曲技大学 机电工程学院
§4-10 梁变形基本方程
二、积分法计算梁的变形
弯 曲 变
y M x
EI
y´
= y
θ
(
M
xMdExI)xdxdx
EI
＋C
Cx
＋D
C、D为积分常数，由位移边界与连续条件确定。
边界条件：
连续条件 ：
x
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§4-10 梁变形基本方程
4、挠曲轴近似微分方程
（1）在小变形条件下，
1
y y2
32
M x
EI
弯 y' 1 0.0175弧度 y2 1
曲 （2）正负号确定： 变
1 y2 1
形y
M>0
Mx
y
M<0
EI
y '' 0
y '' 0
o M与y´´保持同号
A
FAy
x
L
变
C=0 , D=0
F
B
M
形 3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
y' (x) Fx2
2EI
将 x=L 代入转角方程：
Fx 3 y
6EI
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B
FL2 2EI
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§4-10 梁变形基本方程
例2：简支梁AB，弯曲
刚度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求y(x)， θ(x)；
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§4-10 梁变形基本方程
一、挠曲轴微分方程
1、中性层曲率表示的弯曲变形公式
弯 曲
1M
变
2、数学中的曲率公式
1
1
y y2
3
2
y
ρ
M
3、挠曲轴微分方程
y
1 y2
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32
Mx EI
o
6
y yx
X=0, y=0
FAy
F
弯
X=L,y=0
Ax
曲 变 形
C＝－Me L ，D＝0 6EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
L
B
M
y' (x) Me (3x2 l2 )
6EIl
y Mex (x2 l2)
6EIl
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§4-10 梁变形基本方程
FAy
Ax
y 曲线）
y
曲
z
变
x
x
m-m
形
（1）挠度y：横截面形心在垂直于轴线方向的位移
符号规定：向上为正，向下为负。 y yx
（2）轴向位移ΔX：横截面形心在轴线方向的位移，
小变形情况下，略去不计。
（3）转角θ：横截面绕中性轴的转过的角度 x
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第四章 直梁的弯曲
弯曲变形
§4-9 梁的变形分析
1
一、弯曲实例
弯 曲
1、齿轮传动
变
形
1
2
2
变形带来的弊端：
• 轮齿不均匀磨损，噪声 增大，产生振动； • 加速轴承磨损，降低使 用寿命；若变形过大， 使传动失效。
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2
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§4-9 梁的变形分析
弯 曲 变 形
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2、继电器中的簧片 触 点
电磁力 簧片
当变形足够大时，可以有效接通电路；
当变形不够大时，不能有效接通电路；
工程中，一方面要限制变形，另一 方面要利用变形。
3
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§4-9 梁的变形分析
二、梁变形的表示方法 n-nθ
y
弯
ΔX
（连续、光滑 挠曲轴 平坦的平面
FAy
Ax
L
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分
F
B
M
B
A端约束反力 FAy=F
梁的弯矩方程： M (x) Fx
挠曲轴近似微分方程：
y'' Fx EI
y' (x) Fx2 C
y Fx3 Cx D
2EI
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2、确定积分常数
例：求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线和转角 方程，并确定其最大挠度和最大转角。
-
AC段：
M(X) M0
x l
MO/2
BC段： M
(
X
)
M
0
(
x l
1)
y1
M0 EI
x l
y2
M0 EI
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y1'
M0 2EI
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M0 6EI
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M0 EI
x2 2l
x
C2
y2
M0 EI
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④ 积分求 EIw 和 EIw;
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
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弯
例1：悬臂梁AB，弯曲
刚度 EI为常数，受力F和 力偶M=FL作用，求y(x)，A
FAy
x
曲 θ(x)；并计算B截面的转
L
F
B
M
变 角值。
形 解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分
L
F
FAy
Ax
B
L
M
F
B
M
M (x) Fx
y' (x) Fx2 C
2EI
y Fx3 Cx D 6EI
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§4-10 梁变形基本方程
例2：求图示梁的挠 A
L/2
曲轴微分方程。
MO
C
L/2
B
解：1 画出弯矩图：
MO/L
MO/2
+
MO/L
2 建立挠曲轴微分方程并积分
D2
§4-10 梁变形基本方程
3 边界和连续条件：
y10 0 y2l 0
y1 2l y2 2l y1 2l y2 2l
(连续条件) (光滑条件)
y1x
M0x 24lEI
4x2 l2
y2 x
M0x l
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A端约束反力 FAy=F
梁的弯矩方程： M (x) Fx
Fx
挠曲轴近似微分方程： y' '
EI
y' (x) Fx2 C
Fx3 y Cx D
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2EI
10
6EI
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§4-10 梁变形基本方程
2、确定积分常数
弯 曲
A端为固定端约束，X=0, y=0 X=0,θ=0
§4-9 梁的变形分析
三、挠度和转角之间的关系
y
弯
曲
变
形
o
θ(x)
挠曲轴 y yx
θ(x)
y(x)
x
x
k tg dy yx 挠曲轴曲线性质：
dx
（1）挠曲轴上任一点的纵坐标
(通常θ<1º=0.0175弧度)
等于梁上该截面的挠度值； （2）挠曲轴上任一点的切线斜
tg yx
率等于梁上该截面的转角值。
形 （1）固定端约束： A
B
yA 0, A 0
yC左 yC右
左 C
右 C
(2)铰支座：
A
2020/6/17
C
8
ByA yB
0 0
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§4-10 梁变形基本方程
积分法求解梁位移的思路： ① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程M(x) ；
③ 建立近似微分方程： EIw M x