2.2二次函数的再认识

二次函数基础知识二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的定义、性质和常见的应用，并通过例题帮助读者理解和掌握二次函数的基础知识。

1. 二次函数的定义二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

其中，a 决定了二次函数的开口方向和形状，b 决定了二次函数的位置，c 决定了二次函数的平移。

2. 二次函数的图像二次函数的图像一般为抛物线，其开口方向由 a 的正负决定，当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

b 和 c 的值会使抛物线上下移动或左右平移。

3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过求解 y =ax^2 + bx + c 的导数为零的 x 值来确定。

顶点有坐标 (h, k)，其中 h = -b/2a，k = f(h)。

根据 a 的正负，顶点是最小值点或最大值点。

4. 二次函数的对称性二次函数具有关于顶点对称的性质。

对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其对称轴为直线 x = h，其中 h = -b/2a。

对于任意一点 (x, y) 在对称轴上，有 f(h + (x - h)) = f(h - (x - h)) = f(x)，即 (h + (x - h), y) 和 (h - (x - h), y)位于对称轴的两侧，且具有相同的函数值。

5. 二次函数的零点二次函数的零点是使函数等于零的 x 值，可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 求得。

一元二次方程的解可以是实数，也可以是复数。

当方程有两个不相等实数解时，抛物线与 x 轴有两个交点；当方程有两个相等实数解时，抛物线与x 轴有一个重合点；当方程无实数解时，抛物线与 x 轴没有交点。

6. 二次函数的应用二次函数在数学和实际问题中有广泛的应用。

在数学方面，二次函数是解析几何和微积分等领域的基础。

二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。

在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。

二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。

2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。

4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。

5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。

三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。

2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。

3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。

四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。

2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。

3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。

五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。

2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。

3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。

二次函数所有知识点二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际应用中具有广泛的应用。

本文将全面介绍二次函数的所有知识点，包括定义、性质、图像特征、方程求解和应用等方面。

1. 二次函数的定义与性质二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的定义域为所有实数集，因为平方项对于任何实数都有定义。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于a的正负。

2. 二次函数的图像特征二次函数的图像特征包括顶点坐标、对称轴以及开口方向。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax² + bx + c，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

对称轴为经过顶点的直线，方程为x = -b/2a。

开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的方程求解解二次函数的方程常常涉及求根和因式分解两种方法。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax² + bx + c，求根可以使用求根公式x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)。

需要注意的是，判别式b²-4ac的值决定了方程的解的性质。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解。

此外，对于特殊形式的二次函数，如完全平方式、提公因式法等求根方法也很常见。

4. 二次函数的应用二次函数在实际应用中有着广泛的应用价值。

例如，抛物线的运动轨迹可以用二次函数来描述，如抛射物的运动、物体的自由落体等。

此外，二次函数还可以用于最优化问题，如求解二次函数的最值问题，例如求取抛物线上点的最大高度、最大飞行距离等问题。

二次函数还可以用于建模和预测，如财务分析中的收益和成本曲线、市场需求曲线的形成等。

初中数学知识归纳二次函数的概念和性质二次函数是初中数学中重要的数学概念之一。

它是指函数的表达式中存在一个二次项，且其图像为开口朝上或开口朝下的抛物线。

本文将逐步介绍二次函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用该知识。

1. 二次函数的定义二次函数的定义是f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

a 决定抛物线的开口方向，正值表示开口朝上，负值表示开口朝下。

常数b和c则分别决定了抛物线的位置和纵坐标的平移。

2. 二次函数的图像二次函数的图像为抛物线，其对称轴为直线x=-b/2a。

若a>0，抛物线开口朝上，最低点的纵坐标为-c+b^2/4a；若a<0，抛物线开口朝下，最高点的纵坐标为-c+b^2/4a。

3. 二次函数的零点零点是指函数取值为0的横坐标。

对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，可以通过求解方程ax^2+bx+c=0来确定其零点。

根据判别式Δ=b^2-4ac 的值，可以判断二次函数的零点个数和形式：(1) 当Δ>0时，二次函数有两个不同的实数根；(2) 当Δ=0时，二次函数有一个重根；(3) 当Δ<0时，二次函数无实数根，但可能存在虚数根。

4. 二次函数的顶点顶点是指二次函数抛物线的最高点或最低点。

对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其顶点的横坐标为-xv=b/2a，纵坐标为-f(xv)=-Δ/4a。

顶点是抛物线的对称中心，对称轴经过顶点。

5. 二次函数的增减性和极值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，当a>0时，函数在对称轴左侧呈减少趋势，在对称轴右侧呈增长趋势；当a<0时，则相反。

当抛物线开口朝上时，最低点为函数的最小值；当抛物线开口朝下时，最高点为函数的最大值。

6. 平移与二次函数对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，平移是指将抛物线沿横轴或纵轴方向移动。

平移的规律如下：(1) 向左平移：f(x+a)的图像沿x轴正方向移动a个单位；(2) 向右平移：f(x-a)的图像沿x轴负方向移动a个单位；(3) 向上平移：f(x)+a的图像沿y轴正方向移动a个单位；(4) 向下平移：f(x)-a的图像沿y轴负方向移动a个单位。

二次函数知识点总结二次函数是一种基本的数学函数，也是高中数学中重要的一部分。

下面是关于二次函数的知识点总结。

一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的元素上。

函数有定义域、值域和对应关系，可以用图像、表格和公式的形式来表示。

二、二次函数的定义二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上的“U”型或开口向下的“∩”型。

三、二次函数的图像特点1.对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

2.初中线：二次函数的图像在抛物线的顶点上与对称轴相交，这个点称为抛物线的顶点。

3.开口方向：二次函数的图像开口方向由a的正负决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。

4.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

5. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以用求根公式(-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。

四、二次函数的性质1.定义域和值域：二次函数的定义域为实数集，值域根据二次函数开口的方向来确定。

2.单调性：当a>0时，二次函数在定义域上是递增的；当a<0时，二次函数在定义域上是递减的。

3.最值：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

4.轴对称性：二次函数是轴对称的，对称轴为x=-b/2a。

5.单调区间：当a>0时，二次函数在对称轴两侧是递增的；当a<0时，二次函数在对称轴两侧是递减的。

6.零点个数：二次函数的零点个数最多为2个。

五、二次函数的标准形式和一般形式1.标准形式：二次函数的标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

2. 一般形式：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c。

2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。

这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。

三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。

2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。

二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。

开口方向与大小：由二次项系数a决定。

当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。

|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。

2. 顶点式：对称轴为直线x = h。

3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。

顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。

2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。

最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。

2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。

三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。

函数图像与x轴的交点即为该方程的根。

根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。

2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。

（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。

2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

二次函数的再认识二次函数2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠为常数，且是初中数学的主要内容，也是高中数学学习的重要基础。

在初中阶段我们已经学习了二次函数的图像和有关性质。

本节我们将进一步深入学习二次函数的有关性质和应用。

二次函数的图像和性质；为了研究这一问题我们可以先画出2221222y x y x y x ===-⋅⋅⋅⋅⋅⋅、、几个特殊的图像，推导出22y ax y x ==与的图像之间的关系。

下面用列表法先画出222y x y x ==,的图像（如图①）.x⋅⋅⋅-3 -2 -1 0 1 2 3⋅⋅⋅2y x =⋅⋅⋅9 4 1 0 1 4 9⋅⋅⋅22y x =⋅⋅⋅18 8 2 02 8 18⋅⋅⋅从上表和图中发现函数22y x =的图像可以由函数2y x =的图像各点的从坐标变为原来的两倍得到。

问题；函数2()y a x h k =++与2y ax =的图像间又存在怎样的关系？同样的，我们可以利用几个特殊的函数图像的关系来研究它们之间的关系。

同学们可以做出函数22(1)1y x =++与22y x =的图像（如图②），从函数的图像我们不难发现，只要把函数22y x =的图像向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数22(1)1y x =++的图像。

这两个函数图像之间具有“形状相同，位置不同”的特点。

类似地，还可以通过画函数图像223,3(1)1y x y x =-=--+的图像，研究它们图像之间的相互关系。

通过上面的研究，可以得出以下结论：1.二次函数2y ax =(0)a ≠的图像可以由2y x =的图像各点的纵坐标变为原来的a 倍得到。

在二次函数2y ax =(0)a ≠中，二次项系数a 决定了图像的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。

2.二次函数2()y a x h k =++(0)a ≠中，a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；h 决定了二次函数图像的左右平移，而“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。

二次函数知识点总结二次函数是数学中一种重要的函数形式，具有较广泛的应用。

本文将详细介绍二次函数的定义、性质、图像与变换、解析式、根与判别式、与其他函数的关系以及应用等知识点。

一、定义与性质：二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

二次函数的定义域为全体实数集R，值域根据a的正负值有所不同。

二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下。

性质1：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b。

性质2：当二次函数的对称轴为x=h时，最高/最低点的横坐标为x=h，纵坐标为f(h)。

性质3：如果a>0，则抛物线开口向上，最低点为最小值；如果a<0，则抛物线开口向下，最高点为最大值。

二、图像与变换：二次函数的图像为一条抛物线，关键要素有顶点、对称轴、开口方向以及最高/最低点等。

1.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。

2.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条线，其方程为x=-b/2a。

3.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

若a>0，开口向上；若a<0，开口向下。

4.最高/最低点：顶点即为最高或最低点，纵坐标为二次函数的最值。

变换1：平移变换二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于横轴上下平移h个单位的函数为f(x) = a(x-h)^2 + bx + c。

变换2：垂直伸缩与翻转二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于纵轴上下压缩k倍且翻转ξ度的函数为f(x) = a(k(x-ξ))^2 + bx + c。

三、解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

根据实际问题的要求，可以确定二次函数的具体形式。