数学必修二导学案

4.1数列的概念（1）导学案1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类.3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.重点：数列的有关概念与数列的表示方法难点：数列的函数特征一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an }和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.二、数列的分类三、数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项a n，记为a n＝f(n)．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么构成了一个数列{f(n)}．f(1)，f(2)，…，f(n)，…四、数列的通项公式如果数列{an }的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an =(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.1. 下列叙述正确的是()A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现2.若数列{an }的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=,224是该数列的第项.一、情景导学古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.那么什么叫数列呢?二、问题探究1. 王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168 ① 记王芳第i 岁的身高为 ℎi ，那么ℎ1=75 , ℎ2=87, …，ℎ17=168.我们发现ℎi 中的i 反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即ℎ1=75 是排在第1位的数，ℎ2=87是排在第2位的数…，ℎ17 =168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以①具有确定顺序的一列数。

9.2.4 总体离散程度的估计【学习目标】1.会求样本的标准差、方差；2.理解离散程度参数的统计含义；3.会应用相关知识解决实际统计问题．【知识梳理】一、请同学们预习课本9.2.4节（第209-213页），完成下列知识梳理。

1、预习课本中的问题3，回答下列问题（1）计算甲乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数是、、。

（2）作出两名运动员射击成绩的频率图（如下）甲的成绩比较,乙的成绩相对,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定。

可见，他们的射击成绩是存在差异的。

2、度量数据离散程度的方法-极差度量数据程度的一种方法是用极差。

极差在一定程度上刻画了数据的程度.但因为极差只使用了数据中、两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少。

3、平均距离的一种表示形式假设一组数据是x1,x2,⋯,x n，用x̅表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|x i−x̅|(i=1,2,⋯,n)作为x i到x̅的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,⋯,x n到x̅的“平均距离”为1 n ∑|x i−x| ni=14、方差和标准差（1）一组数据是x1,x2,⋯,x n，这组数据的方差是1 n ∑(x i−x)2ni=1，或1n∑x i2ni=1−x̅2，（你能证明两者是相等的吗？）（2）由于方差的单位是原始数据的单位的，为了使二者数据单位一致，我们取方差的算术平方根，得到这组数据的标准差√1n∑(x i−x)2ni=1，或 √1n∑x i2ni=1−x̅2，（3）总体方差S2和总体标准差S=√S2S2=1N∑(Y i−Y)2Ni=1=1N∑Y i2Ni=1−Y̅2，也可以写成加权的形式S2=1N∑f i(Y i−Y)2ki=1，（4）样本方差s2和样本标准差s=√s2s2=1n∑(y i−y)2ni=1（5）标准差刻画了数据的程度或幅度，标准差越大,数据的离散程度越;标准差越小，数据的离散程度越。

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义导学案编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX 廖云波【学习目标】1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题2.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法【自主学习】知识点1 复数的三角形式的运算设z 1＝r 1( cos θ1＋isin θ1),z 2＝r 2( cos θ2＋isin θ2),则( 1)乘法:z 1·z 2＝r 1r 2[cos( θ1＋θ2)＋isin( θ1＋θ2)],这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和．( 2)除法:z 1÷z 2＝z 1z 2＝r 1r 2[cos( θ1－θ2)＋isin( θ1－θ2)]( 其中z 2≠0),这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． ( 3)乘方:z n ＝r n ( cos nθ＋isin nθ)．( 4)开方:n z ＝nr ( cos θ＋2k πn ＋isin θ＋2k πn )( k ＝0,1,2,…,n －1)．知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1,z 2相乘时,可以像图中所示那样,先分别画出与z 1,z 2对应的向量OZ1→,OZ2→,然后把向量OZ1→绕点O 按逆时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1→按顺时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的r 2倍,得到向量OZ →,OZ →表示的复数就是积z 1z 2.这就是复数乘法的几何意义．z 2≠0,z 1z 2的几何意义是把z 的对应向量OZ1→按顺时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1→按逆时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的1r 2倍,所得的向量即表示商z 1z 2.【合作探究】探究一 复数的三角形式的乘、除运算 【例1】2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π6)．[解]2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π6)＝2·3[cos(π12＋π6)＋isin( π12＋π6)] ＝6( cos π4＋isin π4)＝6( 22＋22i)＝3＋3i.归纳总结:r 1( cos θ1＋isin θ1( ·r 2( cos θ2＋isin θ2( ＝r 1r 2[cos ( θ1＋θ2( ＋isin ( θ1＋θ2( ]计算,简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.【练习1】设复数z ＝cos θ＋isin θ,θ∈( π,2π),求复数z 2＋z 的模和辐角． 解:z 2＋z ＝( cos θ＋isin θ)2＋cos θ＋isin θ ＝cos2θ＋isin2θ＋cos θ＋isin θ ＝( cos2θ＋cos θ)＋i( sin2θ＋sin θ) ＝2cos 3θ2cos θ2＋i( 2sin 3θ2cos θ2)＝2cos θ2( cos 32θ＋isin 32θ)＝－2cos θ2⨯⎣⎡⎦⎤cos (－π＋32θ)＋isin (－π＋32θ).∵θ∈( π,2π),∴θ2∈( π2,π),∴－2cos θ2>0,所以复数z 2＋z 的模为－2cos θ2,辐角为( 2k －1)π＋3θ2( k ∈Z )．探究二 复数的乘、除运算的几何意义【例2】向量OZ →与－1＋i 对应,把OZ →按逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,求与向量OZ ′→对应的复数[解] 将向量OZ →逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,由于模未发生变化,应当是OZ →对应复数乘以1·( cos120°＋isin120°),即z ′＝( －1＋i)( cos120°＋isin120°)＝2( cos135°＋isin135°)( cos120°＋isin120°)＝2( cos255°＋isin255°)＝1－32－1＋32i.归纳总结:利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便【练习2】如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝π2.证明:∈1,∈2,∈3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i 的辐角主值,这样∈1＋∈2＋∈3就是( 1＋i)( 2＋i)( 3＋i)＝10i 的辐角,∈1,∈2,∈3都是锐角,所以∈1＋∈2＋∈3＝π2.课后作业A 组 基础题一、选择题1．复数( sin10°＋icos10°)3的三角形式为( )A ．sin30°＋icos30°B ．cos240°＋isin240°C ．cos30°＋isin30°D ．sin240°＋icos240°【正确答案】B2．若z ＝cos θ－isin θ,则使z 2＝－1的θ值可能是( )A ．0 B.π2 C ．π D ．2π【正确答案】B详细解析:∈z ＝cos θ－isin θ＝cos( －θ)＋isin( －θ), ∈z 2＝z ·z ＝cos( －2θ)＋isin( －2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1,∈⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1，－sin2θ＝0∈θ＝π2.3．4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝( )A ．63＋6iB ．63－6iC ．－63＋6iD ．－63－6i【正确答案】D详细解析:4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝12[cos( 60°＋150°)＋isin( 60°＋150°)]＝12( cos210°＋isin210°)＝12⎝⎛⎭⎫－32－12i ＝－63－6i.故选D. 4．复数z 1＝1,z 2是由z 1绕原点O 逆时针方向旋转π6而得到,则arg( z 2－z 12)的值为( )A.π12 B.π3 C.5π12D.7π12【正确答案】D5．( 多选)设z 1、z 2是复数,arg z 1＝α,arg z 2＝β,则arg( z 1·z 2)有可能是下列情况中的( )A ．α＋βB ．α＋β－2πC ．2π－( α＋β)D ．π＋α＋β【正确答案】ABC详细解析:因为arg z 1＝α,arg z 2＝β,所以α∈[0,2π),β∈[0,2π),而arg( z 1·z 2)∈[0,2π),则当α＋β∈[0,2π)时,arg( z 1·z 2)＝α＋β;当α＋β∈[2π,4π)时,α＋β－2π∈[0,2π),则arg( z 1·z 2)＝α＋β－2π;当α＋β＝π时,2π－( α＋β)＝π＝α＋β,此时arg( z 1·z 2)＝α＋β＝2π－( α＋β),故选ABC. 二、填空题6．复数－i 的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 . 【正确答案】－32－12i,32－12i 详细解析:∵－i ＝cos 3π2＋isin 3π2,其立方根是cos 2k π＋3π23＋isin 2k π＋3π23,k ∈0,1,2,即i,－32－12i,32－12i. 三、参考解答题7．计算:4( cos 4π3＋isin 4π3)÷2( cos 5π6＋isin 5π6)．解:原式＝2[cos(4π3－5π6)＋isin( 4π3－5π6)] ＝2( cos π2＋isin π2)＝2i.8．把复数z 1与z 2对应的向量OA →,OB →分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM →且模相等,已知z 2＝－1－3i,求复数z 1的代数形式和它的辐角主值． 解:由复数乘法的几何意义得 z 1( cos π4＋isin π4)＝z 2( cos 5π3＋isin 5π3),又z 2＝－1－3i ＝2( cos 4π3＋isin 4π3),∴z 1＝2(cos 4π3＋isin 4π3)·(cos 5π3＋isin 5π3)cos π4＋isin π4＝2[cos( 3π－π4)＋isin( 3π－π4)]＝－2＋2i,z 1的辐角主值为3π4.9．计算:3( cos π6＋isin π6)·4( cos π12＋isin π12)．解:原式＝43[cos( π6＋π12)＋isin( π6＋π12)]＝43( cos π4＋isin π4)＝26＋26i.10．若z ＝3( cos π6＋isin π6),求z 2与z 3的值．解:z 2＝z ·z ＝( 3)2[cos( π6＋π6)＋isin( π6＋π6)]＝3( cos π3＋isin π3)＝32＋332i.z 3＝z ·z ·z ＝( 3)3[cos( π6×3)＋isin( π6×3)]＝33( cos π2＋isin π2)＝33i.11．在复平面上A ,B 表示复数为α,β( α≠0),且β＝( 1＋i)α,判断△AOB 形状, 并证明S △AOB ＝12|α|2.解:∈AOB 为等腰直角三角形． 证明:∵α≠0,∴β＝( 1＋i)α,∴βα＝1＋i ＝2( cos π4＋isin π4),∴∠AOB ＝π4; ∵OA →,AB →分别表示复数α,β－α,由β－α＝αi,得β－αα＝i ＝cos π2＋isin π2,∴∠OAB ＝90°,∴△AOB 为等腰直角三角形． ∴S △AOB ＝12|OA |2＝12|α|2.12．设复数z 1＝3＋i,复数z 2满足|z 2|＝2,已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈( 0,π),求z 2的代数形式．解:因为z 1＝2( cos π6＋isin π6),设z 2＝2( cos α＋isin α),α∈( 0,π),所以z 1z 22＝8[cos( 2α＋π6)＋isin( 2α＋π6)]．由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2( k ∈Z ),所以α＝k π＋2π3( k ∈Z ),又α∈( 0,π),所以α＝2π3,所以z 2＝2( cos 2π3＋isin 2π3)＝－1＋3i.B 组 能力提升一、选择题1．复数z ＝sin π6－icos π6,若z n ＝Z ( n ∈N ),则n 的最小值是( )A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】C详细解析:因为z ＝sin π6－icos π6＝cos 5π3＋isin 5π3,所以z n ＝cos 5n 3π＋isin 5n 3π,Z ＝cos 5π3－isin 5π3＝cos π3＋isin π3.因为z n ＝Z ,所以5n 3π＝π3＋2k π,n ＝6k ＋15,因为n ∈N ,k ∈Z ,所以当k ＝4时,n ＝5. 2.设复数z 1＝2sin θ＋icos θ( π4<θ<π2)在复平面上对应向量OZ 1→,将OZ 1→按顺时针方向旋转3π4后得到向量OZ 2→,OZ 2→对应复数z 2＝r ( cos φ＋isin φ),则tan φ＝( )A.2tan θ＋12tan θ－1B.2tan θ－12tan θ＋1C.12tan θ＋1D.12tan θ－1 【正确答案】A 二、填空题3．( 1－3i)7详细解析:( 1－3i)7＝⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos 5π3＋isin 5π37 ＝27⎝⎛⎭⎫cos 35π3＋isin 35π3 ＝128⎝⎛⎭⎫12－32i ＝64－643i.三、参考解答题4．若z ∈C ,|z －2|≤1,求|z |的最大值,最小值和arg z 范围．解:如图,由|z －2|≤1,知z 的轨迹为复平面上以( 2,0)为圆心,1为半径的圆面( 包括圆周),|z |表示圆面上任一点到原点的距离．显然1≤|z |≤3,∈|z |max ＝3,|z |min ＝1,另设圆的两条切线为OA ,OB ,A ,B 为切点,由|CA |＝1,|OC |＝2知∈AOC ＝∈BOC ＝π6,∈arg z ∈[0,π6]∈[116π,2π)．5．已知复数z 1＝－2＋i 对应的点为P 1,z 2＝－3＋4i 对应的点为P 2,把向量P 1P 2→绕P 1点按顺时针方向旋转π2后,得到向量P 1P →,求向量P 1P →和点P 对应的复数分别是什么? 解:由题意知向量P 1P 2→对应的复数是z 2－z 1＝( －3＋4i)－( －2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法的几何意义得,向量P 1P →对应的复数是( －1＋3i)·⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋isin ⎝⎛⎭⎫－π2＝3＋i,最后由复数加法的几何意义得,向量OP →＝OP 1→＋P 1P →,其对应的复数是( －2＋i)＋( 3＋i)＝1＋2i,故点P 对应的复数为1＋2i.6．已知z ＝－1＋i i －2i,z 1－z ·z 2＝0,arg z 2＝7π12,若z 1,z 2在复平面上分别对应点A ,B ,且|AB |＝2,求z 1的立方根．解:由题设知z ＝1－i,因为|AB |＝2,即|z 1－z 2|＝2,所以|z 1－z 2|＝|z z 2－z 2|＝|( 1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2,又arg z 2＝7π12, 所以z 2＝2( cos 7π12＋isin 7π12),z 1＝z z 2＝( 1＋i)z 2 ＝2( cos π4＋isin π4)·2( cos 7π12＋isin 7π12) ＝2( cos 5π6＋isin 5π6),所以z 1的立方根为32[cos 5π6＋2k π3＋isin 5π6＋2k π3],k ＝0,1,2, 即32( cos 5π18＋isin 5π18),32( cos 17π18＋isin 17π18), 32( cos 29π18＋isin 29π18)．。

3.1.1倾斜角与斜率学案一、考纲要求1、在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素。

2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

二、新知探究问题1、图中给出的两点P 、Q 相同吗？问题2、经过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P ）可以确定一条直线么？问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。

在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？ 问题4、过点P 与x 轴形成45角的直线有几条？1、倾斜角的定义： 规定： 倾斜角的范围是坡度=2、斜率： 即k =问题5、当α为钝角时，直线的斜率如何求？ 倾斜角 030456090120135150斜率问题6、当α在[0 ，180）内变化时，斜率k 如何变化？poy·xQ ·poy·x问题7、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1≠ x2，能否用P1、P2的坐标来表示直线的斜率k？3、斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠ x2）的直线的斜率公式例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。

变式：D(1, 2), E(3, 1),求直线AD, AE的斜率。

例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线1234,,l l l l及。

oyxoyx。

第10课时直线和圆的位置关系1.理解直线与圆的位置关系的种类.2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影响的X围是半径为30千米的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40千米处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课研究的对象.问题1:直线与圆的位置关系有三种:、、.判断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ,当判别式Δ<0时,直线和圆;当判别式Δ=0时,直线和圆 ;当判别式Δ>0时,直线和圆.(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d<r⇒,d=r⇒,d>r⇒.问题2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程?(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线.(2)若点在圆上,则过该点的切线只有,切线方程求法如下:①直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程.②设元法,先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数.③公式法,设A(x0,y0)是圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的一点,则过点A的切线方程为:(x-a)(x0-a)+(y-b)·(y0-b)=r2,特别地,当圆心在原点时,即:A(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点A的切线方程为:.(3)若点在圆外,则过该点的切线有,切线方程求法如下:首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程.问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|= .问题4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤(1)仔细审题,理解题意;(2)引入,建立;(3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;(4)用结果解释.1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( ).2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为().A. B.3 C.3.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则k的取值X围是.4.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,求切线方程.圆的切线方程已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.求圆的弦长求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.利用圆的方程求最值已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.求过点P(4,5)的圆(x-2)2+y2=4的切线方程.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值为;最小值为.1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是().2.圆C:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为().A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=03.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于.4.已知圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为135°,直线l交圆于A、B两点,求AB的长.(2012年·卷) 直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.考题变式(我来改编):第10课时直线和圆的位置关系知识体系梳理问题1:相交相切相离(1)相离相切相交(2)相交相切相离问题2:(2)一条③x0x+y0y=r2(3)两条问题3:(2)·|x A-x B|=问题4:(2)数学符号数学模型(4)实际问题基础学习交流1.A∵d==1<4,∴直线与圆的位置关系是相交.2.B因为过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为=3,或2-(-1)=3.3.(0,)依题意有<1,解得0<k<,∴k的取值X围是(0,).4.解:已知圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆与坐标轴相切,所以切线方程为x=0或y=0.重点难点探究探究一: 【解析】(法一)当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,∵圆的切线垂直于过切点的半径,∴k=-.∵k1=,∴k=-.∴经过点M的切线方程是y-y0=-(x-x0),整理得x0x+y0y=+.又∵点M(x0,y0)在圆上,∴+=r2.∴所求的切线方程是x0x+y0y=r2.当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.(法二)设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P与M不重合时,△OPM为直角三角形,OP为斜边,∴OP2=OM2+MP2,即x2+y2=++(x-x0)2+(y-y0)2,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当P与M重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.(法三)设P(x,y)为所求切线上的任意一点(M与P不重合),当点M不在坐标轴上时,由OM⊥MP得k OM· k MP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当点M在坐标轴上时,同样适合上式;当P与M重合时亦适合上式.故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.【小结】(1)求圆的切线方程一般有三种方法:①设切线斜率,利用判别式,但过程冗长,计算复杂,易出错,通常不采用此法,但该法却是判断直线和曲线相切的通法,以后会经常用到;②设切线斜率,利用圆心到直线的距离等于半径;③设切点,利用过圆心和切点的直线与切线垂直.前两种方法要验证斜率是否存在.(2)过圆外一点可作圆的两条切线.探究二:【解析】(法一)直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解.根据x-y+2=0得y=x+2,代入x2+y2=4得x2+x=0,解得或∴公共点坐标为(-,1)和(0,2),直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.(法二)如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点),所以OM==,所以AB=2AM=2=2=2.【小结】在本题的两种方法中,前一种方法是代数法,后一种方法是几何法.在处理与直线和圆相交形成的弦的有关问题时,我们经常用到如下解法:(1)设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),代入圆的方程后寻求坐标与弦的关系,然后加以求解;(2)涉及圆的弦长问题时,为了简化运算,常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算.探究三:【解析】由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,故3x2+4y2在x=8时有最大值64,没有最小值.[问题]在圆的方程中变量x的取值X围是R吗?[结论]将x=8代入圆方程(x-2)2+y2=4,得y2=-32,矛盾,所以上述解法是错误的.因为y2=4-(x-2)2≥0,所以x的取值X围不是R.于是,正确解答如下:由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2≥0,得0≤x≤4,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64(0≤x≤4),所以当x=y=0时,3x2+4y2取得最小值0;当x=4,y=0时,3x2+4y2取得最大值48.【小结】确定圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的变量的取值X围的方法:先配方,再根据平方项非负来确定.圆的方程中变量的X围一般是以隐含条件的形式出现在试题中,因此在解题时注意挖掘出这个隐含条件.思维拓展应用应用一:把点P(4,5)代入(x-2)2+y2=4,得(4-2)2+52=29>4,即点P在圆(x-2)2+y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又圆心坐标为(2,0),r=2,由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=.将k代入所设方程得此时切线方程为21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时,还有一条切线是x=4.因此切线方程为x=4或21x-20y+16=0.应用二:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.(法一)过圆心C作CD⊥AB交AB于点D,则根据题意和圆的性质,得即:+2=4.解得a=-7或a=-1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.(法二)联立方程组消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.Δ=-16(4a+3)>0,即a<-,设此方程的两根分别为x1,x2,由韦达定理知x1+x2=-,x1x2=.由AB=2=,可求出a=-7或a=-1,所以直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.应用三:-因为表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设=k,即kx-y+1-2k=0,当直线与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=1,解得k=±.所以的最大值为 ,最小值为-.基础智能检测1.B因为圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=<1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,所以直线不过圆心.2.D因为点P在圆C上,k PC=-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.3.-3或由题设知圆心坐标为(1,0),因为直线与圆相切,所以d==r=,解得m=或-3.4.解:k AB=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.故圆心(0,0)到AB的距离d==,从而弦长|AB|=2 =.全新视角拓展2本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识.(法一)几何法:圆心到直线的距离为d==,圆的半径r=2,所以弦长为l=2×=2=2;(法二)代数法:联立直线和圆的方程消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为=2.。

人教版高中数学必修二《第九章统计》单元导学案《9.1.1简单的随机抽样》导学案【学习目标】1.体会随机抽样的必要性和重要性2.理解随机抽样的目的和基本要求；3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤【自主学习】知识点1 统计的基本概念1．总体：一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体．2．个体：构成总体的每一个元素作为个体．3．样本：从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本．4．样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．知识点2 简单随机抽样1．一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．简单随机抽样的四个特点(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．(2)它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作．(3)它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算．(4)它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．知识点3 抽签法和随机数法1．抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．2．随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．3．利用随机数法抽取个体时的注意事项(1)定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点． (2)定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．(3)读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数．知识点4 总体平均数和加权平均数1．一般地，总体中有N 个个体，它们的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，则称∑==++=Ni iN YN N Y Y Y Y 1211 为总体均值，又称总体平均数．2．一般地，对于f 1个x 1，f 2个x 2，…，f n 个x n ，共f 1＋f 2＋…＋f n 个数组成的一组数据的平均数为x 1f 1＋x 2f 2＋…＋x n f nf 1＋f 2＋…＋f n.这个平均数叫做加权平均数，其中f 1, f 2，…， f n 叫做权，这个“权”，含有权衡所占份量的轻重之意，即f i (i ＝1,2，…，k )越大，表明x i 的个数越多，“权”就越大．【合作探究】探究一 简单随机抽样的判断【例1】下面的抽样是简单随机抽样吗？为什么？(1)小乐从玩具箱中的10件玩具中随意拿出一件玩，玩后放回，再拿出一件，连续拿出四件；(2)某学校从300名学生中一次性抽取20名学生调查睡眠情况．解 (1)不是简单随机抽样，因为玩具被放回了，不符合“不放回抽样”这一特点． (2)不是简单随机抽样，因为一次性抽取不符合“逐个抽取”这一特点．反思与感悟 当抽样具有：(1)总体中个体数是有限的，(2)逐个抽取，(3)不放回抽取，(4)每个个体被抽到的机会等可能时，为简单随机抽样，否则不是简单随机抽样．【练习1】下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )A ．盒子中有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里B ．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔5分钟抽一包产品，称其重量是否合格C ．某校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人，14人，4人了解对他们学校机构改革的意见D ．从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)答案 D解析 依据简单随机抽样的特点知，只有D 符合．探究二 简单随机抽样等可能性应用【例2】一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________．答案310 18解析 因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为n N ，所以第一个空填310.因为本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为110，第二次抽取时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为19，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球被抽到的可能性为18.反思与感悟 简单随机抽样，每次抽取时，总体中各个个体被抽到的概率相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等．【练习2】从总体容量为N 的一批零件中，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N 的值为( )A ．120B ．200C ．150D ．100答案 A解析 因为从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，在每次抽取一个个体的过程中任意一个个体被抽到的可能性为1N，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为30N ，所以30N＝0.25，从而有N ＝120.故选A.探究三 抽签法的应用【例3】某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案．解 方案如下：第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03，…，18. 第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签． 第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀． 第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号． 第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．反思与感悟 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．【练习3】从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴． 解 第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02，…，20. 第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签． 第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀． 第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号． 第五步，与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象．探究四 随机数法的应用【例4】假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？解 第一步，将800袋牛奶编号为000,001， (799)第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第7列的数7)． 第三步，从选定的数7开始依次向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本．【练习4】总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A ．答案D解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01.其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08,02,14,07,01，则第5个个体的编号为01.探究五 总体平均数和加权平均数【例5】小林在八年级第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试第一单元得84分，第二单元得76分，第三单元得92分；期中考试得82分；期末考试得90分，如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%、30%、60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总平均成绩应为多少分？解：x (平时单元测试平均成绩)＝84＋76＋923＝84(分)．所以总平均成绩为84×10%＋82×30%＋90×60%10%＋30%＋60%＝87(分)．所以小林该学期数学书面测验的总平均成绩应为87分【练习5】2. “一世”又叫“一代”.东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”.而当代中国学者测算“一代”平均为25年.另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远（为了研究方便，超过四代的可忽略不计）.根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为（）A. 23年B. 22年C. 21年D. 20年答案：B【分析】设“一代”为x年，根据约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代，列出频率分布表，然后根据平均寿命其实只有26年，利用平均数的求法求解.【详解】设“一代”为x年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，所以家族企业的平均寿命为：0.540.50.28 1.50.14 2.50.04 3.526⨯+⨯+⨯+⨯=，x x x xx≈，解得22故选：B《9.1.2分层随机抽样 9.1.3获取数据的途径》导学案【学习目标】1.理解并掌握分层随机抽样，会用分层随机抽样从总体中抽取样本2.记住分层随机抽样的特点和步骤3.利用分层随机抽样的方法解决实际问题4.了解获取数据的途径，并学会简单应用【自主学习】知识点1 分层随机抽样的概念 （1）定义一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．（2）适用范围当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样． （3）比例分配在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．知识点2 分层随机抽样的步骤（1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分．（2）根据总体中的个体数N 和样本量n 计算出抽样比k ＝nN.（3）根据抽样比k 计算出各层中应抽取的个体数：n N·N i (其中N i 为第i 层所包含的个体总数)．（4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n 的样本．【合作探究】探究一 分层随机抽样的概念【例1-1】(1) 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( ) A ．从10名同学中抽取3人参加座谈会B ．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况C ．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D ．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )A ．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽取的个体数量相同【答案】(1)B (2)C[分析] 当总体由差异明显的几部分组成时，该样本的抽取适合用分层随机抽样，结合题中的四个选项及分层随机抽样的特点可对(1)(2)作出判断．[解析] (1)A中总体个体无明显差异且个数较少，不适合用分层随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样．(2)保证每个个体等可能地被抽取是简单随机抽样和分层随机抽样的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．归纳总结：1.使用分层随机抽样的前提：,分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.2.使用分层随机抽样应遵循的原则：(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.【练习1】某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．分层随机抽样法D．任何抽样法都可以【答案】 C解析：由于被抽取的个体属性有明显的差异，因此宜采用分层随机抽样法．探究二分层随机抽样的设计【例2】某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．[分析] 观察特征→确定抽样方法→求出比例→确定各层样本数→从各层中抽样→成样[解] 因机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层随机抽样方法较妥． ∵20100＝15，∴105＝2，705＝14，205＝4. ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． 因副处级以上干部与工人数都较少，将他们分别按1～10和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．归纳总结：分层随机抽样的特点1适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.2更充分体现和反映了总体的情况.3等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.【练习2】某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的数量为( )A ．15,15,16B ．6,30,10C ．10,13,23D ．12,16,18 【答案】 B解析：三种型号的轿车共9 200辆，抽取样本为46辆，则按469 200＝1200的比例抽样，所以依次应抽取1 200×1200＝6(辆)，6 000×1200＝30(辆)，2 000×1200＝10(辆). 探究三 获取数据的途径【例3】为了研究近年来我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是( )A ．通过调查获取数据B ．通过试验获取数据C ．通过观察获取数据D ．通过查询获得数据【答案】D [因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据．]归纳总结：【练习3】下列调查方案中，抽样方法合适、样本具有代表性的是( )A．用一本书第1页的字数估计全书的字数B．为调查某校学生对航天科技知识的了解程度，上学期间，在该校门口，每隔2分钟随机调查一位学生C．在省内选取一所城市中学，一所农村中学，向每个学生发一张卡片，上面印有一些名人的名字，要求每个学生只能在一个名字下面画“√”，以了解全省中学生最崇拜的人物是谁D．为了调查我国小学生的健康状况，共抽取了100名小学生进行调查【答案】B[A中样本缺少代表性(第1页的字数一般较少)；B中抽样保证了随机性原则，样本具有代表性；对于C，城市中学与农村中学的规模往往不同，学生崇拜的人物也未必在所列的名单之中，这些都会影响数据的代表性；D中总体数量很大，而样本容量太少，不足以体现总体特征．]《9.2.1总体取值规律的估计》导学案【学习目标】1.学会用频率分布直方图表示样本数据2.能通过频率分布直方图对数据做出总体统计【自主学习】知识点1 频率分布直方图的绘制(1)求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．(2)决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般来说，数据分组的组数与数据的个数有关，数据的个数越多，所分组数越多，当样本量不超过100时，常分为5～12组．(3)将数据分组．(4)列频率分布表，计算各小组的频率，作出频率分布表．(5)画频率分布直方图．其中横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比．知识点2 频率分布直方图的意义频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，各小长方形的面积的总和等于1.【合作探究】探究一 频率分布概念的理【答案】【例1】例1 关于频率分布直方图，下列说法正确的是( ) A ．直方图中小长方形的高表示取某数的频率B ．直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率C ．直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值D ．直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 【答案】 D【答案】析 注意频率分布直方图和条形图的区别，在直方图中，纵轴(小长方形的高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的小长方形的面积．归纳总结：由频率的定义不难得出，各组数据的频率之和为1，因为各组数据的个数之和为样本容量．在列频率分布表时，可以利用这种方法检查是否有数据的丢失．【练习1】一个容量为20的样本数据，将其分组如下表：则样本在区间(－∞，50)上的频率为( ) A ．0.5 B ．0.25 C ．0.6 D ．0.7 【答案】 D【答案】析 样本在区间(－∞，50)上的频率为2＋3＋4＋520＝1420＝0.7.探究二 频率分布直方图的绘制【例2】某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)： 48 64 52 86 71 48 64 41 86 79 71 68 82 84 68 64 62 68 81 57 90 52 74 73 56 78 47 66 55 64 56 88 69 40 73 97 68 56 67 59 70 52 79 44 55 69 62 58 32 58 根据上面的数据，回答下列问题：(1) 这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少？(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图；(3)分析频率分布直方图，你能得出什么结论？【答案】(1)这次测验成绩的最低分是32分，最高分是97分．(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下：(3)从频率分布直方图可以看出，这50名学生的智力测验成绩大体上呈两头小、中间大，左右基本对称，说明这50名学生中智力特别好或特别差的占极少数，而智力一般的占多数，这是一种最常见的分布．归纳总结：频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．【练习2】如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).(1)列出样本频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．【答案】(1)样本频率分布表如下：(2)(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.探究三频率分布直方图的应用【例3】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)．【答案】 (1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－10100＝0.9.故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085.课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125.(3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组．归纳总结：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.【练习3】某学校组织学生参加数学测试，某班学生的成绩频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生总人数是( )A．45 B．50 C．55 D．60【答案】 B【答案】析结合频率分布直方图，得分低于60分的人数占总人数的频率为20×(0.005＋0.01)＝0.30，所以总人数为150.30＝50，故选B.《9.2.2总体百分位数的估计》导学案【学习目标】1.理解百分位数的概念2.掌握计算百分位数的方法【自主学习】知识点1 百分位数(1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数．一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．知识点2 如何计算百分位数下面的步骤来说明如何计算第p百分位数．第1步：以递增顺序排列原始数据(即从小到大排列)．第2步：计算 i ＝np %.第3步：①若 i 不是整数，将 i 向上取整．大于i 的比邻整数即为第p 百分位数的位置；②若i 是整数，则第p 百分位数是第i 项与第(i ＋1)项数据的平均值．【合作探究】探究一 百分位数的计算【例1】从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g) 如下：7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0. (1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数． (2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．[解] (1)将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4， 则第25百分位数是8.0＋8.32＝8.15，第75百分位数是8.6＋8.92＝8.75，第95百分位数是第12个数据(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g ，第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9 g ，所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品，质量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g 的珍珠为合格品，质量大于8.5 g 且小于等于9.9 g 的珍珠为优等品，质量大于9.9 g 的珍珠为特优品．【练习1】以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩： 78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91， 则这15人成绩的第80百分位数是( ) A ．90 B ．90.5 C ．91 D ．91.5答案B [把成绩按从小到大的顺序排列为： 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是90＋912＝90.5.]探究二 百分位数的综合应用【例2】某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y (单位：元)关于月用电量x (单位：千瓦时)的函数解析式． (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值．(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．[解] (1)当0≤x ≤200时，y ＝0.5x ；当200<x ≤400时，y ＝0.5×200＋0.8×(x －200)＝0.8x －60； 当x >400时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x －400)＝x －140. 所以y 与x 之间的函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200<x ≤400，x －140，x >400.(2)由(1)可知，当y ＝260时，x ＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知⎩⎪⎨⎪⎧0.001×100＋2×100b ＋0.003×100＝0.8，100a ＋0.000 5×100＝0.2，解得a ＝0.001 5，b ＝0.002 0. (3)设75%分位数为m ，。

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）学习目标1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.学习过程一、课前准备~ P25，找出疑惑之处）23复习：斜二测画法画的直观图中，x'轴与y'轴的夹角为____，在原图中平行于x轴或y轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于x轴的线段长度保持_____，平行于y轴的线段长度____________.引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？二、新课导学※探索新知探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？结论：正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？正六棱柱正四棱台正四棱锥探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？新知2：（1）设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即2222()S r rl r r l πππ=+=+.（2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即2()S r rl r r l πππ=+=+.试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？新知3：设圆台的上、下底面半径分别为r '，r ，母线长为l ，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即2222()()S r r r l rl r r r l rl ππππ''''=+++=+++.反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？※ 典型例题例： 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S ABC -，求它的表面积.※ 动手试试练习： 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a ，求它的表面积.三、总结提升※ 学习小结1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式；2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.※ 知识拓展当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）.A. B. C. D.162. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）. A.122ππ+ B.144ππ+ C.12ππ+ D.142ππ+ 3. 一个正四棱台的两底面边长分别为m ,n ()m n >,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（ ）.A.mn m n +B.mn m n -C.m n mn +D.m n mn- 4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.6. 圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的圆心角为θ，求证：360r lθ=⋅（度）.。

初中数学必修二第二章完整全部教案及导学案经典练习第一节有理数的认识与运算教学目标- 了解有理数的定义和性质- 掌握有理数的四则运算规则- 能够灵活运用有理数进行计算和解决实际问题教学内容1. 有理数的定义和分类2. 有理数的相反数和绝对值3. 有理数的加法和减法运算规则4. 有理数的乘法和除法运算规则教学步骤步骤一：导入新知- 导引学生回顾整数的概念和运算规则，并与有理数进行对比，引出有理数的定义。

步骤二：研究有理数的定义和分类1. 回顾整数的概念，引入有理数的概念。

2. 解释有理数的定义，并将有理数分为正有理数、负有理数和零。

3. 通过例题和练，让学生熟悉有理数的分类和表示方法。

步骤三：研究有理数的相反数和绝对值1. 介绍相反数的概念，并进行示例演示。

2. 引入绝对值的概念，解释绝对值的定义和性质。

3. 通过练，巩固学生对相反数和绝对值的理解和运用。

步骤四：研究有理数的加法和减法运算规则1. 介绍有理数的加法规则，包括同号相加、异号相减等。

2. 解释减法的运算规则，并进行示例演示。

3. 通过练，让学生掌握有理数的加法和减法运算技巧。

步骤五：研究有理数的乘法和除法运算规则1. 介绍有理数的乘法规则，包括同号得正、异号得负等。

2. 解释除法的运算规则，并进行示例演示。

3. 通过练，让学生熟练掌握有理数的乘法和除法运算方法。

步骤六：巩固与拓展- 综合运用有理数的四则运算规则，解决实际问题。

- 设计一些经典练题，检验学生对有理数的掌握程度。

导学案经典练1. 用【填入正确的符号：>, <, =】比较以下有理数的大小：- 3/4 ____ 5/8- -1.2 ____ -1.25- -5/6 ____ -4/52. 计算下列有理数的和或差：- 5.2 + (-3.7)- 2/3 - 1/43. 计算下列有理数的积或商：- 2.5 * (-0.4)- -3/4 ÷ 2/5资源准备- 教材《初中数学必修二》第二章相关内容- 板书工具、投影仪等教学评估- 在课堂上通过学生的回答、练和解题等方式进行教学评价。

5.2.3简单复合函数的导数导学案1. 了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．重点：复合函数的概念及求导法则难点：复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________．y＝f (g(x))思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______，即y对x的导数等于_________________________ _______．y′u·u′x; y对u的导数与u对x的导数的; 乘积1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx．()(2)f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝13x－1．()(3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( ) 2．函数y ＝13x －12的导数是() A ．63x －13 B ．63x －12C ．－63x －13 D ．－63x －123．下列对函数的求导正确的是( )A ．y ＝(1－2x )3，则y ′＝3(1－2x )2B ．y ＝log 2(2x ＋1)，则y ′＝12x ＋1ln 2C ．y ＝cos x 3，则y ′＝13sin x3D ．y ＝22x －1，则y ′＝22x ln 2一、新知探究探究1. 如何求y =(1+x)3导数呢？若求y =(1+x)6的导数呢？还有其它求导方法吗？ 探究2. 如何求y =ln⁡(2x −1) 导数呢？探究3： 求函数y =sin2x 的导数三、典例解析例6.求下列函数的导数（1）y =（3x +5）3; （2）y =e −0.05x+1; (3) y =ln⁡(2x −1)1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝e 2x ＋1；(2)y ＝12x －13；(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝ln 3xe x .例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm),关于时间t (单位:s)的函数满足关系式y =18sin⁡(2π3t −π2) .求函数在时的导数，并解释它的实际意义。

§4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．学习过程一、课前准备（预习教材P 130~ P 132，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有 .2．圆224450x y x y ++--=和圆2284x y x y +-+70+=的位置关系为 .3．过两圆22640x y x +--=和22628x y y ++-0=的交点的直线方程 .二、新课导学※ 学习探究1．直线方程有几种形式? 分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?※ 典型例题例1 如图所示，已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m =,拱高4OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱22P A 的高度(精确0.01m)变式：如图所示，是距今已有约1400年历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的赵州桥。

其跨度是37.4m.，拱高约为7.2m.，求这座圆拱桥的拱圆的方程例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※ 动手试试练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2. 讨论直线2=+与曲线y=.y x三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x的最大值为（ ）A ．13. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 .5. 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 . 课后作业1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2. 已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （Ⅰ）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；（Ⅲ）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.。

§2.3.3 直线与平面垂直的性质学习目标1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；2. 了解反证法证题的思路和步骤；3. 掌握平行与垂直关系的转化.~ P71，找出疑惑之处）70复习1：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.复习2：两个平面垂直的判定定理是_______________________________________________. 复习3：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.二、新课导学※探索新知探究：直线与平面垂直的性质定理问题1：学校广场竖着三根旗杆，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？问题2：如图12-1，长方体的四条棱AA'、BB'、CC'和DD'与底面ABCD是什么关系？它们之间又是什么关系？.图12-1反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？和其它同学讨论讨论，看看难在哪里？※典型例题例1 如图12-2，已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，求证：a∥b.图12-2小结：由于无法直接运用平行直线的判定知识来证明a ∥b ,我们假设,a b 不平行,进而推出“经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论，说明假设不正确，即原命题正确：a ∥b .这种证明命题的方法叫做“反证法”.新知：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.反思：这个定理揭示了什么?例2 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.小结：体会“平行”与“垂直”之间的转化.※ 动手试试练1. 如图12-3，CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ，l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥， 求证：a ∥l .图12-3练2. 如图12-4，AB 是异面直线,a b 的公垂线（与,a b 都垂直相交的直线），a α⊥，b β⊥，c αβ=，求证：AB ∥c .三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面垂直的性质定理及应用；2. “平行”与“垂直”关系的相互转化.※ 知识拓展设,a m 和l 是直线，,αβ是平面，则直线与平面垂直还有下列性质： (1)l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； (2)//l m m l αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ (3)//l l ααββ⊥⎫⎬⊥⎭ 你能把它们用图形表示出来吗？学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列四个命题中错误的是（ ）.A.,a b a αα⊥⊥⇒∥bB.,a a α⊥∥b b α⇒⊥C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α2. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是（ ）.A.平面ABC 必平行于αB.平面ABC 必垂直于αC.平面ABC 必与α相交D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内3. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线，则有（ ）.A.在β内必存在与a 平行的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线C.在β内不存在与a 平行的直线D.在β内不一定存在与a 垂直的直线4. 直线a α⊥，直线b β⊥，且α∥β，则a ___b .5. 设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内，欲使//a b ，,a b 应满足________________________.(至少写出2个不同答案)课后作业1. 已知a α⊄，a b ⊥，b α⊥，求证：a ∥α.2. 如图12-5，在三棱锥中，PA PB =，AB BC ⊥，若M 是PC 的中点，试确定AB 上点N 的位置，使得MN AB ⊥.图12-5。

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法；2．会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积；3.会用球的体积与表面积公式解决实际问题；4．会解决球的切、接问题．1.教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积；2.教学难点：与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积会解决球的切、接问题。

1．圆柱、圆锥、圆台的表面积2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式V圆柱＝(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝(r是底面半径，h是高)，V圆台＝(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．3．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝，即球的表面积等于它的大圆面积的倍．4．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝ 3.一、探索新知思考1：圆柱的展开图是什么？怎么求它的表面积？思考2：圆锥的展开图是什么？怎么求它的表面积？思考3：参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ，它的表面积是什么？思考4：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？思考5：根据圆台的特征，如何求圆台的体积？思考6：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？1.球的表面积公式：24S R π=球（R 为球的半径）例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m ，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？思考7：在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？例2.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。

1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。

2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。

（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。

二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。

学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。

三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规*作答，不会的先绕过，做好记号。

2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。

3、A 类是自主探究，B 类是合作交流。

四、知识:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A 问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A 问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B 问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C 问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C 问题5：质疑答辩，排难解惑1． 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2． 棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A 例1：如图，截面BCEF 把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是 （ ）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A B CD A 1 B 1 C 1 D 1E FA ．正方体B ．正四棱锥C ．长方体D ．直平行六面体 B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ）A ．3B ．23C ．33D ．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）A ．279cm 2B ．79cm 2C ．323cm 2D ．32cm 2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）A ．必须都是直角三角形B ．至多只能有一个直角三角形C ．至多只能有两个直角三角形D ．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。

平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA → ＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB → ＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；（3）再作向量OD →＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE → ＝OC → ＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC → ＋AB →；（2）DB → ＋CD → ＋BC →；（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA →．解：（1）BC → ＋AB → ＝AB → ＋BC → ＝AC →．（2）DB → ＋CD → ＋BC→ ＝BC → ＋CD → ＋DB→ ＝（BC → ＋CD → ）＋DB→ ＝BD → ＋DB →＝0．（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA→ ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＋DF → ＋FA → ＝AC → ＋CD → ＋DF → ＋FA→＝AD → ＋DF → ＋FA → ＝AF → ＋FA →＝0．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB → ，水流的速度为OA → ，以OA → ，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA → ＋OB → ＝OC →．由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．三、学习小结1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法前提已知非零向量a ，b作法在平面内任取一点A ，作AB → ＝a ，BC → ＝b ，再作向量AC→结论向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC → ＝AC→法则三角形法则图形前提已知不共线的两个向量a ，b作法在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB 结论对角线OC →就是a 与b 的和法则平行四边形法则图形规定对于零向量与任一向量a ，我们规定a ＋0＝0＋a ＝a2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a结合律（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）四、精炼反馈1．化简OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ→ C ．SP → D ．SQ→解析：选B ．OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP → ＝OQ → ＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC → ＝AB → ＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC → ＝AB → ＋AD → 得AD → ＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO → ＋AC →；（2）DE → ＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．【第二课时】向量的减法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB → ＋MB → ）＋（－OB → －MO →）；（2）AB → －AD → －DC →．解：（1）法一：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝（AB → ＋BO → ）＋（OM → ＋MB → ）＝AO → ＋OB →＝AB →．法二：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM→＝AB → ＋（MB → ＋BO → ）＋OM → ＝AB → ＋MO → ＋OM → ＝AB → ＋0＝AB →．（2）法一：原式＝DB → －DC → ＝CB →．法二：原式＝AB → －（AD → ＋DC → ）＝AB → －AC → ＝CB →．探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD → ＝OA → ＋AD →＝a ＋b －c ．法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC → ＝b ，AE → ＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD → ，BC → ，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD → ＝AE → ＝c ，BC → ＝AC → －AB →＝b －a ，故BD → ＝BC → ＋CD →＝b －a ＋c ．三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD → －AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC→ C ．CD → D ．DC→解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC → ＝CD →．2．化简：AB → －AC → ＋BD → －CD → ＋AD →＝________．解析：原式＝CB → ＋BD → ＋DC → ＋AD → ＝CD → ＋DC → ＋AD → ＝0＋AD → ＝AD →．答案：AD→3．已知Error!＝10，|AC → |＝7，则|CB →|的取值范围为______．解析：因为CB → ＝AB → －AC →，所以|CB → |＝|AB → －AC →|．又Error!≤|AB → －AC → |≤|AB → |＋|AC →|，3≤|AB → －AC →|≤17，所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB → －OA → ＋OC → －OA → ＝AB → ＋AC → ，OB → －OC → ＝CB → ＝AB → －AC →．又|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA → |，所以|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】向量的数乘运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究1：向量的线性运算例1：（1）计算：①4（a＋b）－3（a－b）－8a；②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；③23[（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）]．（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(13a－b)－(a－23b)＋（2b－a）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b)＝23(52a －1112b)＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j ．探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB → ＝e 1＋e 2，BC → ＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB → ＝e 1＋e 2，BD → ＝BC → ＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB →．所以AB → ，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有{k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB → ∥CD → 且|AB → |＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB → ＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC →＝________；（2）MN →＝________．解析：因为AB → ∥CD → ，|AB → |＝2|CD →|，所以AB → ＝2DC → ，DC → ＝12AB →．（1）AC → ＝AD → ＋DC →＝e 2＋12e 1．（2）MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN→ ＝－12DC → －AD → ＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN →，MN → ＝MC → ＋CB → ＋BN →，所以2MN → ＝（MD → ＋MC → ）＋DA → ＋CB → ＋（AN → ＋BN → ）．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD → ＋MC → ＝0，AN → ＋BN →＝0．所以2MN → ＝DA → ＋CB →，所以MN → ＝12（－AD → －BC →）＝－12e 2－12e 1．三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：（1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ．（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．四、精炼反馈1．13[12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）]等于（ ）A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ．2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB → ＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ）A ．BO →B ．AO→ C ．CO → D ．DO→解析：选A ．BD → ＝AD → －AB → ＝BC → －AB → ＝3e 2－2e 1，BO → ＝12BD → ＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB → ＝2e 1－8e 2，CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD → ＝CD → －CB →＝e 1－4e 2．又AB → ＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB → ＝2BD → ，所以AB → 与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】向量的数量积【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a 在b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB → |＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD → ·BC → ；②AB → ·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ）＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD → ∥BC →，且方向相同，所以AD → 与BC →的夹角是0°，所以AD → ·BC → ＝|AD → ||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9．②因为AB → 与AD →的夹角为60°，所以AB → 与DA →的夹角为120°，所以AB → ·DA → ＝|AB → ||DA →|·cos 120°＝4×3×(－12)＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC → ·BD →．解：因为AC → ＝AB → ＋AD → ，BD → ＝AD → －AB →，所以AC → ·BD → ＝（AB → ＋AD → ）·（AD → －AB → ）＝AD → 2－AB →2＝9－16＝－7．探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ）A ．3B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12．答案：（1）B （2）B 探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋(－a·b |b |2)·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）．命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32B ．32C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0，所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3，所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ），即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．答案：（1）B （2）－8或5三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA → ＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b 反向．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0．3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD → ＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD → 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM → ＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e ．4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则（1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ．（2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ．（4）|a·b |≤|a ||b |．5．向量数量积的运算律（1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）．（3）（a ＋b ）·c ＝a·c ＋b·c （分配律）．四、精炼反馈1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选C ．由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3．2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为（ ）A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ．因为c·d ＝0，所以（2a ＋3b ）·（k a －4b ）＝0，所以2k a 2－8a ·b ＋3k a ·b －12b 2＝0，所以2k ＝12，所以k ＝6．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝－12，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______．解析：设a 与b 的夹角θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－123×5＝－45，所以a 在b 上的投影向量为|a |cos θ·e ＝3×(－45)e＝－125e ．答案：－125e4．已知|a |＝1，|b |＝2．（1）若a ∥b ，求a ·b ；（2）若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |；（3）若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ．（1）当a ，b 同向，即θ＝0°时，a ·b ＝2；当a ，b 反向，即θ＝180°时，a ·b ＝－2．（2）|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3＋2，|a ＋b |＝3＋2．（3）由（a －b ）·a ＝0，得a 2＝a ·b ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。

§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系学习目标1. 正确理解异面直线的定义；2. 会判断空间两条直线的位置关系；3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4. 会求异面直线所成角的大小.44~ P 47，找出疑惑之处）复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.二、新课导学※ 探索新知探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B '与CC'的位置关系如何？结论：直线A B '与CC '既不相交，也不平行.新知1：像直线A B '与CC '这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b 异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D ''∥A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行吗?图2-1新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.探究3：异面直线所成的角问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?图2-2新知5: 如图2-2,已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线 a '∥a ,b '∥b ，把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线,a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b ⊥.反思：思考下列问题.⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便? ⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?※ 典型例题例 1 如图2-3,,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边,,,A B B C C D D A 的中点，若对角线2,BD = 4AC =，则22EG HF +的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).图2-3例2 如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA '和CC ' ⑵B D ''和C A '图2-4※ 动手试试练 正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，求异面直线AC 与A D ''所成的角.三、总结提升※ 学习小结1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；2. 空间直线的位置关系；3. 平行公理及空间等角定理.※ 知识拓展异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图，,,,a A B B a ααα⊂∉∈∉，则直线AB 与直线α是异面直线. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ,,a b c 为三条直线，如果,a c b c ⊥⊥，则,a b 的位置关系必定是（ ）.A.相交B.平行C.异面D.以上答案都不对2. 已知,a b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）.A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线3. 已知l αβ=,,a b αβ⊂⊂，且,a b 是异面直线，那么直线l （ ）.A.至多与,a b 中的一条相交B.至少与,a b 中的一条相交C.与,a b 都相交D.至少与,a b 中的一条平行4. 正方体ABCD A B C D ''''-的十二条棱中，与直线AC '是异面直线关系的有__________条.5. 长方体1111ABCD A B C D -中,3AB =,2,BC =1AA =1，异面直线AC 与11A D 所成角的余弦值是______.课后作业1. 已知,E E '是正方体AC '的棱AD ，A D ''的中点，求证：CEB C E B '''∠=∠.2. 如图2-5，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥，E 、F 分别是PC 和AB 上的点，且32PE AF EC FB ==，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为,αβ， 求证：90αβ+=°.图2-5。

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。

情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。

二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。

2、不会的，模棱两可的问题标记好。

3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

高中数学(必修二)导学案第一章：平面直角坐标系1.1 坐标系的引入- 了解平面直角坐标系的基本概念- 掌握点在平面直角坐标系中的坐标表示方法1.2 平面直角坐标系上的距离公式- 了解平面直角坐标系上两点之间距离的公式- 掌握如何使用距离公式计算两个点之间的距离1.3 直线的斜率- 了解直线斜率的概念及其计算方法- 掌握如何根据两点坐标计算直线的斜率第二章：二次函数2.1 二次函数的图像和性质- 了解二次函数的基本概念和特点- 掌握根据二次函数的参数确定二次函数图像的方法2.2 二次函数的最值和零点- 了解二次函数最值和零点的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据二次函数求解实际问题2.3 二次函数与一次函数的比较- 了解二次函数和一次函数的基本概念及其图像特点- 掌握如何比较二次函数和一次函数的大小关系第三章：三角函数3.1 任意角及其测量- 了解任意角的基本概念及其测量方法- 掌握如何将任意角的三角函数转化为其它角度的三角函数3.2 常用角的三角函数值- 掌握常用角的三角函数值及其推导方法- 掌握如何根据三角函数值求解实际问题3.3 三角函数的图像和性质- 了解三角函数的图像及其性质- 掌握如何根据三角函数图像解决实际问题第四章：概率统计4.1 随机事件与概率- 掌握随机事件和概率的基本概念和运算法则- 掌握如何计算简单事件的概率4.2 条件概率和独立性- 了解条件概率和独立性的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据条件概率和独立性计算事件的概率4.3 离散型随机变量及其分布律- 了解离散型随机变量及其分布律的概念- 掌握如何根据分布律计算离散型随机变量的期望值和方差以上是本章节的导学内容，希望同学们认真学习，做好课后习题。

祝学习愉快！。

5.3.1函数的单调性(2) 导学案1．掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤．2．探究函数增减的快慢与导数的关系．3.学会处理含参函数的单调性问题重点：导数判断函数的单调性的一般步骤难点：含参函数的单调性问题1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：f ′(x)的正负 f (x)的单调性f ′(x)＞0单调递____f ′(x)＜0单调递____增;减2．判断函数y＝f (x)的单调性第1步：确定函数的______；第2步：求出导数f ′(x)的____；第3步：用f ′(x)的____将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．定义域 ;零点 ;零点 ;正负3.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上：导数的绝对值函数值变化函数的图象 越大 __ 比较“____”(向上或向下) 越小__比较“____”(向上或向下)快;陡峭 ;慢;平缓探究1. 形如f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。

例3. 求函数f (x )=13x 3−12x 2−2x +1的单调区间.如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？用解不等式法求单调区间的步骤 1确定函数f x 的定义域； 2求导函数f ′x ；3解不等式f ′x ＞0或f ′x ＜0，并写出解集； 4根据3的结果确定函数f x 的单调区间. 跟踪训练1.求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2e －x .探究2：研究对数函数y =lnx 与幂函数y =x 3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况.例4.设x>0,f(x)=lnx,g(x)=1−1x,两个函数的图像如图所示。

4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（ ） Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ） Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0． 点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义 二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１： 例2 变式训练２： 【作业布置】 导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测 １．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。

§2.2. 2 平面与平面平行的判定学习目标1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题；2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；3. 进一步体会转化的数学思想.56~ P 57，找出疑惑之处）复习1：直线与平面平行的判定定理是__________________________________.复习2：两个平面的位置关系有___种，分别为_______和_______.讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗?二、新课导学※ 探索新知探究：两个平面平行的判定定理问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？试试：在长方体中，回答下列问题⑴如图6-1，AA AA B B '''⊂面,AA '∥面BB C C ''，则面AA B B ''∥面BB C C ''吗？图6-1⑵如图6-2，AA '∥EF ，AA '∥DCC D ''面，EF ∥DCC D ''面，则A ADD ''面∥DCC D ''面吗？图6-2⑶如图6-3，直线A C ''和B D ''相交，且A C ''、B D ''都和平面ABCD 平行(为什么)，则平面A B C D ''''∥平面ABCD 吗？图6-3反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？新知：两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.如图6-4所示，α∥β.图6-4反思：⑴定理的实质是什么?⑵用符号语言把定理表示出来.⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？※ 典型例题例1 已知正方体1111ABCD A B C D -，如图6-5，求证：平面11AB D ∥1CB D .图6-5例2 如图6-6，已知,a b是两条异面直线，平面α过a，与b平行，平面β过b，与a平行，求证：平面α∥平面β小结：证明面面平行，只需证明线面平行，而且这两条直线必须是相交直线.※动手试试''，B C''，C D''的中点，练. 如图6-7，正方体中，,,,M N E F分别是棱A B''，A D求证：平面AMN∥平面EFD B.三、总结提升※学习小结1. 平面与平面平行的判定定理及应用；2. 转化思想的运用.※知识拓展判定平面与平面平行通常有5种方法⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)；⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)；⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行(判定定理的推论).学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）.A. α内有无穷多条直线都与β平行B. 直线a 与,αβ都平行，且不在α和β内C. 直线a α⊂,直线b β⊂,且a ∥β,b ∥αD. α内的任何直线都与β平行2. 经过平面α外的一条直线a 且与平面α平行的平面（ ）.A. 有且只有一个B. 不存在C. 至多有一个D. 至少有一个3. 设有不同的直线,a b ，及不同的平面α、β，给出的三个命题中正确命题的个数是（ ）.①若a ∥α,b ∥α,则a ∥b②若a ∥α,α∥β,则a ∥β③若,a αα⊂∥β,则a ∥β.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是__________.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是___________. 课后作业1. 如图6-8，在几何体ABC A B C '''-中，1∠+2180∠=°,34180∠+∠=°,且'AA ∥'BB ∥'CC , 求证：平面ABC ∥平面A B C '''.图6-82. 如图6-9，A '、B '、C '分别是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心.求证：面A B C '''∥ABC 面.图6-9。