必修教案两条直线的位置关系―点到直线的距离公式

点到直线的距离公式教案江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠一、教案背景1.教材。

本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。

点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。

相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。

同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。

2.学生。

本课时的教学对象是职业高中学生。

作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。

他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。

但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。

二、课时分析针对以上分析，对本课时作如下定位。

1.教学目标：（1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。

（2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。

（3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。

2.重点：点到直线的距离公式。

3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。

三、教学方法1.教法。

本课教法以讲授为主。

采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。

通过从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。

对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。

2.学法。

本课学法以练习为主。

在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解，巩固知识。

学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。

四、教学过程（一）知识准备1.两点间的距离公式。

2.直线方程的一般形式。

3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。

4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。

设计目标：复习已有知识，为新课作准备。

《§7.1点到直线的距离公式》“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。

【知识与能力目标】1掌握点到直线距离公式及其应用。

2.会用点到直线距离求两平行线间的距离。

【过程与方法目标】经历公式的形成过程，体会由实例得出公式的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。

【教学重点】理解点到直线的距离公式，并能进行简单应用【教学难点】会用点到直线距离求两平行线间的距离电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习引入。

回顾：两点间的距离公式平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.特别地，当x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1－y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|。

巩固练习1．点(－2,3)到原点的距离为________。

【解析】 d ＝－2－2＋－2＝13。

【答案】 13。

2．三角形三顶点为A (－1,0)，B (2,1)，C (0,3)，则△ABC 的三边长分别为________。

【解析】 |AB |＝(2＋1)2＋(1－0)2＝10，|AC |＝(0＋1)2＋(3－0)2＝10，|BC |＝(2－0)2＋(1－3)2＝22。

【答案】 10，10，22。

回顾：中点坐标公式对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.。

两条直线的位置关系教学目标（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（2）理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角．（3）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．（4）掌握点到直线距离公式的推导和应用．（5）进一步掌握求直线方程的方法．（6）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法．（7）通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法．教学建议一、教材分析1．知识结构2．重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离．难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导．本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要．（1）平行与垂直①平行在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况．②垂直教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件．结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在．（2）夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念．到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则＋＝．与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向．当到的角为锐角时，则和的夹角也是；当到的角为钝角时，则和的夹角也是．②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出．再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式这种把“形”转化为“数”的方法，是解析几何的基本方法，要认真揣摩．③对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用．（3）交点①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解．②在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无解、无数多个解．但在实际判定时，利用直线的斜率和截距更方便．若，，则：与相交；且；与重合且．（4）点到直线的距离①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具．教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式．在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程．②利用点到直线的距离公式可推出两平行线，间的距离公式：．③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们思考，下面介绍一种较简便的方法．如右图，设，过点作直线的垂线，垂足为，则有即得，即，．当时，上述公式也成立．（5）当直线中有一条没有斜率时，讨论平行、垂直、角、距离的问题，不必套用以上结论，这时可结合图形几何性质；直接求解．二、教法建议1．本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密，教学时应加强启发和引导．如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联系：同位角—倾斜角—斜率（直线方程）．又如，在求到的角时，根据图形中角的关系，建立与倾斜角和的联系（有且只有或两种情况），进而借助三角建立与斜率的关系，得出公式． 2．本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深刻．所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式的推导．3．本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学．4．不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会根据所给条件选用．5．已知两直线的方程会求其交点即可，不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系．6．在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．7．本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题．教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的能力．教学设计方案课题：点到直线的距离教学目标：（1）理解点到直线距离公式的推导过程.（2）会求点到直线的距离.（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神.教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程（一、引入点到直线的距离是指过点作的垂线，与垂足之间的长度【问题1】已知点（-1，2）和直线：，求点到直线的距离．（由学生分析、解答）分析：先求出过点和垂直的直线：：，再求出和的交点∴如果把问题1一般化就有如下问题：【问题2】已知：和直线：（不在直线上，且，），试求点到直线的距离．二、点到直线距离分析1：要求的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求的长度．∵点坐标已知，∴只要求出点坐标就可以了．又∵点是直线和直线的交点又∵直线的方程已知∴只要求出直线的方程就可以了.即：←点坐标←直线与直线的交点←直线的方程←直线的斜率←直线的斜率（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结）问：这种解法好不好，为什么?根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出分析2：如果垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段和，如图1所示，显然相对而言，和好求一些，事实上，设到直线的距离为，坐标为，坐标为，则易求：，所以：，所以：根据三角形面积公式：所以：（至此问题2已经解决）公式的完善.容易验证（由学生完成）：当，即轴时，公式成立；当，即轴时，公式成立；当点在上时，公式成立．公式结构特点师生一起总结：（1）分子是点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数、系数平方和的算术根．类似于勾股定理求斜边的长三、检测与巩固练习1（1）到直线的距离是________．（2）到直线的距离是_______．（3）用公式解到直线的距离是______．（4）到直线的距离是_________．订正答案：（1）5；（2）0；（3）；（4）．练习21．求平行直线和的距离．解：在直线上任取一点，如，则两平行线的距离就是点到直线的距离．因此，＝＝【问题3】两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线与0的距离．解：在直线上任取一点，如则两平行线的距离就是点到直线的距离，（如图2）．因此，＝＝注意：用公式时，注意一次项系数是否一致．四、小结作业1、点到直线的距离公式及其推导；师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：2、利用公式求点到直线的距离．3、探索两平行直线的距离4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．作业：P5413、14、16思考研究：运用多种方法推导点到直线的距离公式．。

《点到直线的距离公式》的教学设计教材分析点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一,它是解决点线、线线距离的基础,也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具,同时为后面学习圆锥曲线作准备.教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程,深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法,逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题;能让学生充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣.教学目标使学生掌握点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离及运用这一公式解决实际问题; 学习并领会探究点到直线的距离公式的思维过程,掌握用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法,培养学生自主探究和发散思维的能力;同时,提高学生学习数学的积极性,培养他们勇于探索、善于研究的精神和合作互助的团队精神.教学重点点到直线的距离公式的探究过程,有关数学思想方法及应用.教学难点点到直线的距离公式的探究.教学方式讨论、探究式教学过程一、问题情境如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公路最短？最短路程又是多少？二、探究问题问题已知点P和一条直线l, 怎样求点P到直线l的距离d.1．分组讨论,合作交流学生进行方法探究后,请学生讲清解题的步骤.估计学生可能寻求到下面的解法:(1) 求出过P点与l垂直的直线l′,求出l与l′的交点H的坐标,再求出PH. 上述方法的算法流程图是什么?(2)(3)创设问题情境，激发学生的学习欲望.多种方法进行探究,培养学生自主探究和发散思维的能力，同时培养学生合作学习仓库2. 用上述方案解答下题:已知点P(3，2)和直线l:2x-y+1=0，求P点到直线l的距离．解(略)．1. 3. 给出点到直线的距离公式平面内点P(x0，y)到直线l： Ax+By+C＝0的距离为：d=、(学生练习) 求下列点到相应直线的距离：(1) P(0,0), l: 3x-2y+4=0(2) P(-1,2), l:(3) P(3,-3), l: x=y(投影学生解答并与学生共同小结) ①直线的方程要化成一般式；②分子是用点的坐标代入直线方程左边再取绝对值;分母是直线方程中x,y系数平方和的算术平方根.二、理解应用1. 点A(a，6)到直线3x-4y=2的距离等于4，求a的值．分析应用点到直线的距离公式,建立关于a的方程.解(略)．2. 求平行直线l1：2x-7y-6=0和l2：2x-7y+8=0间的距离.分析平行直线间的距离转化为点到直线的距离.解(略)．3．等腰三角形底边延长线上一点到两腰所在直线的距离之差与一腰上的高有何关系?师： ( 用几何画板演示 ) 你们看到了什么? 可以得到什么结论? 的意识.学生体会算法思想.学生体会函数生：等腰三角形底边延长线上一点到两腰所在直线的距离之差等于一腰上的高.师: 如何证明?估计学生可能寻求到下面的解法: (1) 几何法; (2)解析法.分析1用几何法,考虑三角形的面积.分析2用解析法,建立适当的直角坐标系,写出相关点的坐标和直线的方程.证明 (略)．师： ( 再次用几何画板演示 ) 你们还看到了什么? 还可以得到什么结论?生：等腰三角形底边上一点到两腰所在直线的距离之和等于一腰上的高.师：请大家课后证明.四、课堂小结师：这节课我们学到了什么? 有何体会?生：这节课我们学习了平面内点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式,体会到了数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法.师：点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有着密切的联系．通过公式的推导,请同学们认真体会利用图形特点解题的好处．五、作业1.已知平行线2x+3y-3=0与2x+3y-9=0，求与它们等距离的平行线的方程.2.求平行于直线x-y-2=0且与它的距离为.3.解析法证明:等腰三角形底边上一点到两腰所在直线的距离之和等于一腰上的高.4.求两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离.思想.学生体会探究成功的喜悦.学生课后进行推导，带着问题下课，让课堂延伸.题目较简单,学生自己解答,加深对公式的记忆.引导学生分析有利于加深对公式的理解和应用.逆用公式.活用公式.学生体会转化思想.将课本例题（证明题）改编为开放题, 有利于培自主探究的能力,也体现了数学教学与信息技术的结合.进一步挖掘题目的开放功能,形成“再创造”的过程.根据元认知理学生为主,教师为辅的方式进行,学生可回顾本节课的学习过程,也是对探究过程的再认识和数学思想方法的升华.进一步巩固本节课所学.。

课题：2.3.3.3点到直线的距离公式课 型：新授课 教学目标：知识与技能： 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离情感和价值： 认识事物之间在一定条件下的转化。

用联系的观点看问题教学重点：点到直线的距离公式 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学过程：教学过程一、情境设置，导入新课：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式。

逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线的距离。

用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。

二、讲解新课： 1．点到直线距离公式：点到直线的距离为：（1）提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线的距离呢? 学生可自由讨论。

（2）数行结合，分析问题，提出解决方案l ),(00y x P 0:=++C By Ax l 2200BA CBy Ax d +++=),(00y x l学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线的距离d 是点P 到直线的垂线段的长.这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。

方案一：设点P 到直线的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥可知，直线PQ 的斜率为（A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A ≠0，B ≠0，这时与轴、轴都相交，过点P 作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，｜P Ｒ｜＝｜｜＝｜PS ｜＝｜｜＝｜ＲS ｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以可证明，当A=0时仍适用这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力，意志品质等方面得到了提高。

《2.3.3 点到直线的距离公式》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习点到直线的距离公式。

在前面已经研究了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也介绍了“以数论形，以形辅数”的数学思想方法．“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算；《点到直线的距离》的研究，又为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 会用向量工具推导点到直线的距离公式.B.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.C. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：点到直线的距离公式2.逻辑推理：点到直线的距离公式的推导3.数学运算：点到直线的距离公式的运用4.直观想象：几何中的距离问题【教学重点】：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用．【教学难点】：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析．【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?通过生活中点到直线距离的问题情境，二、探究新知思考：最容易想到的方法是什么？思路①. 定义法,其步骤为：①求l 的垂线l PQ的方程；② 解方程组；③得交点Q 的坐标；④求|P Q|的长反思：这种解法的优缺点是什么？我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。

能否用向量方法求点到直线的距离？如图，点P 到直线l 的距离，就是向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，设M(x,y)是直线l 上的任意一点， n 是与直线l 的方向向量垂直的单位向量，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在上n 的投影向量, |PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n|。