实变函数基本思想

对成人教育实变函数课程的教学思考摘要：本文从采用启发式教学方法、结合实际应用背景、与同类课程比较联系三个方面阐述了如何提高成教学生学习实变函数的积极性。

关键词：实变函数；启发式教学；微积分在现代社会中，成人基于其认知兴趣、职业发展、社会服务等学习动机，通过各种正规、非正规的途径获取新的知识和技能，从而使知识结构发生变化。

在高等院校成人教育数学专业中，实变函数是一门重要的专业基础课程，对于掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思维能力和数学表达能力、加深对数学分析知识的理解、深化对中学数学有关内容的认识有着深远的影响。

然而，实变函数理论的抽象性和困难性，使得学生学习难度很大。

另外，基于成人教育学生的现状，学生不可能对这种高度抽象的理论感兴趣。

因此，有必要改变传统的教学方法，以提高学生学习实变函数的积极性。

一、采用启发式教学方法，激发学生学习的兴趣实变函数研究的主要对象是勒贝格积分理论，此积分理论的建立经历了很长的奠基过程，包括集合理论、测度理论、可测函数理论等，从而进一步建立了新的积分理论。

但只是笼统地这样解释对学生而言过于抽象，我们可以通过提出问题，一步步地引导学生学习相关理论。

如在数学分析中见过的dirichlet函数，它不是连续函数也不是可积函数，但是我们发现函数值为1的点集为有理点集，函数值为0的点集为无理点集。

这两个集合很不规则，那么这些集合是否可测量？如果可测量的话，如何度量这些不规则的集合的“长度”呢？这就是集合的可测性问题。

接下来，我们利用可测集研究函数的性质，得到了一类较广泛的函数类——可测函数。

这一函数不是riemann可积的，能否建立新的积分理论来研究此类函数的可积性？通过这一系列的讲解，让学生明白实变函数是数学分析的推广和继续，是近代分析数学的基础理论，具有重要的理论价值。

在课堂教学中穿插一些数学典故、名人故事和一些定理证明来龙去脉的讲授，能大大提升学生的学习兴趣。

比如我们在讲授实变函数的产生的时候，就从如下的数学问题开始讨论“连续函数除个别点以外是可微的”是否正确？维尔斯特拉斯就构造了一个函数并且证明了这个函数在任何一点都不可导，这个结论促使人们研究函数的更多性质，哪些函数是连续的，哪些函数是可导的，哪些函数是可以积分的，是否要修改积分的定义等等，这就促使了实变函数的诞生。

实变函数思想方法总结实变函数是数学中的一个重要概念，它在很多领域中都有着广泛的应用。

实变函数是以实数为自变量的函数，它的函数值也是实数。

实变函数的研究方法包括但不限于极限、连续性、导数和积分等，这些方法是研究实变函数的基础工具。

在实变函数思想方法方面，主要可以总结为以下几点。

首先，实变函数中的极限思想方法是非常重要的。

极限是一种数学运算，用于描述函数在某点附近的性质。

通过极限，我们可以研究函数在某点的趋势和变化情况。

实变函数的极限思想方法包括对极限的定义、性质的研究以及极限的计算等。

在研究实变函数时，经常需要利用极限来证明一些定理和推论。

例如，在研究函数的连续性时，常常会利用极限来证明一个函数在某点处连续。

其次，实变函数中的连续性思想方法也是非常重要的。

连续性描述了函数图像上的无间断性质，它是实变函数研究的基础。

连续性的思想方法包括对连续性的定义、性质的研究以及连续函数的判定等。

在实际应用中，连续性的思想方法可以用来解决实际问题。

例如，在最优化问题中，通过研究目标函数的连续性，可以确定函数的最优解。

第三，实变函数中的导数思想方法也是非常重要的。

导数描述了函数在某一点的切线斜率，它是实变函数研究的关键。

导数的思想方法包括对导数的定义、性质的研究以及导数的计算等。

在实际应用中，导数的思想方法可以用来解决实际问题。

例如，在物理学中，通过研究物体的运动规律，可以利用导数来描述速度和加速度等概念。

最后，实变函数中的积分思想方法也是非常重要的。

积分描述了函数在某一区间上的总变化量，它是实变函数研究的重要内容。

积分的思想方法包括对积分的定义、性质的研究以及积分的计算等。

在实际应用中，积分的思想方法可以用来解决实际问题。

例如，在统计学中，通过研究统计指标的积分，可以得到概率的定义和性质。

综上所述，实变函数思想方法涵盖了极限、连续性、导数和积分等多个方面。

这些方法在实变函数的研究中起着重要的作用，它们为解决实际问题提供了基本工具。

《实变函数》课程教学大纲课程编号：0112207课程性质：主要专业课（必修课）适用专业：数学与应用数学专业（师范类本科）开设学期：第四学期一、课程教学目的与任务1、本课程是上饶师范学院数学计算机系数学与应用数学专业的一门必修课程,它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等知识，加深对数学分析及中学数学有关内容的理解，是进一步学习数学与应用数学专业的其它高年级课程的基础，也是钻研现代数学理论打下初步基础。

2、本课程的基本要求：通过本课程的讲授与作业应使学生对点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等思想和方法有较深刻的认识,基本上掌握实变函数中的论证方法，能比较熟练地应用测度论的观点来分析和解决问题。

3、本课程的重点和难点：可数集合；点集；可测集；可测函数；Lebesgue积分。

难点：可测函数；Lebesgue积分。

二、与各课程的联系是学习概率论与数理统计、泛函分析等后继课程的基础三、教学时数及分配总学时 18 4=72 其中讲授 57学时习题等 15 等学时四、讲授内容与要求（分章节）第一章集合(13学时)1、学目的和要求：让学生理解上限集和下限集、对等与基数、可数集合的性质、不可数集合的性质等。

2、教学内容：1 ) 集合的概念、集合的运算、上限集和下限集、收敛集列。

（2学时）2) 对等的概念、性质、Bernstein定理。

（3学时）3 ) 可数集合的定义、性质、基数的含义、常见的一些可数集。

（3学时）4) 不可数集合的定义、连续基数、不可数集的性质和常见的一些不可数集（2学时）5）半序集和曹恩引理、习题课（3学时）第二章点集(11学时)1、教学目的和要求：让学生理解度量空间、聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集的定义，掌握常见的度量空间，理解聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集性质，以及直线上的开集、闭集、完备集的构造。

2、教学内容：1）度量空间、常见的度量空间的例子和邻域的定义和性质、有界点集等。

数学专业《实变函数》教学大纲学时：54学时学分：3理论学时：54学时适用专业：数学与数学应用大纲执笔人：徐际宏大纲审定人：陈怀军说明实变函数是高等师范院校数学专业本科的一门必修课程。

它是数学分析课程内容的深化与发展，是近代分析数学的基础，在分析数学系列课程中起着承上启下的作用。

本大纲是根据教育部1980年颁发的高等师范院校数学专业本科实变函数论与泛函分析教学大纲，并充分考虑到当前国内高等师范院校教学改革迅速发展的现状编写制定的，以n维欧氏空间及其上的广义实值函数为主要讨论对象，以勒贝格（Lebesgue）测度和积分理论为中心内容，介绍实变函数论的基本知识，以期达到让学生初步熟悉与掌握实变函数论的基本理论与基本思想方法，加深对数学分析和其他相关课程内容的理解，提高数学素养，为进一步学习现代数学理论打下初步基础的目的。

由于总学时安排较少，完成大纲的全部内容会有一定困难，但必须保证基本内容的完成，对于大纲中一部分带*号的内容，教师可视具体情况决定取舍。

本课程按要求安排总学时54.大纲内容一．集合与基数（7学时）1．集合的概念及集合的运算2．对等与基数3．可数集4．不可数集*5.半数集与Zorn引理二．欧氏空间中的点集（7学时）1．度量空间和n维欧氏空间2．聚点、内点、界点3．开集、闭集、完全集4．直线中开集、闭集、完全集的构造5．稠密与疏朗、Cantor等6．关于R n的基本定理三．勒贝格测度（8学时）1．Lebesgue外测度2．L可测集及其性质3．L可测集与Bord可测集*4.不可测集四．可测函数（10学时）1．可测函数的定义及其充分必要条件2．可测函数的性质3．可测函数列的几乎处处收敛，依测度收敛，近一致收敛的概念以及它们之间的关系（EropoB定理、Riesz定理、Lebesgue定理）4．可测函数函数的结构、луэин定理。

实变函数教学辅导课程的性质和目的《实变函数》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课，近年来，它已成为高等院校数学与应用数学专业的一门重要基础课，实变函数论是数学分析中微积分理论的深入和发展。

它的主要任务是使学生掌握抽象分析的基本思想，为进一步学习现代数学打下必要的基础。

学习实变函数课程需要数学分析课程的有关知识，同时它也为应用概率统计与泛函分析等后继课的学习做好了必要的准备。

课程介绍实变函数课程的主要内容是勒贝格测度和勒贝格积分理论，包括集合与点集、勒贝格测度与勒贝格积分等。

实变函数是一门抽象性很强的学科，它虽然是数学分析的深入和继续，但在思想方法上却有着较大的飞跃，它比后者更抽象、更理论化。

通过本课程的学习要培养学生抽象思维的能力，提高逻辑推理与论证能力。

本课程中的概念和定理较多，要注意概念的本质及与相关概念之间的联系。

通过例题和适当的练习使学生加深对概念的理解。

在定理的证明中，要注意引导学生掌握证明的思想方法，教学中注意由简单到复杂，由特殊到一般。

对重要定理，要指出它的实质，意义和作用，使学生能深入理解并能用来解决实际问题。

除了要利用好文字和录像教材外（24讲），应该充分利用网络教学等其它辅助媒体的综合优势，如系统讲授本课程内容的网上教学IP课件（45讲）以及网上教学辅导和实时教学活动等学习媒体，以提高学习效率和效果。

学习建议怎样才能学好本课程，多看书，多练习，这是我们一贯的提法，当然要已基本概念和基本方法为主。

在实变函数这门课程中，建立勒贝格积分理论是一条主线，首先要理解集合的对等和集合的基数的概念，熟悉开集、闭集、完备集的性质，熟悉勒贝格可测集、勒贝格可测函数的性质和构造，理解关于收敛性的几个重要定理。

理解勒贝格积分与黎曼积分的关系。

理解勒贝格积分的控制收敛定理。

课程重难点一、集合重点集合的并、交、差、补及其运算，基数，可列集与具有连续基数的集合的运算。

难点 集合的基数。

二、Rn 中的点集重点 聚点及其等价条件，Bolzano-Weierstrass 定理，直线上开集的构造，Borel 有限覆盖定理，Cantor 集。

实变函数课程简介一、课程在本专业的定位《实变函数》是我校数学类各专业的一门重要专业基础课，它不仅是学习后继课程的一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养. 同时它也是报考研究生的入学考试科目. 因此，实分析教学的好坏直接影响到21世纪人才的培养，进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程.实变函数论是现代数学的重要基础，人们常以实变函数理论的出现作为现代数学的主要分支---现代分析数学诞生的标志。

实变函数的中心任务是建立一种较之旧的积分---黎曼积分更为灵便的积分---勒贝格（Lebesgue）积分理论。

采用集合论的思想方法研究数学分析中的问题是实变函数的主要特点。

目前，实变函数理论已渗透到现代数学的许多分支，它在数学各个分支的应用成为现代数学的显著特征。

实变函数论是数学类各专业的一门重要专业基础课，它直接影响到该专业的许多后续课程，例如泛函分析、概率论、数理统计、测度论、计算方法、偏微分方程、分形几何、小波分析、调和分析、随机过程和随机分析等课程。

由于思想方法独特，它的许多理论比起经典的分析学要深刻得多，应用起来也便利得多。

例如函数黎曼可积的充分必要条件是函数几乎处处连续；积分与极限交换不再要求一致收敛；重积分化为累次积分只需函数是可积的，等等。

另外，许多初等数学的基本概念和内容也需要实变函数的理论才能解释清楚。

二、本课程的目标：1.了解近代抽象分析的基本思想；掌握集合测度的基本思想、基本方法；掌握可测函数的概念与基本性质；了解可测函数列的收敛性、可测函数与连续函数的关系；掌握Lebesgue积分的基本思想、基本性质以及积分极限定理及其应用；能较深刻理解测度和Lebesgue积分的必要性，掌握建立测度和Lebesgue积分的步骤；了解重积分与累次积分的关系；掌握有界变差函数与绝对连续函数的基本性质，了解微积分学基本定理在Lebesgue积分情形下的推广等等，为进一步学习和研究现代数学理论打下初步的基础；2.培养学生抽象思维、空间想象、逻辑推理和熟练地运算能力；3.掌握学习方法，培养自学能力；4.应用数学方法解决实际问题的能力。

实变函数的多项式逼近与逼近理论多项式逼近是数值分析中一项重要的内容。

它是一种利用多项式函数来逼近给定函数的方法。

在实变函数的多项式逼近中，我们的目标是通过一组多项式函数来近似给定的实变函数，以实现精确度要求的逼近效果。

为了理解多项式逼近的原理，首先需要了解多项式函数的基本性质。

多项式函数是一种形式为f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0的函数，其中x是自变量，a_i是多项式的系数。

多项式函数具有很多优良的性质，例如它们是可导的、可积的，且在定义域上连续。

这些性质使得多项式函数成为逼近给定函数的理想工具。

在实变函数的多项式逼近中，我们通常采用最小二乘逼近的方法。

最小二乘逼近是一种寻找多项式系数以使逼近函数与给定函数之间的平方误差最小化的方法。

通过最小化平方误差，我们能得到最优的逼近函数，并尽可能减小逼近误差。

逼近理论是研究多项式逼近的数学理论和方法。

它提供了一系列的逼近原则和技巧，用于选择逼近函数的形式和确定逼近的精确度。

逼近理论的基本思想是通过选取不同的基函数或基组合，以最小化逼近误差来逼近给定函数。

在逼近理论中，常用的基函数包括勒让德多项式、拉格朗日插值多项式、切比雪夫多项式等。

实变函数的多项式逼近具有广泛的应用。

在数值计算中，多项式逼近可用于函数插值、函数外推和函数优化等问题。

多项式逼近还在物理学、工程学和金融学等领域中得到了应用，例如在信号处理、图像处理和数据拟合中。

然而，实变函数的多项式逼近也存在一些限制。

首先，使用多项式函数逼近时，需要考虑多项式次数的选择。

较低次数的多项式可能无法准确地逼近复杂的函数形态，而较高次数的多项式可能会导致过拟合问题。

其次，多项式逼近只能在有限的定义域上进行，对于无界函数或非紧集上的函数，逼近效果可能不如预期。

为了提高多项式逼近的效果，人们在实践中采用了一些改进的方法。

例如，通过引入权函数来调整多项式逼近的样本分布，以使逼近效果更加准确。

《实变函数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务实变函数论是数学专业的一门必修课程，它是重要的数学分支，它所讨论的测度结构是数学的四大结构之一。

实变函数在概率论、泛函分析、偏微分方程、计算数学、近代物理都有广泛的应用。

本课程的任务是使学生掌握近代分析的基本思想，加深对数学分析的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下初步基础。

（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习,使学生较好地掌握实变函数论的基本思想、理论和方法，为后继专业课程、为进一步学习近代数学理论打下良好基础。

1．掌握－集合的运算, 集合的势, 可数集合, 连续势; 开集，闭集; 可测集定义、运算性质, 测度的性质, 可测集的结构; 可测函数及其性质, 依测度收敛，Riese定理, Egoroff定理, 可测函数的结构, Lebesgue积分的定义、性质, 积分的极限定理, R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条件.2．理解－不可测集, R n中可测集上的可测函数，多元函数的Lebesgue积分, 乘积测度, Fubini定理, L空间的定义.单调函数的可微性, p3．了解－半序集，选择公理与Zorn引理, 用内外测度相等定义可测集，两种可测集定义的等价性, L-SL空间中的收敛概测度与L-S积分, 有界变差函数的连续性与可导性, 有界变差函数与绝对连续函数, p念.（三）课程教学方法与手段本课程采用讲授、习题课和自学相结合的方法.老师讲授百分之八十的基本内容, 其余内容由学生自学、教师辅导.（四）课程与其他课程的联系实变函数论是数学分析的后继课程,也涉及线性代数的知识, 因而先修课程有：数学分析、高等代数和解析几何.泛函分析，现代概率论、现代偏微分方程理论、计算数学理论等课程在本课程后开设.（五）教材与教学参考书教材：曹广福,《实变函数论与泛函分析》上册,高等教育出版社，2004年教学参考书：1、周民强,《实变函数》,北京大学出版社，1995年6月2、程其襄等,《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社，1999年6月3、郑维行等,《实变函数与泛函分析概要》,高等教育出版社，2005年4、夏道行等,《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社，1985年6月二、教课程的教学内容、重点和难点第一章集合教学内容：集合的定义及其运算, 集合序列的上、下限集, 域与 －域，势的定义与Bernstein定理, 可数集合, 连续势, p进位表数法, 聚点, 内点, 边界点, Bolzano-weirstrass定理, 开集, 闭集, 完全集, 直线上点集重点：集合及其运算, 集合的势, 可数集合, 不可数集合, 聚点，内点，边界点, 开集，闭集，完全集，Cantor三分集难点：集列的上、下极限集, 集合的基数问题的证明. 正确理解、运用聚点等基本概念和有关定理第二章测度论教学内容：外测度, 可测集及其性质，开集的可测性, Lebesgue可测集的结构重点：可测集定义及运算性质, 测度的性质, 可测集的结构难点：可测集的概念、可测集结构的理解和应用第三章可测函数教学内容：可测函数的定义, 可测函数的性质, Egoroff定理, Lusin定理, 依测度收敛重点：可测函数定义及其性质，可测函数的结构，可测函数的收敛难点：依测度收敛, 可测函数各种收敛的关系第四章积分理论教学内容：有界可测函数积分的定义及其性质, Lebesgue积分的性质, 一般可测函数的积分, Riemann积分与Lebesgue积分的关系, 非负可测函数积分的极限, 控制收敛定理, 乘积空上测度, FubiniL空间的定义, p L空间中的收定理, 有界变差函数的连续性与可导性, 有界变差函数与绝对连续函数, p敛概念重点：Lebesgue积分的定义、性质, 积分的极限定理, R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条L空间的定义件, pL空间中的收难点：积分的极限定理理解及应用, Fubini定理, 有界变差函数的连续性与可导性, p敛概念三、学时分配。

实变函数最重要的三条定理一、函数的极限定理1. 介绍实变函数是数学中的一类函数，其定义域和值域都是实数集。

在研究实变函数的性质时，函数的极限定理是非常重要的工具。

函数的极限指的是当自变量趋于某个特定值时，函数的取值会趋于一个确定的值。

2. 无穷极限定理无穷极限定理是函数极限定理中的重要一项。

它告诉我们，当自变量趋于无穷大或趋于无穷小时，函数的极限也会有一定的性质。

无穷极限定理包括以下两个子定理：•当自变量趋于正无穷时，函数的极限可以是有限值，无穷大或无穷小。

•当自变量趋于负无穷时，函数的极限也可以分为上述三种情况。

3. 夹逼定理夹逼定理是函数极限定理中的另一个重要定理。

它通过“夹逼”函数的方式，确定一个函数的极限。

夹逼定理可以用于求解复杂的极限问题，是求解函数极限的重要工具。

夹逼定理的基本思想是：如果一个函数在一个区间内夹在两个已知函数之间，并且这两个已知函数都趋于同一个极限，那么这个函数的极限也趋于同样的极限。

4. 单调有界定理单调有界定理也是函数极限定理中非常重要的一条。

单调有界定理告诉我们，如果一个函数在一个区间内单调且有界，那么它一定存在极限。

单调有界定理的基本思想是：一个单调的函数在满足某种条件（有界）的前提下，一定会趋于一个确定的极限。

二、函数的连续定理1. 介绍连续是实变函数重要的性质之一，它反映了函数在某点的光滑程度。

函数的连续定理是指在一定条件下，函数在某点的连续性可以推导出其他性质。

2. 第一中值定理第一中值定理是函数连续定理中的一条重要定理。

它告诉我们，如果一个函数在一个区间内连续，并且函数的端点值有差异，那么在这个区间内，函数一定会取到介于端点值之间的某个值。

第一中值定理的基本思想是：如果一个函数在一个区间内连续，并且函数的值在两个端点值之间有差异，那么在这个区间内，函数一定会取到介于这两个值之间的某个值。

3. 遗象定理遗象定理是函数连续定理中的另一个重要定理。

它告诉我们，如果一个函数在一个区间内连续，并且函数在该区间内上下取值有界，那么函数的值域也是有界的。

《实变函数》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
注：各类考核评价的具体评分标准见《附录：各类考核评分标准表》
五、教材及参考资料
[1]程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社,
2019, ISBN: 9787040508109
[2]夏道行等. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2010, ISBN:
9787040274318
[3]江泽坚,吴智泉，纪友清.实变函数论(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2007, ISBN:
9787040226430
[4]曹广福. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2011, ISBN:
9787040316742
六、教学条件
需要多媒体教室，电脑要安装好Windows 7、Office 2010、MathType 6.9、Mathematica l1以上版本的正版软件。

附录：各类考核评分标准表
实变函数平时作业评分标准
实变函数设计评分标准
注：评分标准的分数段划分可以根据课程需要自行设计。

实变函数系（部）：数学与信息科学学院班级：数学与应用数学学号： 123456789学生姓名：李桂英2015年12月浅谈学习实变函数的心得【摘要】：想想已经学习了一学期的实变函数，实变函数与其他数学数学最大的不同就是学习其思想，这是老师从第一节课就一直给我们传输的，本论文我将就在学习实变函数的扩展思想作为主要论述目标。

在学习实变函数时总会遇到一些德摩根公式，在以前我们已经学习过真假命题及集合，且知道德摩根公式在其中的应用，在实变函数中集合由单个集合扩展到一组集合，其德摩根公式又该怎样的表现形式呢？1、实变函数的不同已经上了三年的大学生活，学了三年的数学，微分几何、高等代数、几何微分等等，但是从没有一门课程让我觉得学起来很没有成就感，我知道上大学与以前的学习方式不同，上课前预习，下课后及时复习就可以将其学的很好，没必要向之前上高中一样需要一直练题，但是我从没有课前预习的习惯，但我会在老师上完课之后及时的复习，及时做练习题巩固，三年下来我学习的还算游刃有余，每解出一道题就像高中时期一样特别的有成就感，特别高兴。

但是学了实变函数之后我之前的感觉全没有了，因为实变函数与其他数学的不同，实变函数的重点不在解题而在于学习其思想，这就与其他数学科目不同。

虽然偶尔也有需要解决的但大部分均是证明。

在学习实变函数之前老师就介绍实变函数，我们知道实变函数的最基本内容已成为分析数学各分支的普遍基础，实变函数主要指自变量（也包括多变量）取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论。

在学习实变函数中我经常学到的就是扩展思想，这也是我听老师讲课时说到的最多的词语，在实变函数中第一章集合中，由原来单个集合扩展到一族集合的德摩根公式就运用到了这一思想，下面我将详细介绍。

2、德摩根公式2.1德摩根生平德摩根，英国数学家，其父亲是英国驻扎在印度的军队的上校，德摩根7个月时被带回英国，中学时就强烈爱好数学。

1823年至1827年间入读剑桥大学，1828年担任伦敦大学学院数学教授，1865年，他积极帮忙筹备伦敦数学会，1865年担任第一任会长，亦有奖章以他的名字命名。