1电磁场与电磁波第一章PPT课件

h BC
A
含义： 标量三重积结果为三矢量构成 的平行六面体的体积 。

C

B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (B C) C ( A B) B (C A)
h BC
注意：先后轮换次序。
dS RdRd a
体元：
dV R 2 sin dRd d
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
注意：
a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为(r,, z), 其中 为角度，
其对应的线元 rd a ，可见拉梅系数为：
dl
dS
F dl , B dS ,
1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 ˆx 线元： dlx dxa 面元： dS x dydza ˆx ˆy dS y dxdza ˆy dl y dya ˆz dS z dxdya ˆz dlz dza 体元： dV dxdydz ˆ x dya ˆ y dza ˆz dl dxa
ˆx ( Az Bx Ax Bz )a ˆ y ( Ax By Ay Bx )a ˆz ( Ay Bz Az By )a
两矢量的叉积又可表示为：
A B Ax Bx
ˆx a
ˆy a Ay By
ˆz a Az Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
h1 1, h2 r , h3 1

分析和处理电磁场问题的方法 —— 数学处理过程
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
e?x
e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az

ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。

S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey

Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos

第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为