北师大版_八年级上_第二章_实数_全章复习_知识点总结与各考点习题(精)

第二章：实数 知识梳理【无理数】1. 概念：无穷不循环小数的小数叫做无理数；注：它必需知足“无穷”和“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π和含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如： 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。

如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不必然是无理数，如：9等；无理数也不必然带根号，如：π）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无穷循环小数，而无理数则是无穷不循环小数； （2）所有的有理数都能写成份数的形式（整数能够看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成份数形式。

例：（1）下列各数：①、②……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:…,…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：1. 概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，那个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 成心义，则被开方数a 是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数一路组成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，而且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=- D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。

第二章 实数笔记：1、实数与数轴上的数一一对应，包括有理数与无理数。

2、无理数指的是无限不循环小数。

3、整数、分数（包括有限小数以及无限循环小数）都是有理数。

4、 ,,但加减法没有此规则； 5、相关的取值范围： ①若a 成立，则a ≧0； ②若ab 成立，则a ≠0； ③|a|≥0；④()2a =a ，且a ≧0；2a =|a|，且a 可以为任意数。

知识点一：无理数的相关概念1、在下列各数 3.14、0、2.0 、π3、722、 1010010001.6、11131、27、4、－0.333…、5、π-、 3.1415, 2.010101…(相邻两个1之间有1个0),76.0123456…(小数部分由相继的正整数组成)、0.161161116……、39、8是无理数的是哪些？2、下列说法正确的是 ( )A 4B 、0.04的平方根是0.2C 、a2一定有平方根D 、－ 2 表示2的算术平方根3 （ ）A 、4B 、-4C 、2D 、2±4、下列各组数中互为相反数的是（ ）A 、2)2(2--与B 、382--与C 、2)2(2-与D 、22与-5、把下列各数填入集合内:－7, 0.32, 31,46, 0, 8,21,3216,－2π.①有理数集合: { …}; ②无理数集合: { …}; ③正实数集合: { …}; ④实数集合: { …}。

6、下列说法错误的是( ) A ．无理数的相反数还是无理数 B ．无限小数都是无理数C ．整数、分数统称有理数D ．实数与数轴上的点一一对应7、下列说法错误的是( ) A ．1的平方根是1 B ．﹣1的立方根是﹣1 C ．是2的平方根D ．是的平方根8、下列说法，正确的是（ ）A 零不存在算术平方根B 一个数的算术平方根一定是正数C 一个数的立方根一定比这个数小D 一个非零数的立方根仍是一个非零数 9、下列说法中正确的是（ ）.A.1的立方根是±1B.负数没有立方根C.2的立方根是2D.任何实数都有一个立方根知识点二：无理数的取值范围1x 必须满足的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ＞－1C ．x ≥－1D ．x ＞12、设y x ,为实数，且6y =+y x -的值是A.1B.2C.4D.5 3、若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ）A.0≥aB.0≤aC.0=aD.0≠a 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ）A.－1 B 、0 C 、41- D 、1 5、已知+=0，则（a ﹣b ）2=__________．知识点三：无理数的计算1、化简。

北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结一、知识归纳（一）平方根与开平方1. 平方根的含义如果一个数的平方等于a ;那么这个数就叫做a 的平方根。

即a x =2;x 叫做a 的平方根。

2.平方根的性质与表示⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示;a 叫做正平方根;也称为算术平方根;a -叫做a 的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数2省略） 0有一个平方根;为0;记作00= ；负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。

a a =2⎩⎨⎧-a a 00<≥a a ()a a =20≥a ⑷a 的双重非负性0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位;它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分：4的平方根为____4的平方根为________4=3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数　＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294*若0>>b a ;则b a >（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于a ;呢么这个数叫做a 的立方根;记作3a .2. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

０的立方根是０. 3. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。

()a a =33a a =33 33a a -=- （a 取任何数）*０的平方根和立方根都是０本身。

（三）推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ;这个数就叫做a 的n次方根。

当n 为奇数时;这个数叫做a 的奇次方根。

当n 为偶数时;这个数叫做a 的偶次方根。

２. 正数的偶次方根有两个：n a ±；０的偶次方根为０：00=n；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。