高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）{}{}1,2,3,2A B x N x ==∈≤∣A B ⋃=A. B. C. D.{}2,3{}0,1,2,3{}1,2{}1,2,32.命题“”的否定是（ ）0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭A. B.0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭C. D.0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≤ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）3π6πB. C. D.13π23π43π4.，不等式恒成立，则的取值范围为（）x R ∀∈2410ax x +-<a A.B.或4a <-4a <-0a =C.D.4a ≤-40a -<<5.已知，则（ ）0.50.5e ,ln5,log e a b c -===A.B.c a b <<c b a <<C.D.b a c <<a b c <<6.已知函数是定义在上的奇函数，，且，则()f x R ()()4f x f x =+()11f -=-（）()()20202021f f +=A. B.0 C.1D.21-7.已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+,,a b c ,,a b c ）A.B.c b a <<b a c <<C.D.a c b <<c a b <<8.已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ()()sin f x A x ωϕ=+）A.B.122y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()21y f x =+C.D.122x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ）()0,∞+A. B.21y x =+3y x =C. D.23y x =3xy -=10.若，则下列不等式正确的是（ ）110a b <<A. B.a b <a b<C. D.a b ab +<2b a a b +>11.若函数，则下列选项正确的是（ ）()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A.最小正周期是πB.图象关于点对称,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.在区间上单调递增7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.图象关于直线对称12x π=12.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令x ∈R []x x []y x =，以下结论正确的是（ ）()[]22f x x x =-A.()1.10.8f -=B.为偶函数()f x C.最小正周期为()f x 12D.的值域为()f x []0,1第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）5log 25+=14.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.（1），若则12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >（2）()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=15.在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于，两xOy Ox ,αβP Q 点，的纵坐标分别为.则的终边与单位圆交点的纵坐标为__________.,P Q 34,55αβ+16.已知函数，使方程有4个不同的解：，则()2log ,04,2cos ,482x x f x t R x x π⎧<<⎪=∃∈⎨≤≤⎪⎩()f x t =1234,,,x x x x 的取值范围是__________；的取值范围是__________.1234x x x x 1234x x x x +++四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题10.0分）求值：（1）22log 33582lg2lg22+--（2）251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18.（本小题12.0分）已知全集，集合，集合.U R ={}2120A x x x =--≤∣{}11B x m x m =-≤≤+∣（1）当时，求；4m =()U A B ⋃ （2）若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 19.已知函数的部分图象如图.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，()f x 6π得到函数的图象，当时，求值域.()g x ,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x 20.（本小题12.0分）已知函数()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简；()f α（2）若，求的值.()1,052f παα=-<<sin cos ,sin cos αααα⋅-21.（本小题12.0分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要500m 500m ⨯建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.S（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；x y S （2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值.S 22.（本小题12.0分）已知函数.()1ln1x f x x -=+（1）求证：是奇函数；()f x （2）若对于任意都有成立，求的取值范围；[]3,5x ∈()3f x t >-（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为(),1,αβ∞∈+αβ<()f x [],αβ，求实数的取值范围.ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦m 高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题参考答案）第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再求.B A B ⋃【详解】因为，所以.{}{}1,2,3,0,1,2A B =={}0,1,2,3A B ⋃=故选：B2.【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.【详解】命题“”为全称命题，0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭按照改量词否结论的法则，所以否定为：，0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭故选：D3.【答案】B【解析】【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.326ππ=12233ππ⋅⋅=故选：B4.【答案】A【解析】【分析】先讨论系数为0的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.【详解】，不等式恒成立，x R ∀∈2410ax x +-<当时，显然不恒成立，0a =所以，解得：.0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩4a <-故选：A.5.【答案】A【解析】【分析】借助指对函数的单调性，利用中间量0或1比较即可.【详解】因为，0.500.50.50e e 1,ln5lne <1,log e log 10a b c -<===>==<=所以，c a b <<故选：A.6.【答案】C【解析】【分析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值.()()4f x f x =+【详解】是奇函数，，()f x ()()()00,111f f f ∴==--=又是周期函数，周期为4.()()()4,f x f x f x =+∴.()()()()2020202101011f f f f ∴+=+=+=故选：C.7.【答案】C【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可.【详解】函数的零点转化为与()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+e ,ln ,sin x y y x y x ===的图象的交点的横坐标，因为零点分别为，y x =-,,a b c 在坐标系中画出与的图象如图：e ,ln ,sin x y y x y x ===y x =-可知，0,0,0a b c <>=满足.a cb <<故选：C.8.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把()1y f x =+的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的，()1y f x =-12所以如图的图象所对应的解析式为.()21y f x =+故选：B 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.【答案】AC【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断.【详解】对于A ：22()11y x x =-+=+函数是偶函数，在上是增函数，故A 正确；∴21y x =+()0,∞+对于：B 33()y x x =-=- 函数是奇函数，故错误；∴3y x =B 对于：C 2233()y x x=-= 是偶函数，在上是增函数，故C 正确；23y x ∴=()0,∞+对于：D 33x x y ---== 是偶函数，在上是减函数，故错误.3xy -∴=()0,∞+D 故选：AC10.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解即可【详解】由于，则，故错误；110a b <<0b a <<a b <正确；正确；，正确0a b ab +<<a b <2222,2a b a b ab b a b a ab ab a b ++=>=∴+>故选：BC D.11.【答案】BC【解析】【分析】利用正切函数的周期，对称中心，函数的单调性，判断选项即可.【详解】函数，函数的最小正周期为：错误；tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,A 2π令，2,3246k k x x k Z ππππ+=⇒=-∈当时，，所以图象关于点对称，正确；2k =3x π=,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭B 因为，解得，当时，，所2,232k x k k Z πππππ-<+<+∈5,212212k k x ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭1k =7,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以在区间上单调递增，C 正确；又正切函数不具有对称轴，所以D 错误7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B C.12.【答案】AC【解析】【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于，直接求解即可，对于，取，检验可得反A B 1.1x =-例，对于，直接求解即可；对于，要求的值域，只需求时的C ()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ()f x 102x ≤<()f x 值域即可.【详解】对于A ，，故A 正确.()[]1.1 2.2 2.2 2.230.8f -=---=-+=对于，取，则，而，B 1.1x =-()1.10.8f -=()[]1.1 2.2 2.2 2.220.2f =-=-=故，所以函数不偶函数，故B 错误.()()1.1 1.1f f -≠-()f x 对于，则，故C 正确.C [][]()1212121212f x x x x x f x ⎛⎫+=+-+=+--= ⎪⎝⎭对于，由的判断可知，为周期函数，且周期为，D C ()f x 12要求的值域，只需求时的值域即可.()f x 102x ≤<()f x 当时，则，0x =()[]0000f =-=当时，，102x <<()[]()222020,1f x x x x x =-=-=∈故当时，则有，故函数的值域为，故错误.102x ≤<()01f x ≤<()f x [)0,1D 故选：A C.第II卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.【答案】6【解析】【分析】利用根式性质与对数运算进行化简.，5log 25426+=+=故答案为：614.【解析】【分析】由条件（1），若则.可知函数为上增函数；12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >()f x R 由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=()f x 【详解】令，()2x f x =则为上增函数，满足条件（1）.()2x f x =R 又()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++==⨯=故()()()1212f x x f x f x +=即成立.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=故答案为：等均满足题意()()()(2,3,4x x x f x f x f x ===)15.【答案】1【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义可得，再由展开3443sin ,cos ,sin ,cos 5555ααββ====()sin αβ+求解即可.【详解】以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，的纵坐标分别Ox ,αβ,P Q ,P Q 为34,55所以是锐角，可得，3sin ,5αα=4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于点，且纵坐标为，βQ 45所以是锐角，可得，4sin ,5ββ=3cos 5β=所以，()3344sin sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+⨯=所以的终边与单位圆交点的纵坐标为1.αβ+故答案为：1.16.【答案】①.②.()32,354⎝⎭【解析】【分析】先画出分段函数的图像，依据图像得到之间的关系式以及之间的关系式，分别把()f x 12,x x 34,x x 和转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可.1234x x x x +++1234x x x x 【详解】做出函数的图像如下：()2log ,042cos ,482x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩在单调递减：最小值在单调递增：最小值0，最大值2；()f x (]0,1()0;f x []1,4在上是部分余弦型曲线：最小值，最大值2.()f x []4,82-若方程有4个不同的解：，则()f x t =1234,,,x x x x 02t <<不妨设四个解依次增大，则12341145,784x x x x <<<<<<<<是方程的解，则，即；12,x x 2log (04)x t x =<<2122log log x x =-121x x =是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知.34,x x ()2cos 482x t x π=≤≤3412x x +=故，()()212343433312636x x x x x x x x x ==-=--+由得即345x <<()233263635x <--+<12343235x x x x <<1234121111212x x x x x x x x +++=++=++当时，单调递减，1114x <<()112m x x x =++则1116514124x x <++<故答案为：①；②()32,354⎝⎭四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）解：；()()22log 33582lg 2lg243lg5lg22lg27lg5lg27162+--=+---=-+=-=（2）解：251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭sin 4cos 3tan 3634ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11sin cos tan 1063422πππ=+-=+-=18.解：（1）集合，{}34A x x =-≤≤∣当时，或，4m ={}35,{3U B x x B x x =≤≤=<∣∣ 5}x >所以或；(){4U A B x x ⋃=≤∣ 5}x >（2）由题可知或，{3U A x x =<-∣ 4}x >由可得或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或，4m <-5m >故的取值范围为或.m {4mm <-∣5}m >19.（1）由图象可知，的最大值为2，最小值为，又，故，()f x 2-0A >2A =周期，则，452,,03123T πππππωω⎡⎤⎛⎫=--=∴=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2ω=从而，代入点，得，()()2sin 2f x x ϕ=+5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭5sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则，即，52,Z 62k k ππϕπ+=+∈2,Z 3k k πϕπ=-+∈又，则.2πϕ<3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，()f x 故可得；2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象6π()g x 故可得；()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5,,,sin 66366x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈-∴-∈--∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 的值域为.()2sin 2,6x g x π⎛⎫⎡⎤-∈∴ ⎪⎣⎦⎝⎭2⎡⎤⎣⎦20.解（1）()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos cos cos tan ααααααα-=+⋅-，sin cos αα=+故；()sin cos f ααα=+（2）由，()1sin cos 5f ααα=+=平方可得，221sin 2sin cos cos 25αααα++=即.242sin cos 25αα⋅=-所以，12sin cos 25αα⋅=-因为，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=又，所以，2πα-<<sin 0,cos 0αα<>所以，sin cos 0αα-<所以.7sin cos 5αα-=-21.解：（1）由已知，其定义域是.30003000,xy y x =∴=()6,500，()()()46210S x a x a x a=-+-=-，150026,332y a y a x +=∴=-=- ，其定义域是.()150015000210330306S x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()6,500（2），15000303063030303023002430S x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，上述不等式等号成立，150006x x =()506,500x =∈此时，.max 50,60,2430x y S ===答：设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.50m,60m x y ==22.（1）证明：由函数，可得，()1lg 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭101x x ->+即，解得，故函数的定义域为，关于原点对称.101x x -<+11x -<<()1,1-再根据，可得是奇函数.()()11lg lg 11x x f x f x x x +-⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭()f x （2）由（1）知，其定义域为.()1ln 1x f x x -=+()(),11,∞∞--⋃+.因为在上为增函数，()2ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()211u x x =-+()1,∞+在上为增函数，当，时，()f x ()1,∞+[]3,5x ∈()ln2ln2ln3f x -≤≤-对任意都有成立，，即，[]3,5x ∈()3f x t >-ln23t ->-3ln2t <-的取值范围是.t (),3ln2∞--（3）由（2）知在上为增函数，()f x ()1,∞+又因为函数在上的值域为.()f x [],αβ11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，且，0m >1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩所以1,121,12m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩则是方程的两实根，,αβ112x m mx x -=-+问题等价于放程在上有两个不等实根，211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭()1,∞+令，对称轴()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭1124x m =-则，即解得.()2011124Δ14102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩0,20,522,9m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或209m <<。
