2016届某某一中高中毕业班理科数学模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．（1）若集合{}1216xA x =≤≤，{}23log (2)1B x x x =->，则A B 等于(A)(]3,4 (B)[]3,4 (C) (](,0)0,4-∞ (D) (](,1)0,4-∞-（2）计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=2 (D)12（3）已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，若(6)0.16P ξ>=，则(03)P ξ≤≤=(A) 0.84 (B) 0.68 (C)0.34 (D) 0.16（4）设命题0300:(0,),3x p x x ∃∈+∞<，则p ⌝为(A) 3(0,),3xx x ∀∈+∞≥ (B) 3(0,),3xx x ∃∈+∞≥ (C)3(0,),3xx x ∀∈+∞< (D) 3(0,),3xx x ∃∈+∞<（5）二项式5(2x 的展开式中x 的系数等于 (A) 40- (B) 40 (C) 20- (D) 20 （6）设向量12,,OA e OB e ==若1e 与2e 不共线，且6AP PB =，则OP =(A)121677e e - (B) 126177e e - (C) 121677e e + (D) 126177e e + （7）已知函数1()sin()()46f x x x R π=+∈，把函数()f x 的图象向右平移83π个单位得函数()g x 的图象，则下面结论正确的是(A) 函数()g x 是奇函数 (B) 函数()g x 在区间[],2ππ上是增函数(C) 函数()g x 的最小正周期是4π (D) 函数()g x 的图象关于直线x π=对称（8）在一球面上有,,A B C 三点，如果43,60AB ACB =∠=，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的表面积为(A) 36π (B) 64π (C) 100π (D) 144π （9）右边程序框图的算法思路，源于我国南 宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书 九章》中提出的秦九韶算法，执行该程序 框图，若输入的,,n n a x 分别为5,1,2-， 且432105,10,10,5,1a a a a a =====，则输出的v =(A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2-（10）某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 (A) 42 (B) 34 (C) 41 (D) 52(11) 已知,O F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的中心和右焦点，点,G M 分别在E 的渐近线和右支，FG OG ⊥，//GM x 轴，且OM OF =，则E 的离心率为(A)52 (B) 62(C) 72 (D) 2(12) 设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数是()f x '，且43()3()xx f x x f x e'+=，3(3)81e f =，则0x >时，()f x(A)有极大值，无极小值 (B) 有极小值，无极大值(C)既无极大值，又无极小值 (D) 既有极大值，又有极小值53 4输入i ai v vx a =+1i i =-开 始 输入,,n n a x 的值n v a =是0?i ≥ 输出v 结 束 否第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）已知复数z 的共轭复数112iz i+=-，则复数z 的虚部是_______. （14）若,x y 满足约束条件2,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且3z x y =-的最小值是最大值的3-倍，则a 的值是_____.（15）若椭圆的中心在原点，一个焦点为(1,0)，直线2230x y --=与椭圆相交，所得弦 的中点的横坐标为1，则这个椭圆的方程为_________. （16）若ABC ∆的内角满足sin 2sin A C B +=，则角C 的最大值是_______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且623518,3n n S S a a =+=，数列{}n b 满足124n S n b b b =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log n n c b =，且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2016T .（18）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD，底面ABCD 为直角梯形，其中11//,,12,BC AD AB AD AD AD ⊥==4AB BC ==. （Ⅰ）在线段AD 上求一点N ，使得//CN 平面11ABB A ，并加以证明； （Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点N ，求锐二面角11D ND C --的余弦值.（19）（本小题满分12分）某商场每天以每件100元的价格购入A 商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A 商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A 商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A 商品当天能够处理完）.该商场统计了100天A 商品在每天的前8小时的销售量，（Ⅰ）某天该商场共购入8件A 商品，在前8个小时售出6件. 若这些产品被8名不同的顾客购买，现从这8名顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A 商品，并说明理由.（20）（本小题满分12分） 已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交于,A B 两点，E 的准线与x 轴交于点C ，CAB ∆的面积为4，以点(3,0)D 为圆心的圆D 过点,A B .（Ⅰ）求抛物线E 和圆D 的方程；（Ⅱ）若斜率为(1)k k ≥的直线m 与圆D 相切，且与抛物线E 交于,M N 两点，求FM FN⋅的取值X 围.（21）（本小题满分12分）已知函数2()2ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0,()(2)x f x f >≥. （Ⅰ）写出()b g a =的表达式；（Ⅱ）已知,c d 为不相等的两个整数，且c k d ≤≤时ln 0a kb +≤恒成立，求c 的最小值与d的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AD 与BC 的延长线交于圆O 外一点E ，自E 引一直线平行于AC ，交BD 的延长线于M ，自M 引MT 切圆O 于T . （Ⅰ）求证：MT ME =；（Ⅱ）若,3,1AE BM MT MD ⊥==，求BE 的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=，在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为8cos 2sin ρθθ=+.（Ⅰ）将1C 上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的22C ，求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若,P Q 分别为曲线2C 与直线l 上的两个动点，求PQ 的最小值以及此时点P 的坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 如果关于x 的不等式16x x a -+-≤的解集为空集. （Ⅰ）某某数a 的取值X 围；（Ⅱ）若实数b 与实数a 取值X 围相同，求证：255ab a b ->-.2016届某某一中高中毕业班模拟考试理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）C （7）B （8）C （9）C （10）C （11）D （12）C（12）简解：343()()x e x f x f x x-'=，设3()3()x h x e f x x =-， 则32()3()3()x h x e f x x f x x ''⎡⎤=-+⎣⎦433()3()x e f x x f x x x'⎡⎤=-+⎣⎦ 33x x x x e e e x x-=-⋅=⋅，所以3()(3)81(3)0h x h e f ≥=-=， 即()0f x '≥，因此()f x 在(0,)+∞既无极大值，又无极小值.二、填空题：每小题5分，满分20分．（13）35-（14）1-（15）2212x y +=（16）12π（16）简解：2,2aa c c -+==，222)2cos 2a a b C ab-+-==≥，即cos cos 12C π≥，所以角max 12C π=，当1,,022b a c a a ==>时取得. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题满分12分解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ， 则[]11116155(2)18(1)(31)3(1)(2)a d a d a n d a n d +=++⎧⎪⎨+-=+-⎪⎩由（1）得12590a d -+=， ···················· 2分 由（2）得1a d =，联立得13a d ==， ················ 3分 所以3n a n =. ··························· 4分 易知164b =， ·························· 5分 当2n ≥时11214n S n b b b --=，又124n S n b b b =，两式相除得64(2)nn b n =≥， ···················· 7分164b =满足上式，所以64n n b =. ················· 8分（Ⅱ）2log 646n n c n ==，111111()36(1)361n n c c n n n n +==-++， ···10分 11(1)361n T n =-+，························ 11分 因此2016562017T =. ························ 12分（18）本小题满分12分解：（Ⅰ）在线段AD 上截取4AN =，连接NC ， ··········· 1分 因为//,AN BC AN BC =，所以四边形ABCN 为平行四边形， ················ 2分 所以//CN AB ，又CN ⊄平面11ABB A ，因此//CN 平面11ABB A . ···················· 3分A1 D 1 B 1-C 1A N D（Ⅱ）因为2222116144AA AD +=+=，211144A D =， 所以2221111AA AD A D +=，且1112A D AA =，所以11AD AA ⊥，且1130A D A ∠=，因为11//,//BC AD BB AA ，所以平面11//BCC B 平面11ADD A . ····· 4分 作11NK A D ⊥于点K ，则,,NC ND NK 两两垂直，以点N 为原点O ，分别以,,NC ND NK 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示． ························· 5分可得1D ，1(4,C -， ················· 6分 易知平面1DND 的法向量(1,0,0)=m ，设平面11C ND 的法向量(,,)x y z =n ， 则110,0,ND NC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即50,430,y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取y =5)=-n ， ·· 10分 则|cos ,|m m m ⋅<>==n n n ··············· 11分 所以锐二面角11D ND C --············· 12分 （19）本小题满分12分解：（1）记“恰有三人是以每件200元的价格购买”为事件B ，则3162484()7C C P B C ⋅==. ······················ 5分 （2）设商场销售A 商品获得的平均利润为ξ（单位：元）依题意，将频率视为概率，为使每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进的件数可能为6件或7件或8件. ················· 6分 当购进A 商品6件时，()1006600E ξ=⨯=（元） ··········· 7分 当购进A 商品7件时，46()(100640)10076441010E ξ=⨯-⨯+⨯⨯=（元） 9分 当购进A 商品8件时，403525()(1006240)(100740)1008100100100E ξ=⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯即()639E ξ=（元） ························ 11分 所以商场每天购进7件A 商品时所获得的平均利润最大. ········· 12分（20）本小题满分12分解法一：（Ⅰ）如图，2(,0),(,),(,),(,0),2222ABC p p p pF A p B p C S p --=,··· 1分 由24p =得2p =，圆D半径R = ················· 3分所以抛物线2:4E y x =，圆22:(3)8D x y -+=. ·············· 4分 （Ⅱ）m解法一：设直线:(1)m y kx b k =+≥=2268k kb b ++=，①联立24y b x k y x -⎧=⎪⎨⎪=⎩得2440ky y b -+=，()*1616kb ∆=-， ······· 5分由①知1kb ≤，即0∆≥ ························· 6分所以方程()*有两个实数根12,y y ，且121244,by y y y k k+== ········· 7分点221212(,),(,)44y yM y N y ，221212(4)(4)16y y FM FN y y --⋅=+221212121()4()241616y y y y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦ 22264b kb k k ++-=24k= ································ 11分 因为1k ≥，所以FM FN ⋅的取值X 围是(]0,4. ············· 12分 解法二：设直线:(1)m y kx b k =+≥=2268k kb b ++=，①联立24y kx b y x=+⎧⎨=⎩得2222(2)0k x kb x b +-+=，()*1616kb ∆=-， ··· 5分由①知1kb ≤，即0∆≥ ························· 6分所以方程()*有两个实数根12,x x ，且21212222(2),kb b x x x x k k--+== ······ 7分点1122(,),(,)M x kx b N x kx b ++，1212(1)(1)()()FM FN x x kx b kx b ⋅=--+++ 221212(1)(1)()1k x x kb x x b =++-+++22264b kb k k ++-= 24k= ································ 11分 因为1k ≥，所以FM FN ⋅的取值X 围是(]0,4. ············· 12分（21）本小题满分12分解：（Ⅰ）()22222=(0,0)ax bx f x ax b x a x x+-'=+->>， ·········· 1分依题意，2是关于x 的方程2220ax bx +-=的正数根， ············ 2分可得14b a =-，此时()(21)(2)=(0,0)ax x f x x a x+-'>>，所以()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，满足()(2)f x f ≥， ···· 3分 所以()14(0)g a a a =->. ························ 4分 （Ⅱ）ln ln 4a kb a ka k +=-+，记()ln 4(0)h a a ka k a =-+>，（ⅰ）当0k =时，()ln (0)h a a a =>，(2)ln20h =>，所以0k =不合题意； ····················· 5分（ⅱ）当0k ≠时，14()4()k a k h a a-'=- ················· 6分 若0k <，则()0h a '>，故()h a 在(0,)+∞单调递增，(1)30h k =->，所以0k <不合题意； ·············· 8分若0k >，则()h a 在1(0,)4k 单调递增，在1(,)4k+∞单调递减，故max 1()()ln(4)14h a h k k k==-+-. ·················· 9分记()ln(4)1(0)P k k k k =-+->，1()(0)k P k k k-'=>故()P k在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，·············10分11()044Pe e=>，(1)ln40P=-<，(2)1ln80P=-<，(3)2ln120P=-<，(4)3ln160P=->，所以()P k在(0,1)和(3,4)分别存在一个零点12,k k，···········11分即12(0,1),(3,4)k k∈∈，因此13x≤≤时()0P k≤，即ln0a kb+≤，综上，min1c=，max3d=．······················12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题满分10分解：（Ⅰ）因为MT切圆O于T，所以2MT MD MB=⋅，········ 1分又因为//ME AC，所以MED DAC∠=∠，··············· 2分因为DAC MBE∠=∠，所以MED MBE∠=∠·············· 3分又因为DME EMB∠=∠，所以DME∆∽EMB∆, ············· 4分所以MD MEME MB=，即2ME MD MB=⋅，所以MT ME=. ·························· 5分（Ⅱ）因为MT ME=，所以3ME=，················ 6分因为1,MD MD DE=⊥，所以2222DE ME MD=-=······ 7分因为2ME MD MB=⋅，3ME=，1MD=，所以8DB=，······· 8分又因为DB DE⊥，所以22BE DB DE=+，即62BE=···························10分（23）选修44-：坐标系与参数方程本小题满分10分解：（Ⅰ）在曲线2C上任取一点M，设点M的坐标为(,)M x y，······· 1分则点1()23M x y'在曲线1C上，满足221()()123x y+=········· 3分所以曲线2C的直角坐标方程为22143x y+=. ················ 5分（Ⅱ）解法一：直线l的直角坐标方程为:280l x y+-=，·········· 6分设点P的坐标为(2cos3)Pθθ，··················· 7分点P到直线l的距离为4sin()82cos23sin8655hπθθθ+-+-==，···· 8分当3πθ=，即点P坐标为3(1,)2时，h455·········· 9分教育- 11 - / 11 所以||PQP 坐标为3(1,)2. ············ 10分 解法二：直线l 的直角坐标方程为:280l x y +-=，············· 6分设与直线l 平行的直线11:2l y x m =-+， ·················· 7分 1l 与2C 联立得：2230x mx m -+-=（*） ················ 8分 由判别式224(3)0m m ∆=--=得2m =±，依题意取2m =，此时方程（*）的根为1x =， ·············· 9分 即点P 坐标为3(1,)2时，点P 到直线l， 所以||PQP 坐标为3(1,)2. ············ 10分 （24）选修45-：不等式选讲本小题满分10分解：（Ⅰ）解法一：由|1|6(1)(6)5x x x x -+-≥---=，当且仅当16x ≤≤时取等号， ······················ 2分 依题意，5a <， ···························· 4分 所以实数a 的取值X 围是(5,5)-. ····················· 5分 解法二：记()|1|6f x x x =-+-，则27(6)()5(16)27(1)x x f x x x x ->⎧⎪=≤≤⎨⎪-+<⎩， ························ 2分 当且仅当16x ≤≤时min ()5f x =， ···················· 3分 依题意，5a <， ···························· 4分 所以实数a 的取值X 围是(5,5)-. ····················· 5分 （Ⅱ）解法一：依题意，实数b 的取值X 围是(5,5)-， ··········· 6分 因为222222(25)25()6252525ab a b a b a b ---=+-- 22(25)(25)0a b =-->， ························ 9分 所以255ab a b ->-. ························· 10分 解法二：依题意，实数b 的取值X 围是(5,5)-， ·············· 6分 要证255ab a b ->-，只需证22(25)25()ab a b ->-， ·········· 7分 即证222262525250a b a b +-->，即证22(25)(25)0a b --> ······· 9分 因为2225,25a b <<，所以22(25)(25)0a b -->成立， 所以255ab a b ->-成立. ······················· 10分。
