福州八中2016级高一数学周练试卷四

福州八中2015-2016学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分命题、校对：教务处 2015. 12.14第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}2,3,4,1,2A B ==，则[()U A B =（ ） （A ）{}2（B ）{}5（C ）{}34，（D ）{}2345，，，2．下列函数中，既是偶函数，又在区间()+∞,0内是减函数的是（ ） （A ）xy )21(=（B ）x y cos =（C ）x y ln = （D ）21x y -=3．等差数列}{n a 中，211152=++a a a ，则=+-+-108642a a a a a （ ） （A ）0（B ）7（C ）14（D ）214．“92>x ”是“3>x ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．已知0>a ，0>b 且b a ≠，设x =2ba +,b a y +=，4ab z =，则x ，y ，z 的大小关系是（ ） （A ）z x y >>（B ）z y x >>（C ）x z y >>（D ）x y z >>6．已知数列}{n a 满足2121n n n a a a -+=+，且01=a ，则该数列的前100项的和等于（ ）（A ）24 （B ）25 （C ）74 （D ）757．已知几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图均为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）（A ）38 （B ）328 （C ）34 （D ）3248．存在函数)(x f 满足：对任意R ∈x ，都有（ ）（A ）x x f 2sin )(sin = （B ）x x f 2sin )(cos = （C ）|1|)2(2-=-x x x f （D ）1|)1(|2-=-x x f9．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，3||=AB ，5||=AC ，则⋅=（ ） （A ）2（B ）4（C ）8（D ）1610．若y mx z +=在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥-03,02,02y x x y y x 上取得最小值时的最优解不唯一，则z 的最大值是（ ） （A ）3-（B ）0（C ）21 （D ）23 11．关于函数x x x f cos sin )(=的性质的描述，不正确的是（ ） （A ）任意R ∈x ，)()π(x f x f =+ （B ）任意R ∈x ，)2π()2π(x f x f -=+（C ）不存在)2π,0(0∈x ，使0)(0=x f（D ）不存在)2π,0(0∈x ，使21)(0>x f 12．比较下列各组中两数的大小： ①2015201620162015<； ②2015201620162015>；③2015201620162015<； ④2015201620162015>，其中正确结论的序号是（ ）（A ）①③（B ）②④（C ）①④（D ）②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13.若31)4πtan(=-θ，则θtan =___________． 14.已知向量)1,3(=a ，)1,(-=+x b a ．若b a //，则||b =___________．15.正三棱锥ABC P -内接于球O ，球心O 在底面ABC 上，且3=AB ，则球的表面积为___________． 16.曲线14122=+y x 上的点到原点O 的距离最小值等于___________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S ，满足n a S n n 22-=，2+=n n a b ． （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）记n n b c 2log =，数列}1{1+n n c c 的前n 项和为n T ，证明21<n T ．18.（本小题满分12分）ABC ∆中，c b a ,,分别是三个内角C B A ,,的对边，且A b B a c cos cos )2(=-．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若6=BC ，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC ∆的面积．19.（本小题满分12分）C 1B 1A 1CBA已知三棱柱111C B A ABC -，侧面⊥C C AA 11侧面11A ABB ，211===CA C A AA ，21==B A AB ．（Ⅰ）求证：BC AA ⊥1；（Ⅱ）求二面角1A BC A --的正弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆G 的焦点分别为)0,2(1-F ，)0,2(2F ，且经过点)2,2(-M ，直线2:+=ty x l 与椭圆G 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求△AB F 1的面积的最大值．21.（本小题满分12分）F已知函数3)(e 2)(2+--=a x x f x ，R ∈a ．（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在0=x 处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）若0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 注：e 是自然对数的底数．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，梯形ABCD 内接于圆O ，BC AD //，过点C 作圆O 的切线，交BD 的延长线于点F ，交AD 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：BC DE AB ⋅=2；（Ⅱ）若9==BC BD ，6=AB ，求切线FC 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数m x mx x f ++-=4)(（0>m ）． （Ⅰ）证明：4)(≥x f ；（Ⅱ）若5)2(>f ，求m 的取值范围．EDBA福州八中2015—2016学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试卷参考答案及评分标准一、选择题 CDBBAC ACCDBD 二、填空题13、2 14、102 15、π4． 16、3 三、解答题17、解：（Ⅰ）因为n a S n n 22-=，所以)1(2211+-=++n a S n n ，从而22211--=++n n n a a a ， 即221+=+n n a a ．所以22422211=++=++=++n n n n n n a a a a b b ． 又22111-==a S a ，所以21=a ，04211≠=+=a b ， 所以}{n b 是首项为4，公比为2的等比数列，所以11224+-=⨯=n n n b ，从而221-=+n n a ．…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1+=n c n ，所以2111)2)(1(111+-+=++=+n n n n c c n n ， 从而212121)2111(...)4131()3121(<+-=+-+++-+-=n n n T n ．……12分 18、解：（Ⅰ）根据正弦定理，由(2)cos cos c a B b A -=， 可得A B B A C cos sin cos )sin sin 2(=-， 整理得A B B A B C cos sin cos sin cos sin 2+=， 所以C B C sin cos sin 2=，因为0sin ≠C ，所以21cos =B ， 又因为π),0(∈B ，所以3π=B ．………………6分 （Ⅱ）如图，延长BD 至点E ，使得BD DE =，连接AE ，CE ． 因为D 为AC 的中点，所以四边形ABCE 为平行四边形， 所以3π2=∠BCE ，14=BE ． 在BCE ∆中，根据余弦定理，得3π2cos2222⋅⋅-+=CE BC CE BC BE ， 即016062=-+CE CE ，解得10=CE ，所以10==CE AB ． 所以ABC ∆的面积3153πsin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=B BC AB S ．……12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为BD 是AC 边上的中线，所以)(21BC BA BD +=，所以22)(41BC BA BD +=， 即BC BA BC BA BD ⋅++=24222．所以3πcos 626||74222⨯++=⨯BA 0160=-+，解得10||=BA ，即10=AB ． 所以ABC ∆的面积3153πsin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=B BC AB S ． 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设x AB =，=CD y DA =．在ABC ∆中，根据余弦定理，可得3πcos2222⋅⋅-+=BC AB BC AB AC ， 即366422+-=x x y …①． 在BCD ∆中，根据余弦定理可得，yy y y DC BD BC DC BD BDC 141372672cos 2222222+=⨯-+=⋅-+=∠．在ABD ∆中，同理可得，yx y y x y AD BD AB AD BD BDA 14497272cos 22222222+-=⨯-+=⋅-+=∠．因为π=∠+∠BDA BDC ，所以BDA BDC ∠-=∠cos cos ，所以)49(13222+--=+x y y ，即62222-=x y …②． 由①②可得016062=-+x x ，所以10=x ，即10=AB ．所以ABC ∆的面积3153πsin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=B BC AB S ． 19、解：（Ⅰ）取1AA 中点O ，连接CO ，BO ． 1CA CA =，1AA CO ⊥∴，又∵1BA BA =，∴1AA BO ⊥，……3分O CO BO = ，⊥∴1AA 平面BOC ，⊂BC 平面BOC ，BC AA ⊥∴1．……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）1AA CO ⊥，又侧面⊥C C AA 11侧面11A ABB ，侧面 C C AA 11侧面11A ABB =1AA ⊥∴CO 平面11A ABB ，而1AA BO ⊥，∴OA ，OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ．则有)0,1,2(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,1(),0,0,0(11--B C B A A O ， ……7分设),,(1111z y x =n 是平面ABC 的一个法向量，),,(2222z y x =n 是平面BC A 1的一个法向量，)3,1,0(),3,0,1(-=-=CB CA ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011CB CA n n 即⎩⎨⎧=-=-,03,031111z y z x 解得⎩⎨⎧==,3,31111z y z x 令11=z ，∴)1,3,3(1=n ．又)3,0,1(),0,1,1(11==C A B A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01212C A B A n n 即⎩⎨⎧=+=+,03,02222z x y x 解得⎩⎨⎧=-=,3,32222z y z x 令12-=z ，∴)1,3,3(2--=n ．……10分设二面角1A BC A --为θ，则71|cos |2121=⋅⋅=n n n n θ，所以二面角1A BC A --的正弦值是734． ……12分20、解：（Ⅰ）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则24232||||221=+=+=MF MF a ，所以22=a ，xB 1又因为2=c ，所以4222=-=c a b ，所以椭圆G 的方程为14822=+y x ． ……5分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,2,14822ty x y x 得044)2(22=-++ty y t ，032322>+=∆t 恒成立． 设),(11y x A ，),(22y x B ，则24221+-=+t t y y ，24221+-=t y y ． △AB F 1的面积等于112112||12F ABS c y y ∆=⋅⋅-===≤当且仅当11122+=+t t ，即0=t 时，等号成立，所以当0=t 时，△AB F 1的面积的最大值等于24．……12分 21、解：（Ⅰ）)e (2)(a x x f x +-='．因为函数)(x f y =的图象在0=x 处的切线与x 轴平行，所以0)1(2)0(=+='a f ， 解得1-=a ，经检验1-=a 符合题意．……5分 （Ⅱ）当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，等价于0)(min ≥x f ． 首先，必须0)0(≥f ，即0322≥+-a ，解得55≤≤-a ．以下只研究]5,5[-∈a 的情况．)e (2)(a x x f x +-='，设)e (2)(a x x g x +-=， 则当0≥x 时，0)1e (2)(≥-='x x g ，所以)e (2)(a x x g x +-=在),0[+∞内单调递增，且)1(2)0(a g +=．①当0)1(2≥+a ，即1-≥a 时，0)0()()(≥≥='g x g x f ，所以)(x f 在),0[+∞内单调递增，0)0()(≥≥f x f ，所以当51≤≤-a 时，在),0[+∞内单调递增．②当0)1(2<+a ，即1-<a 时，由)e (2)(a x x g x +-=在),0[+∞内单调递增，知存在唯一),0[0+∞∈x 使得0)(0=x g ，即a x x -=00e，且当∈x ),0(0x 时，0)()(<='x g x f ，)(x f 在),0(0x 上单调递减，当∈x ),(0+∞x 时，0)()(>='x g x f ，)(x f 在),(0+∞x 上单调递增，所以)(x f 的最小值为3)(e2)(2000+--=a x x f x ， 又a x x -=00e ，所以3)e (e 2)(2000+-=x x x f )3e )(1e (00-+-=x x ，因此，要使当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，只需0)(0≥x f ，即03e 0≤-x 即可．解得3ln 00≤<x ，此时由a x x -=00e ，可得0e 0x x a -=．以下求出a 的取值范围．x x x h e )(-=，]3ln ,0(∈x ， 得0e 1)(<-='x x h ， 所以)(x h 在]3ln ,0(上单调递减，从而133ln -<≤-a综上①②所述，a 的取值范围]5,33[ln -．……12分22、解：（Ⅰ）因为CF 与圆O 相切，所以DBC DCE ∠=∠，又BC DE //，所以DCB CDE ∠=∠，所以BCD CDE ∆∆~，可得DCDE BC DC =，所以BC DE DC ⋅=2， 又DC AB =，所以BC DE AB ⋅=2……………………………………5分（Ⅱ）DBC DCE ∠=∠，BFC ∠是公共角，所以BCF CDF ∆∆~， 所以69===CD BC FC FB DF FC ，所以FD FC 326+=， 又FB FD FC ⋅=2)9(+⋅=FD FD ，所以554=FC ．………………10分 23、解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程可化为22sin 22cos 22=+θρθρ， 所以直线l 的直角坐标方程为04=-+y x ．……………5分 （Ⅱ）设点)sin ,cos 2(ααP ，则点P 到直线l 的距离为24)sin(524sin cos 2-+=-+=ϕαααd （其中=ϕtan 2），所以当1)sin(-=+ϕα时，点P 到直线l 的距离的最大值为22410+．………10分 24、解：（Ⅰ）因为m ＞0，所以 m m m x m x m x m x x f +=+--≥++-=4|)()4(|4)(，又因为4424=⋅≥+m mm m ，当且仅当2=m 时等号成立，所以4)(≥x f ．…………………………………5分 （Ⅱ）|2||42|)2(m m f ++-=，当24<m ，即2>m 时，44)2(+-=mm f ，由5)2(>f ，解得2171+>m ．当24≥m ，即20≤<m 时，m m f +=4)2(，由5)2(>f ，解得10<<m ．综上，m 的取值范围是),2171()1,0(+∞+ ．……………………10分。

福建省福州八中2016高三毕业班第一次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分2015.8.28第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。

1.下列四组函数中，表示同一函数的是A. y ＝x －1与y ＝（x －1）2B. y ＝x －1与y ＝x －1x －1C. y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D. y ＝lg x －2与y ＝lg x1002. 设集合22{(,)|1},{(,)|3}416x x y A x y B x y y =+===，则A∩B 的子集的个数是A.1B.2C.3D.43．若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为 A ．m ≤－2 B ．m ≥2 C ．m ≤－2或m ≥2 D ．－2≤m ≤25.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是 A ．16 B ．24 C ．36 D ．486.若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值为A ．-2B ．CD ．27.不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ∀∈+≥-， 2:(x,y)D,x 2y 2p ∃∈+≥，3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中真命题的是A.23,p p B ．13,p p C ． 12,p p D ．14,p p8．已知f （x ）=32x ﹣（k+1）3x +2，当x ∈R 时，f （x ）恒为正值，则k 的取值范围是 A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣∞，2﹣1） C ．（﹣1，2﹣1） D ．（﹣2﹣1，2﹣1）9.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ．过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点．有下列四个命题：①PMN ∆必为直角三角形； ②PMN ∆不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切； ④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④10. 如图，在△ABC 中，AD=2DB ，AE=3EC ，CD 与BE 交于F ，设,,,(,)AB a AC b AF xa yb x y ===+则为A ．11(,)43B ．11(,)32C ．33(,)77D ．29(,)52011.已知定义在),(+∞-∞上的函数=y )(x f ，当),(+∞-∞∈x 时不等式 0)()(<'+x f x x f 成立，若)3(33.03.0f a ⋅=，)3.0(3.033f b ⋅=， )3(log )3(log 3.03.0f c ⋅=，则a ，b ，c 的大小关系是 A.c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. c a b >>12．已知定义在R 上的函数)(x f 满足：⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+，252)(++=x x x g ，则方程)()(x g x f =在区间[-5，1]上的所有实根之和为 A ． -7 B ．-6 C ． -5 D ．-4第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置.）13．已知集合M ＝{x |xx －2<0}，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R}，则M ∩N=________．14.已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点P (3 ，3a ) ，Q （ 4 ，4a ）的直线的斜率为_________.15．在区间[]09，内任取两个数，则这两个数的平方和也在[]09，内的概率为 ．16．给出下列三个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x<0”；②函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有3个零点；③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )<0，g ′(x )<0，则x <0时，f ′(x )<g ′(x )；④设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-．其中正确结论的序号是_____________．(填写所有正确结论的序号)三、解答题:（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设a 、b ∈R ,且a ≠2,若奇函数f (x )=lgxax211++在区间(－b ,b )上有定义. (1)求a 的值；(2)求b 的取值范围；(3)判断函数f (x )在区间(－b ,b )上的单调性,并说明理由.18. 某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元)关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元)最少，并求出这个最小值．19. 如图所示，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A.(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．20.设向量a ＝)sin ,2(θ，b ＝)cos ,1(θ，θ为锐角．(1)若a ·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；(2)若a ∥b ，求sin(2θ＋π3)的值．21.已知函数f(x)＝x ln x ，g(x)＝x e x －2e .(1)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值；(2)证明：对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有f(m)≥g(n)成立．22．选考题：从以下2题中选择1题做答，每题10分，若2题全做，则按第1题给分.(A)（选修4—4 参数方程与极坐标）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．(B)（选修4—5 不等式证明选讲）已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.稿 纸福州八中2015—2016学年高三毕业班第一次质量检查数学(理)试卷参考答案及评分标准1．D [解析] 对于选项A ，函数y ＝x －1的值域为R ，函数y ＝（x －1）2的值域为[0，＋∞)，值域不一样；对于选项B ，两函数的定义域不同；对于选项C ，两函数的定义域不同；只有选项D 符合．2. D [解析] 集合A 中的元素是焦点在y 轴上的椭圆上的所有点，集合B 中的元素是指数函数3xy =图象上的所有点，作图可知A∩B 中有两个元素，所以A∩B 的子集的个数是22=4个.3．A [解析] 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，∴A ∩B ＝∅，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分条件；当A ∩B ＝∅时，得a ≤2，则“a ＝1”不是“A ∩B ＝∅”的必要条件，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．4．B [解析]依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.由p ，q 均为假命题得m ≥2. 5. A6.D [解析]5(1)ax -的展开式中含3x 的项为232335()(1)10C ax a x -=，由题意得31080a =，所以2a =. 7. C 8．B 9.10. B [解析]33()(1)44AF AB BF AB BE AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+ ，同理向量AF 还可以表示为2(1)3AF AC CF AC CD AB AC μμμ=+=+=+- ，对应相等可得23λ=， 所以1132AF AB AC =+ 。

福州八中2015—2016学年高三毕业班第四次质量检查数学(文)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh =24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知()211i i z+=-（i 为虚数单位），则复数z =（ ）A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --2．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33. 若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1，2)C ．(－1，2)D ．(－1，－2)4. 设15<(15)b <(15)a<1，那么( )A ．a a<a b<aB ．a b <a a<aC ．a a <a <a bD ．a < a b <a a5. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A ．18+B ．20+C ．46+D ．50+6. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin(2x ＋2π3)D ．y ＝sin(2x －π6)7.下列叙述中正确的是( ) A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2≥cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．命题“l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若//,//l l αβ则α∥β”为假命题8. 已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．8C ．4D ．29. 下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是()10．已知圆()()22:344C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ） A ．7 B.6 C.5D.411. 若x ，y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩且z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]4,0a ∈-B ．[)0,2a ∈C ．()4,2a ∈-D ．()()4,00,2a ∈-U12．已知函数()2sin 2f x x =，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈， ()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值为A ．20B ．21C ．20或21D ．21或22第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13.函数()f x =的定义域为________． 14. 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，-cos θ)，若a b ⊥r r ，则tan θ＝________.15．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________．16. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p=_____． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且1，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋2)，求证：1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <1418．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（1）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=+-的奇偶性并说明理由；(2) 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求F(x )＋4cos(2A ＋π6) ，(x ∈[0，11π12])的取值范围．19.在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点, 12A A AB ==,3BC =.（1）求证：1//AB 平面1BC D ； (2) 求四棱锥11-B AAC D 的体积.20．设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点,其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-,B A y y y ∆=-,若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠,则称点B 为点A 的“相关点”,记作:()B A τ=.(Ⅰ)请问:点(0,0)的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程;若不在,说明理由;(Ⅱ)已知点(9,3),(5,3)H L ,若点M 满足(),()M H L M ττ==,求点M 的坐标;(Ⅲ)已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈∈Z Z 为一个定点,点列{}i P 满足:1(),i i P P τ-=其中1,2,3,...,i n =,求0n P P 的最小值.21、设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：()0f x >； （Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则求线段AB 与EF 的长度 .23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为ρ＝92sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，点P (1＋cosα，sin α)，参数α∈[0,2π)．(1)求点P 轨迹的直角坐标方程 (2)求点P 到直线l 距离的最小值．24、（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤1的解集为{x |1≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)若a ＝2，且存在实数x,使得()(5)m f x f x ≥++成立，求实数m的取值范围.福州八中2015—2016学年高三毕业班第四次质量检查数学(文)试卷参考答案及评分标准一、选择题 CCADB DDBCA CC二、填空题 （13）()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭U （14）12（15）4 （16）11 三、解答题17、 (1)解 ∵1，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋1，-----1分 当n ＝1时，2a 1＝S 1＋1，∴a 1＝1，----------------2分 当n ≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，-------------3分∴a na n －1＝2，-------------------------------------4分 ∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，-------5分∴a n ＝1×2n －1＝2n －1.------6分(2)证明 b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝log 222n +1-1×log 222n +3-1＝4n (n ＋1)，---7分1b n＝1111114141n n n n ⎛⎫⎛⎫⨯=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，-----------8分 123*11111111111++++=4122311111()414n b b b b n n n N n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-<∈ ⎪+⎝⎭L L即1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <14.--------12分 18、解：（1）ƒ（x ）=2sin ,x()()()2sin 2sin 2sin cos 22F x f x f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-----1分0,,444444F F F F F F ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--≠-≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭----5分 所以，F （x ）既不是奇函数也不是偶函数。

2015-2016学年福建福州八中高一下期中数学题一、选择题1．下列选项中，正确的赋值语句是（ ）A ．A ＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1) B ．5＝AC ．A ＝AA ＋A －2D ．4＝2＋2 【答案】C【解析】试题分析：由赋值语句的定义可知A 、B 、D 均错,故选C. 【考点】赋值语句.2．把77化成四进制数的末位数字为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D【解析】试题分析：77被4除余数为1，因此77的四进制数的末位数字为1，故选D. 【考点】四进制.3．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为（ ） A.13 B.110 C.25 D.310【答案】D【解析】试题分析： 所有基本事件有215330C C ⋅=，2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的基本事件有11121231239C C C C C ⋅⋅+⋅=，∴所求的概率933010P ==,故选D. 【考点】古典概型.4．将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则（ ） A. A 与B 是对立事件 B. A 与B 是互斥而非对立事件 C. B 与C 是互斥而非对立事件 D. B 与C 是对立事件 【答案】A【解析】试题分析：由已知可得,A B A B U ⋂=∅⋃=,因此A 与B 是对立事件，故选A.【考点】事件的互斥与对立. 5．从2 012名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 012人中，每人入选的概率（ ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为140D ．都相等，且为251006【答案】D【解析】试题分析：由已知可得每人入选的概率都相等，且为251006，故选D. 【考点】系统抽样.6．如图所示是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的6场比赛得分的茎叶图，12,s s 分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的平均数，则有（ ）A ．12x x > ，12s s >B ．12x x < ，12s s <C ．12x x < ，12s s >D ．12x x > ，12s s < 【答案】C【解析】试题分析： 乙的得分都在20分以上，且较甲集中，∴12x x < ，12s s >，故选C.【考点】1、茎叶图；2、平均数和标准差.【方法点晴】本题主要考查茎叶图、平均数和标准差，属于容易题型.解决此类题型有两种方法:（1）观察法，可以通过观察茎叶图的图像特征（对称性、集中性（离散程度）、中位数、众数等）来估计两组数据的均值和方差（标准差）；（2）公式法，即利用公式22221212()()(),n n x x x x x x x x x x S n n+++-+-+-== 求解比较.两种方法各有优劣，视问题具体情况选择相应公式.7．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入（ ）A ．K ＜10?B ．K≤10?C ．K ＜9?D ．K≤11? 【答案】A 【解析】试题分析：12,112,11132,101320,9K S S K S K S K ==⇒==⇒==⇒== ,∴判断框应填10?K ≤，故选B. 【考点】程序框图.8．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为45，则河宽为（ ） A ．80 m B ．100 m C ．50 m D ．40 m【答案】B【解析】试题分析：该物品能找到的概率为41005005x P x ==⇒=，故选B. 【考点】几何概型.9．已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <12V S －ABC 的概率是（ ） A ．78 B ．34 C ．12D ．14【答案】A【解析】试题分析：设正三棱锥S A B C -的高位h ,则所求概率11173421183ABC ABC S hP S h ⨯⨯=-= . 【考点】1、几何概型；2、锥体的体积. 10．已知sin ()12πα+＝13，则cos 7()12πα+的值为（ ） A.1B ．－13C ．－【答案】B【解析】试题分析：71cos()cos[()]sin()12212123ππππααα+=++=+=. 【考点】诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是2π的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会犯错.11．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A.3π B ．C.23πD ．2【答案】B【解析】试题分析：设圆的半径为r 内接正三角形边长为a ,则23r ==,因=【考点】1、正三角形的外接圆；2、弧度的定义. 12．下列说法正确的是（ ） A ．在(0,)2π内sin x>cos xB ．函数y ＝2sin (x )5π+的图象的一条对称轴是x ＝45πC ．函数y ＝21tan xπ+的最大值为πD ．函数y ＝sin 2x 的图象可以由函数y ＝sin (2x )4π+的图象向右平移8π个单位得到 【答案】C【解析】试题分析：sin cos ,(0,)(,),242x x x x πππ>∈⇒∈∴ A 错；4,0,5x y π==∴ B 错；22tan 01tan 1,x x y π≥⇒+≥⇒≤∴ C 正确； 正确答案是左移8π∴D 错，故选B. 【考点】三角函数的图象与性质.【易错点晴】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中等难题.本题虽然难度不大，但是考查的知识点较多，不细心容易犯错.选项A 要结合函数图象求解正确率会较高；选项B 可以用代入检验法避免繁杂的计算；选项C 通过构造法逐步限制范围，速度较快；选项D 要分清平移的先后顺序，才不会犯错.二、填空题13．一个容量为100的样本分成10组，组距为10，在对应的频率分布直方图中某个小长方形的高为0.03，那么该组的频数是 ． 【答案】30【解析】试题分析：==0.03=0.310⇒频率频率频率组距，因此==0.03=30100⇒频数频数频数容量.【考点】频率分布直方图.14．若输入的数字是“68”,则下列程序运行后输出的结果是_________．【答案】86【解析】试题分析：该数据的功能是将输入的数据倒序输出，故答案为86. 【考点】程序语言.15．通过模拟试验，产生了20组随机数： 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，那么表示恰有三次击中目标，那么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为____． 【答案】25%【解析】试题分析：四次射击中恰有三次击中目标有3013,2604,5725,6576,6754，故所求概率525%20P ==. 【考点】随机数模拟概率的近似值.【方法点晴】本题主要考查随机数模拟概率的近似值，属于较易题型.解决先确定样本空间的总体个数n ，再从中选取符合事件范围的基本事件个数m ，如：恰有三次击中目标，就必须寻找四位数中要有三个数字是123456、、、、、.抽签法中的随机数表法有所不同的是：重号可以重复计算（切记！）.然后代入公式mP n=即可求出正解. 16．一只蚂蚁在边长为3的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为 ． 【答案】19π-【解析】试题分析：所求的概率2111339P ππ⨯=-=-⨯.【考点】几何概型.17．已知a 、b 、c 为集合A ＝{1,2,3,4,5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数a ＝5的概率是________．【答案】35【解析】试题分析： 所有基本事件有10种，输出数为5的基本事件有6种，∴所求的概率为63105p ==. 【考点】古典概型.18．已知函数f(x)xkπ的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f(x)的最小正周期为_______． 【答案】4【解析】试题分析：由已知可得2T k =(不妨取0k >)，则最大值点(2k 在圆上，则222()2kk +=，2,4k T ∴=∴=. 【考点】1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质；2、圆的方程.【方法点晴】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质和圆的方程，综合性较高，属于较难题型. 解决本题的关键是由()f x 图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点这一条件判断出()f x 的2T k =(不妨取0k >)，进而可得最大值点(2k 在圆上（用最小值点(,2k 也可以），从而代入圆方程问题就迎刃而解.三、解答题 19．（1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数.（2）用秦九韶算法计算函数24532)(34=-++=x x x x x f 当时的函数值. 【答案】（1） 84；（2）62. 【解析】试题分析：（1）由1764840284=⨯+ 和84084100=⨯+可得最大公约数是84；（2）将多项式改写成如下形式：()(((23)0)5)4f x x x x x =+++-，再从内到外的顺序依次计算一次多项式当2x =时的值，即可求得正解. 试题解析：（1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数. 1764840284=⨯+ 84084100=⨯+所以840与1764 的最大公约数是84（2）根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：()(((23)0)5)4f x x x x x =+++- 从内到外的顺序依次计算一次多项式当2x =时的值：012,2237V V ==⨯+=23472014,142533,332462V V V =⨯+==⨯+==⨯-=所以，当2x =时，多项式的值等于62 【考点】1、辗转相除法；2、秦九韶算法.20．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.【答案】（1） 0.005a =；（2）73；（3）10.【解析】试题分析：（1）由10(20.020.030.04)1a +++=可得0.005a =；（2）根据平均分估值方法：频率乘以组中值的和，可得550.05650.4750.⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）分别计算数学成绩在[50,60) 、[60,70) 、[70,80)、[80,90)的人数分别为5204025、、、，剩下的就是[50,90)之外的人数.试题解析：解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=，数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯=， 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=，数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=。