八年级下册数学拓展训练一

《一次函数的图象》拓展训练一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）是一次函数y＝﹣2x+1图象上的两点，则（）A．y1＞y2B．y1≥y2C．y1＜y2D．y1≤y22．（4分）将直线y＝2x向右平移2个单位，再向上移动4个单位，所得的直线的解析式是（）A．y＝2x B．y＝2x+2C．y＝2x﹣4D．y＝2x+43．（4分）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（）A．B．C．D．4．（4分）一次函数y＝﹣x+3的图象经过坐标系的（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限5．（4分）已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．6．（4分）若一次函数y＝（1﹣2k）x﹣k的函数值y随x的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（）A．k＜B．k≥0C．0≤k＜D．k≤0或k＞7．（4分）如图，直线y＝﹣x+与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（）A．2B．4C．6D．88．（4分）在一次函数y＝（2k+3）x+k+1的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当k＜﹣时，y随x的增大而减小；乙认为无论k取何值，函数必定经过定点（﹣，﹣）．则下列判断正确的是（）A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲乙都正确D．甲乙都错误9．（4分）已知，则直线y＝kx﹣k一定经过的象限是（）A．第一、三、四象限B．第一、二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限10．（4分）如图，函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，∠BAO的平分线AC与y轴交于点C，则点C的纵坐标为（）A．B．C．2D．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）已知点A（2m﹣1，4m+2015）、B（﹣n+，﹣n+2020）在直线y＝kx+b上，则k+b值为．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（n，4），若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的取值范围为．13．（4分）若一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点（1，3）和点（﹣1，2），则k2﹣b2的值为．14．（4分）已知点A（﹣2，0），点P是直线y＝x上的一个动点，当以A，O，P为顶点的三角形面积是3时，点P的坐标为．15．（4分）若点（m，n）在函数y＝2x﹣2019的图象上，则2m﹣n的值是．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）已知一次函数y1＝﹣2x+4，完成下列问题：（1）画出此函数的图象；（2）将函数y1的图象向下平移2个单位，得到函数y2的图象，直接写出函数y2的表达式；（3）当x时，y2＞0．17．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知一次函数y＝x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）写出A点和B点的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出一次函数＝x+3的图象；（3）若C点的坐标为C（3，0），判断△ABC的形状，并说明理由．18．（8分）已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝2x+b经过点B 且与x轴交于点C．求△ABC的面积．19．（8分）如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为，试求点P的坐标．20．（8分）如图，已知直线11：y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于A，B两点，C（2，2）（1）求出A，B两点坐标；（2）求△ABC的面积；《一次函数的图象》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）是一次函数y＝﹣2x+1图象上的两点，则（）A．y1＞y2B．y1≥y2C．y1＜y2D．y1≤y2【分析】根据一次函数图象的增减性，结合横坐标的大小，判断纵坐标的大小关系，即可得到答案．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1的图象y随着x的增大而减小，又∵﹣2＜3∴y1＞y2，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键．2．（4分）将直线y＝2x向右平移2个单位，再向上移动4个单位，所得的直线的解析式是（）A．y＝2x B．y＝2x+2C．y＝2x﹣4D．y＝2x+4【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y＝2（x﹣2）+4＝2x．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．3．（4分）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（）A．B．C．D．【分析】由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴﹣k＞0，∴选项B中图象符合题意．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．4．（4分）一次函数y＝﹣x+3的图象经过坐标系的（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限【分析】由直线的解析式得到k＜0，b＞0，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．【解答】解：∵y＝﹣x+3，∴k＜0，b＞0，故直线经过第一、二、四象限．故选：C．【点评】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定．5．（4分）已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数y＝kx+b的图象位置可得k＞0，b＞0，然后根据系数的正负判断函数y＝﹣bx+k的图象位置．【解答】解：∵函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，∴函数y＝﹣bx+k的图象经过第一、二、四象限．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象经过一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象经过一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象经过二、三、四象限．6．（4分）若一次函数y＝（1﹣2k）x﹣k的函数值y随x的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（）A．k＜B．k≥0C．0≤k＜D．k≤0或k＞【分析】先根据函数y随x的增大而增大可确定1﹣2k＞0，再由函数的图象不经过第二象限图象与y轴的交点在y轴的正半轴上或原点，即﹣k≤0，进而可求出k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（1﹣2k）x﹣k的函数值y随x的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，∴1﹣2k＞0，且﹣k≤0，解得0≤k＜，故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y＝kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0；一次函数y＝kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0；一次函数y＝kx+b图象过原点⇔b＝0．7．（4分）如图，直线y＝﹣x+与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据题意可以划出相应的图形，然后写出各种情况下的等腰三角形，即可解答本题．【解答】解：如右图所示，当BA＝BP1时，△ABP1是等腰三角形，当BA＝BP2时，△ABP2是等腰三角形，当AB＝AP3时，△ABP3是等腰三角形，当AB＝AP4时，△ABP4是等腰三角形，当BA＝BP5时，△ABP5是等腰三角形，当P6A＝P6B时，△ABP6是等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答，注意一定要考虑全面．8．（4分）在一次函数y＝（2k+3）x+k+1的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当k＜﹣时，y随x的增大而减小；乙认为无论k取何值，函数必定经过定点（﹣，﹣）．则下列判断正确的是（）A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲乙都正确D．甲乙都错误【分析】依据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到正确结论．【解答】解：当k＜﹣时，2k+3＜0，即y随x的增大而减小，故甲的说法正确；在y＝（2k+3）x+k+1中，当x＝﹣时，y＝﹣，即无论k取何值，函数必定经过定点（﹣，﹣），故乙的说法正确．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，解答本题的关键是掌握：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小．9．（4分）已知，则直线y＝kx﹣k一定经过的象限是（）A．第一、三、四象限B．第一、二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限【分析】由于a+b+c的符号不能确定，故进行分类讨论，当a+b+c≠0时，可利用等比性质求出k的值，当a+b+c＝0时，可将a+b转化为﹣c，然后求出k，得到其解析式，进而判断出直线y＝kx﹣k一定经过哪些象限．【解答】解：当a+b+c≠0时，∵，∴k＝，此时，y＝kx﹣k＝x﹣，经过第一、四、三象限；当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，此时，k＝＝﹣1，此时，y＝kx﹣k＝﹣x+1经过第二、一、四象限．综上所述，y＝kx﹣k一定经过第一、四象限，故选：C．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．10．（4分）如图，函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，∠BAO的平分线AC与y轴交于点C，则点C的纵坐标为（）A．B．C．2D．【分析】过点C作CF⊥BA，由题意可得AO＝4，BO＝3，根据“AAS”可证△ACF≌△ACO，可得CO＝CF，AO＝AF＝4，再根据勾股定理可求OC的长，即可得点C的纵坐标．【解答】解：如图，过点C作CF⊥BA，∵y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，∴点A坐标为（4，0），点B坐标为（0，3），∴AO＝4，BO＝3，在Rt△ABO中，AB＝＝5，∵AC平分∠BAO，∴∠F AC＝∠OAC，且AC＝AC，∠CF A＝∠COA＝90°，∴△ACF≌△ACO（AAS）∴CO＝CF，AO＝AF＝4∴BF＝1，在Rt△BCF中，BC2＝BF2+CF2，∴（3﹣CO）2＝1+CO2，∴CO＝故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关的性质定理进行推理是本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）已知点A（2m﹣1，4m+2015）、B（﹣n+，﹣n+2020）在直线y＝kx+b上，则k+b值为2019．【分析】把点A（2m﹣1，4m+2015）和点B（﹣，﹣n+2020）分别代入直线y＝kx+b，经过整理变形，即可得到k的值，利用代入法，可求得b的值，即可得到答案．【解答】解：把点A（2m﹣1，4m+2015）代入直线y＝kx+b得：4m+2015＝k（2m﹣1）+b①，把点B（﹣，﹣n+2020）代入直线y＝kx+b得：﹣n+2020＝k（﹣+）+b②，①﹣②得：4m+n﹣5＝k（2m），k＝＝2，把k＝2代入①得：4m+2015＝2（2m﹣1）+b，解得：b＝2017，则k+b＝2+2017＝2019，故答案为：2019．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（n，4），若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的取值范围为n≥2．【分析】由直线y＝2x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围．【解答】解：∵直线y＝2x与线段AB有公共点，∴2n≥4，∴n≥2故答案为：n≥2【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．13．（4分）若一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点（1，3）和点（﹣1，2），则k2﹣b2的值为﹣6．【分析】将点（1，3）和点（﹣1，2）代入解析式可求k，b的值，即可求k2﹣b2的值．【解答】解：根据题意得：解得：∴k2﹣b2＝﹣＝﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．14．（4分）已知点A（﹣2，0），点P是直线y＝x上的一个动点，当以A，O，P为顶点的三角形面积是3时，点P的坐标为（4，3）或（﹣4，﹣3）．【分析】依据点P是直线y＝x上的一个动点，可设P（x，x），再根据以A，O，P 为顶点的三角形面积是3，即可得到x的值，进而得出点P的坐标．【解答】解：∵点P是直线y＝x上的一个动点，∴可设P（x，x），∵以A，O，P为顶点的三角形面积是3，∴×AO×|x|＝3，即×2×|x|＝3，解得x＝±4，∴P（4，3）或（﹣4，﹣3），故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．15．（4分）若点（m，n）在函数y＝2x﹣2019的图象上，则2m﹣n的值是2019．【分析】根据“点（m，n）在函数y＝2x﹣2019的图象上”，把（m，n）代入函数y＝2x ﹣2019，经过移项即可得到答案．【解答】解：把（m，n）代入函数y＝2x﹣2019得：n＝2m﹣2019，移项得：2019＝2m﹣n，即2m﹣n＝2019，故答案为：2019．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）已知一次函数y1＝﹣2x+4，完成下列问题：（1）画出此函数的图象；（2）将函数y1的图象向下平移2个单位，得到函数y2的图象，直接写出函数y2的表达式；（3）当x＜1时，y2＞0．【分析】（1）分别求出直线与x，y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；（2）根据一次函数平移的性质得出函数表达式即可得出结论；（3）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论．【解答】解：（1）当x＝2时，y＝0；当x＝0时，y＝4；所以函数的图象为：（2）将函数y1的图象向下平移2个单位，得到函数y2＝﹣2x+2．（3）当y2＞0时，可得：﹣2x+2＞0，解得：x＜1．故答案为：＜1．【点评】本题考查的是一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象的特点是解答此题的关键．17．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知一次函数y＝x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）写出A点和B点的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出一次函数＝x+3的图象；（3）若C点的坐标为C（3，0），判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）依据一次函数y＝x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，即可得到A点和B点的坐标；（2）依据A点和B点的坐标，即可画出一次函数＝x+3的图象；（3）依据勾股定理的逆定理，即可得出△ABC的形状．【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝﹣3；∴A（﹣3，0），B（0，3）；（2）一次函数＝x+3的图象如图所示，（3）如图，依题意得AO＝BO＝CO＝3，∴AB＝BC＝＝3，AC＝6，∵AB2+BC2＝36，AC2＝36，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．18．（8分）已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝2x+b经过点B 且与x轴交于点C．求△ABC的面积．【分析】先求出A、B两点的坐标，再把B点坐标代入直线y＝2x+b求出b的值，故可得出C点坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵当y＝0 时，x＝；当x＝0 时，y＝3，∴A（，0），B（0，3），∵直线y＝2x+b经过点B，∴b＝3，∴直线y＝2x+b的解析式为y＝2x+3，∴C（﹣，0），∴AC＝+＝6，∴S△ABC＝×6×3＝9．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合2此函数的解析式是解答此题的关键．19．（8分）如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为，试求点P的坐标．【分析】（1）把x＝0，y＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点A、B的坐标；（2）由B、A的坐标易求：OB＝3，OA＝．然后由三角形面积公式得到S△ABP＝AP •OB＝，则AP＝．设点P的坐标为（m，0），则m﹣（﹣）＝或﹣﹣m＝，由此可以求得m的值．【解答】解：（1）由x＝0得：y＝3，即：B（0，3）．由y＝0得：2x+3＝0，解得：x＝﹣，即：A（﹣，0）；（2）由B（0，3）、A（﹣，0）得：OB＝3，OA＝∵S△ABP＝AP•OB＝∴AP＝，解得：AP＝．设点P的坐标为（m，0），则m﹣（﹣）＝或﹣﹣m＝，解得：m＝1或﹣4，∴P点坐标为（1，0）或（﹣4，0）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．20．（8分）如图，已知直线11：y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于A，B两点，C（2，2）（1）求出A，B两点坐标；（2）求△ABC的面积；【分析】（1）依据一次函数的解析式即可得到A，B两点坐标；（2）过C作CD⊥x轴于D，根据S△ABC＝S梯形BODC﹣S△ABO﹣S△ACD进行计算即可．【解答】解：（1）在y＝﹣x+中，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝1，∴A（1，0），B（0，）；（2）如图，过C作CD⊥x轴于D，∵C（2，2），∴OD＝2，CD＝2，∴S△ABC＝S梯形BODC﹣S△ABO﹣S△ACD＝（+2）×2﹣×1×﹣×1×2＝．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，根据割补法求三角形面积是解题的关键。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 若一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的面积是（）A. 32cm²B. 40cm²C. 48cm²D. 50cm²2. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，-2），则AB的中点坐标是（）A. （1，1）B. （3，2）C. （0，5）D. （1，5）3. 若方程x²-5x+6=0的解为x₁和x₂，则（x₁-2）（x₂-2）的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 在等差数列{an}中，a₁=3，d=2，则前10项的和S₁₀为（）A. 100B. 110C. 120D. 1305. 若函数y=kx+b（k≠0）的图象过点（2，3），则k与b的关系是（）A. k=3，b=2B. k=2，b=3C. k=-3，b=2D. k=-2，b=36. 在等比数列{an}中，a₁=2，q=3，则第4项a₄的值为（）A. 6B. 18C. 54D. 1627. 在直角坐标系中，点P（3，4），点Q（-2，1），则PQ的长度为（）A. 5B. 7C. 9D. 118. 若函数y=x²+2x-3的图象与x轴的交点为A、B，则AB的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 在等差数列{an}中，a₁=5，d=-2，则前10项的和S₁₀为（）A. 50B. 60C. 70D. 8010. 若函数y=2x+1的图象与x轴的交点为A，则A的坐标是（）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，0）D. （0，-1）二、填空题（每题5分，共25分）11. 在等差数列{an}中，a₁=3，d=2，则第10项a₁₀的值为______。

12. 若函数y=kx+b（k≠0）的图象过点（1，2），则k与b的关系是______。

13. 在等比数列{an}中，a₁=4，q=2，则第3项a₃的值为______。

初二下数学拓展练习题1. 下列哪一个选项中有两个无理数？A. √2和3B. 2和2.5C. 3和√3D. 1/2和π解析：无理数是指无法表示为两个整数之间的比值的数。

通过观察选项中的数字，可以发现只有选项C中的3和√3不能表示为两个整数之间的比值，因此答案选C。

2. 已知三角形ABC中，∠ABC = 90°，BC = 3 cm，AC = 4 cm，则AB的长度为多少？解析：根据勾股定理，可以得到AB的长度为√(AC² - BC²) = √(4² -3²) = √7 cm。

3. 若x² + y² = 5，且x + y = 3，则x和y的乘积为多少？解析：根据二次方程求根公式，可以将x和y的关系表示为y = 3 - x。

将其代入第一个等式，得到x² + (3 - x)² = 5。

展开后化简得到2x² -6x + 5 = 0。

通过求解二次方程可以得到x的两个解为x = 1和x = 2。

将这两个解分别代入y = 3 - x，得到对应的y值为y = 2和y = 1。

因此，x和y的乘积为1 × 2 = 2。

4. 某商店进行促销活动，原价为200元的商品打8折，原价为300元的商品打85折，原价为150元的商品打9折，求购买这些商品一共需要支付多少钱？解析：根据打折的定义，打8折即为原价乘以0.8，打85折即为原价乘以0.85，打9折即为原价乘以0.9。

根据题目中的价格和折扣计算，可以得到总共需要支付的钱数为200 × 0.8 + 300 × 0.85 + 150 × 0.9 =160 + 255 + 135 = 550 元。

5. 甲、乙两个数的比值为5:3，如果甲增加20，乙减少10后，它们的比值为4:3，求甲原来的数。

解析：设甲原来的数为5x，乙原来的数为3x。

根据题目中的条件可以得到：(5x + 20) / (3x - 10) = 4 / 3。

《平行四边形》拓展训练一、选择题1．如图所示，线段EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB=4，BC=5，EF=3．那么四边形EFCD 的周长是（ ）A ．14B ．12C ．16D ．102．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG=GH=HC ；③2EG=BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE =2：3，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O ，∠BCD 的平分线CE 与边AB 相交于E ，若EB=EA=EC ，那么下列结论正确的个数有（ ） ①∠ACE=30° ②OE ∥DA ③S ▱ABCD =AC•AD ④CE ⊥DBA．1B．2C．3D．45．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，OE⊥BD 交BC于点E，CD=1，则CE的长为（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④7．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO=3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC=（）A．6：2：1B．3：2：1C．6：3：2D．4：3：2 8．如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（）A．B．40C．50D．9．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．610．如图在▱ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（）A．16B．14C．8D．7二、填空题11．如图，已知▱ABCD的顶点A是直线l上一定点，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，AM=1，MN=3，则对角线AC长的最小值为．12．如图，▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB=AE．若AE平分∠DAB，∠EAC=27°，则∠AED的度数为．13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD=60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF=．14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．求证：AE∥CF，AE=CF．15．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE=66°，则∠BCE=．三、解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AE=CE时，求四边形AECF的面积．17．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF 相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．18．如图，▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，∠ADC的角平分线DF交BC于点F，AB=5，DE=3，∠ABC=50°．（1）求∠FDC的度数；（2）求▱ABCD的周长．19．在▱ABCD中，连接对角线BD，AB=BD，E为线段AD上一点，AE=BE，F为射线BE上一点，DE=BF，连接AF（1）如图1，若∠BED=60°，CD=2，求EF的长；（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF=2DE，求证：DF=2GF．20．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．《平行四边形》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图所示，线段EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=5，EF=3．那么四边形EFCD的周长是（）A．14B．12C．16D．10【分析】根据平行四边形的性质，得△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得OF=OE，CF=AE．再根据平行四边形的对边相等，得CD=AB，AD=BC，故FC+ED=AE+ED=AD，根据所推出相等关系，可求四边形EFCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴OF=OE=1.5，CF=AE，根据平行四边形的对边相等，得CD=AB=4，AD=BC=5，故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD，=OE+OF+AE+ED+CD，=1.5+1.5+5+4=12．故选：B．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是能够根据平行四边形的性质发现全等三角形，再根据全等三角形的性质求得相关线段间的关系．2．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG=GH=HC ；③2EG=BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE =2：3，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据SAS ，即可证明：①△ABE ≌△CDF ；由▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 中点，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE 是平行四边形，由AD ∥BC ，即可证得△AGE ∽△BCG ，△CHF ∽△AHD ，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG ：CG=EG ：BG=1：2，CH ：AH=1：2，即可证得AG=GH=HC ，2EG=BG ；由S △ABG =2S △AEG ，S 四边形GHDE =3S △AEG ，可得结论④．【解答】解：在▱ABCD 中，AB=CD ，∠BAE=∠DCF ，BC=DA ；E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，∴AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF ，故①正确，∵AD ∥BC ，∴△AGE ∽△BCG ，△CHF ∽△AHD ，∴AG ：GC=EG ：BG=AE ：BC ，CH ：AH=CF ：AD ，∵E ，F 分别是边AD ，BC 中点，∴AE=AD ，CF=BC ，∴AE ：BC=1：2，CF ：AD=1：2，∴EG ：BG=AG ：CG=1：2，CH ：AH=1：2，∴AG=CH=AC ，2EG=BG ，故③正确；∴AG=GH=CH ，故②正确．∵S △ABG =2S △AEG ，S 四边形GHDE =3S △AEG ，∴S △ABG ：S 四边形GHDE =2：3，故④正确．故选：D ．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的对应边成比例，等高三角形的面积比等于对应底的比．3．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【分析】由，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，可得到AD=DE 即△ADE 是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=110°，即可求出∠DAE 的度数．【解答】解：∵▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且CD=CD ，∴AD=DE ，∵∠DAE=∠DEA ，∵∠BAD=60°，∠F=110°，∴∠ADC=120°，∠CDE ═∠F=110°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣110°=130°，∴∠DAE==25°，故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O ，∠BCD 的平分线CE 与边AB 相交于E ，若EB=EA=EC ，那么下列结论正确的个数有（ ） ①∠ACE=30° ②OE ∥DA ③S ▱ABCD =AC•AD ④CE ⊥DBA．1B．2C．3D．4【分析】想办法证明∠ACB=90°，△BCE是等边三角形即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OD=DB，∴∠DCA=∠CEB，∵∠DCA=∠BCE，∴∠BCE=∠CEB，∴BC=EC，∵EB=EA=EC，∴∠ACB=90°，EC=BC=EB，∴△BEC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CAB=30°，故①正确，∵OD=DB，AE=EB，∴OE∥AD，故②正确，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，∴AD⊥AC，∴S▱ABCD=AC•AD，故③正确，假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，OE⊥BD 交BC于点E，CD=1，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】首先证明四边形ABCD是矩形，在RT△BOE中，易知BE=2EO，只要证明EO=EC即可【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD，∵△ABO是等边三角形，∴AO=BO=AB，∴AO=OC=BO=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．∴OB=OC，∠ABC=90°，∵△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°，∵BO⊥OE，∴∠BOE=90°，∠EOC=30°，∴∠EOC=∠ECO，∴EO=EC，∴BE=2EO=2CE，∵CD=1，∴BC=CD=，∴EC=BC=，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是直角三角形30度角的性质的应用，属于中考常考题型．6．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC =S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF 是解题关键．7．如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使FO=3OC ，连接AB 、AC 、BC ，则在△ABC 中S △ABO ：S △AOC ：S △BOC =（ ）A ．6：2：1B ．3：2：1C ．6：3：2D ．4：3：2【分析】连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．由FO ：OC=3：1，BE=OB ，AF ∥OE 可得S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =m ，S △AOC =，由此即可解决问题；【解答】解：连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．∵FO ：OC=3：1，BE=OB ，AF ∥OE∴S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =m ，S △AOC =， ∴S △AOB ：S △AOC ：S △BOC =m ：：m=3：2：1故选：B ．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8．如图，平行四边形ABCD 中，∠B=60°，AB ⊥AC ，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，△CDE 的周长是15，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．40C ．50D ．【分析】首先证明AD +CD=15，再证明AD=2CD ，推出CD=5，AD=10，利用勾股定理求出AC 即可解决问题；【解答】解：∵点E 在AC 的垂直平分线上，∴EA=EC ，∴△CDE 的周长=CD +DE +EC=CD +DE +EA=CD +DA=15，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D=60°，AB ∥CD ，∵AB ⊥AC ，∴AC ⊥CD ，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴AD=2CD ，∴CD=5，AD=10，∴AC==5，∴S 平行四边形ABCD =2•S △ADC =2××=25， 故选：D ．【点评】本题考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，已知△ABC 的面积为12，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC=4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【分析】想办法证明S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，再由EF ∥AC ，可得S △AEC =S △ACF 解决问题；【解答】解：连接AF 、EC ．∵BC=4CF ，S △ABC =12，∴S △ACF =×12=3，∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥AC ，∴S △DEB =S △DEC ，∴S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，∵EF ∥AC ，∴S △AEC =S △ACF =3，∴S 阴=3．故选：B ．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．如图在▱ABCD 中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C 关于AD 的对称点为E ，连接BE 交AD 于点F ，点G 为CD 的中点，连接EG ，BG ．则△BEG 的面积为（ ）A ．16B ．14C ．8D ．7【分析】如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM ⊥CD 交CD 的延长线于M ．构建S △BEG =S △BCE +S ECG ﹣S △BCG 计算即可；【解答】解：如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM ⊥CD 交CD 的延长线于M ．∵BC=2AB ，BH=CH ，∠ABC=60°，∴BA=BH=CH ，∴△ABH 是等边三角形，∴HA=HB=HC ，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∵EC ⊥BC ，∠BCD=180°﹣∠ABC=120°，∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，∵BC=2AB=8，∴CD=4，CN=EN=2， ∴EC=4，EM=2，∴S △BEG =S △BCE +S ECG ﹣S △BCG =×8×4+×2×2﹣S 平行四边形AABCD =16+2﹣4 =14 故选：B ．【点评】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题11．如图，已知▱ABCD 的顶点A 是直线l 上一定点，过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，AM=1，MN=3，则对角线AC 长的最小值为 5 ．【分析】过C作CF⊥l于F，过C作CE⊥DN，交DN的延长线于E，依据△ABM ≌△CDE，即可得出CE=AM=1，进而得出NF=1，AF=1+3+1=5，依据AC≥AF，即可得到AC的最小值为5．【解答】解：如图所示，过C作CF⊥l于F，过C作CE⊥DN，交DN的延长线于E，又∵BM⊥l，DN⊥l，∴∠AMB=∠CED=90°，∵AB∥CD，CE∥AF，∴∠BAM=∠DCE，又∵AB=CD，∴△ABM≌△CDE，∴CE=AM=1，又∵矩形CENF中，NF=CE，∴NF=1，又∵MN=3，∴AF=1+3+1=5，又∵CF⊥l于点F，∴AC≥AF，∴AC的最小值为5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行且相等．12．如图，▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB=AE．若AE平分∠DAB，∠EAC=27°，则∠AED的度数为87°．【分析】首先证明△ABE是等边三角形，再证明∠AED≌△DCA，可得∠AED=∠DCA，求出∠DCA即可；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠DAE=∠AEB，∵∠EAB=∠EAD，∴∠EAB=∠AEB，∴BA=BE，∵AB=AE，∴AB=BE=AE，∴∠B=∠BAE=∠AEB=60°，∴∠EAD=∠CDA=60°，∵EA=AB，CD=AB，∴EA=CD，∵AD=DA，∴∠AED≌△DCA，∴∠AED=∠DCA，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=60°+27°=87°，∴∠AED=87°．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD=60°，AE 平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF=4．【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG=AD=5，AE=GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF=AF=4．【解答】解：如图，延长AE，BC交于点G，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D=∠ECG，又∵∠AED=∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG=AD=5，AE=GE，又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，∴∠FAE=∠DAE=∠G=∠DAF=30°，∴AF=GF=3+5=8，又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，∴Rt△AEF中，EF=AF=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．求证：AE∥CF，AE=CF．【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，则∠ADE=∠CBF，再证明△ADE≌△CBF得到AE=CF，∠AED=∠CFB，然后根据平行线的判定得到AE∥CF．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADE=∠CBF，∵BE=DF，∴DE=BF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF，∠AED=∠CFB，∴AE∥CF．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．15．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE=66°，则∠BCE=42°．【分析】连结AE，根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理求出∠CED，∠CDE，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，可得∠ABE=∠CDE=48°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质可求∠BCE．【解答】解：连结AE，∵∠DCE=66°，点D在线段EC的垂直平分线上，∴∠CED=66°，∠CDE=48°，DE=CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，∴∠ABE=∠CDE=48°，∵若点E在线段AD的垂直平分线上，∴EA=ED，∴AB=AE，∴∠AEB=48°，∴∠AED=132°，∴∠ADE=24°，∴∠BCE=180°﹣24°﹣48°﹣66°=42°．故答案为：42°．【点评】考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定与性质等知识点．难度较大，综合性较强．三、解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AE=CE时，求四边形AECF的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，求出BE=DF，根据全等三角形的判定推出即可；（2）求出四边形AECF是菱形，求出△ABE是等边三角形，求出高AH，根据菱形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，∵点E、F分别是BC、AD的中点，∴BE=BC，DF=AD，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵点E、F分别是BC、AD的中点，BC=2AB=4，∴BE=CE=BC=2，DF=AF=AD=2，∴AF∥CE，AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AECF是菱形，∴AE=AF=2，∵AB=2，∴AB=AE=BE=2，即△ABE是等边三角形，BH=HE=1，由勾股定理得：AH==，∴四边形AECF的面积是2×=2．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．17．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF 相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．【分析】（1）想办法证明∠EBC+∠FCB=90°即可解决问题；（2）如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．构造特殊四边形菱形，利用菱形的性质，结合勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD，∴∠EBC+∠FCB=90°，∴∠BGC=90°．即BE⊥CF．（2）求解思路如下：a．如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．b．由BE平分∠ABC，可证AB=AE，进而可证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分；c．由BE⊥CF，可证AH∥CF，进而可证四边形AHCF是平行四边形，可求AP=；d．在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．18．如图，▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，∠ADC的角平分线DF交BC于点F，AB=5，DE=3，∠ABC=50°．（1）求∠FDC的度数；（2）求▱ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形的对角相等得出∠ADC=∠ABC=50°，再根据角平分线定义即可求出∠FDC的度数；（2）根据平行四边形的对边平行得出AE∥BC，利用平行线的性质以及角平分线定义得出∠ABE=∠AEB，由等角对等边得出AE=AB=5，那么AD=AE+DE=8，进而得到▱ABCD的周长．【解答】解：（1）∵▱ABCD中，∠ABC=50°，∴∠ADC=∠ABC=50°，∵DF平分∠ADC，∴∠FDC=∠ADC=25°；（2）四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=5，∵DE=3，∴AD=AE+DE=8，∴▱ABCD的周长=2（AB+AD）=2（5+8）=26．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，难度适中．19．在▱ABCD中，连接对角线BD，AB=BD，E为线段AD上一点，AE=BE，F为射线BE上一点，DE=BF，连接AF（1）如图1，若∠BED=60°，CD=2，求EF的长；（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF=2DE，求证：DF=2GF．【分析】（1）想办法证明△BDE是直角三角形，解直角三角形求出BE，DE即可解决问题；（2）作FH∥AB交AE于H．设DE=BF=a，则AF=2a．想办法证明AH=EH=DE=a，根据FH∥AB，EF=FB，推出===2即可；【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=2，∵AB=BD，∴BD=2，∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DEB=60°，∠DEB=∠EAB+∠EBA，∴∠BAD=∠EBA=∠ADB=30°，∴∠EBD=90°，∴BE=2，DE=2BE=4，∵BF=DE，∴BF=4，∴EF=BF﹣BE=4﹣2=2．（2）证明：作FH∥AB交AE于H．设DE=BF=a，则AF=2a．∵EA=EB，BA=BD，∴∠EAB=∠EBA=∠ADB，∵BF=DE，∴△ABF≌△BDE（SAS），∴BE=AF=2a，∴EF=a，EA=EB=2a，∵FH∥AB，EF=FB，∴AH=EH=a，∴===2，∴DF=2FG．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF；（2）证明四边形DEBF是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF；（2）解：∵OE=OF，OB=OD，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BD=EF，∴OD=OB=OE=OF=BD，∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。

【勾股定理】专项能力拓展训练（一）一．选择题1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．∠A﹣∠B＝∠C B．a2＝1，b2＝2，c2＝3C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．∠A：∠B：∠C＝3：4：52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D．若AC＝3，AB＝5，则CD 的长为（ ）A．B．C．D．3．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）A．6B．36C．64D．84．若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（ ）A．10B．C．10或D．145．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（ ）A．﹣1B．+1C．﹣1D．+16．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N 两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝1，BE＝，则△ABC的周长是（ ）A．6+B．3+2C．6+2D．3+38．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（ ）A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m9．如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为（ ）A．1B．C．D．10．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ）A．﹣3m2+2mn+n2＝0B．m2+2mn﹣n2＝0C．2m2﹣2mn+n2＝0D．3m2﹣mn﹣n2＝0二．填空题11．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则∠ABD＝ ．12．如图，若AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB上截取AC＝AE，则＝ ．13．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝2cm，AC+BC＝cm，则△ABC的面积为 cm2．14．直角坐标平面内的两点P（﹣4，﹣5）、Q（2，3）的距离为 ．15．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，若a：b＝3：2，c＝，则a的长为 ．三．解答题16．喜迎军运会，青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠ABC＝90°，若每平方米草皮需要200元，求这块地种植草皮需要投入多少元？17．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，BC＝，AB＝5，求AC边上的高BD的长．18．如图，AD⊥BC，垂足为D．CD＝1，AD＝2，BD＝4．（1）求∠BAC的度数？并说明理由；（2）P是边BC上一点，连接AP，当△ACP为等腰三角形时，求CP的长．19．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？20．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CD为AB边上的高．动点P从点A 出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当P在AB边上运动，t为何值时，△ACP为等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；B、∵a2＝1，b2＝2，c2＝3，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，b2＝a2+c2，故△ABC是直角三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；故选：D．2．解：如图，作DH⊥AB于H．∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴∠CAD＝∠HAD，∠C＝∠AHD＝90°，∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH＝3，CD＝DH，设CD＝DH＝x，∵AB＝5，∴BH＝AB＝AH＝5﹣3＝2，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，在Rt△HBD中，则有（4﹣x）2＝x2+22，∴x＝，∴CD＝，故选：A．3．解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，∴正方形A的面积为6，故选：A．4．解：设第三边为x，①当8是斜边，则62+x2＝82，②当8是直角边，则62+82＝x2解得x＝10，解得x＝2 ．∴第三边长为10或2．故选：C．5．解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝DA＝，在Rt△ADC中，DC＝＝＝1，∴BC＝+1．故选：D．6．解：∵OM＝60海里，ON＝80海里，MN＝100海里，∴OM2+ON2＝MN2，∴∠MON＝90°，∵∠EOM＝20°，∴∠NOF＝180°﹣20°﹣90°＝70°，故选：C．7．解：∵DE⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE＝1，∴BC＝3，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即（2AC）2＝AC2+32，解得，AC＝，则AB＝2，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3+3，故选：D．8．解：在直角△ABC中，AC＝1.5cm．AB﹣BC＝0.5m．设水池BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2∴1.52+x2＝（x+0.5）2解得：x＝2．故选：A．9．解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴BC2+AC2＝32+42＝52＝AB2，∴∠C＝90°，过D作DP⊥AP于P，∵AD平分∠BAC，∴PD＝CD，∵S△ABC＝AC•BC＝AC•CD+AB•PD，∴4×3＝4CD+5CD，∴CD＝．故选：D．10．解：如图，m2+m2＝（n﹣m）2，2m2＝n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2＝0．故选：B．二．填空题11．解：在直角△BCD中，∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝4，∴BD＝5，在△ABD中，∵AD2＝132＝AB2+BD2＝122+52，∴∠ABD＝90°，故答案为：90°．12．解：设DB＝x，∵BD＝AB，DE＝DB，∴DE＝DB＝x，AB＝2BD＝2x，由勾股定理得：AD＝＝＝x，∴AC＝AE＝AD﹣DE＝x﹣x，∴＝＝，故答案为：．13．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即4＝AC2+BC2，∵AC+BC＝（cm），∴（AC+BC）2＝AC2+2AC•BC+BC2＝4+2AC•BC＝6，∴AC•BC＝1，∴，故答案为：．14．解：根据题意得PQ＝，故答案为：10．15．解：设a＝3k，b＝2k，∵∠C＝90°，c＝，∴a2+b2＝c2，∴，∴k＝2（负值舍去），∴a＝6，故答案为：6．三．解答题16．解：连接AC∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，BC＝12m，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，则AC＝5m，∴AC2+CD2＝25+144＝169＝132又∵AD2＝132，∴AC2+CD2＝CD2∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝6+30＝36（m2），∴学校要投入资金为：200×36＝7200（元）；答：学校需要投入7200元买草皮．17．解：过点A作AE⊥BC于点E，∵等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝，∴BE＝BC＝，∴AE＝＝，∴S△ABC＝BC•AE＝，∵S△ABC＝AC•BD，∴BD＝＝3．18．解：（1）∠BAC＝90°；理由：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°；由勾股定理可得AC2＝AD2+CD2＝12+22＝5，AB2＝AD2+BD2＝22+42＝20；∴AC2+AB2＝25；∵BC2＝（BD+CD）2＝52＝25；∴AC2+AB2＝BC2；∴△ABC是直角三角形；∴∠BAC＝90°；（2）当△ACP为等腰三角形时，有三种情况：①当AC＝AP时，CP＝2CD＝2；②当AC＝CP时，∵AC＝，∴CP＝；③当CP＝AP时，CP＝＝2.5；因此，当△ACP为等腰三角形时，CP的长为2或或2.5．19．解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．20．解：（1）∵AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CD为AB边上的高，∴AC•BC＝AB•CD，∴CD＝4.8cm；（2）当点P在AB上，CA＝CP时，在Rt△ADC中，AD＝＝3.6，如图1，∵CA＝CP，CD为AB边上的高，∴DP＝AP＝3.6，则t＝（6+8+10﹣3.6×2）÷2＝8.4，当AC＝AP时，t＝（24﹣6）÷2＝9，当PA＝PC时，如图2，作PH⊥AC于H，则AH＝CH＝3，HP＝BC＝4，由勾股定理得，AP＝5，则t＝（24﹣5）÷2＝9.5，故当t＝8.4、9、9.5时，△ACP为等腰三角形．。

《矩形的判定》拓展训练一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC2．（4分）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD3．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD 为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．14．（4分）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形5．（4分）如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2B．2C．3D．36．（4分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2D．AC⊥BD7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2B．2.4C．2.5D．4.89．（4分）如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE＝CF；②AB ＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME ⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8B．2.4C．2.5D．2.6二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．12．（4分）在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件时，四边形PEMF为矩形．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，秒后四边形ABPD是矩形．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q 在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3cm/s 和1cm/s，则经过s后，四边形ABPQ成为矩形．15．（4分）如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF ＝BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．17．（8分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．18．（8分）如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB＝AE，连结AD、BE．（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；（2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝DF ＝DC．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当∠FDC与∠EFB满足数量关系时，四边形AEFD是矩形．20．（8分）已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD （1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．《矩形的判定》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．2．（4分）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD【分析】由AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线相等即可得出A正确；由AO＝CO，BO＝DO，得出四边形ABCD是平行四边形，由∠A＝90°即可得出B正确；由∠B+∠C＝180°，得出AB∥DC，再证出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，由对角线互相垂直得出四边形ABCD是菱形，C不正确；由∠A+∠B＝180°，得出AD∥BC，由HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出BC＝AD，证出四边形ABCD是平行四边形，由∠A＝90°即可得出D正确．【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴A正确；∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴B正确；∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥DC，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴C不正确；∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，如图所示：在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴D正确；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．3．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD 为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能根据矩形的性质推出0A＝OB是解此题的关键．4．（4分）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形【分析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠F AD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故以上答案都正确．【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠F AD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D 正确．故选：C．【点评】本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．5．（4分）如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2B．2C．3D．3【分析】先证明△BCF是等边三角形，得出CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，求出CD，再证明四边形BCDE是矩形，即可求出面积．【解答】解：连接CF，如图所示：∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，∠CDE＝90°，∴∠ACF＝∠A＝30°，∴∠CFB＝∠A+∠ACF＝60°，∵AF＝BF，∴CF＝BF，∴△BCF是等边三角形，∴CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，∴CD＝CF•cos30°＝，∠BCD＝60°+30°＝90°，∵BE⊥DF，∴∠E＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴四边形BCDE的面积＝BC•CD＝2×＝2；故选：A．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数以及等边三角形的判定与性质；证明等边三角形和矩形是解决问题的关键．6．（4分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2D．AC⊥BD【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．【解答】解：A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AO＝BO，∴OA＝OC＝OB＝OD，即AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC【分析】添加AD＝BD后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形DECF 是平行四边形，再根据∠ACB＝90°，得出四边形DECF成为矩形．【解答】解：添加AD＝BD，∵点E，点F分别是AC，BC的中点，AD＝BD，∴ED∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，根据三角形中位线定理解答是解题的关键．8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2B．2.4C．2.5D．4.8【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．【解答】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴PC的最小值为：．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：D．【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．9．（4分）如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE＝CF；②AB ＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意可以分别判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵l1∥l2，BE∥CF，∴四边形BCFE是平行四边形，∴BE＝CF，故①正确，∵l1∥l2，BA⊥l1，DC⊥l2，∴AB＝DC，故②正确，∵BE∥CF，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝DC，∴S△ABE＝S△DCF，故③正确，∵l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，∴四边形ABCD是矩形，故④正确，故选：D．【点评】本题考查矩形的判断、平行线之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用矩形的性质和平行线的性质解答．10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME ⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8B．2.4C．2.5D．2.6【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∴AM′＝＝．∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，∴MN＝AM′＝＝2.4．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM 的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP．BC＝AB．AC，∴AP．BC＝AB．AC．∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝，∴AM＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．12．（4分）在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件AB＝BC时，四边形PEMF为矩形．【分析】根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC＝90°，易得AB＝BC时能满足∠BMC＝90°的条件．【解答】解：AB＝BC时，四边形PEMF是矩形．∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB＝BC，∴AB＝DC＝AM＝MD，∠A＝∠D＝90°，∴∠ABM＝∠MCD＝45°，∴∠BMC＝90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM＝∠PEM＝90°，∴四边形PEMF是矩形．【点评】此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是一开放型试题，是中考命题的热点．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，3秒后四边形ABPD是矩形．【分析】当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，此时：AB＝DP＝4，CD＝5，在Rt△DPC中，CP＝，所以3秒后四边形ABPD是矩形，故答案为：3【点评】此题考查矩形的判定，关键是利用勾股定理解答．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q 在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3cm/s 和1cm/s，则经过5s后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝20cm，∴AD＝BC＝20cm，要使四边形ABPQ是矩形，必须AQ＝BP，即20﹣t＝3t，解得；t＝5，故答案为；5．【点评】本题考查了矩形的性质和解一元一次方程，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．15．（4分）如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是矩形．【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵点D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠F AE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．故答案为矩形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF ＝BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠F AB，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠F AB＝∠DF A，∴∠DF A＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，在Rt△ADE中，DE＝，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4×8＝32，【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．17．（8分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB＝90°，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；（2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG＝AB＝3，AG＝3＝CE，BF＝BC ＝2，CF＝2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．【解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB＝∠BAD，∠GBA＝∠ABC，∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝90°，即∠AGB＝90°，同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；（2）依题意得，∠BAG＝∠BAD＝30°，∵AB＝6，∴BG＝AB＝3，AG＝3＝CE，∵BC＝4，∠BCF＝∠BCD＝30°，∴BF＝BC＝2，CF＝2，∴EF＝3﹣2＝，GF＝3﹣2＝1，∴矩形EFGH的面积＝EF×GF＝．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．（8分）如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB＝AE，连结AD、BE．（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；（2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由．【分析】（1）根据EC＝BD，EC∥BD即可证明；（2）根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BEA＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推出即可．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴AE＝EC，∵DB＝AE，∴EC＝BD又∵DB∥AC，∴四边形DECB是平行四边形．（2）△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形理由如下：∵DB＝AE，又∵DB∥AC，∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵AB＝BC，E为AC中点，∴∠AEB＝90°，∴平行四边形DBEA是矩形，即△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，题目难度不大，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及平行四边形与矩形的联系是解题的关键．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝DF ＝DC．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当∠FDC与∠EFB满足数量关系∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形．【分析】（1）想办法证明∠DFC＝∠B，推出DF∥AB，即可解决问题；（2）当∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形，想办法证明∠DFE＝90°【解答】（1）证明：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠C，∵∠B＝∠C∴∠DFC＝∠B，∴AE∥DF，∵AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：结论：当∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形；∵2∠DFC+∠FDC＝180°，∠FDC＝2∠EFB，∴2∠DFC+2∠EFB＝180°，∴∠DFC+∠EFB＝90°，∴∠DFE＝180°﹣90°＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形．故答案为：∠FDC＝2∠EFB．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分．20．（8分）已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD （1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD ＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，∵AC＝AF，∴DE＝AF，同理AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠F AC＝60°，∵∠BAC＝150°，∴∠DAF＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中。

初二下数学拓展练习题一、选择题1. 设集合A={x|x是奇数，1≤x≤10}，集合B={x|x是质数，1≤x≤10}，则A∩B=（）。

A. {1, 2, 3, 5, 7}B. {1, 3, 5, 7}C. {2, 3, 5, 7}D. {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}2. 若x>0，则(3x+2)²+(2x-1)²的最小值是（）。

A. 8B. 9C. 10D. 113. 已知一个数列的前6项为1, 4, 7, 10, 13, 16，那么这个数列的通项公式为（）。

A. an = 3n - 2B. an = 3n - 1C. an = 4n - 3D. an = 3n + 14. x² = 4x - 5 的解为（）。

A. x = 5B. x = 2C. x = -1D. x = -55. 若x > -3，那么不等式 |2x + 3| < 5 的解集为（）。

A. (-∞, 1)B. (-∞, -4)∪(1, ∞)C. (-4, 1)D. (-4, ∞)二、填空题1. 在三角形ABC中，∠B = 70°，∠C = 40°，则∠A = （）°。

2. 已知函数f(x) = 2² - 3x，那么f(3) = （）。

3. 若函数f(x) = ax + b 的图象经过点(1, 5)，则a = （），b = （）。

4. 如果抛物线y = ax² + bx + c与x轴有两个不同的交点，那么a与c的符号一定是（）。

5. 已知一组数据为{8, 6, 4, 2, 0}，则这组数据的最大值为（），最小值为（）。

三、计算题1. 将10元钞票换成5元、1元的零钱，共有多少种不同的换法？2. 将一个半径为3cm的圆平均分成6份，每份的弧长是多少？3. 用辗转相除法求出196和382的最大公约数。

4. 若a+b=7，ab=10，求a²+b²的值。

《实践与探索》拓展训练一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（）A．R≥2B．0＜R≤2C．R≥1D．0＜R≤12．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）A．B．C．D．3．（4分）当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（）V（单位：m3）1 1.52 2.53P（单位：kPa）96644838.432A．P＝96V B．P＝﹣16V+112C．P＝16V2﹣96V+176D．P＝4．（4分）A，B两城间的距离为15千米，一人行路的平均速度每小时不少于3千米，也不多于5千米，则表示此人由A到B的行路速度x（千米/小时）与所用时间y（小时）的关系y＝的函数图象是（）A．B．C．D．5．（4分）在大棚中栽培新品种的蘑菇，在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度y（℃）随时间x（时）变化的函数图象，其中BC段是函数y＝（k＞0）图象的一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（）A．18小时B．17.5小时C．12小时D．10小时6．（4分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x之间的关系用图象表示为（）A．B．C．D．7．（4分）甲、乙、丙三人直立在相同大小的平板上，平板对水平地面的压强y（帕）与平板面积x（m）的关系分别如图中的y＝，y＝，y＝，则当平板面积增加量相同时，甲、乙、丙三人所站的平板对水平地面的压强变化的关系是（）A．甲的压强增加量＞乙的压强增加量＞丙的压强增加量B．甲的压强减少量＞乙的压强减少量＞丙的压强减少量C．乙的压强减少量＞甲的压强减少量＞丙的压强减少量D．丙的压强减少量＞乙的压强减少量＞甲的压强减少量8．（4分）科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例关系，如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．9．（4分）小颖和小亮玩掷骰子游戏，每人分别先后掷两次得到a，b，并约定点（a，b）落在如图反比例函数y＝（x＞0）图象内为小亮胜，落在外则小颖胜，落在图象上为平局，你认为谁获胜希望较大？（）A．小颖B．小亮C．都一样D．无法确定10．（4分）我们学校教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：30）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A．7：00B．7：07C．7：10D．7：15二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图（双曲线y＝的一支）．如果以5t/min的速度卸货，那么卸完货物需要时间是min．12．（4分）在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员发现光敏电阻值R（单位：Ω）与光照度E（单位：lx）之间成反比例函数关系，部分数据如下表所示：光照度E/lx0.51 1.52 2.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为．13．（4分）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55﹣0.75之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元）成反比例，又当x＝0.65时，y＝0.8．根据y与x之间的函数关系式，请你预算，如果每度电的成本价为0.3元，电价调至0.6元时，本年度电力部门的纯收入是亿元．14．（4分）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，y与x的函数图象如图，则用x表示y的函数解析式为．15．（4分）将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S＝（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶千米．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y 与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范为；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？17．（8分）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？18．（8分）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝；②下降阶段：当x＞5时，y．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？19．（8分）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）．已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．（1）求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；（2）求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克，且持续12分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，请计算说明此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？20．（8分）学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完．如果每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天．（1）写出y与x的函数表达式；（2）如果每天节约0.1吨，那么这批煤能多维持多少天？《实践与探索》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（）A．R≥2B．0＜R≤2C．R≥1D．0＜R≤1【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过6A列不等式，求出结论，并结合图象．【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，∴反比例函数关系式为：I＝，当I≤6时，则≤6，R≥1，故选：C．【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．2．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式．【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，∵过（2，3），∴k＝3×2＝6，∴I＝，故选：D．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．3．（4分）当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（）V（单位：m3）1 1.52 2.53P（单位：kPa）96644838.432 A．P＝96V B．P＝﹣16V+112C．P＝16V2﹣96V+176D．P＝【分析】观察表格发现vp＝96，从而确定两个变量之间的关系即可．【解答】解：观察发现：vp＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，故P与V的函数关系式为p＝，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数96，难度不大．4．（4分）A，B两城间的距离为15千米，一人行路的平均速度每小时不少于3千米，也不多于5千米，则表示此人由A到B的行路速度x（千米/小时）与所用时间y（小时）的关系y＝的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】由题意知，自变量的取值范围为：3≤x≤5，对应的y的范围为：5≥y≥3，从而求解．【解答】解：根据题意可知3≤x≤5∵y＝∴x＝∴3≤≤5∴5≥y≥3故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象在实际生活中的意义，注意自变量的取值范围和值域．5．（4分）在大棚中栽培新品种的蘑菇，在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度y（℃）随时间x（时）变化的函数图象，其中BC段是函数y＝（k＞0）图象的一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（）A．18小时B．17.5小时C．12小时D．10小时【分析】观察图象可知：三段函数都有y≥12的点，而且AB段是恒温阶段，y＝18，所以计算AD和BC两段当y＝12时对应的x值，相减就是结论．【解答】解：把B（12，18）代入y＝中得：k＝12×18＝216；设一次函数的解析式为：y＝mx+n把（0，10）、（2，18）代入y＝mx+n中，得：，解得，∴AD的解析式为：y＝4x+10当y＝12时，12＝4x+10，x＝0.5，12＝，解得：x＝＝18，∴18﹣0.5＝17.5，故选：B．【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．6．（4分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x之间的关系用图象表示为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的面积公式可以得到y与x的函数关系式，注意x＞0，从而可以选出符合要求的函数图象，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，y＝＝，（x＞0），故选：C．【点评】本题考查反比例函数的应用、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．7．（4分）甲、乙、丙三人直立在相同大小的平板上，平板对水平地面的压强y（帕）与平板面积x（m）的关系分别如图中的y＝，y＝，y＝，则当平板面积增加量相同时，甲、乙、丙三人所站的平板对水平地面的压强变化的关系是（）A．甲的压强增加量＞乙的压强增加量＞丙的压强增加量B．甲的压强减少量＞乙的压强减少量＞丙的压强减少量C．乙的压强减少量＞甲的压强减少量＞丙的压强减少量D．丙的压强减少量＞乙的压强减少量＞甲的压强减少量【分析】根据反比例函数的性质可知，当x增加时，y减小，观察图象可知，丙的压强减少量＞乙压强减少量＞甲压强减少量．【解答】解：根据反比例函数的性质可知，当x增加时，y减小，观察图象可知，丙的压强减少量＞乙压强减少量＞甲压强减少量，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的性质、理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．8．（4分）科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例关系，如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，由于点（0.2，500）在此函数图象上，故可先求得k的值．【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.2，500）在此函数图象上，∴k＝0.2×500＝100，∴y＝．故选：B．【点评】此题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．9．（4分）小颖和小亮玩掷骰子游戏，每人分别先后掷两次得到a，b，并约定点（a，b）落在如图反比例函数y＝（x＞0）图象内为小亮胜，落在外则小颖胜，落在图象上为平局，你认为谁获胜希望较大？（）A．小颖B．小亮C．都一样D．无法确定【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出落在反比例函数y＝图象与坐标轴所围成区域内的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：123456 1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）所有等可能的情况，即P坐标有36种，落在数y＝（x＞0）图象内部有13种情形，落在外部有19种情形，∴小亮胜的概率＝，小颖胜的概率为，∴小颖胜的可能性比较大，故选：A．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．（4分）我们学校教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：30）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A．7：00B．7：07C．7：10D．7：15【分析】第1步：求出两个函数的解析式；第2步：求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间；第3步：求出每一个循环周期内，水温不超过50℃的时间段；第4步：结合4个选择项，逐一进行分析计算，得出结论．【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟，设一次函数关系式为：y＝k1x+b，将（0，30），（7，100）代入y＝k1x+b，则，解得：．故一次函数解析式为：y＝10x+30（0≤x≤7），令y＝50，解得x＝2；设反比例函数关系式为：y＝，将（7，100）代入，得k＝700，∴y＝，将y＝30代入y＝，解得x＝；∴y＝（7≤x≤），令y＝50，解得x＝14，即饮水机的一个循环周期为分钟．每一个循环周期内，在前两分钟或者最后的14到这两个时间段内，水温不超过50℃．∴选项A：7：00至8：30之间有90分钟．90﹣×3＝20，14＜20，故可行；选项B：7：07至8：30之间有83分钟．83﹣×3＝13，14＞13，13＞2，故不可行；选项C：7：10至8：30之间有80分钟．80﹣×3＝10，14＞10，10＞2，故不可行；选项D：7：15至8：30之间有75分钟．75﹣×3＝5，14＞5，5＞2，故不可行．故选：A．【点评】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图（双曲线y＝的一支）．如果以5t/min的速度卸货，那么卸完货物需要时间是120min．【分析】把（1.5，400）代入双曲线y＝，可求y与x之间的函数关系式；利用函数关系式，当装载速度x＝5时，得到y＝，即可求解．【解答】解：把（1.5，400）代入双曲线y＝，得400＝，解得k＝600，则y与x之间的函数关系式为y＝；当x＝5时，y＝＝120min．故答案为：120．【点评】此题主要考查了反比例函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据题意进行解答．12．（4分）在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员发现光敏电阻值R（单位：Ω）与光照度E（单位：lx）之间成反比例函数关系，部分数据如下表所示：光照度E/lx0.51 1.52 2.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为．【分析】直接利用表格中数据得出RE＝30，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：RE＝30，则R＝．故答案为：R＝．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出RE＝30是解题关键．13．（4分）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55﹣0.75之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元）成反比例，又当x＝0.65时，y＝0.8．根据y与x之间的函数关系式，请你预算，如果每度电的成本价为0.3元，电价调至0.6元时，本年度电力部门的纯收入是0.6亿元．【分析】根据“y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例”可得到y与x之间的函数关系式y＝（k≠0），利用待定系数法求解即可；再把x＝0.6代入y＝中可求得本年度的用电量，进一步求得本年度电力部门的纯收入．【解答】解：设y＝（k≠0），因为当x＝0.65时，y＝0.8，所以有0.8＝，∴k＝0.2，∴y＝＝（x＞0且x≠0.4），即y与x之间的函数关系式为y＝；把x＝0.6代入y＝中，得y＝＝1，所以本年度的用电量为1+1＝2（亿度），（0.6﹣0.3）×2＝0.6（亿元）．答：本年度电力部门的纯收入是0.6亿元．故答案为：0.6．【点评】主要考查了反比例函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．14．（4分）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，y与x的函数图象如图，则用x表示y的函数解析式为y＝（x＞0）．【分析】设y＝（k≠0），由函数图象可知当x＝1时，y＝40，求出k，即可用x表示y 的函数解析式．【解答】解：设y＝（k≠0），当x＝1时，y＝40，所以k＝40，所以y＝（x＞0），故答案为：y＝（x＞0）【点评】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，把已知点的坐标代入求出系数k的值．15．（4分）将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S＝（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶950千米．【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米”利用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k值，再带人a＝0.08求出S即可得出结论．【解答】解：∵以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，∴760＝，解得：k＝76，∴当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶的路程S＝＝950（千米）．故答案为：950．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用反比例函数图象上的坐标特征求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k的值是关键．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y 与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y＝x，自变量x的取值范为0≤x≤8；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过30分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y＝，把点（8，6）代入即可；（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，＞等于10就有效．【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1∴k1＝设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝k2＞0）代入（8，6）为6＝∴k2＝48∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）（2）结合实际，令y＝中y≤1.6得x≥30即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．（3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4把y＝3代入y＝，得：x＝16∵16﹣4＝12所以这次消毒是有效的．【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．17．（8分）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？【分析】（1）将点（24，50）代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；（2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；（3）工作量除以工作时间即可得到工作的效率．【解答】解：（1）设y＝．∵点（24，50）在其图象上，∴所求函数表达式为y＝；（2）由图象，知共需开挖水渠24×50＝1200（m）；2台挖掘机需要1200÷（2×30）＝20天；（3）1200÷10＝120（m）．故每天至少要完成120m．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型．18．（8分）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝9x+15；②下降阶段：当x＞5时，y＝．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数以及反比例函数的解析式；（2）利用y＝30代入结合函数增减性得出答案．【解答】解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y＝9x+15，②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝，由于图象过点（5，60），所以m＝300．则y＝；故答案为：9x+15；＝（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝，因为y随x的增大而增大，所以x＞，当x≥5时，y＝＝30，得x＝10，因为y随x的增大而减小，所以x＜10，10﹣＝，答：可加工min．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．19．（8分）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）．已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．（1）求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；（2）求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克，且持续12分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，请计算说明此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【分析】（1）正比例函数图象过点（4，8），利用待定系数法可求解析式；（2）反比例函数图象过点（4，8），利用待定系数法可求解析式；（3）将y＝2分别代入两个解析式，可求x的值，即可判断此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．【解答】解：（1）设正比例函数解析式：y＝kx且过（4，8）∴8＝4k∴k＝2∴y＝2x（2）设反比例函数解析式：y＝，且过（4，8）∴8＝∴m＝32。

《一次函数》拓展训练一、选择题1．若关于x的函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．22．下列函数：①y＝8x；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣2x+1．其中是一次函数的个数为（）A．0B．1C．2D．33．y是x的一次函数，根据表格中的数据可得p的值为（）x﹣201y3p0A．1B．﹣1C．3D．﹣34．已知函数y＝（m+1）x是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．﹣5．一次函数y＝kx+3的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则k的值为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．46．下列说法不正确的是（）A．一次函数不一定是正比例函数B．不是一次函数就不一定是正比例函数C．正比例函数是特殊的一次函数D．不是正比例函数就一定不是一次函数7．下列函数不是一次函数的是（）A．y＝x B．y＝C．y＝﹣x+1D．y＝（x﹣3）8．y是x的正比例函数，当x＝2时，y＝4，那么x＝﹣1时，则y等于（）A．2B．1C．﹣2D．﹣19．[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x+＝的解为（）A．B．﹣C．D．﹣10．下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y 与x的关系．A．5B．4C．3D．2二、填空题11．已知y＝（m+3）x+3是一次函数，则m＝．12．若函数y＝mx+1是一次函数，则常数m的取值范围是．13．函数y＝（m﹣5）x+（2|m|﹣10）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m ＝．14．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣3]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+＝1的解为．15．已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则m等于x﹣101y1m﹣5三、解答题16．已知y＝（k﹣1）x IkI+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．17．当m为何值时函数y＝（m+2）是正比例函数．18．已知函数y＝（m+1）x+（m2﹣1）．（1）当m取什么值时，y是x的正比例函数．（2）当m取什么值时，y是x的一次函数．19．已知正比例函数y＝（m﹣1）的图象在第二、四象限，求m的值．20．已知+（b﹣2）2＝0，则函数y＝（b+3）x﹣a+1﹣2ab+b2是什么函数？当x＝﹣时，函数值y是多少？《一次函数》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．若关于x的函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．2【分析】依据一次函数的定义列出关于m的不等式组，从而可求得m的值．【解答】解：∵关于x的函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，∴|m|＝1且m﹣1≠0．解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查的是一次函数的定义，由一次函数的定义列出不等式组是解题的关键．2．下列函数：①y＝8x；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣2x+1．其中是一次函数的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据一次函数的定义进行解答．【解答】解：由于③的自变量x的指数是2，根据一次函数定义可知不是一次函数，故一次函数有3个．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．3．y是x的一次函数，根据表格中的数据可得p的值为（）x﹣201y3p0A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】根据一次函数的定义列方程组即可得到结论．【解答】解：∵y是x的一次函数，∴设y＝kx+b，∴，解得：，∴y＝x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，∴p＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．4．已知函数y＝（m+1）x是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．﹣【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得m2﹣3＝1，且m+1＜0，解得m＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查了正比例函数，利用正比例函数的定义得出方程是解题关键，注意比例系数是负数．5．一次函数y＝kx+3的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则k的值为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．4【分析】先根据自变量取值增加2，函数值就相应减少2，得到ka+3﹣[k（a+2）+3]＝2，据此求得k的值．【解答】解：当x＝a时，y＝ka+3，当x＝a+2时，y＝k（a+2）+3，∵函数值相应减少2，∴（ka+3）﹣[k（a+2）+3]＝2，∴ka+3﹣（ka+2k+3）＝2，∴﹣2k＝2，∴k＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的定义以及待定系数法的运用，注意理解函数解析上的点满足函数解析式．6．下列说法不正确的是（）A．一次函数不一定是正比例函数B．不是一次函数就不一定是正比例函数C．正比例函数是特殊的一次函数D．不是正比例函数就一定不是一次函数【分析】根据正比例函数的定义，以及一次函数的定义，逐项判定即可．【解答】解：∵一次函数不一定是正比例函数，一次函数y＝kx+b，当b≠0时函数不是正比例函数，∴选项A不符合题意；∵不是一次函数就不一定是正比例函数，∴选项B不符合题意；∵一次函数y＝kx+b，当b＝0时函数是正比例函数，∴正比例函数是特殊的一次函数，∴选项C不符合题意；∵一次函数y＝kx+b，当b≠0时函数不是正比例函数，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，以及一次函数的定义，要熟练掌握．7．下列函数不是一次函数的是（）A．y＝x B．y＝C．y＝﹣x+1D．y＝（x﹣3）【分析】根据一次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、是一次函数，故A不符合题意；B、是反比例函数，故B符合题意；C、是一次函数，故C错误；D、是反比例函数，故B错误；故选：B．【点评】本题通过考查一次函数，利用一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）是解题关键．8．y是x的正比例函数，当x＝2时，y＝4，那么x＝﹣1时，则y等于（）A．2B．1C．﹣2D．﹣1【分析】先求出正比例函数的解析式，再把x＝﹣1代入求出y的值即可．【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵当x＝2时，y＝4，∴2k＝4，解得k＝2，∴正比例函数的解析式为y＝2x，∴x＝﹣1时，y＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解答此题的关键．9．[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x+＝的解为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】首先根据题意可得y＝x+m﹣，再根据正比例函数的解析式为：y＝kx （k≠0）可得m的值，把m的值代入关于x的方程，再解方程即可．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣＝0，解得：m＝，则关于x的方程x+＝变为x+＝，解得：x＝，∴关于x的方程x+＝的解为．故选：C．【点评】此题主要考查了解一元一次方程，以及正比例函数，关键是求出m的值．10．下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y 与x的关系．A．5B．4C．3D．2【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系，是一次函数；圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y 与x的关系，是一次函数；某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，所以共3个一次函数，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的定义，能熟记一次函数的定义的内容是解此题的关键．二、填空题11．已知y＝（m+3）x+3是一次函数，则m＝3．【分析】根据一次函数的定义得出m+3≠0且m2﹣8＝1，求出不等式的解即可．【解答】解：∵y＝（m+3）x+3是一次函数，∴m+3≠0且m2﹣8＝1，故答案为：3．【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出关于m的不等式是解此题的关键．12．若函数y＝mx+1是一次函数，则常数m的取值范围是m≠0．【分析】依据一次函数的定义求解即可．【解答】解：∵函数y＝mx+1是一次函数，∴m≠0．故答案为：m≠0．【点评】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．13．函数y＝（m﹣5）x+（2|m|﹣10）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m ＝﹣5．【分析】根据正比例函数的定义进行解答．【解答】解：∵函数y＝（m﹣5）x+（2|m|﹣10）x2（m为常数）中的y与x成正比例，∴2|m|﹣10＝0且m﹣5≠0，解得m＝﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0）．14．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣3]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+＝1的解为x＝4．【分析】首先根据题意可得y＝x+m﹣3，再根据正比例函数的解析式为：y＝kx （k≠0）可得m的值，把m的值代入关于x的方程，再解分式方程即可．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣3，∵“关联数”[1，m﹣3]的一次函数是正比例函数，∴m﹣3＝0，解得：m＝3，则关于x的方程+＝1变为+＝1，检验：把x＝4代入最简公分母3（x﹣1）＝3≠0，故x＝4是原分式方程的解，故答案为：x＝4．【点评】此题主要考查了解分式方程，以及正比例函数，关键是求出m的值，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．15．已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则m等于﹣2 x﹣101y1m﹣5【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出m的值．【解答】解：设一次函数的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，故一次函数解析式为：y＝﹣3x﹣2，则x＝0时，y＝﹣2．故m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了一次函数的定义以及待定系数法求一次函数解析式，正确得出一次函数解析式是解题关键．三、解答题16．已知y＝（k﹣1）x IkI+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．【分析】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可；（2）利用（1）中所求，再利用x＝3时，求出y的值即可；（3）利用（1）中所求，再利用y＝0时，求出x的值即可．【解答】解：（1）由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0，（2）当x＝3时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9；（3）当y＝0时，0＝﹣2x﹣3，解得：x＝．【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．17．当m为何值时函数y＝（m+2）是正比例函数．【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可．【解答】解：根据题意，得：，由①，得：m＝2或m＝﹣2，由②，得：m≠﹣2，∴m＝2，即当m＝2时函数y＝（m+2）是正比例函数．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出关于m的等式是解题关键．18．已知函数y＝（m+1）x+（m2﹣1）．（1）当m取什么值时，y是x的正比例函数．（2）当m取什么值时，y是x的一次函数．【分析】（1）根据正比例函数的定义可知m+1≠0且m2﹣1＝0，从而可求得m 的值；（2）根据一次函数的定义可知m+1≠0．【解答】解：（1）∵函数y＝（m+1）x+（m2﹣1）是正比例函数，∴m+1≠0且m2﹣1＝0．解得：m＝1．（2）根据一次函数的定义可知：m+1≠0，【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．19．已知正比例函数y＝（m﹣1）的图象在第二、四象限，求m的值．【分析】当一次函数的图象经过二、四象限可得其比例系数为负数，据此求解．【解答】解：∵正比例函数y＝（m﹣1），函数图象经过第二、四象限，∴m﹣1＜0，5﹣m2＝1，解得：m＝﹣2．【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．20．已知+（b﹣2）2＝0，则函数y＝（b+3）x﹣a+1﹣2ab+b2是什么函数？当x＝﹣时，函数值y是多少？【分析】先根据非负数的性质求出ab的值，再把ab的值代入函数解析式即可判断出函数的种类，再把x的值代入求解即可．【解答】解：因为+（b﹣2）2＝0，所以a＝﹣1，b＝2．所以y＝（2+3）x﹣（﹣1）+1﹣2×（﹣1）×2+22，即y＝5x+9，所以函数y＝（b+3）x﹣a+1﹣2ab+b2是一次函数，当x＝﹣时，y＝5×（﹣）+9＝．【点评】本题考查的是一次函数的定义，要根据非负数的性质解答，初中非负数有三种：绝对值，偶次方，二次根式．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．。

初二下理科竞赛数学拓展专题训练第1讲《二次根式》 一:典型例题例题1:.已知n 24是整数,则正整数n 的最小值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.2 变式练习:8n 是整数,则正整数n 的最小值是__________.例题2:化简下列各题: （1）当2＜m ＜3时,化简33m -269m m -+－32(4)m -（2）实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,化简:2(1)a -－2b -+222a ab b -+.例题3:阅读材料,解答问题:例:若代数式(1)2a -+2(3)a -的值是常数2,则a 的取值范围是 1≤a ≤3 .分析:原式＝1a -+3a -,我们知道a 表示数a 在数轴上的点到原点的距离,则1a - 表示数a 在数轴上的点到数1的点的距离,所以我们可以借助数轴进行分析.解:原式＝1a -+3a -,在数轴上看,讨论a 在数1表示的点左边,在数1表示的点和数3表示的点之间,还是在数3表示的点右边,分析可知:当1≤a ≤3时,1a -+3a -＝a －1+3-a ＝2,故a 的范围是1≤a ≤3.问题:（1）此例题的解答过程中用了哪些数学思想？请列举.（2）运用上述解题思想,化简:244a a -++22510a a -+.例题4:若()2333n m a +=+,且n m a ,,均为正整数,求a 的值．变式练习:已知a 为实数,求代数式2284a a a +--+-的值例题5:如图,在Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AD 为BC 边长的 中线,若AD ＝5,△ABC 的周长为6+25,则△ABC 的面积是________.课堂练习一、选择题 1、设4a ,小数部分为b ,则21--b a 的值为( ) A.222B.222D.2、已知1a a +=则21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值为（ ）(():3=3计算A. 237+ B. 237- C. 273-D. 237--4.=化简()A.B. 22D. 2二、填空题5、已知12y y ==2212_________y y +=6、已知:()260a +=,则224b b a --的值为_________7、已知a a a =-+-20172016,求_______20162=-a 8、若m =,则m 5－2m 4－2016m 3的值是________三．解答题: 9、计算下列各式:（1）44.1-21.1 （2）2328-+（3）0)31(33122-++ （4）2)75)(75(++-（5）()()123123+--+（6）50＋122+－412＋2(2－1)010、已知()0112=-+-ab a ,求)017 2)(017 2(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值11、如图,已知等腰△ABC 中,AB ＝AC ,D 是BC 边上的一点,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,E ,F 分别为垂足,若DE +DF ＝22,△ABC 的面积为32+26,试求AB 的长.第2讲《一元二次方程》一:典型例题例题1:如果关于x 的一元二次方程2(1)10a x ax -++=的一个整数根恰好是关于x 的方程22()330m m x mx ++-=的一个根,试求a 和m 的值变式练习: 已知关于x 的方程22(2)23m m x x ---=是一元二次方程,求m 的值。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列选项中，不是一元二次方程的是（）A. x^2 + 2x + 1 = 0B. 2x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 4x + 4 = 0D. x^2 + 3x + 2 = 12. 若一个数列的前三项分别是1，3，7，那么这个数列的第四项是（）A. 13B. 15C. 17D. 193. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 平行四边形D. 圆4. 若一个等差数列的前三项分别是3，5，7，那么这个数列的第六项是（）A. 9B. 11C. 13D. 155. 下列选项中，不是二次函数图像的抛物线是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = -x^2 + 2x - 1C. y = x^2 - 2x + 1D. y = x^2 + 2二、填空题（每题5分，共25分）6. 若一个数列的前三项分别是2，5，8，那么这个数列的第四项是______。

7. 若一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的第10项是______。

8. 若一个等比数列的首项是3，公比是2，那么这个数列的第5项是______。

9. 若一个圆的半径是r，那么这个圆的面积是______。

10. 若一个三角形的两边长分别是3和4，那么这个三角形的第三边长可能是______。

三、解答题（每题15分，共45分）11. 解下列方程：（1）2x^2 - 5x + 3 = 0（2）3x^2 - 4x - 1 = 012. 某班有男生20人，女生25人，求这个班级中男女比例。

13. 已知一个数列的前三项分别是1，3，7，求这个数列的通项公式。

14. 已知一个等差数列的首项是2，公差是3，求这个数列的前10项和。

答案：一、选择题1. D2. C3. C4. C5. D二、填空题6. 117. 298. 489. πr^210. 5或6三、解答题11. （1）x = 1 或 x = 1.5（2）x = 1 或 x = -1/312. 男女比例是4:5。

《矩形》拓展训练一、选择题1．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角相等C．对边相等D．对角线相等3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD=∠BCD B．AD=BD C．CD⊥AB D．CD=AC4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E、F两点．若AC=2，∠DAO=30°，则FC的长度为（）A．1B．2C．D．5．如图，矩形ABCD中，点E是CD边上的中点，连结AE取AE中点F，连结FC，FB，若△FCB是等边三角形，则CD：CF=（）A．B．C．1D．26．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG，下列结论中错误的是（）A．BC=DF B．△DCG≌△BGC C．△DFG≌△BCG D．AC：BG=：1 7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．188．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）9．如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF ∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于E．当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（）A．2∠ACE=∠BAC+∠B B．EF=2OCC．∠FCE=90°D．四边形AFCE是矩形10．如图，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC n O n的面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2二、填空题11．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，BC=12，将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值为．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是．13．如图，矩形ABCD的顶点A、C在平面直角坐标系的坐标轴上，AB=4，CB=3，点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段DA、AC上的动点（点E不与A、D重合），且∠CEF=∠ACB，若△EFC为等腰三角形，则点E的坐标为．14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为．15．如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，则的值是．三、解答题16．如图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EB，EC．（1）求证：EB=EC；（2）若∠BEC=60°，AE=1，求AB的长．17．如图，已知▱ABED，延长AD到C使AD=DC，连接BC，CE，BC交DE于点F，若AB=BC．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AE，若∠BAC=60°，AB=4，求AE的长．18．在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且AF=CE，连接DF．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）连接CF，若CF平分∠BCD，且CE=3，BE=4，求矩形BEDF的面积．19．如图，在长方形ABCD中，AB：BC=3：4，AC=5，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t秒．（1）求AB与BC的长；（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△CDP为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．20．如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE=CA，连接AE．F 为AB上的一点，且BF=DE，连接FC．（1）若DE=1，CF=，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG=60°，求证：AF+CE=AC．《矩形》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形，可求得答案．【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴检查一个门框是矩形的方法是：一个角是直角的平行四边形是矩形．∵一个角是直角的平行四边形是矩形，∴检查一个门框是矩形的另一个方法是：先测得门框的两组对边是否分别相等，再测其用重锤线检查竖门框是否与地面垂直．故选：B．【点评】此题考查了矩形的判定．注意熟记定理是解此题的关键，注意排除法在解选择题中的应用．2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角相等C．对边相等D．对角线相等【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质即可判断；【解答】解：A、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；C、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；故选：D．【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD=∠BCD B．AD=BD C．CD⊥AB D．CD=AC【分析】添加AD=BD后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形DECF是平行四边形，再根据∠ACB=90°，得出四边形DECF成为矩形．【解答】解：添加AD=BD，∵点E，点F分别是AC，BC的中点，AD=BD，∴ED∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴平行四边形DECF是矩形，故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，根据三角形中位线定理解答是解题的关键．4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E、F两点．若AC=2，∠DAO=30°，则FC的长度为（）A．1B．2C．D．【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=30°，∴∠AOD=120°，∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°﹣30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=，∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，故选：A．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．5．如图，矩形ABCD中，点E是CD边上的中点，连结AE取AE中点F，连结FC，FB，若△FCB是等边三角形，则CD：CF=（）A．B．C．1D．2【分析】作FH⊥BC于H．设CD=AB=2a，则CE=a．想办法求出BC即可解决问题；【解答】解：作FH⊥BC于H．设CD=AB=2a，则CE=a．∵△FCB是等边三角形，FH⊥BC，∴CH=BH，∵CE∥FH∥AB，EF=AF，∴FH=a，∴CH=HB=a，∴BC=CF=a，∴CD：CF=2a：a=，故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．6．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG，下列结论中错误的是（）A．BC=DF B．△DCG≌△BGC C．△DFG≌△BCG D．AC：BG=：1【分析】A、根据矩形的性质得：BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°，由角平分线可得△ADF是等腰直角三角形，则BC=DF=AD；B、证明△DCG≌△BEG，可作判断；C、根据等腰三角形的性质得：∠AFD=∠FCG=45°，根据SAS可证明△DGF≌△BGC；D、连接BD，先根据矩形的对角线相等得：AC=BD，根据以上证得：△DCG≌△BEG，得DG=BG，∠CGD=∠EGB，得△DGB是等腰直角三角形，根据勾股定理可得结论．【解答】解：A、∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∵AF平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF=AD，∴BC=DF，故选项A正确；B、Rt△EFC中，∵G是EF的中点，∴CG=FG=EG，∵∠CEF=∠FCG=45°∴∠BEG=∠DCG∵BE=CD∴△DCG≌△BEG故选项B错误；C、∵FG=CG，∴∠AFD=∠FCG=45°，∵∠BCF=90°，∴∠BCG=45°，∴∠BCG=∠DFG，∵BC=DF，∴△DGF≌△BGC，故选顶C正确；D、连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵△DCG≌△BEG，∴DG=BG ，∠CGD=∠EGB ，∴∠CGD +∠AGD=∠EGB +∠AGD=90°，∴△DGB 是等腰直角三角形，∴BD=BG ， ∴AC=BG ，∴AC ：BG=：1， 故选项D 正确；本题选择结论中错误的选项，故选：B ．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是逐条分析4个结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐．7．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．18【分析】想办法证明S △PEB =S △PFD 解答即可．【解答】解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC =S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP =S△PBE=×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选：C．【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S △PFD．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．故选：A．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．9．如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF ∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于E．当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（）A．2∠ACE=∠BAC+∠B B．EF=2OCC．∠FCE=90°D．四边形AFCE是矩形【分析】依据三角形外角性质，角平分线的定义，以及平行线的性质，即可得到2∠ACE=∠BAC+∠B，EF=2OC，∠FCE=90°，进而得到结论．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠BAC+∠B，∵CE平分∠DCA，∴∠ACD=2∠ACE，∴2∠ACE=∠BAC+∠B，故A选项正确；∵EF∥BC，CF平分∠BCA，∴∠BCF=∠CFE，∠BCF=∠ACF，∴∠ACF=∠EFC，∴OF=OC，同理可得OE=OC，∴EF=2OC，故B选项正确；∵CF平分∠BCA，CE平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=×180°=90°，故C选项正确；∵O不一定是AC的中点，∴四边形AECF不一定是平行四边形，∴四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误，故选：D．【点评】此题主要考查了矩形的判定等腰三角形的判定，关键是掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形．10．如图，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC n O n的面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【分析】根据矩形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到S△ABO1=S矩形，又ABC1O1为平行四边形，根据平行四边形的性质对角线互相平分，得到O1O2=BO2，所以S△ABO2=S矩形，…，以此类推得到S△ABO5=S矩形，而S△ABO5等于平行四边形ABC5O5的面积的一半，根据矩形的面积即可求出平行四边形ABC5O5和平行四边形ABC n O n的面积．【解答】解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1，∴S△ABO1=S1，又∵S△ABO1=S矩形，∴S1=S矩形=5=；设ABC2O2为平行四边形为S2，∴S△ABO2=S2，又∵S△ABO2=S矩形，∴S2=S矩形==；，…，∴平行四边形ABC n O n的面积为=10×（cm2）．故选：D．【点评】此题考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．二、填空题11．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，BC=12，将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值为10．【分析】因为要使剪掉的等腰直角三角形的面积最大，必须它的斜边最大．如图BC＞AF，CE＞CD，所以依次作出三个等腰直角三角形，此时剩下的面积最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，余下部分为直角梯形，上底为12﹣8=4，下底为6，高为2，所以面积为10．故答案为：10【点评】本题考查几何最值问题、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是探究出如何确定三个等腰直角三角形，属于中考选择题中的压轴题．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是≤AM＜2．【分析】首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP=EF，即AP=2AM，然后由当AP⊥BC 时，AP最小，可求得AM的最小值，又由AP＜AC，即可求得AM的取值范围．【解答】解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，∵∠BAC=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF中点，∴AM=EF=AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC==5，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S=×3×4=×5×AP，△BAC∴AP=，即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范围是AM≥，∵AP＜AC，∴AP＜4，∴AM＜2，∴≤AM＜2．故答案为：≤AM＜2．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意当AP⊥BC时，AP最小，且AP＜AC．13．如图，矩形ABCD的顶点A、C在平面直角坐标系的坐标轴上，AB=4，CB=3，点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段DA、AC上的动点（点E不与A、D重合），且∠CEF=∠ACB，若△EFC为等腰三角形，则点E的坐标为（﹣2，0）或（﹣，0）．【分析】由对称性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证，当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：当CE=EF；当EF=FC；当CE=CF时，利用相似三角形的判定与性质分别求出E坐标即可．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠B=90°，∴AC==5，∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF，又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质），∴∠AEF=∠DCE，则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE；当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：①当CE=EF时，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，∴AE=CD=AC=5，∴OE=AE﹣OA=5﹣3=2，∴E（﹣2，0）．②当EF=FC时，如图所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点．∴CE=2ME=EF，∵点D与点A关于y轴对称，∴CD=AC=5，∵△AEF∽△DCE，∴=，即解得AE=，∴OE=AE﹣OA=，∴E（﹣，0）．③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，∴∠CFE=∠CAO．即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾．综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（﹣2，0）或（﹣，0），故答案为：（﹣2，0）或（﹣，0）．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，关于y轴对称的点的坐标，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为2﹣2．【分析】取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，依据∠ADB=30°，可得PG=DG=1，依据∠DHO=90°，可得点H在以OD为直径的⊙G上，再根据AH+HG≥AG，即可得到当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值．【解答】解：如图，取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，∵AB=4，BC=4=AD，∴BD==8，∴BD=2AB，DO=4，HG=2，∴∠ADB=30°，∴PG=DG=1，∴PD=，AP=3，∵DH⊥OF，∴∠DHO=90°，∴点H在以OD为直径的⊙G上，∵AH+HG≥AG，∴当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，此时，Rt△APG中，AG==2，∴AH=AG﹣HG=2﹣2，即AH的最小值为2﹣2．故答案为：2﹣2．【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据∠DHO=90°，得出点H在以OD为直径的⊙G上．15．如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，则的值是．【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=AB=CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，进而求出△AOH 和△OEH是等腰三角形，即可得出结论．【解答】解：在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，∵AH⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD=AB，∴AH=AB=CD，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，∴∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°，∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=22.5°，∴∠OAH=∠OHA，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE，∴OH=AE，即=．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题16．如图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EB，EC．（1）求证：EB=EC；（2）若∠BEC=60°，AE=1，求AB的长．【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解答】证明：（1）∵矩形ABCD，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E为AD的中点，∴EA=DE，∴△ABE≌△DCE，∴EB=EC；（2）由（1）得EB=EC，∵∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴BE=BC=AD=2AE，∵AE=1，°BE=2，在Rt△ABE中，AB=．【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．17．如图，已知▱ABED，延长AD到C使AD=DC，连接BC，CE，BC交DE于点F，若AB=BC．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AE，若∠BAC=60°，AB=4，求AE的长．【分析】（1）先求出四边形BECD是平行四边形，根据等腰三角形性质求出∠BDC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出∠DCE=90°，根据等边三角形的性质和判定求出AC，求出CE，根据勾股定理求出AE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∵AD=DC，∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形BECD是平行四边形，∵在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴四边形BECD是矩形；（2）解：∵四边形BECD是矩形，∴∠ACE=∠BDC=90°，∵∠BAC=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCD=∠ABC=60°，AC=BC=AB=4，∵AD=CD，∴∠CBD=∠ABC==30°，∴CD=AC=2，由勾股定理得：BD==，∴CE=BD=，AC=AB=4，由勾股定理得：AE===．【点评】本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．18．在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且AF=CE，连接DF．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）连接CF，若CF平分∠BCD，且CE=3，BE=4，求矩形BEDF的面积．【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；（2）利用等腰三角形的性质求出BF即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AF=CE，∴AB﹣AF=CD﹣CE，即BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，∴四边形BEDF是矩形．（2）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF，∵AB∥CD，∴∠BFC=∠DCF，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=BF，在Rt△BCE中，BC==5，∴BC=BF=5，=BF•BE=5×4=20．∴S矩形BEDF【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．如图，在长方形ABCD中，AB：BC=3：4，AC=5，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t秒．（1）求AB与BC的长；（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△CDP为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；（2）分PC=CD、PD=PC、PD=CD三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可．【解答】解：（1）设AB=3x，BC=4x在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AC=5x，5x=5，x=1∴AB=3，BC=4，（2）存在点P，使△CDP是等腰三角形，理由如下：当P1D=P1C即P为对角线AC中点时，△CDP是等腰三角形，∵AB=3，BC=4，∴，∴，∴（秒）当CD=P2C时，△CDP是等腰三角形，∴（秒），AB的中点也是，此时t=1.5；CP=CD，P在BC线段上，此时，t=4；DP=DC，P在线段AC上，此时t=10.6；综上可知当t=9.5秒或10秒或1.5秒或4秒或10.6秒时△CDP是等腰三角形．【点评】本题考查了四边形综合题．需要掌握矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，正确解出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．20．如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE=CA，连接AE．F 为AB上的一点，且BF=DE，连接FC．（1）若DE=1，CF=，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG=60°，求证：AF+CE=AC．【分析】（1）设CD=x，则AC=CE=x+1，在Rt△ADC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；（2）如图2中，连接CG．作FJ⊥AC于J．想办法证明∠BAC=30°，∠ACF=45°，即可解决问题；【解答】解：（1）设CD=x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠B=90°，AD=BC，在Rt△BCF中，BC==，∵AC=CE=x+1，在Rt△ADC中，∵AC2=AD2+CD2，∴（x+1）2=x2+（）2，∴x=3，∴CD=3．（2）如图2中，连接CG．作FJ⊥AC于J．∵CA=CE，AG=EG，∴CG⊥AE，∠ACG=∠ECG，∵∠AGC=∠ABC=90°，∴∠AGC+∠ABC=180°，∴A、G、C、B四点共圆，∴∠ABG=∠ACG，∴∠ACG=∠ECG=∠ABG，设∠ACG=∠ECG=∠ABG=x，则∠BAH=∠ACD=2x，∠BHC=∠BAH+∠ABG=3x，∵∠BHC+∠ABG=60°，∴4x=60°，∴x=15°，∴∠FAJ=30°，∠DAC=∠ACB=60°，∠CAE=75°，∴∠EAD=15°，∵DE=BF，∠ADE=∠CBF，AD=BC，∴△ADE≌△CBF，∴∠BCF=∠DAE=15°，∴∠FCJ=45°，∴CJ=FJ，设CJ=FJ=a，则AJ=a，AF=2a，AC=a+a，∴==﹣1，∴AF=（﹣1）AC，∴AF=AC﹣AC，∵AC=CE，∴AF+CE=AC．【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建方程解决问题，学会利用特殊角解决问题，属于中考压轴题．。

《一次函数的应用》拓展训练一、选择题1．如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从A，B两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离y（m）与所经过的时间t（s）之间的函数关系图象，若乙的速度为1.5m/s，则经过30s，甲自A点移动了（）A．45m B．7.2m C．52.2m D．57m2．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为300件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第27天的日销售利润是1250元D．第15天与第30天的日销售量相等3．某城市为了缓解交通拥堵问题，对部分道路进行改造，现在有甲、乙两个工程队分别同时改造两条600米长的道路，已知改造道路长度y（米）与改造时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天改造100米；②乙队开工两天后，每天改造50米；③当x＝4时，甲、乙两队改造的道路长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．甲、乙在一段长2000米的直线公路上进行跑步练习，起跑时甲在起点，乙在甲的前面，若甲、乙同时起跑至甲到达终点的过程中，甲乙之间的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①甲的速度为5米/秒；②100秒时甲追上乙；③经过50秒时甲乙相距50米；④甲到终点时，乙距离终点300米．其中正确的说法有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y ＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．①C（﹣13，0），E（﹣5，﹣3）；②直线AB的解析式为：y＝x+5；③设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，则S＝32；④在求面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO时，琪琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，即S＝S△+S四边形ABDO＝S△AOC”．CDE其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．乙的速度是60千米/小时B．甲车整个过程用时为1.25小时C．甲出发1小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地晚小时7．容积为1500升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量都一定，单开进水管30分钟可把空池注满，单开出水管20分钟可把满池的水放尽．现水池内有水250升，先打开进水管10分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完．这一过程中蓄水池中的蓄水量y（升）随时间x（分）变化的图象是（）A．B．C．D．8．一列动车从A地开往B地，一列普通列车从B地开往A地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列叙述错误的是（）A．AB两地相距1000千米B．两车出发后3小时相遇C．动车的速度为D．普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶千米到达A地9．明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则（）A．明明的速度是80米/分B．第二次相遇时距离B地800米C．出发25分时两人第一次相遇D．出发35分时两人相距2000米10．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，快车到达乙地时，慢车还有（）千米到达甲地．A．70B．80C．90D．100二、填空题11．学校组织一队学生从学校出发去基地军训，队伍走了一段时间后，到达A 地，此时队伍中的通讯员小明按原路加快速度返回学校拿材料（拿材料的时间忽略不计），小明返回学校后，然后随即按原来加快的速度追赶队伍，恰好在基地追上学生队伍，设队伍行进的时间为x（小时），小明与队伍之间的距离为y（千米）．y与x之间的函数关系如图，则当小明第二次到达A地时，队伍距基地还有千米．12．在青山区“海绵城市”工程中，某工程队接受一段道路施工的任务，计划从2016年10月初至2017年9月底（12个月）完成．施工3个月后，实行倒计时，提高工作效率，剩余工程量与施工时间的关系如图所示，那么按提高工作效率后的速度做完全部工程，则工期可缩短个月．13．如图所示，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d＝5﹣x（0≤x≤5），则下列结论：①AF＝2；②S△POF的最大值是6；③当d＝时，OP＝；④OA＝5．其中正确的有（填序号）．三、解答题14．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的位置关系有以下三种情形；①如果AB∥x轴，则y1＝y2，AB＝|x1﹣x2|②如果AB∥y轴，则x1＝x2，AB＝|y1﹣y2|③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线与过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C坐标为（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|；由②得BC＝|y1﹣y2|；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB＝．小试牛刀：（1）若点A坐标为（﹣2，3），B点坐标为（3，3）则AB＝；（2）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（3，﹣4）则AB＝；（3）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（7，﹣1）则AB＝；学以致用：若点A坐标为（2，2），点B坐标为（4，4），点P是x轴上的动点，当AP+PB取得最小值时点P的坐标为并求出AP+PB最小值＝；挑战自我：已知M＝，N＝根据数形结合，直接写出M的最小值＝；N的最大值＝；《一次函数的应用》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从A，B两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离y（m）与所经过的时间t（s）之间的函数关系图象，若乙的速度为1.5m/s，则经过30s，甲自A点移动了（）A．45m B．7.2m C．52.2m D．57m【分析】先根据图象求出甲与乙距离关于秒的函数关系，再根据等量关系“甲自A点移动的距离+30秒后甲与乙的距离＝12+乙移动的距离”求解即可．【解答】解：设甲与乙的距离为s，则关于t的函数为s＝kt+b（k≠0），将（0，12）（50，0）代入得，解得k＝﹣0.24，b＝12，函数表达式，s＝﹣0.24t+12（0≤t≤50），则30秒后，s＝4.8设甲自A点移动的距离为y，则y+s＝12+1.5×30解得：y＝52.2∴甲自A点移动52.2m．故选：C．【点评】此题考查了一次函数的实际运用，解题的关键是把函数图象与实际相结合，同学们应注重培养对图象的认识理解能力．2．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为300件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第27天的日销售利润是1250元D．第15天与第30天的日销售量相等【分析】A、利用图象①即可解决问题；B、利用图象②求出函数解析式即可判断；C、求出销售量以及每件产品的利润即可解决问题；D、求出第15天与第30天的日销售量比较即可；【解答】解：A、根据图①可得第24天的销售量为300件，故正确；B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝kx+b，把（0，25），（20，5）代入得：，解得：，∴z＝﹣x+25，当x＝10时，y＝﹣10+25＝15，故正确；C、当24≤t≤30时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝k1t+b1，把（30，200），（24，300）代入得：，解得：，∴y＝﹣t+700，当t＝27时，y＝250，∴第27天的日销售利润为；250×5＝1250（元），故C正确；D、当0＜t＜24时，可得y＝t+100，t＝15时，y≠200，故D错误，故选：D．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．某城市为了缓解交通拥堵问题，对部分道路进行改造，现在有甲、乙两个工程队分别同时改造两条600米长的道路，已知改造道路长度y（米）与改造时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天改造100米；②乙队开工两天后，每天改造50米；③当x＝4时，甲、乙两队改造的道路长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，甲队每天改造：600÷6＝100米，故①正确，乙队开工后，前两天每天改造：300÷2＝150米，两天以后，每天改造：（500﹣300）÷（6﹣2）＝50米，故②正确，当x＝4时，甲队改造：100×4＝400（米），乙队改造为：300+（4﹣2）×50＝400（米），故③正确，乙队需要的天数为：2+（600﹣300）÷50＝8（天），甲队比乙队提前8﹣6＝2（天）完成，故④正确，故选：A．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．4．甲、乙在一段长2000米的直线公路上进行跑步练习，起跑时甲在起点，乙在甲的前面，若甲、乙同时起跑至甲到达终点的过程中，甲乙之间的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①甲的速度为5米/秒；②100秒时甲追上乙；③经过50秒时甲乙相距50米；④甲到终点时，乙距离终点300米．其中正确的说法有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由图象可知起跑时甲在起点，乙在甲的前面，甲乙之间的距离为100米，100秒后，甲乙之间的距离为0米，这个说明，甲的速度快，100秒甲追上乙．每秒甲比乙多跑1米，则可以判断②③④，由图象可得甲400秒到达终点，可求甲的速度．【解答】解：由图象可知起跑时甲在起点，乙在甲的前面，甲乙之间的距离为100米，100秒后，甲乙之间的距离为0米，这个说明，甲的速度快，100秒甲追上乙．故②正确．经过400秒，甲先到达终点，所以甲的速度为2000÷400＝5米/秒，故①正确．100秒甲追上相距100米的乙，说明每秒甲比乙多跑1米，所以经过50秒，甲比乙多跑50米，则甲乙相距的距离为50米，故③正确，相遇后，到甲到达终点，经过了300秒，则甲比乙多跑了300米，即甲到终点时，乙距离终点300米，故④正确故选：A．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论5．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y ＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．①C（﹣13，0），E（﹣5，﹣3）；②直线AB的解析式为：y＝x+5；③设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，则S＝32；④在求面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO时，琪琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，即S＝S△CDE+S四边形ABDO＝S△AOC”．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用坐标轴上点的特点确定出点C的坐标，再利用直线的交点坐标的确定方法求出点E坐标，即可判断①；求出点B坐标，用待定系数法求出直线AB解析式，即可判断②；直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积的计算求出S，即可判断③；求出S△CDE +S四边形ABDO﹣S△AOC，与S比较即可判断④．【解答】解：∵在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），故①正确；∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5．故②错误；由①知，E（﹣5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE +S四边形ABDO＝12+20＝32，故③正确；④由③知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝32.5，∴S△CDE +S四边形ABDO＝12+20≠S△AOC．故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称的性质，待定系数法，三角形，直角梯形的面积的计算，解②的关键是确定出点C，E 的坐标，解②的关键是特殊几何图形的面积的计算，解④的关键是确定出直线AB与x轴的交点坐标，是一道常规题．6．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．乙的速度是60千米/小时B．甲车整个过程用时为1.25小时C．甲出发1小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地晚小时【分析】依据函数图象可得到乙车0.5小时行驶的路程，从而可求得乙的速度，故此可对A作出判断，由时间＝路程÷速度可求得乙行驶的时间，然后可得到乙先到达A地，从而可得到甲车行驶的时间，故此可对B作出判断，然后可求得甲车的速度，由甲、乙两个的速度以及两地的距离可求得相遇时间，故此可对C作出判断，依据甲、乙两车行驶时间可对D作出判断．【解答】解：由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，由于乙先出发，0.5小时，两车相距（100﹣70）km，则乙车的速度为：60km/h，故A正确，不符合题意；乙行驶全程所用时间为：＝1（小时），由最后时间为1.75小时，可得乙先到到达A地，故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5＝1.25（小时），故B正确，不符合题意；甲车的速度为：＝80（km/h），由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+60＝100，故两车相遇，故C选项不正确，不合题意；由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣1＝（小时），故此选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，解决本题的关键正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．7．容积为1500升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量都一定，单开进水管30分钟可把空池注满，单开出水管20分钟可把满池的水放尽．现水池内有水250升，先打开进水管10分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完．这一过程中蓄水池中的蓄水量y（升）随时间x（分）变化的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据实际意义进行图象的判断，注意特殊点的寻找．【解答】解：因为进水速度是1500÷30＝50升/分，单开出水管20分钟可把满池的水放尽，则出水速度是1500÷20＝75升/分，所以先打开进水管10分钟，水池中有250+50×10＝750升的水，两管同时开放，直至把水池中的水放完共用了750÷（75﹣50）＝30分钟，故10+30＝40（分钟）故选：A．【点评】本题主要考查了根据实际意义读图的能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．8．一列动车从A地开往B地，一列普通列车从B地开往A地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列叙述错误的是（）A．AB两地相距1000千米B．两车出发后3小时相遇C．动车的速度为D．普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶千米到达A地【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，AB两地相距1000千米，故选项A正确，两车出发3小时相遇，故选项B正确，动车的速度为：1000÷3﹣1000÷12＝250千米/时，故选项C错误，普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶×（12﹣）＝千米到达A地，故选项D正确，故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则（）A．明明的速度是80米/分B．第二次相遇时距离B地800米C．出发25分时两人第一次相遇D．出发35分时两人相距2000米【分析】C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误；A、当x＝35时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度＝路程÷时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二者做差后可得出明明的速度，进而得出A 选项错误；B、根据第二次相遇时距离B地的距离＝明明的速度×第二次相遇的时间﹣A、B两地间的距离，即可求出第二次相遇时距离B地800米，B选项正确；D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离＝明明的速度×出发时间，即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误．【解答】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3×2800米，且二者速度不变，∴c＝60÷3＝20，∴出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），两人的速度和为2800÷20＝140（米/分），明明的速度为140﹣80＝60（米/分），A选项错误；第二次相遇时距离B地距离为60×60﹣2800＝800（米），B选项正确；出发35分钟时两人间的距离为60×35＝2100（米），D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．10．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，快车到达乙地时，慢车还有（）千米到达甲地．A．70B．80C．90D．100【分析】求出相遇前y与x的关系式，确定出甲乙两地的距离，进而求出两车的速度，即可确定出所求．【解答】解：设第一段折线解析式为y＝kx+b，把（1.5，70）与（2，0）代入得：，解得：，即y＝﹣140x+280，令x＝0，得到y＝280，即甲乙两对相距280千米，设两车相遇时，乙行驶了x千米，则甲行驶了（x+40）千米，根据题意得：x+x+40＝280，解得：x＝120，即两车相遇时，乙行驶了120千米，则甲行驶了160千米，∴甲车的速度为80千米/时，乙车速度为60千米/时，根据题意得：（280﹣160）÷80＝1.5（小时），1.5×60＝90（千米），280﹣120﹣90＝70（千米），则快车到达乙地时，慢车还有70千米到达甲地，故选：A．【点评】此题考查了一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．二、填空题11．学校组织一队学生从学校出发去基地军训，队伍走了一段时间后，到达A 地，此时队伍中的通讯员小明按原路加快速度返回学校拿材料（拿材料的时间忽略不计），小明返回学校后，然后随即按原来加快的速度追赶队伍，恰好在基地追上学生队伍，设队伍行进的时间为x（小时），小明与队伍之间的距离为y（千米）．y与x之间的函数关系如图，则当小明第二次到达A地时，队伍距基地还有 5.36千米．【分析】先分析清楚图形各个点的具体情况：点B处表示为小明返回学校的情况，通过列方程即可求解．【解答】解：设：学生和小明加速后的速度分别为a千米/小时、b千米/小时，由题意得：解得：，由题意知在B点时，小明开始向A点出发，即在BC段小明和队伍同向，此时k BC＝b﹣a＝，易得：BC的直线方程为：y＝﹣x+10.8，则在C点横坐标为x＝3.15，OC＝3.15a ＝13.5，小明到第二次A点时，队伍共走了0.9+（1.4﹣0.9）×2＝1.9小时，走的距离为1.9a＝8.14，当小明第二次到达A地时，队伍距基地还有13.5﹣8.14＝5.36千米，故答案为5.36．【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求BC段直线方程．12．在青山区“海绵城市”工程中，某工程队接受一段道路施工的任务，计划从2016年10月初至2017年9月底（12个月）完成．施工3个月后，实行倒计时，提高工作效率，剩余工程量与施工时间的关系如图所示，那么按提高工作效率后的速度做完全部工程，则工期可缩短 1.5个月．【分析】求出开始3个月的工作效率已经接下来的3个月的工作效率，再分别求出完成任务还需要的时间即可解决问题；【解答】解：观察图象可知：开始3个月的工作效率：，还需要9个月完成任务．接下来3个月的工作效率：[（1﹣）﹣]÷3＝，还需要÷＝个月完成任务．∴按提高工作效率后的速度做完全部工程，则工期可缩短9﹣＝1.5个月，故答案为1.5【点评】本题考查函数的图象与性质、工程问题的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．13．如图所示，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d＝5﹣x（0≤x≤5），则下列结论：①AF＝2；②S△POF的最大值是6；③当d＝时，OP＝；④OA＝5．其中正确的有①②④（填序号）．【分析】当P和A重合时，PF＝AF，则x﹣3＝5﹣x，求得OA＝5，进一步求得AF＝2，即可判断①④；当P和B重合时△POF的面积最大，此时x＝0，的最大值，即可判断②；把d＝代入d＝5﹣x，求得BF的长，求得S△POF代入d＝5﹣x求得点P的横坐标为3，证得PF⊥OA，然后根据勾股定理即可求得OP的长，即可判断③．【解答】解：当P和A重合时，PF＝AF，∴x﹣3＝5﹣x，∴x＝5，∴OA＝5，AF＝OA﹣OF＝5﹣3＝2，故①④正确；∵OF＝3是定值，∴当P和B重合时△POF的面积最大，把x＝0代入d＝5﹣x得d＝5，则此时，BF＝5，∴OB＝＝4，∴S的最大值＝OF•OB＝×3×4＝6，故②正确；△POF当d＝时，则＝5﹣x，解得x＝3，∵F（3，0），∴PF⊥OA，∴OP＝＝＝，故③错误．故答案为①②④．【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用等，熟练掌握一次函数的性质求得一次函数的最大值和最小值是解题的关键．三、解答题14．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的位置关系有以下三种情形；①如果AB∥x轴，则y1＝y2，AB＝|x1﹣x2|②如果AB∥y轴，则x1＝x2，AB＝|y1﹣y2|③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线与过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C坐标为（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|；由②得BC＝|y1﹣y2|；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB＝．小试牛刀：（1）若点A坐标为（﹣2，3），B点坐标为（3，3）则AB＝5；（2）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（3，﹣4）则AB＝6；（3）若点A坐标为（3，2），B点坐标为（7，﹣1）则AB＝5；学以致用：若点A坐标为（2，2），点B坐标为（4，4），点P是x轴上的动点，当AP+PB取得最小值时点P的坐标为（，0）并求出AP+PB最小值＝2；挑战自我：已知M＝，N＝根据数形结合，直接写出M的最小值＝；N的最大值＝2；【分析】小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式AB＝|x1﹣x2|进行解答；（2）利用两点间的距离公式AB＝|y1﹣y2|进行解答；（3）利用两点间的距离公式AB＝进行解答；学以致用：利用轴对称的性质求得点P的坐标以及AP+PB的最小值；挑战自我：利用M、N所表示的几何意义解答．【解答】解：小试牛刀：（1）AB＝|x1﹣x2|＝|3﹣（﹣2）|＝5．故答案是：5；（2）AB＝|y1﹣y2|＝|﹣4﹣2|＝6．故答案是：6；（3）AB＝＝＝5．故答案是：5；学以致用：如图，∵点A坐标为（2，2），∴点A关于x轴对称的点A′的坐标是（2，﹣2），连接A′B，直线A′B与x轴的交点即为点P．设直线A′B为y＝kx+b（k≠0），则，解得．∴直线A′B为y＝3x﹣8．令y＝0，则x＝，即P（，0），此时AP+PB＝A′B＝＝2．故答案是：（，0），2．挑战自我：M＝，当M取最小值时，M表示点（x，0）与点（6，4）的距离与点（x，0）与点（3，2）的距离之和（或M表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点（3，﹣2）的距离之和），此时M＝＝．最小值N＝，当N取最大值时，N表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点（3，2）的距离之和（或M表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点（3，2）的距离之和），此时M＝＝2．最小值故答案是：；2．【点评】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型．。

《正方形》拓展训练一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）下列说法中正确的是（）A．两条对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（4分）用两个边长为3的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A．平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形3．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC 的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．44．（4分）如图正方形ABCD中以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE 度数为（）A．15°B．30°C．45°D．20°5．（4分）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是平行四边形B．如果AB∥CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果AO＝BO，AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形6．（4分）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°7．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED为（）A．10°B．15°C．30°D．120°8．（4分）如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则3OF+2CE＝（）（供参考（+1）（﹣1）＝a﹣1，其中a≥0）A．3+B．4+2C．+1D．+29．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG ＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．1二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和DC上，连接AE、BF，AE⊥BF，点M、N分别在边AB、DC上，连接MN，若MN∥BC，FN＝1，BE＝2，则BM＝．12．（4分）如下图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE＝AC，连接AE，则∠E＝度．13．（4分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分面积依次记为S1，S2，若S1的面积为2，则S2的面积为．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF⊥AC，分别交BC，CD于点F，H，若AF＝10cm，则AH＝cm．15．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD中点，连接BE，AC，交于点O．求的值．17．（8分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，AF与DE相交于点G，且AF＝DE．求证：（1）BF＝AE；（2）AF⊥DE．18．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC＝CE，求∠DAE的度数．19．（8分）如图，直线l是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线l上取一点P，连接PN，以线段PN为边，在PN上方作正方形NP AB，射线MA交直线l于点C，连接BC．（1）设∠ONP＝α，求∠AMN的度数；（2）写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明．20．（8分）如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2．若G为AE中点，延长DG至N，使DG＝NG，连接EN，且∠EDG＝∠ENG．求证：BF+DF＝AF．《正方形》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）下列说法中正确的是（）A．两条对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】由正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定可求解．【解答】解：∵两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴A选项错误∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形∴B选项正确∵两条对角线相等的平行四边形是矩形∴C选项错误∵两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形∴D选项错误故选：B．【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练运用这些判定解决问题是本题的关键．2．（4分）用两个边长为3的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A．平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形【分析】利用等边三角形的性质，以及菱形的判定方法判断即可．【解答】解：∵等边三角形的三边相等，∴用两张等边三角形纸片拼成的四边形是菱形，故选：D．【点评】此题考查了菱形的判定，图形的剪拼，以及等边三角形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．3．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．4【分析】根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，根据勾股定理可得EF的长．【解答】解：∵ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°∵DF⊥DE∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDF且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°∴△ADE≌△CDF∴AE＝CF＝1∵E是AB中点∴AB＝BC＝2∴BF＝3在Rt△BEF中，EF＝＝故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．4．（4分）如图正方形ABCD中以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE 度数为（）A．15°B．30°C．45°D．20°【分析】先利用正方形的性质得到DA＝DC，∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，利用等边三角形的性质得到DE＝DC，∠CDE＝60°，则DA＝DE，∠ADE＝150°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠DAE＝15°，然后计算∠CAD与∠DAE的差即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∵△CDE为等边三角形，∴DE＝DC，∠CDE＝60°，∴DA＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠DAE＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠CAE＝45°﹣15°＝30°．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了等边三角形的性质．5．（4分）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是平行四边形B．如果AB∥CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果AO＝BO，AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定方法即可判断；【解答】解：A、错误．四边形ABCD有可能是等腰梯形；B、正确．理由：对角线相等的平行四边形是矩形；C、正确．理由：对角线垂直的平行四边形是菱形；D、正确．理由：对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；故选：A．【点评】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（4分）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF ＝20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠CBE＝∠CDE＝20°，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE＝∠CDE＝20°，∴∠BFC＝70°，∴∠DEF的度数是：70°﹣20°＝50°．故选：D．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BCE ≌△DCE（SAS）是解题关键．7．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED为（）A．10°B．15°C．30°D．120°【分析】根据正方形性质得出∠ADC＝90°，AD＝DC，根据等边三角形性质得出DE＝DC，∠EDC＝60°，推出∠ADE＝150°，AD＝ED，根据等腰三角形性质得出∠DAE＝∠DEA，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，∵△CDE是等边三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，正方形性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质机械能推理和计算的能力，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．8．（4分）如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则3OF+2CE＝（）（供参考（+1）（﹣1）＝a﹣1，其中a≥0）A．3+B．4+2C．+1D．+2【分析】先证明∠EFC＝67.5°＝∠DEC，则EC＝FC，可知：2CE+2OF＝2OC＝2，过F作FG⊥CD于G，根据角平分线的性质得：OF＝FG，由△FCG是等腰直角三角形，得CF＝FG＝OF，计算OF的长可得结论．【解答】解：在正方形ABCD中，∵AD＝DC＝2，∠ADC＝90°，∴AC＝2，∴OC＝，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∵ED平分∠BDC，∴∠BDE＝∠CDE＝22.5°，∴∠DEC＝67.5°，∵∠FCE＝45°，∴∠EFC＝67.5°＝∠DEC，∴EC＝FC，∴2CE+2OF＝2OC＝2，过F作FG⊥CD于G，∵AC⊥BD，ED平分∠BDC，∴OF＝FG，∵∠ACD＝45°，∴△FCG是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝OF，∴OF+OF＝OC＝，∴OF＝＝＝2﹣，∴3OF+2CE＝OF+2OF+2CE＝2﹣+2＝2+．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟记各性质是解题的关键，根据正方形的边长计算出OF的长是本题的难点．9．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG ＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG＝AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE＝CF，在△BCE与△CDF中，∴△BCE≌△CDF，（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故①正确；在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG＝CD＝AD，故④正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵HG＝HD＝CD，∴DK＝GK，∴AH垂直平分DG，∴AG＝AD，故②正确；∴∠DAG＝2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH＝∠CDF，∵GH＝DH，∴∠HDG＝∠HGD，∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．故选：D．【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．10．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．1【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，然后证明∠BNM＝∠BMN，BN＝BM＝1．【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∵AM＝，∴AH＝MH＝1，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝45°，∠MBC＝90°∴∠ACM＝∠BCM＝22.5°，BM＝MH＝1，∵∠BAC＝45°，∴∠BMC＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠BNM＝∠ONC＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM＝1，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质作辅助线是解决问题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和DC上，连接AE、BF，AE⊥BF，点M、N分别在边AB、DC上，连接MN，若MN∥BC，FN＝1，BE＝2，则BM＝1或3．【分析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AOB的度数，根据同角的余角相等可得∠BAO＝∠CBF，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，得BE＝CF＝2，分情况讨论，证明四边形MBCN是平行四边形，则BM ＝CN，根据两图形可得BM的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC．∵AE⊥BF，∴∠AOB＝∠BAO+∠ABO＝90°，∵∠ABO+∠CBF＝90°，∴∠BAO＝∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF＝2，∵MN∥BC，AB∥CD，∴四边形MBCN是平行四边形，∴BM＝CN，①当N在F的上方时，如图1，∴BM＝CN＝CF+FN＝2+1＝3，②当N在F的下方时，如图2，∴BM＝CN＝CF﹣FN＝2﹣1＝1，∴BM的长为1或3，故答案为：1或3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，并注意N的位置，分类讨论，容易丢解．12．（4分）如下图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE＝AC，连接AE，则∠E＝22.5度．【分析】运用正方形的性质：正方形的对角线平分每一组对角．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E∴∠E＝∠CAD＝22.5°．故答案为22.5．【点评】本题考查了正方形的对角线平分每一组对角的性质．13．（4分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分面积依次记为S1，S2，若S1的面积为2，则S2的面积为．【分析】由正方形的性质可得AM＝ME＝MN＝NC＝NF，BH＝HC，即可得AC＝3EF，AB＝2GH，由相似三角形的性质可求S2的面积．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DCA＝45°＝∠ACB＝∠DAC，∵四边形EFNM是正方形，∴MN＝FN，EF∥AC，∠AMF＝∠FNC＝90°∴∠DAC＝∠AEM＝45°＝∠ACD＝∠CFN∴AM＝ME＝MN＝NC＝NF∵EF∥AC∴△DEF∽△DAC∴∴S△ADC＝18同理可得：△CGH∽△CAB，AB＝2GH，∴∴S2＝故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、求出S△ADC是本题的关键．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF⊥AC，分别交BC，CD于点F，H，若AF＝10cm，则AH＝10cm．【分析】根据正方形的性质得到∠HCE＝∠FCE＝45°，根据垂直的定义得到∠CEH＝∠CEF＝90°，求得∠CHE＝∠CFE＝45°，推出△CEH与△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到HE＝CE＝EF，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠HCE＝∠FCE＝45°，∵FH⊥AC，∴∠CEH＝∠CEF＝90°，∴∠CHE＝∠CFE＝45°，∴△CEH与△CEF是等腰直角三角形，∴HE＝CE＝EF，∴AH＝AF＝10cm，故答案为：10．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为．【分析】连接BE，证明△ABE≌△ADE，可得ED＝BE，在等腰直角三角形AEF中，求出AF，EF的长，再在Rt△BEF中求出BE的长，即可得出ED的长．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD，∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∵EF⊥AB于点F，AE＝，∴AF＝EF＝3，∵AB＝10，∴BF＝7，∴BE＝，∴ED＝．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD中点，连接BE，AC，交于点O．求的值．【分析】由点E是AD中点，得到AE＝AD，根据正方形的性质得到AE∥BC，AD＝BC，得到AE＝BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点E是AD中点，∴AE＝AD，∵四边形ABCD是正方形，∴AE∥BC，AD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴△AOE∽△COB，∴＝．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．17．（8分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，AF与DE相交于点G，且AF＝DE．求证：（1）BF＝AE；（2）AF⊥DE．【分析】（1）根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAE＝∠ABE＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠BAF，根据余角的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAE＝∠ABE＝90°，在Rt△DAE与Rt△ABF中，，∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL），∴BF＝AE；（2）∵Rt△DAE≌Rt△ABF，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE＝∠AED＝90°，∴∠BAF＝∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥DE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．18．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC＝CE，求∠DAE的度数．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠DAC＝∠ACB＝45°，再根据等边对等角可得∠E＝∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠EAC，再根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，∵AC＝CE，∴∠E＝∠EAC，∵2∠EAC＝∠E+∠EAC＝∠ACB＝45°，∴∠EAC＝22.5°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝45°﹣22.5°＝22.5°．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角的性质，三角形的外角性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．19．（8分）如图，直线l是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线l上取一点P，连接PN，以线段PN为边，在PN上方作正方形NP AB，射线MA交直线l于点C，连接BC．（1）设∠ONP＝α，求∠AMN的度数；（2）写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明．【分析】（1）由线段的垂直平分线的性质可得PM＝PN，且PO⊥MN，由等腰三角形的性质可得∠PMN＝∠PNM＝α，由正方形的性质可得AP＝PN，∠APN＝90°，可得∠APO ＝α，由三角形的外角性质可求∠AMN的度数；（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得MN＝CN，AN＝BN，∠MNC ＝∠ANB＝45°，可证△CBN∽△MAN，可得AM＝BC．【解答】解：（1）如图，连接MP，∵直线l是线段MN的垂直平分线，∴PM＝PN，且PO⊥MN∴∠PMN＝∠PNM＝α∴∠MPO＝∠NPO＝90°﹣α，∵四边形ABNP是正方形∴AP＝PN，∠APN＝90°∴AP＝MP，∠APO＝90°﹣（90°﹣α）＝α∴∠APM＝∠MPO﹣∠APO＝（90°﹣α）﹣α＝90°﹣2α，∵AP＝PM∴∠PMA＝∠P AM＝＝45°+α，∴∠AMN＝∠AMP﹣∠PMN＝45°+α﹣α＝45°（2）AM＝BC理由如下：如图，连接AN，CN，∵直线l是线段MN的垂直平分线，∴CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM＝45°，∴∠MCN＝90°∴MN＝CN，∵四边形APNB是正方形∴∠ANB＝∠BAN＝45°∴AN＝BN，∠MNC＝∠ANB＝45°∴∠ANM＝∠BNC又∵∴△CBN∽△MAN∴∴AM＝BC【点评】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．20．（8分）如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2．若G为AE中点，延长DG至N，使DG＝NG，连接EN，且∠EDG＝∠ENG．求证：BF+DF＝AF．【分析】（1）设BM＝x，则MC＝2x，由此得到AB＝BC＝3x，在Rt△ABM中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求AM长，再利用勾股定理可求AB长；（2）要证明的三条线段没有组成一个三角形或一条线段，所以延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，证明△ABF≌△ADH，把BF转化到DH，从而三条线段放在了等腰直角三角形中便解决了问题．【解答】解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）∵∠EDG＝∠ENG，∴DE＝EN，∵DG＝NG，∴AE⊥DN，∵G为AE中点，∴DA＝DE，延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DG⊥AF，∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFG＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质、勾股定理，综合性较强，正确作出辅助线，把三条线段转化到一个等腰直角三角形是解题的关键．。

《一次函数的图象》拓展训练一、选择题1．如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 2．如果ab＞0，bc＜0，则一次函数y＝﹣x+的图象的大致形状是（）A．B．C．D．3．两个一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．如图，过点A0（1，0）作x轴的垂线，交直线l：y＝2x于B1，在x轴上取点A1，使OA1＝OB1，过点A1作x轴的垂线，交直线l于B2，在x轴上取点A2，使OA2＝OB2，过点A2作x轴的垂线，交直线l于B3，…，这样依次作图，则点B8的纵坐标为（）A．（）7B．2（）7C．2（）8D．（）95．若实数k，m，n满足k+m+n＝0，且k＜n＜m，则函数y＝kx+m的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1AA2，△B2A2A3，△B3A3A4，…△B n a n a n+1…分别是以A1，A2，A3，…A n…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是（）A．216B．217C．218D．2197．下列各点中，在直线y＝﹣4x+1上的点是（）A．（﹣4，﹣17）B．（﹣，6）C．（，﹣1）D．（1，﹣5）8．在下列函数中，是一次函数，且图象通过原点而不通过第一、三象限的是（）A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x2+8C．y＝4x D．y＝﹣9．将直线y＝﹣2x向右平移2个单位向上平移1单位所得直线的解析式为（）A．y＝﹣2x+4B．y＝﹣2（x+2）+1C．y＝﹣2x﹣3D．y＝﹣2（x﹣2）+110．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，动点P 从点B出发，沿BA运动到点A，且不与点A，B重合，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形OCPD的周长（）A．先减小后增大B．先增大后减小C．不变D．逐渐增大二、填空题11．在平面直角坐标系中，直线L：y＝x﹣3分别与x轴、y轴相交于A、B 两点，点P是坐标轴上一个动点，若△P AB为直角三角形，则点P的坐标为．12．如图，直线y＝x+1与y轴交于点A1，以OA1为边a在y轴右侧作正方形OA1B1C1，延长C1B1交直线y＝x+1于点A2，再以C1A2为边在C1A2右侧作正方形，…，这些正方形与直线y＝x+1的交点分别为A1，A2，A3，…，A n，则点B n的坐标为．13．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为．14．如图，直线y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x 轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按照此做法进行下去，点A8的坐标为．15．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△B n A n A n+1，…分别是以A1，A2，A3，…，A n，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是．三、解答题16．如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）已知点C坐标为（2，0），设点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标．17．如图：一次函数y＝（）x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．18．如图，函数y＝﹣x+2的图象交y轴于M，交轴于N，点P是直线MN上任意一点，PQ⊥x轴，设Q是垂足，设点Q的坐标为（t，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．（1）试求S与t之间的函数关系式；（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得s＝a （a＞0）的点P的个数．19．如图，已知一次函数y＝﹣x+5的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P从点A开始沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，与此同时，点Q从点O开始沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右移动．如果P、Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ的长度等于5？（2）是否存在t的值，使得四边形APQB的面积等于11？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．20．阅读下列两则材料，回答问题：材料一：平面直角坐标系中，对点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新的运算：A⊗B＝x1x2+y1y2．例如：若A（1，2），B（3，4），则A⊗B＝1×3+2×4＝11材料二：平面直角坐标系中，过横坐标不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线的斜率为k AB＝．由此可以发现若k AB＝＝1，则有y1﹣y2＝x1﹣x2，即x1﹣y1＝x2﹣y2．反之，若x1，x2，y1，y2满足关系式x1﹣y1＝x2﹣y2，则有y1﹣y2＝x1﹣x2，那么k AB＝═1．（1）已知点M（﹣4，6），N（3，2），则M⊗N＝，若点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1＝x2+y2，那么k AB ＝；（2）横坐标互不相同的三个点C，D，E满足C⊗D＝D⊗E，且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y轴，交直线CE于点F，若DF＝8，请结合图象，求直线CE与坐标轴围成的三角形的面积．《一次函数的图象》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 【分析】根据一次函数图象的性质分析．【解答】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a＞b，c＞d，故选：B．【点评】此题考查函数的图象，了解一次函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y 随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．2．如果ab＞0，bc＜0，则一次函数y＝﹣x+的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，ab＞0，bc＜0，则＞0，＜0，进而在一次函数y＝﹣x+中，有﹣＜0，＜0，结合一次函数图象的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，ab＞0，bc＜0，则＞0，＜0，∴在一次函数y＝﹣x+中，有﹣＜0，＜0，故其图象过二三四象限，分析可得D符合，故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象的性质，应该识记一次函数y＝kx+b在k、b 符号不同情况下所在的象限．3．两个一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．【解答】解：A、由①可知：a＞0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故A错误；B、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、三、四象限，故B正确；C、∵ab≠0，故直线不经过原点，故C错误；D、由①可知：a＜0，b＞0，∴直线②经过一、三、四象限，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．4．如图，过点A0（1，0）作x轴的垂线，交直线l：y＝2x于B1，在x轴上取点A1，使OA1＝OB1，过点A1作x轴的垂线，交直线l于B2，在x轴上取点A2，使OA2＝OB2，过点A2作x轴的垂线，交直线l于B3，…，这样依次作图，则点B8的纵坐标为（）A．（）7B．2（）7C．2（）8D．（）9【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵A0（1，0），∴OA0＝1，∴点B1的横坐标为1，∵B1，B2、B3、…、B8在直线y＝2x的图象上，∴B1纵坐标为2，∴OA1＝OB1＝，∴A1（，0），∴B2点的纵坐标为2，于是得到B3的纵坐标为2（）2…∴B8的纵坐标为2（）7故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是找出B n的坐标的变化规律．5．若实数k，m，n满足k+m+n＝0，且k＜n＜m，则函数y＝kx+m的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以得到k和m的正负，从而可以得到函数y＝kx+m的图象在哪几个象限，从而可以解答本题．【解答】解：∵实数k，m，n满足k+m+n＝0，且k＜n＜m，∴k＜0，m＞0，∴函数y＝kx+m的图象在第一、二、四象限，故选：B．【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用数形结合的思想解答．6．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1AA2，△B2A2A3，△B3A3A4，…△B n a n a n+1…分别是以A1，A2，A3，…A n…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是（）A．216B．217C．218D．219【分析】根据OA1＝1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B10的坐标．结合等腰直角三角形的面积公式解答．【解答】解：∵OA1＝1，∴点A1的坐标为（1，0），∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1），∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝1，B1A2＝，∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3＝2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…B n（2n﹣1，2n﹣1），∴点B10的坐标是（29，29）．∴△B10A10A11的面积是：×29×29＝217．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质．7．下列各点中，在直线y＝﹣4x+1上的点是（）A．（﹣4，﹣17）B．（﹣，6）C．（，﹣1）D．（1，﹣5）【分析】把各个点代入一次函数的解析式，看看左右两边是否相等即可．【解答】解：A、∵把（﹣4，﹣17）代入y＝﹣4x+1得：左边＝﹣17，右边＝﹣4×（﹣4）+＝﹣15，∴左边≠右边，∴点（﹣4，﹣17）不在直线y＝﹣4x+1上，故本选项错误；B、∵把（﹣，6）代入y＝﹣4x+1得：左边＝6，右边＝﹣4×（﹣）+1＝15，∴左边≠右边，∴点（﹣，6）不在直线y＝﹣4x+1上，故本选项错误；C、∵把（，﹣1）代入y＝﹣4x+1得：左边＝﹣，右边＝﹣4×+1＝﹣，∴左边＝右边，∴点（，﹣1）在直线y＝﹣4x+1上，故本选项错误；D、∵把（1，﹣5）代入y＝﹣4x+1得：左边＝﹣5，右边＝﹣4×1+1＝﹣3，∴左边≠右边，∴点（1，﹣5）不在直线y＝﹣4x+1上，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的计算能力．8．在下列函数中，是一次函数，且图象通过原点而不通过第一、三象限的是（）A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x2+8C．y＝4x D．y＝﹣【分析】根据一次函数中的比例系数的符号判断﹣k的符号后即可确定答案．【解答】解：是一次函数，且图象通过原点而不通过第一、三象限的是y＝﹣，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k ≠0）中，①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．9．将直线y＝﹣2x向右平移2个单位向上平移1单位所得直线的解析式为（）A．y＝﹣2x+4B．y＝﹣2（x+2）+1C．y＝﹣2x﹣3D．y＝﹣2（x﹣2）+1【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y＝﹣2（x﹣2）+1＝﹣2x+5．故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，动点P从点B出发，沿BA运动到点A，且不与点A，B重合，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形OCPD的周长（）A．先减小后增大B．先增大后减小C．不变D．逐渐增大【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点P的坐标为（m，﹣m+4），＝4，此题得解．根据矩形的周长公式即可得出C矩形CPDO【解答】解：设点P的坐标为（m，﹣m+4）（0＜m＜4），则CO＝m，OD＝﹣m+4，＝2（OC+OD）＝2×4＝8，∴C矩形CPDO即四边形OCPD的周长为定值，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点P的坐标是解题的关键．二、填空题11．在平面直角坐标系中，直线L：y＝x﹣3分别与x轴、y轴相交于A、B 两点，点P是坐标轴上一个动点，若△P AB为直角三角形，则点P的坐标为（0，0）或（﹣9，0）或（0，）．【分析】分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：由题意：A（3，0），B（0，﹣3），∴OA＝3，OB＝3，∴tan∠OAB＝，∴∠OAB＝60°，①当∠P AB＝90°时，在Rt△AOP中，OP＝OA•tan30°＝，∴P（0，），②当∠ABP′＝90°时，在Rt△OBP′中，OP′＝OB•tan60°＝9，∴P′（﹣9，0）．③当P（0，0）时，△APB是直角三角形，综上所述，满足条件的点P坐标为（0，0）（﹣9，0）（0，）．故答案为（0，0）或（﹣9，0）或（0，）．【点评】本题考查一次函数图象上的点特征，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．12．如图，直线y＝x+1与y轴交于点A1，以OA1为边a在y轴右侧作正方形OA1B1C1，延长C1B1交直线y＝x+1于点A2，再以C1A2为边在C1A2右侧作正方形，…，这些正方形与直线y＝x+1的交点分别为A1，A2，A3，…，A n，则点B n的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）．【分析】由直线y＝x+1可知：A1（0，1），即：OA1＝A1B1＝1 第一个正方形OA1B1C1的边长为1，第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为4，以此类推根据正方形的边长可求得点的坐标，从而找到B n坐标规律．【解答】解：由直线y＝x+1可知：A1（0，1），即：OA1＝A1B1＝1，∴B1的坐标为：（1，1）或（21﹣1，21﹣1）；那么A2的坐标为：（1，2），即A2C1＝2，∴B2的坐标为：（1+2，2）即（3，2）或（22﹣1，22﹣1）那么A3的坐标为：（3，4），即A3C2＝4，∴B3的坐标为：（1+2+4，4），即（7，4）或（23﹣1，23﹣1），…依此类推，点B n的坐标应该为（2n﹣1，2n﹣1）．故答案为：（2n﹣1，2n﹣1）．【点评】此题主要考查了通过找规律来求点的坐标，解题的关键是通过前三个正方形的边长来观察猜测变化规律，应该多尝试．13．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为y＝x﹣．【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过点A作AB⊥y轴于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标，再利用待定系数法可求出该直线l的解析式，再根据平移规律即可得到直线l′的函数解析式．【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OB•AB＝5，∴AB＝，∴OC＝，由此可知直线l经过（，3），设直线l为y＝kx，则3＝k，k＝，∴直线l解析式为y＝x，∴直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为y＝（x﹣3）＝y＝x﹣，故答案为：y＝x﹣．【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．14．如图，直线y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x 轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按照此做法进行下去，点A8的坐标为（128，0）．．【分析】在Rt△OA1B1中，由OA1＝1、A1B1＝OA1＝，利用勾股定理可得出OB1＝2，进而可得出点A2的坐标为（2，0），同理，即可求出点A3、A4、A5、A6、A7、A8的坐标，此题得解．【解答】解：在Rt△OA1B1中，OA1＝1，A1B1＝OA1＝，∴OB1＝＝2，∴点A2的坐标为（2，0）．同理，可得出：点A3的坐标为（4，0），点A4的坐标为（8，0），点A5的坐标为（16，0），点A6的坐标为（32，0），点A7的坐标为（64，0），点A8的坐标为（128，0）．故答案为：（128，0）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合解直角三角形，求出点A2、A3、A4、A5、A6的坐标是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△B n A n A n+1，…分别是以A1，A2，A3，…，A n，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是217．【分析】根据OA1＝1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B10的坐标．结合等腰直角三角形的面积公式解答．【解答】解：∵OA1＝1，∴点A1的坐标为（1，0），∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1），∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝1，B1A2＝，∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3＝2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…B n（2n﹣1，2n﹣1），∴点B10的坐标是（29，29）．∴△B10A10A11的面积是：×29×29＝217．故答案为217．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题16．如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）已知点C坐标为（2，0），设点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标．【分析】（1）令x＝0以及y＝0即可求出A、B两点的坐标；（2）根据对称性证明DA⊥OA，DA＝AC＝2即可解决问题；【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，当x＝0时，则y＝4；当y＝0，则x＝4∴点A坐标为（4，0）、点B坐标为（0，4）（2）如图，∵OB ＝OA ＝4，∠AOB ＝90°，∴∠BAO ＝45°，∵点C 关于直线AB 的对称点为D ，∴∠BAD ＝∠BAO ＝45°，∴∠DAO ＝90°，∴DA ⊥OA ，∵C （2，0），∴AD ＝AC ＝2，∴D （4，2）【点评】本题考查一次函数图象上的点的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图：一次函数y ＝（）x +2交y 轴于A ，交y ＝3x ﹣6于B ，y ＝3x ﹣6交x 轴于C ，直线BC 顺时针旋转45°得到直线CD ．（1）求点B 的坐标；（2）求四边形ABCO 的面积；（3）求直线CD 的解析式．【分析】（1）构建方程组即可解决问题；（2）求出A 、C 两点坐标，根据S 四边形ABCO ＝S △OCB +S △AOB 计算即可；（3）如图，将线段BC 绕点B 逆时针旋转90得到C ′．由题意可知点C ′在直线CD 上，求出点C ′坐标，利用待定系数法即可解决问题；【解答】解：（1）由，解得，∴B （3，3）．（2）由题意A （0，2），C （2，0），∴S 四边形ABCO ＝S △OCB +S △AOB ＝×2×3+×2×3＝6．（3）如图，将线段BC 绕点B 逆时针旋转90得到C ′．∵△BCC ′是等腰直角三角形，∠BCD ＝45°，∴点C ′在直线CD 上，∵B （3，3），C （2，0），∴C ′（6，2），设直线CD 的解析式为y ＝kx +b ，则有， 解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝x ﹣1．【点评】本题考查一次函数的应用、四边形的面积、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．18．如图，函数y ＝﹣x +2的图象交y 轴于M ，交轴于N ，点P 是直线MN 上任意一点，PQ ⊥x 轴，设Q 是垂足，设点Q 的坐标为（t ，0），△POQ 的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．（1）试求S与t之间的函数关系式；（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得s＝a （a＞0）的点P的个数．【分析】（1）本题要根据题意把各种情况都讨论出来，同时把△POQ的面积表示出来．（2）要根据题意列式整理分析，在根据解析式画出图象．【解答】解：（1）①当t＜0时，OQ＝﹣t，PQ＝﹣t+2，∴S＝•（﹣t）（﹣t+2）＝t2﹣t；②当0＜t＜4时，OQ＝t，PQ＝﹣t+2，∴S＝•t（﹣t+2）＝﹣t2+t；③当t＞4时，OQ＝t，PQ＝﹣（﹣t+2）＝t﹣2，∴S＝•t（t﹣2）＝t2﹣t；④当t＝0或4时，S＝0；于是，S＝；（2）S＝下图中的实线部分就是所画的函数图象．观察图象可知：当0＜a＜1时，符合条件的点P有四个；当a＝1时，符合条件的点P有三个；当a＞1时，符合条件的点P只有两个．【点评】本题考查一次函数有关分情况讨论的问题，解题中要注意对各种情况做出准确分析，尤其是t值做好取值范围的分段，19．如图，已知一次函数y＝﹣x+5的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P 从点A开始沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，与此同时，点Q从点O开始沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右移动．如果P、Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ的长度等于5？（2）是否存在t的值，使得四边形APQB的面积等于11？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出OA＝5，OB＝6，利用运动知OP＝5﹣t，OQ＝2t，利用勾股定理即可得出结论；（2）利用面积之差建立方程求解即可．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝5，∴A（0，5），∴OA＝5，令y＝0，∴﹣x+5＝0，∴x＝6，∴B（6，0），∴OB＝6，由运动知，AP＝t，OD＝2t，∴OP＝5﹣t，在Rt△OPQ中，PQ＝5，∴（5﹣t）2+4t2＝25，∴t＝0或t＝2，（2）由（1）知，OP＝5﹣t，OD＝2t，∵四边形APQB的面积等于11，∴S四边形APQB ＝S△AOB﹣S△POQ＝×5×6﹣×2t×（5﹣t）＝11，∴t＝4（舍）或t＝1秒．【点评】此题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积公式，表示出OP，OQ是解本题的关键．20．阅读下列两则材料，回答问题：材料一：平面直角坐标系中，对点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新的运算：A⊗B＝x1x2+y1y2．例如：若A（1，2），B（3，4），则A⊗B＝1×3+2×4＝11材料二：平面直角坐标系中，过横坐标不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线的斜率为k AB＝．由此可以发现若k AB＝＝1，则有y1﹣y2＝x1﹣x2，即x1﹣y1＝x2﹣y2．反之，若x1，x2，y1，y2满足关系式x1﹣y1＝x2﹣y2，则有y1﹣y2＝x1﹣x2，那么k AB＝═1．（1）已知点M（﹣4，6），N（3，2），则M⊗N＝0，若点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1＝x2+y2，那么k AB＝﹣1；（2）横坐标互不相同的三个点C，D，E满足C⊗D＝D⊗E，且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y轴，交直线CE于点F，若DF＝8，请结合图象，求直线CE与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）根据材料一和材料二计算即可；（2）由C⊗D＝D⊗E，且D点的坐标为（2，2），得出x1+y1＝x2+y2，即可得出直线CE的斜率为k CE＝﹣1，从而得出直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，然后根据图象即可求得．【解答】解：（1）根据新的运算，M⊗N＝﹣4×3+6×2＝0；∵点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1＝x2+y2，∴y1﹣y2＝﹣（x1﹣x2），∴k AB＝＝＝﹣1；故答案为0，﹣1；（2）设点C，E的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），∵C⊗D＝D⊗E，且D点的坐标为（2，2），∴2x1+2y1＝2x2+2y2，即x1+y1＝x2+y2，由（1）可知：直线CE的斜率为k CE＝﹣1，如图所示，则直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∵DF＝8，∴围成的三角形的直角边的长为4或12，∴直线CE与坐标轴围成的三角形的面积为8或72．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式．。

【三角形的证明】专项能力拓展训练一．选择题1．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．10B．8C．6D．42．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．16D．323．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（）A．△ABD≌△EBC B．△NBC≌△MBD C．DM＝DC D．∠ABD＝∠EBC4．等边三角形的两条角平分线所夹的锐角的度数为（）度．A．30B．45C．60D．905．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连接AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（）A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACDC．△ABD是等腰三角形D．△ACD是等边三角形6．在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC 的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④8．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝3，DE＝5，则线段EC的长为．12．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为．13．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．14．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝cm．15．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A ＝°．三．解答题16．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．17．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？18．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD＝DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．19．在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：PA＝PM．20．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．。

《反比例函数》拓展训练一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）表示y＝﹣（x＞0）的图象的是（）A．B．C．D．2．（4分）已知反比例函数y＝，当1＜y＜3时，x的取值范围是（）A．0＜x＜1B．1＜x＜2C．2＜x＜6D．x＞63．（4分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论中错误的是（）A．图象在二，四象限内B．图象必经过（﹣2，4）C．当﹣1＜x＜0时，y＞8D．y随x的增大而减小4．（4分）已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是（）A．0＜m＜3B．m＜3C．m≤3D．m＞35．（4分）关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第一、第三象限B．当x＞0时，y随x的增大而减小C．函数图象经过点（1，2）D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y26．（4分）若k≠0，则函数y＝和y＝kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是（）A．B．C．D．7．（4分）反比例函数y＝，当x的值由n（n＞0）增加到n+2时，y的值减少3，则k的值为（）A．B．C．﹣D．8．（4分）一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝，其中mn＜0，m、n均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（）A．B．C．D．9．（4分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤15B．3≤k≤15C．3≤k≤25D．15≤k≤25 10．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数y＝的图象在（）A．一、二象限B．一、三象限C．三、四象限D．二、四象限二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）已知反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则常数k的取值范围是．12．（4分）如图，在△ABO中，∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4）．写出一个反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，这个函数的表达式为．13．（4分）在函数：①y＝﹣（x＞0）；②y＝2x；③y＝﹣x﹣2；④y＝（x＜0）中，y随x的增大而增大的有．14．（4分）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则k＝．15．（4分）在直角坐标系中，落在第一象限的等腰直角三角形两底角的顶点坐标分别为（1，1），（5，1），它的边与反比例函数y＝的图象始终有交点，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）已知反比例函数y＝，（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．17．（8分）已知函数y＝2+．（1）写出自变量x的取值范围：；（2）请通过列表，描点，连线画出这个函数的图象：①列表：x…﹣8﹣4﹣3﹣2 ﹣1﹣12348 …y…10 ﹣2﹣61064 3 …②描点（在下面给出的直角坐标系中补全表中对应的各点）；③连线（将图中描出的各点用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象）．（3）观察函数的图象，回答下列问题：①图象与x轴有个交点，所以对应的方程2+＝0实数根是；②函数图象的对称性是．A、既是轴对称图形，又是中心对称图形B、只是轴对称图形，不是中心对称图形C、不是轴对称图形，而是中心对称图形D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形（4）写出函数y＝2+与y＝的图象之间有什么关系？（从形状和位置方面说明）18．（8分）若反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，求函数的解析式．19．（8分）有这样一个问题，探究函数y＝的图象和性质．小强根据学习一次函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，他通过列表描点画出了函数y＝图象的一部分，请结合自变量的取值范围，补出函数图象的另一部分；（3）进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第一象限的部分，y随x的增大而；（4）结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质．20．（8分）已知反比例函数，其中k＞﹣2，且k≠0，1≤x≤2．（1）若y随x的增大而增大，则k的取值范围是；（2）若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值．《反比例函数》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）表示y＝﹣（x＞0）的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断哪个选项中的式子符合题意．【解答】解：∵y＝﹣（x＞0），∴该函数的图象在第四象限，y随x的增大而增大，故选：B．【点评】本题考查反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．2．（4分）已知反比例函数y＝，当1＜y＜3时，x的取值范围是（）A．0＜x＜1B．1＜x＜2C．2＜x＜6D．x＞6【分析】根据反比例函数的性质，可以求得当1＜y＜3时，x的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵反比例函数y＝，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∴当1＜y＜3时，x的取值范围是2＜x＜6，故选：C．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．3．（4分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论中错误的是（）A．图象在二，四象限内B．图象必经过（﹣2，4）C．当﹣1＜x＜0时，y＞8D．y随x的增大而减小【分析】依据反比例函数的性质以及图象进行判断，即可得到错误的选项．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣8＜0，∴图象在二，四象限内，故A选项正确；∵﹣2×4＝﹣8，∴图象必经过（﹣2，4），故B选项正确；由图可得，当﹣1＜x＜0时，y＞8，故C选项正确；∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣8＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．4．（4分）已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是（）A．0＜m＜3B．m＜3C．m≤3D．m＞3【分析】由反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，可得3﹣m＞0，即可求常数m的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，∴3﹣m＞0∴m＜3故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键．5．（4分）关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第一、第三象限B．当x＞0时，y随x的增大而减小C．函数图象经过点（1，2）D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．【解答】解：A、k＝2＞0，则双曲线y＝的两支分别位于第一、第三象限，所以A选项的说法正确；B、当x＞0时，y随着x的增大而减小，所以B选项的说法正确；C、把x＝1代入y＝得y＝2，则点（1，2）在y＝的图象上，所以C选项的说法正确；D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＞y2，所以D选项的说法错误．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．6．（4分）若k≠0，则函数y＝和y＝kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【解答】解：分两种情况讨论：①当k＞0时，y＝kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y＝的图象在第一、三象限；②当k＜0时，y＝kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y＝的图象在第二、四象限．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．7．（4分）反比例函数y＝，当x的值由n（n＞0）增加到n+2时，y的值减少3，则k的值为（）A．B．C．﹣D．【分析】根据函数的增减性，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．【解答】解：由题意，得﹣＝3，解得k＝，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数，利用函数的增减性得出分式方程是解题关键．8．（4分）一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝，其中mn＜0，m、n均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的位置确定m、n的大小，看是否符合mn＜0，计算m﹣n确定符号，即可确定双曲线的位置．【解答】解：A、由一次函数图象过二、四象限，得m＜0，交y轴正半轴，则n＞0，此时mn＜0；则m﹣n＜0，故反比例函数图象分布在第二四象限，故本选项错误；B、由一次函数图象过二、四象限，得m＜0，交y轴正半轴，则n＞0，满足mn＜0，∵m＜0，n＞0，∴m﹣n＜0，∴反比例函数y＝的图象分布在二、四象限，故本选项正确；C、由一次函数图象过一、三象限，得m＞0，交y轴负半轴，则n＜0，此时，mn＜0，则m﹣n＞0，反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，故本选项错误；D、由一次函数图象过一、三象限，得m＞0，交y轴正半轴，则n＞0，此时，mn＞0，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键．9．（4分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤15B．3≤k≤15C．3≤k≤25D．15≤k≤25【分析】根据题意，可以得到关于k的不等式，从而可以解答本题．【解答】解：∵，△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，∴1×3≤k≤5×5，即3≤k≤25，故选：C．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．10．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数y＝的图象在（）A．一、二象限B．一、三象限C．三、四象限D．二、四象限【分析】由一次函数图象的位置可得出k、b的符号，则可求得kb的符号，可求得答案．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函数y＝的图象在第二、四象限，故选：D．【点评】本题主要考查一次函数及反比例函数的性质，利用一次函数的性质求得k、b的符号是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）已知反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则常数k的取值范围是k ＞．【分析】根据反比例函数的性质可得2k﹣1＞0，再解不等式即可．【解答】解：∵双曲线y＝的图象经过第一、三象限，∴2k﹣1＞0，解得k＞．故答案为：k＞．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质．对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．12．（4分）如图，在△ABO中，∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4）．写出一个反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，这个函数的表达式为y＝（答案不唯一）．【分析】根据题意可得，点的坐标的乘积大于0小于12，据此即可求解．【解答】解：∵∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4），反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，∴这个函数的表达式为：y＝（答案不唯一）．故答案为：y＝（答案不唯一）．【点评】本题考查了求反比例函数的解析式，理解k的范围是解决本题的关键．13．（4分）在函数：①y＝﹣（x＞0）；②y＝2x；③y＝﹣x﹣2；④y＝（x＜0）中，y随x的增大而增大的有①②．【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：①y＝﹣，反比例函数，k＝﹣1＜0，当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，正确；②y＝2x，正比例函数，k＝2＞0，y随着x增大而增大，正确；③y＝﹣x﹣2，一次函数，k＝﹣＜0，y随x的增大而减小，错误；④y＝，反比例函数，k＝＞0，当x＜0时，函数值y随x的增大而减小，错误；故答案为：①②．【点评】本题综合考查了一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．掌握函数的性质解答此题是关14．（4分）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则k＝12．【分析】根据P（3a，a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．【解答】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4＝40π．因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP＝＝a．于是π（a）2＝40π，a＝±2，（负值舍去），故a＝2．P点坐标为（6，2）．将P（6，2）代入y＝，得：k＝6×2＝12．故答案是：12．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．15．（4分）在直角坐标系中，落在第一象限的等腰直角三角形两底角的顶点坐标分别为（1，1），（5，1），它的边与反比例函数y＝的图象始终有交点，则k的取值范围是1≤k ≤9．【分析】把（1，1），（5，1）分别代入y＝即可得到结论，【解答】解：∵等腰直角三角形的边与反比例函数y＝的图象始终有交点，∴当反比例函数y＝的图象经过（1，1），得k＝1，当反比例函数y＝的图象经过（5，1），得k＝5，当反比例函数y＝的图象经过（3，3），得k＝9，∴k的取值范围是1≤k≤9，故答案为：1≤k≤9．【点评】本题考查了反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）已知反比例函数y＝，（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；（2）根据反比例函数图象的性质得到：k﹣1＜0，由此求得k的取值范围；（3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证．【解答】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上，∴k﹣1＝1×2，解得k＝3；（2）∵在函数y＝图象的每一支上，y随x的增大而增大，∴k﹣1＜0，解得k＜1；（3）∵k＝13，有k﹣1＝12，∴反比例函数的解析式为y＝．将点B的坐标代入y＝，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y＝的图象上，将点C的坐标代入y＝，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y＝的图象上．【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．17．（8分）已知函数y＝2+．（1）写出自变量x的取值范围：x≠0；（2）请通过列表，描点，连线画出这个函数的图象：①列表：x…﹣8﹣4﹣3﹣2 ﹣1﹣12348 …y…10 ﹣2﹣61064 3 …②描点（在下面给出的直角坐标系中补全表中对应的各点）；③连线（将图中描出的各点用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象）．（3）观察函数的图象，回答下列问题：①图象与x轴有1个交点，所以对应的方程2+＝0实数根是x＝﹣2；②函数图象的对称性是A．A、既是轴对称图形，又是中心对称图形B、只是轴对称图形，不是中心对称图形C、不是轴对称图形，而是中心对称图形D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形（4）写出函数y＝2+与y＝的图象之间有什么关系？（从形状和位置方面说明）【分析】（1）根据分式有意义的条件即可得到结论；（2）根据题意作出图象即可；（3）①②根据图象即可得到结论；（4）根据函数关系式即可得到结论．【解答】解：（1）自变量x的取值范围：x≠0；故答案为：x≠0；（2）（2，4），（4，3）需要补上，如图所示；（3）①图象与x轴有1个交点，所以对应的方程2+＝0实数根是x＝﹣2，②A，故答案为：1，x＝﹣2；A；（4）将函数y＝的图象向上平移2个单位就可以得到函数y＝2+的图象．【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，正确的作出图象是解题的关键．18．（8分）若反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，求函数的解析式．【分析】根据反比例函数的定义，可以得到m2﹣24＝1，而图象经过第二、四象限，则比例系数是负数，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：，解得：m＝﹣5．则函数的解析式是：y＝﹣．【点评】对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．19．（8分）有这样一个问题，探究函数y＝的图象和性质．小强根据学习一次函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是x≠2；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，他通过列表描点画出了函数y＝图象的一部分，请结合自变量的取值范围，补出函数图象的另一部分；（3）进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第一象限的部分，y随x的增大而减小；（4）结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质．【分析】（1）根据分式分母不能为0，可得出x﹣2≠0，由此即可得出x≠2；（2）补充完整双曲线的另外一部分即可；（3）由反比例函数的性质即可得出：在第一象限的部分，y随x的增大而减小；（4）结合反比例函数的性质以及图象即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．（2）补出函数图象的另一部分，如图．（3）∵在y＝中k＝3＞0，∴该函数在第一象限的部分，y随x的增大而减小．故答案为：减小．（4）在第三、四象限的部分，y随x的增大而减小．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数的图象，解题的关键是：（1）由分母不为0得出x≠2；（2）补充完整函数图象；（3）根据k＝3＞0得出反比例函数在第一象限的图象单减；（4）根据反比例函数的性质结合函数图象得出反比例函数在第三、四象限的部分单调．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的性质确定它的增减性是关键．20．（8分）已知反比例函数，其中k＞﹣2，且k≠0，1≤x≤2．（1）若y随x的增大而增大，则k的取值范围是﹣2＜k＜0；（2）若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值．【分析】（1）根据函数的单调性结合反比例函数的性质即可得出k＜0，再由k的取值范围即可得出结论；（2）分反比例函数单减和单增两种情况考虑，根据最大值与最小值的差是1，可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵y随x的增大而增大，∴k＜0，∵k＞﹣2，且k≠0，∴﹣2＜k＜0．故答案为：﹣2＜k＜0．（2）当﹣2＜k＜0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，∴，解得k＝﹣2，不合题意，舍去；当k＞0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，∴，解得k＝2．综上所述：若该函数的最大值与最小值的差是1，k的值为2．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据反比例函数的性质找出k的取值范围；（2）分情况考虑，找出关于k的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k结合反比例函数的性质找出函数的单调性是关键．。