线面垂直判定经典证明题

立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。

证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。

变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。

变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。

线面垂直题型20道
1. 两条直线的夹角为90度，则它们一定垂直。

2. 如果一条直线垂直于另一条直线，那么任意一条过这两条直线的线段，这条线段上的点就分别与这两条直线的交点连成的线段垂直。

3. 两条直线分别垂直于第三条直线，则这两条直线平行。

4. 一条线段的中垂线与线段垂直。

5. 任意一个点到平面上一直线的垂足所在的直线与这条直线垂直。

6. 如果一个三角形的两条边互相垂直，则这个三角形是直角三角形。

7. 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线称为这个平面的法线。

8. 一个正方体的某个面与它所在的平面垂直。

9. 一个矩形的对角线互相垂直。

10. 一个正方形的对角线互相垂直。

11. 如果两个面互相垂直，则它们的法线互相平行。

12. 如果平面P垂直于直线L1，且L1垂直于直线L2，则平面P和直线L2互相平行。

13. 如果两条直线互相垂直，则它们的斜率的乘积为-1。

14. 如果一条直线过一个圆的圆心，则这条直线与圆的切线垂直。

15. 如果一条直线垂直于直径所在的直线，则它和圆的切线互相平行。

16. 直角梯形的两条腰互相垂直。

17. 如果两个向量垂直，则它们的点积为0。

18. 如果直线L1垂直于平面P，那么L1上任意一点到P的距离均相等。

19. 一个正六面体的某个面与它所在的平面垂直。

20. 如果两个三维空间中的直线垂直，则它们的方向向量的点积为0。

页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！立体几何1．P 点在那么ABC ∆所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC两两垂直，那么D 点是那么ABC ∆ 〔 B 〕(A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 〔 A 〕(A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行3．假设两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是〔 A 〕(A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的选项是 〔 B 〕(A)假设直线//a 平面M ，直线b a ⊥，那么直线⊥b 平面M (B)假设平面M //平面N ，那么平面M 内任意直线a //平面N(C)假设平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，那么N b ⊥ (D)假设平面N 的两条直线都平行平面M ，那么平面N //平面M5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，以下命题中错误的选项是 〔A 〕 (A),,αα⊂⊂b a 且ββ//,//b a ，那么βα// (B)a 、b 是异面直线，那么存在唯一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥⊂⊥βα那么βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 那么b a ⊥6.直线l //平面α，αβ⊥，那么l 与平面β的位置关系是 〔 D 〕 (A) l β⊂ (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题：①//l m αβ⇒⊥②//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥④//l m αβ⊥⇒，其中正确的选项是〔D 〕(A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，那么〔 B 〕 (A)////αβγδ或 (B) ////αβγδ且(C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，那么〔 D 〕(A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！10．PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，那么互相垂直的平面有〔 C 〕(A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对12. 如图9-29，P A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． 求证：MN ⊥AB ．13. ：如图，AS ⊥平面SBC ，SO ⊥平面ABC 于O ， 求证：AO ⊥BC ．15. 如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC16. 如图：在斜边为AB 的R t △ABC 中，过点A 作PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，〔１〕求证：BC ⊥平面PAC ；〔２〕求证：PB ⊥平面AEF.17. 如图：PA ⊥平面PBC ，AB ＝AC ，M 是BC 的中点，求证：BC ⊥PM.CFEPBAC BAM P页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！如图，在正三棱柱111C B A ABC -.中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC的中点．且AC CC 21=.〔Ⅰ〕求证：CN //平面 AMB 1； 〔Ⅱ〕求证：平面AMG .【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。

线面垂直判定经典证明题1.已知：在三角形ABC中，PA垂直于AB和AC。

证明PA垂直于平面ABC。

2.已知：在三角形ABC中，PA垂直于AB，BC垂直于平面PAC。

证明PA垂直于BC。

3.已知：在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。

证明VB垂直于AC。

4.已知：在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD的中心。

证明BD垂直于平面AEGC。

5.已知：在圆O中，AB是直径，PA垂直于AC和AB。

证明BC垂直于平面PAC。

6.已知：在三角形ABC中，AD垂直于BD和DC，AD=BD=CD，∠BAC=60°。

证明BD垂直于平面ADC。

7.已知：在矩形ABCD中，PA垂直于平面ABCD，M和N分别是AB和PC的中点。

1) 证明MN平行于平面PAD。

2) 证明XXX垂直于CD。

3) 若∠PDA=45°，证明MN垂直于平面PCD。

8.已知：在棱形ABCD所在平面外，P满足PA=PC。

证明AC垂直于平面PBD。

9.已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，平面ABC垂直于平面BCD，E是棱BC的中点。

1) 证明AE垂直于平面BCD。

2) 证明AD垂直于BC。

10.在三棱锥ABCD中，AB=1，BC=2，BD=AC=3，AD=2.证明AB垂直于平面BCD。

11.在四棱锥S-ABCD中，SD垂直于平面ABCD，底面ABCD是正方形。

证明AC垂直于平面SBD。

12.已知：正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE垂直于平面CDE。

证明AB垂直于平面ADE。

13.在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，H是△XXX的垂心。

证明PH垂直于底面ABC。

14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明A1C垂直于平面BC1D1.15.在△ABC所在平面外一点S，SA垂直于平面ABC，平面SAB垂直于平面SBC。

证明AB垂直于BC。

16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=2，D是A1B1的中点。

线面垂直练习题及答案线面垂直是立体几何中的一个重要概念，它指的是一条直线与一个平面垂直。

在解决线面垂直问题时，我们通常需要利用相关的定理和性质来进行证明和计算。

以下是一些线面垂直的练习题及答案。

练习题1：已知直线AB与平面α垂直，点C在平面α内，求证：直线AC垂直于平面α。

答案1：由于直线AB垂直于平面α，根据线面垂直的性质定理，直线AB与平面α内的所有直线都垂直。

因此，直线AC作为平面α内的一条直线，必然与直线AB垂直。

根据线面垂直的定义，直线AC也垂直于平面α。

练习题2：在长方体ABCD-EFGH中，求证：直线BF垂直于平面ABEF。

答案2：由于长方体的对角线BF是连接两个相对顶点的直线，根据长方体的性质，对角线BF垂直于底面ABCD和顶面EFGH。

因此，直线BF垂直于平面ABEF内的任意直线，满足线面垂直的定义。

练习题3：已知直线l与平面α相交于点P，且直线m垂直于平面α，求证：直线m与直线l垂直。

答案3：由于直线m垂直于平面α，根据线面垂直的性质，直线m与平面α内的所有直线都垂直。

由于直线l与平面α相交于点P，我们可以将直线l投影到平面α上，得到一个与l平行的直线。

由于直线m垂直于平面α，它也垂直于平面α内的任何直线，包括l的投影。

因此，直线m与直线l垂直。

练习题4：在三棱锥P-ABC中，若PA⊥平面ABC，且AB⊥AC，求证：平面PAB垂直于平面PAC。

答案4：由于PA垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质，PA也垂直于平面ABC 内的所有直线，包括AB和AC。

由于AB垂直于AC，根据面面垂直的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。

因此，平面PAB垂直于平面PAC。

练习题5：已知直线a与平面α垂直，直线b在平面α内，且直线a与直线b 相交于点O，求证：点O是直线a上的垂足。

答案5：由于直线a垂直于平面α，根据线面垂直的性质，直线a与平面α内的所有直线都垂直。

线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中的一项基本概念，用于描述线段、射线、直线和平面之间的垂直关系。

理解线面垂直的概念对于解决几何问题至关重要。

本文将为读者提供一些线面垂直练习题及答案，帮助读者巩固对该概念的理解。

练习题一：1. AB为一条线段，m是一平面。

如果AB与m垂直，判断下列命题的真假：a) 线段AB垂直于平面mb) 平面m垂直于线段ABc) 线段AB平行于平面m2. P是平面XYZ的内点，AP的延长线与平面XYZ有几个交点？练习题二：1. 给出下列命题的定义：a) 垂线b) 垂直平分线c) 垂直平面2. 在平面上画一条线段AB和一条直线l，求证：若线段AB与直线l垂直，则直线l过点A和点B的垂直平分线。

1. 已知直线l与平面P垂直，直线m过l上一点，那么直线m与平面P的关系是什么？2. 在长方形ABCD中，线段AC和线段BD相交于点O。

求证：线段AC与平面ABCD垂直。

答案及解析：练习题一：1. a) 假，线段AB无法垂直于平面m，因为线段只有两个端点而不是无限延伸。

b) 真，平面m可以垂直于线段AB。

c) 假，线段和平面不可能平行。

2. AP的延长线与平面XYZ有且只有一个交点。

练习题二：1. a) 垂线是与给定线段或直线垂直的线段或直线。

b) 垂直平分线是将给定线段或直线垂直平分的线段或直线。

c) 垂直平面是与给定平面垂直的平面。

2. 假设直线l过点A和点B的垂直平分线交线段AB于点M，则根据垂直平分线的定义，我们可以得出线段AM和线段BM的长度相等，且直线l与线段AM和线段BM都垂直。

1. 直线m与平面P平行。

2. 连接线段AC的中点和线段BD的中点，设为点O'。

根据长方形的性质，线段OO'相等且垂直于两个平行线段AC和BD。

因此，线段OO'垂直于平面ABCD，而线段OO'与线段AC相等，所以线段AC与平面ABCD垂直。

通过以上练习题及答案，我们可以加深对线面垂直概念的理解。

线面、面面垂直的判定与性质一、 线面垂直1．线面垂直：若一条直线垂直于平面内所有直线（垂直于平面中的两条相交直线即可），则直线与平面垂直．判定定理：若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，直线与平面垂直． 2．线面垂直的证明方法：（1）判定定理；（2）如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面； （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面； （4）两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面;（5）如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直;3．直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．5．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．6． 三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直7．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：（1）三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理． （2）要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用． 二、 面面垂直1． 面面垂直：如果两个平面的所成的角为直角，则两个平面垂直． 2． 面面垂直的证明：（1）计算二面角的平面角为90︒；（2）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直． 3．两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．典型例题：1. 线面垂直的判定及其应用【例1】 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）A ． 垂直B ． 平行C ． 相交不垂直D ．不确定变式：若直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）A ． 有且只有一个B ． 可能有一个也可能不存在C ． 有无数多个D ． 一定不存在【例2】 （2005•天津）设αβγ，，为平面，m n l ，，为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．l m l αβαβ⊥⋂=⊥，， B ．m αγαγβγ⋂=⊥⊥，， C ．m αγβγα⊥⊥⊥，， D ．n n m αβα⊥⊥⊥，，变式（2005•湖南）已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α； ②m α⊥； ③m α⊂； ④αβ⊥； ⑤α∥β． 1) 当满足条件 时，有m ∥β；2) 当满足条件 时，有m β⊥．（填所选条件的序号）【例3】 设a b ，为两个不重合的平面，l m n ，，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若a ∥b ，l a ⊥，则l b ⊥；②若m ⊥a ，n ⊥a ，m ∥b ，n ∥b ，则a ∥b ； ③若l ∥a ，l b ⊥，则a ⊥b ；④若m 、n 是异面直线，m ∥a ，n ∥a ，且l m ⊥，l n ⊥，则l a ⊥． 其中真命题的序号是（ ）A ． ①③④B ． ①②③C ． ①③D ． ②④【例4】 已知m n ，是不同的直线，αβ，是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ） A ． α⊥β，m ⊂β B ． α∥β，n ⊥β C ． α⊥β，n ∥β D ． m ∥α，n ⊥m变式1：若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是（ ） A ． ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ B ． a b ⊥， b ∥αC ． ,,a b A b a b α=⊂⊥D ． α∥b ，b a ⊥变式2：以下条件中，能判定直线l 垂直平面α的是（ ）A ． l 与平面α内的一条直线垂直B ．l 与平面α内的一个三角形的两边垂直C ． l 与平面α内的两条直线垂直D ．l 与平面α内的无数条直线垂直变式3：在空间中，设m n ，为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给定下列条件：①α⊥β且m ⊂β； ②α∥β且m ⊥β； ③α⊥β且m ∥β； ④m ⊥n 且n ∥α．其中可以判定m ⊥α的有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【例5】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，与1BD 垂直的面对角线有（ ）A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条D 1C 1B 1A 1D CBA2. 线面垂直的性质及其应用【例6】 已知直线a b ，和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位关系是 ．90，PA3.面面垂直的判定、性质及其应用【例12】（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【例13】A BCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（）A．平面PAB与平面PAD，PBC垂直B．它们都分别相交且互相垂直C．平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直D．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直【例14】 如图，在直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱4AA '=，底面三角形ABC 中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点．(Ⅰ)求证：CD AB '⊥；(Ⅱ)求二面角A AB C ''--的大小；。

线面垂直的证明及应用一、单选题(共10道，每道10分)1.若为平面，为直线，则下列选项中能得到的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定2.如图，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，则图中一定与AC垂直的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定3.如图，在三棱柱中，底面是正三角形，且侧棱，若E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质4.在长方体中，已知AB=BC=1，，E是侧棱的中点，则直线AE与平面所成角的大小为( )A.60°B.90°C.45°D.以上都不正确答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质5.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，且SD⊥底面ABCD，则下列结论不正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.AC⊥平面SBDD.AB与SC所成的角等于CD与SA所成的角答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质6.如图，在正方体中，O是底面ABCD的中心，，H为垂足，则与平面的位置关系是( )A.垂直B.平行C.斜交D.以上都不对答案：A试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定7.如图，在等边三角形ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将△ACD 沿CD折起，使平面ACD⊥平面BCD，则下列结论中不正确的是( )A.AB∥平面DEFB.CD⊥平面ABDC.EF⊥平面ACDD.答案：C试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的性质8.如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，且SA=SB=SC=15，若D，E，F，H分别是AB，BC，SC，SA的中点，则四边形DEFH的面积为( )A. B.C.45D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质9.如图，E，F分别是正方体的棱AB，的中点，若M，N分别是线段上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有( )A.0条B.1条C.2条D.无数条答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定10.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质。

1如图1，在正方体1111ABCD A B C D-中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1A O⊥平面MBD．2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，AD⊥PC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SC SD，，于E F G，，．求证：AE SB⊥，AG SD⊥．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，F是AB中点，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BDADB OC7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DAC证明：连结ACBD AC ⊥AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥C. 证：取PD 中点E ，则EN DC //12C⇒EN AM //∴AE MN //又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E ⊥平面A'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC∴A'E ⊥FG∴A'E ⊥BC设A'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：A'D 2=A'E 2+ED 2-2•A'E •EDcos60°=3a2∴ED 2=A'D 2+A'E 2∴A'D ⊥A'E∴A'E ⊥平面A'BC10如图, 在空间四边形SABC 中, SA 平面ABC , ABC = 90, AN SB 于N , AM SC 于M 。

线面垂直●知识点１.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.２.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3．三垂线定理和它的逆定理．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直.逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例１】如图所示，已知点S是平面ＡBC外一点，∠ＡＢＣ=９0°，ＳＡ⊥平面ABC，点A在直线ＳB和SＣ上的射影分别为点E、F，求证:EF⊥ＳC.【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径,假设ＥF⊥SC成立，结合AＦ⊥ＳC可推证SC⊥平面AEF，这样SC⊥AE,结合AE⊥SB，可推证AＥ⊥平面ＳＢC,因此证明ＡＥ⊥平面SＢC是解决本题的关键环节．由题设SA⊥平面ABC，∠ＡＢC＝90°，可以推证BC⊥ＡE，结合ＡE⊥SB完成AE⊥平例1题图面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】题设中条件多，图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.【例2】已知：M∩N＝ＡB,PQ⊥M于Q,ＰO⊥N于O,OR⊥M于R,求证:ＱR⊥AB.【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c⇒b⊥ｃ；(２)ａ⊥α,b⊂α⇒a⊥ｂ;（３）三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”:就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”:就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线,牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作:确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例３】已知如图(1)所示,矩形纸片AＡ′A′１A1,B、Ｃ、Ｂ1、Ｃ1分别为ＡＡ′,A1Ａ′的三等分点，将矩形纸片沿ＢB1,CC１折成如图(2)形状(正三棱柱)，若面对角线AＢ1⊥BC1，求证:A１Ｃ⊥AB1.例3题图解(1)【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥ＢC ，而结论是A Ｂ１⊥A 1Ｃ，题设,题断有对答性，可在ABB 1Ａ1上作文章,只要取A 1Ｂ1中点D １,就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ＡBB １Ａ1同一平面内AB 1与ＢD １垂直关系,这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断A Ｂ1与A 1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D 即可,只要证得Ａ1D 垂直于A Ｂ１,事实上D ＢＤ1A １，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：(1）三垂线正逆定理，（2)线面,线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作,在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直,线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.【例４】 空间三条线段A Ｂ，BC ,CD ,AB ⊥ＢC ,BC ⊥C Ｄ,已知AB ＝3,BC =4，CD =6,则AD 的取值范围是 .【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中，C Ｄ1=６,AD １的长是AD 的最小值，其中AH ⊥C Ｄ１，AH =B Ｃ=4，HD １＝3,∴ＡＤ1=５;在直角△AH Ｄ２中,ＣD 2=6,AD ２是A Ｄ的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手，其实冷静分析,找出隐藏的条件很容易得出结论.例4题图●对应训练 分阶提升一、基础夯实1．设M 表示平面,ａ、b 表示直线，给出下列四个命题:①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 （ )A.①② Ｂ.①②③ C.②③④ Ｄ.①②④２.下列命题中正确的是 （ )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示,在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、B Ｃ的中点.现在沿D Ｅ、DF 及EF 把△A ＤE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、Ｂ、C 三点重合,重合后的点记为Ｐ．那么,在四面体P —DEF 中,必有 （ ）Ａ.D Ｐ⊥平面PE Ｆ B ．ＤM ⊥平面PEF C.PM ⊥平面DE Ｆ Ｄ.PF ⊥平面DEF4.设a 、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( )A.过不在ａ、b 上的一点Ｐ一定可以作一条直线和ａ、b 都相交B ．过不在a 、b 上的一点Ｐ一定可以作一个平面和a 、b 都垂直Ｃ.过ａ一定可以作一个平面与ｂ垂直D.过ａ一定可以作一个平面与b 平行5．如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:ｌ=β∩γ,l ∥α,ｍ⊂α和m ⊥γ,那么必有 （ ) Ａ.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.ｍ∥β且l ⊥ｍ Ｄ.α∥β且α⊥γ6.ＡＢ是圆的直径，C 是圆周上一点,ＰC 垂直于圆所在平面，若B Ｃ=１,ＡC =２,P Ｃ＝1，则P 到ＡＢ的距离为 ( )A.１B.２ Ｃ.552 D.553 ７.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过ａ的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1 Ｃ.2 Ｄ.38.d 是异面直线a 、ｂ的公垂线,平面α、β满足a ⊥α,ｂ⊥β,则下面正确的结论是 （ )第3题图Ａ.α与β必相交且交线m ∥ｄ或m 与ｄ重合B.α与β必相交且交线ｍ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设ｌ、m 为直线，α为平面，且l ⊥α,给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥ｌ;②若m ⊥l ，则ｍ∥α;③若ｍ∥α,则m ⊥l ;④若ｍ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ Ｂ.①②④ C ．②③④ D.①③④10．已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,给出下列四个命题:①若α∥β，则l ⊥ｍ;②若α⊥β，则l ∥m ;③若ｌ∥ｍ,则α⊥β；④若l ⊥m ,则α∥β. 其中正确的命题是 ( ）A.③与④B.①与③ Ｃ.②与④ D.①与②二、思维激活11．如图所示,△ABC 是直角三角形,AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为Ａ′，Ｂ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，B Ｂ′＝5cm ，ＣC ′＝4cm ，则△A ′B ′Ｃ′的面积是 .12．如图所示,在直四棱柱A １B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A １Ｃ⊥B 1Ｄ1(注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13.如图所示,在三棱锥V —ＡB Ｃ中，当三条侧棱ＶA 、VB 、VC 之间满足条件 时,有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高1４.如图所示，三棱锥V -AB Ｃ中,ＡH ⊥侧面ＶBC ,且H 是△VB Ｃ的垂心,BE 是VC 边上的高.（1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —ＡＢ—C 的大小为30°,求VC 与平面AB Ｃ所成角的大小.第11题图 第12题图第13题图 第14题图１5．如图所示，ＰＡ⊥矩形AＢＣD所在平面，M、N分别是AB、ＰC的中点．(1)求证：ＭN∥平面P AD.(2)求证：ＭＮ⊥CＤ．(３)若∠ＰDA＝45°，求证:ＭN⊥平面PCＤ.第15题图16.如图所示，在四棱锥P—AＢCD中,底面ABCD是平行四边形，∠BＡD＝60°，AＢ=4,AD＝２，侧棱PB=15，ＰD ＝3.(1)求证：BD ⊥平面P AD.(2）若PD与底面AＢCD成60°的角,试求二面角P—BＣ—A的大小.第16题图1７.已知直三棱柱ＡBＣ-A1B1C１中，∠ACＢ=9０°,∠ＢＡＣ＝30°,BC=1,ＡＡ1＝6，M是CC1的中点，求证：AＢ1⊥A１M.１8.如图所示,正方体ABCD—A′B′Ｃ′Ｄ′的棱长为a，M是AD的中点，Ｎ是BD′上一点,且D′N∶NB＝1∶2,MＣ与BD交于P.(1)求证:NＰ⊥平面ＡBＣD.（2)求平面PＮC与平面CC′Ｄ′D所成的角.(3)求点Ｃ到平面D′MB的距离.第18题图第4课 线面垂直习题解答１.A 两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2．C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP ⊥ＰE ,D Ｐ⊥PF ,P Ｅ⊥ＰF .４.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则ａ，b ′确定的平面与直线ｂ平行.5．A 依题意，ｍ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则ｌ⊥m ,故选A.6．D 过P 作PD ⊥A Ｂ于D ,连CD ，则CD ⊥ＡB ,AB ＝522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD , ∴PD =55354122=+=+CD PC . ７.Ｄ 由定理及性质知三个命题均正确．8.Ａ 显然α与β不平行.９.Ｄ 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直．10．B ∵α∥β,ｌ⊥α，∴l ⊥m 11.23c ｍ2 设正三角A ′Ｂ′Ｃ′的边长为a ． ∴A Ｃ２=a 2+１,BC 2=a 2+1，A Ｂ２=ａ２+4,又AC 2＋ＢC ２=AB 2，∴a 2=２. Ｓ△Ａ′Ｂ′C ′＝23432=⋅a cm 2． １2.在直四棱柱A 1B １C １Ｄ1—A ＢCD 中当底面四边形AB ＣD 满足条件ＡC ⊥B Ｄ(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如A ＢCD 是正方形,菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D １（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 点评:本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ,ＶC ⊥AB . 由ＶC ⊥ＶA ,ＶC ⊥AB 知VC ⊥平面V ＡB .14.(1)证明：∵H 为△V ＢC 的垂心,∴VC ⊥B Ｅ,又AH ⊥平面VBC ，∴BE 为斜线A Ｂ在平面ＶBC 上的射影,∴AB ⊥VC .(2）解:由(1）知VC ⊥A Ｂ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面A ＢＥ上,作ＥＤ⊥AB ,又A Ｂ⊥ＶC ,∴ＡB ⊥面D ＥC .∴ＡB ⊥CD ,∴∠ＥDC 为二面角E —A Ｂ—C 的平面角,∴∠ＥD Ｃ=30°,∵AB ⊥平面VCD ,∴VC 在底面AB Ｃ上的射影为CD ．∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角，又VC ⊥A Ｂ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥面AB Ｅ,∴VC ⊥ＤE ,∴∠ＣE Ｄ＝90°,故∠ECD=６0°，∴VC 与面A ＢC 所成角为60°.1５.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ,ＥN ，则有ＥＮ∥CD ∥AB ∥ＡＭ,E Ｎ＝21C Ｄ=21AB =ＡＭ,故ＡMNE 为平行四边形. ∴MN ∥ＡＥ． ∵ＡE 平面P AD ,ＭN 平面P AD ，∴MN ∥平面ＰAD ．（2)∵ＰA ⊥平面ABCD ，∴P Ａ⊥AB .又A Ｄ⊥AB ,∴A Ｂ⊥平面P A Ｄ.∴A Ｂ⊥ＡE ，即ＡB ⊥ＭN .又C Ｄ∥ＡB ,∴MN ⊥ＣＤ．(3）∵P A ⊥平面ＡＢCD ,∴P A ⊥AD .又∠PDA =４5°，E 为PD 的中点.∴AE ⊥P Ｄ，即MN ⊥ＰD .又ＭN ⊥ＣD ,∴ＭN ⊥平面P ＣD .1６.如图(1)证:由已知A Ｂ＝４,ＡD ＝２，∠BAD =60°，故ＢD 2=ＡD 2＋A Ｂ2-2AD ·A Ｂc ｏs60°＝４＋16-2×2×4×21＝１2.又AB 2=ＡD ２+B Ｄ２,∴△A ＢＤ是直角三角形,∠AD Ｂ＝９0°,即AD ⊥ＢＤ.在△ＰDB 中，PD =3,PB ＝15，BD =12,∴PB 2＝PD 2+ＢD 2,故得ＰD ⊥B Ｄ.又P Ｄ∩AD ＝D ,∴BD ⊥平面P ＡＤ.(2)由BD ⊥平面P AD ，ＢＤ平面A ＢCD .∴平面P AD ⊥平面A ＢＣD .作PE ⊥AD 于Ｅ，又P Ｅ平面P ＡD ，∴PE ⊥平面ＡＢCD ,∴∠ＰD Ｅ是PD 与底面AB ＣＤ所成的角.∴∠PD Ｅ＝60°，∴P Ｅ=PD si ｎ60°＝23233=⨯．作ＥF ⊥ＢC 于Ｆ，连PF ,则PF ⊥BF,∴∠PF Ｅ是二面角P —BC —Ａ的平面角.又E Ｆ＝BD =12，在Rt △P ＥF 中,ｔａn ∠PFE ＝433223==EF PE .故二面角P —ＢＣ—A 的大小为ar ｃtan 43. 第15题图解第16题图解17.连结AC １,∵11112263A C CC MC AC ===. ∴Rt △ＡCC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠ＭA 1Ｃ１,∴∠Ａ1ＭC 1+∠ＡC １C ＝∠A １M Ｃ1+∠ＭＡ１Ｃ1=90°．∴Ａ1M ⊥AC 1,又ABC -A 1Ｂ1C １为直三棱柱，∴C Ｃ1⊥B １C 1,又B 1Ｃ1⊥Ａ1C 1,∴B １C １⊥平面AC 1M .由三垂线定理知AB 1⊥A 1M ．点评:要证ＡB 1⊥A 1Ｍ,因B 1C 1⊥平面A Ｃ１,由三垂线定理可转化成证AC １⊥A 1M ，而ＡC １⊥A 1M 一定会成立.1８.(1)证明：在正方形ABCD 中,∵△ＭＰD ∽△C ＰB ,且MD =21B Ｃ, ∴D Ｐ∶PB ＝ＭD ∶ＢC =1∶２.又已知D ′N ∶ＮB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得ＮＰ∥ＤＤ′，又DD ′⊥平面ABCD ，∴NP ⊥平面ABCD .(2）∵N Ｐ∥DD ′∥CC ′，∴N Ｐ、C Ｃ′在同一平面内,CC ′为平面ＮPC 与平面C Ｃ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面AB ＣD ，得CC ′⊥CD ,CC ′⊥CM ,∴∠ＭＣD 为该二面角的平面角.在Ｒt △M ＣD 中可知∠ＭＣD =arc ｔan 21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为ａ可得,等腰△MBC 面积S 1＝22a ,等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ,即为三棱锥C —Ｄ′ＭＢ的高．∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅, ∴.3621a S a S h =⋅=。

线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中一个重要的概念，它涉及到直线和平面之间的关系。

在几何学中，我们经常需要判断线和平面是否垂直，以及如何确定它们的垂直关系。

为了帮助大家更好地理解和掌握线面垂直的概念，本文将介绍一些线面垂直的练习题及答案。

1. 练习题：判断线段和平面是否垂直题目：已知线段AB的两个端点分别为A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，平面P的法向量为(2, -1, 3)，判断线段AB是否垂直于平面P。

解答：要判断线段AB是否垂直于平面P，只需判断线段AB的方向向量是否与平面P的法向量垂直。

线段AB的方向向量为AB = B - A = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)。

两个向量的点积为3*2 + 3*(-1) + 3*3 = 9，不等于0。

因此，线段AB不垂直于平面P。

2. 练习题：确定两平面之间的垂直关系题目：已知平面P1的法向量为(1, 2, -1)，平面P2的法向量为(2, -1, 3)，判断平面P1和平面P2之间的垂直关系。

解答：两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直，即两个法向量的点积为0。

计算两个法向量的点积为1*2 + 2*(-1) + (-1)*3 = 0，等于0。

因此，平面P1和平面P2垂直。

3. 练习题：求垂直平面上的直线题目：已知平面P的方程为2x + 3y - z = 6，求过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P的直线的方程。

解答：垂直于平面P的直线的方向向量应该与平面P的法向量垂直。

由平面P的方程可知，平面P的法向量为(2, 3, -1)。

因此，过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P 的直线的方向向量为(2, 3, -1)。

直线的方程可以表示为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，其中t为参数。

4. 练习题：判断直线和平面是否垂直题目：已知直线L的方程为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，平面P的方程为2x + 3y - z = 6，判断直线L是否垂直于平面P。

思考：三棱锥中最多有几个直角三角形？
思考：三棱锥P-ABC中最多有几个直角三角形？
P
A
O
B
C
例3、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，
求证：PD⊥平面ABC.
证明： ∵PA=PB，D为AB中点
P
∴ PD⊥AB，连接CD，
∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD,
小结：线面垂直证明的难点突破
由于线面垂直的证明往往需要通过线线、线面垂直的 不断转化，所以我们一定要了解给出几何体中的已有 的垂直关系，进而寻找目标平面内与已知直线垂直的 直线。
特别是异面线线垂直的证明有一定难度，常常要转化 为先证一条直线和另一直线所在某个平面垂直。这个 平面的发现至关重要。
变题二： 判断：四边相等的四边形，对角线互相垂直
练习1：
（2011北京高考理科）如图，在四棱锥
P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=600，
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)略；
(3)略。
P
D
A
C
B
例2.如图，圆O所在一平面为
P
，
AB是圆O 的直径，C 在圆周上,
知识背景：
1、线面垂直的定义； 2、线面垂直的最基本性质； 3、线面垂直的判定定理。
例1、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
V
K A
C B
例1、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
V
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC

线面垂直判定定理测试题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．3.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF∥面BCE；（2）求证：AC⊥面BCE；（3）求三棱锥E-BCF的体积．4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=√3．（1）求证：CD⊥平面ADS；（2）求AD与SB所成角的余弦值；（3）求二面角A-SB-D的余弦值．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．7.如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：由PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB ∩BC =B ，可得PA ⊥平面ABC ，由BD ⊂平面ABC ，可得PA ⊥BD ；（2）证明：由AB =BC ，D 为线段AC 的中点，可得BD ⊥AC ，由PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ，又平面PAC ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ，且BD ⊥AC ，即有BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；（3）解:PA //平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面BDE =DE ，可得PA //DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE =12PA =1，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC =12S △ABC =12×12×2×2=1， 则三棱锥E -BCD 的体积为13DE •S △BDC =13×1×1=13．【解析】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．2.【答案】解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD ,又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD ,又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF ;（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD∴CD⊥平面PAD ,又∵AF⊂平面PAD ,∴CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，又∵AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，∴CD∥EF ,∵点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点,在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD ,又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,∴AF⊥平面PCD．【解析】（1）证明AB∥平面PCD，即可得AB∥EF；（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】（1）证明：∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，∴AF∥面BCE．（2）证明：∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2 ∴AC=BC=√12+12=√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．（3）解：三棱锥E-BCF的体积：V E-BCF=V C-BEF=13×S△BEF×AD=1 3×12×BE×EF×AD=1 3×12×1×2×1=13．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．（3）三棱锥E-BCF的体积V E-BCF=V C-BEF，由此能求出结果．4.【答案】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．（2）解：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，设AD=CD=√2，则OC=OA=1，EC=EA，∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，∴EC=EA=√2=CD，∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=√2，由余弦定理得：cos∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD =BC2+BE2−CE22BC⋅BE，即4+4−22×2×2=4+BE2−22×2×BE，解得BE=1或BE=2，∵BE＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．（2）连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.【答案】解：（I）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD（2分）AD⊥SD∴CD⊥平面ADS（II）矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．∴Rt△SDC中，SC=√(√3)2+22=√7∴CD是CS在面ABCD内的射影，且BC⊥CD，∴SC⊥BCtan∠SBC=SCCB =√71=√7cos∠SBC=√24从而SB与AD的成的角的余弦为√24．（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB∴SD⊥面ABCD．∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB又过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角在矩形ABCD中，对角线∵√12+22=√5BD=√5∴在△ABD中，AE=AB⋅CDBD =1⋅2√5=2√55由（2）知在Rt△SBC，SB=√(√7)2+12=√8．而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，∴AF=√22AB=√2∴sin∠AFE=AEAF =2√55√2=√105所以所求的二面角的余弦为√155【解析】（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；（2）要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角，解三角形可求AD与SB所成角的余弦值；（3）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，说明∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，异面直线所成的角，考查学生逻辑思维能力，计算能力，是中档题．6.【答案】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC．所以MN∥AB，又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．【解析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD，又因为直角梯形ABCD中，AC=2√2，CD=2√2，所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，又EC⊂平面ACE，FG⊄平面ACE，所以FG∥平面ACE，因为BC∥AD，所以BOOD =GEED，则OE∥BG，又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG∥平面ACE，又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，因为BF⊂平面BFG，所以BF∥平面ACE．解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，在△DFG中，HE∥FG，则GEED =FHHD=12，在底面ABCD中，BC∥AD，所以BOOD =BCAD=12，所以FHHD =BOOD=12，故BF∥OH，又OH⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，所以BF∥平面ACE．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，CD=2√2，PD=√PA2+AD2=2√5，所以sin∠DPC=CDPD =2√22√5=√105，所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为√105．【解析】本题考查线面垂直、线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出线面角．（Ⅰ）证明CD⊥平面PAC，证明PA⊥CD，AC⊥CD即可；（Ⅱ）解法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；（Ⅲ）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．第11页，共11页。

线面垂直判定经典证明题第一篇：线面垂直判定经典证明题线面垂直判定1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。

求证：PA⊥平面ABC。

2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。

求证：PA⊥BC。

3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。

求证：VB⊥AC4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。

求证：BD⊥平面AEGC5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB,求证：BC⊥平面PAC6、如图，AD⊥BD, AD⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°求证：BD⊥平面ADC7、.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.8、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC⊥平面PBD __C9、已知四面体ABCD中，AB=AC,BD=CD,平面ABC⊥平面BCD,E为棱BC的中点。

（1）求证：AE⊥平面BCD;（2）求证：AD⊥BC;BECD10、三棱锥A-BCD中，AB=1，AD=2，求证：AB⊥平面BCD11、在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形求证：AC⊥平面SBD12、如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，求证：AB⊥平面ADE；AED13、三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心求证:PH 底面ABC14、正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D._A_115、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BCSCAB16、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点．求证C1D ⊥平面A1B ；第二篇：线面垂直的判定漯河高中2013—2014高一数学必修二导学案2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质编制人：魏艳丽方玉辉审核人：高一数学组时间：2013.12.03【课前预习】一、预习导学1、直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________.2、垂直于同一条直线的两个平面____________.3、平面与平面垂直的性质定理：_________________________________________.4、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在___________.二、预习检测教材P71、P73【课内探究】［例1］如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.［例2］如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.我主动，我参与，我体验，我成功第1页（共4页）［例3］10、在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º.（1）证明：AB⊥PC；（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积.［例4］如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA1吗？请叙述你的判断理由.我主动，我参与，我体验，我成功第2页（共4页）【巩固训练】1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是()①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上；④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A．4B．3C．2D．1()()2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是A．相交B．平行C．异面D．相交或平行3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为m∥n⎫m⊥α⎫⎪⎪⎬⎬⇒m∥n；①⇒n⊥α；②⎪⎪m⊥α⎭n⊥α⎭m⊥α⎫m∥α⎫⎪⎪⎬⎬⇒n⊥α.③⇒m⊥n;④⎪⎪n∥α⎭m⊥n⎭A．4B．3C．2D．1D．重心oo4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．外心C．内心5.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为45和30.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．3∶1B．2∶1C．3∶2D．4∶36．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b不可能垂直，但可能平行 C．a与b可能垂直，也可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.我主动，我参与，我体验，我成功第3页（共4页）求证：BC⊥AB.10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4(1)设M是PC上的一点，求证：平面M BD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．※12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA12的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1－BD－C1的大小．我主动，我参与，我体验，我成功第4页（共4页）第三篇：线面垂直的判定1（模版）深圳市第二课堂文化教育徐老师***直线与平面垂直的判定1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定2．直线a与b垂直，b⊥平面α，则a与平面α的位置关系是()A．a∥αB．a⊥αC．a⊂αD．a⊂α或a∥α3．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．m⊂α,n⊂α,m//β,n//β⇒α//βB．α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//nC．m⊥α,m⊥n⇒n//αD． m//n,n⊥α⇒m⊥α4．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：①m//n,m⊥α⇒n⊥α②α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//n③m//n,m//α⇒n//α④α//β,m//n,m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（）A．BC．D26．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为.7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是．（第6题图）（第7题图）8．已知∆ABC所在平面外一点P到∆ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是∆ABC的。

8.6空间直线、平面的垂直（1）（精讲）思维导图常见考法考法一线面垂直【例1】（2021·江西景德镇市·景德镇一中）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠= ，60BAC CAD ∠=∠= ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，24PA AB ==．（1）取PC 中点F ，证明：PC ⊥平面AEF ；（2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明:因为PC 中点F ，在Rt ABC 中，2,60AB BAC =∠= ，则4BC AC ==．而4PA =，则在等腰三角形APC 中，PC AF ⊥①.又在PCD 中，,PE ED PF FC ==,则//EF CD ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，又90ACD ∠= ，即AC CD ⊥，AC PA A ⋂=，则CD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以PC CD ⊥，因此EF PC ⊥②.又EF AF F = ，由①②知PC ⊥平面AEF ；（2）在Rt ACD △中，4CD AC ==，ACD S ∴= ，又//EM PA ，PA ⊥平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD ，即EM 为三棱锥E ACD -的高，111632333E ACD ACD V S EM -∴=⋅=⋅= ，在ACE △中，4AE CE AC ===，8ACE S ∴= ，设点D 到平面ACE 的距离为h ，则133D ACE E ACD ACE V V S h --==⋅⋅= ，h ∴=，即点D 到平面ACE 的距离为【一隅三反】1．（2021·陕西省黄陵县中学高一期末）如图所示，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD ⊥平面ABC ，AE BD ⊥于E ，AF CD ⊥于F .求证：BD ⊥平面AEF .【答案】证明见解析【解析】证明：AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上点，所以BC AC⊥因为DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以DA BC⊥又DA AC A = ,所以BC ⊥面DAC又AF ⊂平面DAC ，则BC AF⊥又AF DC ⊥，DC BC C =I ，所以AF ⊥平面BCD又BD ⊂平面BCD ，所以AF BD⊥又因为AE BD ⊥，AE AF A⋂=所以BD ⊥平面AEF2．（2021·宁夏银川市·银川一中高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB ∆的重心，D 是PA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：DG//平面PBC ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明：PA ⊥ 平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥，又PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ，PA AB A = ，∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴OE 为AB 边上的中线，∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点，∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ，又DE ⊂ 平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=，∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ，DG //∴平面PBC3．（2021·陕西咸阳市·高一期末）将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，又1A A AC A =I ，所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，所以//BD EF .所以EF ⊥平面1A AC .（Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =.∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴1DF CF CE BE ====.∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△.∴11111321332A D EF D AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△.考法二线线垂直【例2】（2020·全国专题练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,2AB AA ==，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A (1)证明：1BC AB ⊥；(2)若2OC OA =，求三棱柱111ABC A B C -的高.【答案】（1）证明见解析；（2）62.【解析】（1）证明：由题意2216, 3.2BD AB AD AB =+==且1AOD B OB ∆∆ ,111.2AO DO AD OB OB BB ∴===163,363OD BD AO ===222AO OD AD +=,所以1AB BD ⊥,又CO ⊥侧面11ABB A ，1AB CO ∴⊥,又BD 与CO 交于点O ，所以,1AB ⊥平面CBD又因为BC ⊂平面CBD ,所以1BC AB ⊥．(2)在矩形11ABB A 中，由平面几何知识可知36,33OA OB ==∵2OC OA =，∴63OC =，∴2321,,33ABC AC BC S ∆===设三棱柱111­ABC A B C 的高为h ，即三棱锥1A ABC -的高为h 又122ABA S ∆=，由11C ABA A ABC V V --＝得1··ABC ABA S h S OC ∆∆=，∴62h =【一隅三反】1．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ，AB AC =，,,D E F 分别为棱,,AA BB BC ''的中点．（1）求证：BC AF '⊥；（2）若2,22,AB BC CC ==='求三棱锥D AEF -的体积．【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】（1）因为侧棱CC '⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ，所以CC AF '⊥，因为F 为中点，AB AC =，故BC AF ⊥，而CC BC C '⋂=，故AF ⊥平面BCC '，而BC '⊂平面BCC '，故BC AF '⊥.（2）取AB 的中点为G ，连接FG .因为2,AB AC BC ===，故222BC AC AB =+，故AC AB ⊥，因为,CF FB AG GB ==，故//FG AC ，且1FG =，故FG AB ⊥，因为三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ，故三棱柱ABC A B C '''-为直棱柱，故BB '⊥底面ABC ，因为FG ⊂底面ABC ，故BB FG '⊥，而BB AB B '⋂=，故FG ⊥平面ADE ，而111244ADE S AD AB AA AB CC AB ='⨯⨯=⨯⨯=⨯'⨯= ，故12133A DEF F ADE V V --===.2．（2021·广西河池市·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11ACC BCC ∠=∠，AC BC =．（1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为1，求三棱锥1C ABC -的体积；（2）证明：1AB CC ⊥．【答案】（1）13；（2）证明见解析.【解析】（1）设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，ABC 的面积为S ，由三棱柱111ABC A B C -的体积为1，可得1111ABC A B C V Sh -==，可得三棱锥1C ABC -的体积为1133Sh =.（2）如图所示：取AB 的中点D ，连CD ，1C D ,∵1111AC BC CC CC ACC BCC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴11ACC BCC ≌，∴11AC BC =,∵AD DB =，11AC BC =，∴1AB C D⊥∵AD DB =，AC BC =，∴AB CD ⊥,∵1AB C D ⊥，AB CD ⊥，1,CD C D ⊂平面1CDC ，1CD C D D ⋂=，∴AB ⊥平面1CDC ∵AB ⊥平面1CDC ，1CC ⊂平面1CC D ，∴1AB CC ⊥．3．（2021·扶风县法门高中高一期末）如图，三棱锥V—ABC 中，VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝VC=1．（1）证明：AB ⊥VC ；（2）求三棱锥V—ABC 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】（1）证明：取AB 的中点为D ，连接VD ，CD，∵VA=VB ，ABV ∴ 是等腰三角形，∴AB ⊥VD ，AC BC = ，ABC ∴ 是等腰三角形，AB ⊥CD ，VD CD D = ，所以AB ⊥平面VDC ．又VC ⊂平面VDC ，故AB ⊥VC .（2）由（1）知AB ⊥平面VDC ，12AD AB ==，2VA =，所以1VD ==，2AC =，1CD ==，又VC=1，所以VDC 是等边三角形，所以11sin 601122VDC S DC =⨯⨯=⨯⨯= ，故三棱锥V—ABC 的体积等于11313342VDC S AB =⨯⨯= ．考法三面面垂直【例3】（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2AB PD ==，，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】（1）因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，PD ⊥ 底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC PD ∴⊥，PD BD D ⋂= ，AC ∴⊥平面PBD ，AC ⊂ 平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD ；（2）如下图所示，连接OE ，四边形ABCD 为正方形，且AC BD O = ，则O 为BD 的中点，因为//PD 平面AEC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD 平面AEC OE =，//OE PD ∴，O 为BD 的中点，E ∴为PB 的中点，PD ⊥ 平面ABCD ，OE ∴⊥平面ABCD ，且162OE PD ==，ABC 的面积为21222ABC S =⨯=△，所以，112626333B AEC E ABC ABC V V S OE --==⋅=⨯=△.【一隅三反】1．（2021·陕西宝鸡市·高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，⊥PA AB ，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当//PA 面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）证明：由AB BC =，D 为线段AC 的中点，可得BD AC ⊥，由PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC B ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ，可得 PA BD ⊥，又PA AC A= 所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC ；（2）解：//PA 平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC 平面BDE DE =，可得//PA DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且112DE PA ==，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得111221222BDC ABC S S ==⨯⨯⨯= ，则三棱锥E BCD -的体积V=11111333BDC DE S ⋅=⨯⨯= ．2．（2021·全国高一课时练习）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）//EF 平面PAD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）∵AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD∴AP CD⊥∵ABCD 为矩形，∴AD CD⊥又：AP AD A ⋂=，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD∴CD ⊥平面PAD∵CD ⊂平面ABCD∴平面PAD ⊥平面ABCD（2）连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OF ，∵ABCD 为矩形，∴O 点为AC 中点∵E 为PC 中点∴//OE PA∵OE ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD∴//OE 平面PAD同理可得：//OF 平面PAD∵OE OF O⋂=∴平面//OEF 平面PAD∵EF ⊂平面OEF∴//EF 平面PAD3．（2021·全国高一课时练习）如图所示，已知在三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形．（Ⅰ）求证：//DM 平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）107【解析】证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP P .又MD Ë平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以MD P 平面APC .（2）证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MD AP P ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以⊥AP BC .又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC ⊥平面APC .(3)因为AP ⊥平面PBC ，MD AP P ，所以MD ⊥平面PBC ，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为20AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以310,2PB MB MD MB ====由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由104PB BC ＝，＝，可得PC ＝.于是1114222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝.1133D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯=g △＝＝＝考法四空间距离【例4】（2020·全国专题练习）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中求出下列距离：（1）点A 到面11BB C C 的距离；（2）线段11B D 到面ABCD 的距离；（3）点A 到面11BB D D 的距离；（4）C 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）a ；（2）a ；（3）2a ；（4）3a .【解析】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，则AB ⊥平面11BB C C ，所以点A 到面11BB C C 的距离为边长AB a =；（2）因为11B D ∥平面ABCD ，且1B B ⊥平面ABCD ，所以线段11B D 到面ABCD 的距离为1B B a =；（3）因为AC ⊥平面11BB D D ，所以点A 到面11BB D D 的距离为面对角线的AC 的12，即2a ；（4）设C 到平面1BDC 的距离为h ，三棱锥1C BDC -的体积为V ，在1BDC ∆中，11BD DC BC ===，则1BDC ∆的面积为22)42a =，利用等体积法可得：211133232V a a a a h =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，所以33h a =【一隅三反】1．（2020·北京二十中高一期末）如图，正四棱锥P ABCD -的高为2，且底面边长也为2，则点A 到平面PBC 的距离为（）A．5B．5C．4D．2【答案】A【解析】由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD 为正方形，连接AC 、BD ，设交点为点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，且2PO =，底面对角线的长度为BD =22222+=，侧棱长度为PB =()22226+=22(6)15PM =-=，1114·2223323P ABC ABC V S PO -==⨯⨯⨯⨯= ，1125522PBC S BC PM =⋅=⨯= ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，由A PBC P ABC V V --=，即14533h =，解得55h =．故选：A.2．（2020·全国）已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A．2B．32D．1【答案】D【解析】因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得111112222232323E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯=，在BDE 中，()22226,2BE DE BD ==+=，BD 边上的高()()22622=-=，所以12222BDE S =⨯= 112233A BDE BDE V S h h -==⨯ ，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得:1222233h ⨯=,解得:1h =3．（2020·全国高一课时练习）已知1111ABCD A B C D -是长方体，且4AB =，3AD =，12AA =.（1）写出点A 到平面11BCC B 的距离；（2）写出直线AB 到平面1111D C B A 的距离；（3）写出平面11ADD A 与平面11BCC B 之间的距离.【答案】（1）4（2）2（3）4【解析】如图.（1）点A 到平面11BCC B 的距离14h AB ==；（2）∵AB ‖平面1111D C B A ，∴AB 到平面1111D C B A 的距离212h AA ==；（3）∵平面11ADD A ∥平面11BCC B ，∴平面11ADD A 与平面11BCC B 之间的距离34h AB ==.。

线面垂直的证明中的找线技巧◆通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1AO ．设正方体棱长为a ，那么22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11AC M 中，22194A M a =．∵22211AO MO AM +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1AO ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．◆利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．〔另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC 〕．评注：条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过此题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于EFG ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．评注：此题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ．∵CD⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴AH ⊥平面BCD ．评注：此题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．假设AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥．∵PA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ．∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面APC ⊥平面PBC ．∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ．∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直那么需从条件出发寻找线线垂直的关系．6. 空间四边形ABCD 中，假设AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BDAD B O C证明：过A 作AO ⊥平面BCD 于OAB CD CD BO⊥∴⊥， 同理BC ⊥DO ∴O 为△ABC 的垂心 于是BD CO BD AC ⊥⇒⊥7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DD 1 C 1A 1B 1D CA B证明：连结ACBD AC ⊥AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥PND CA BM. 证：取PD 中点E ，那么EN DC//12PE ND CA BM⇒ENAM// ∴AE MN//又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭ ⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

线面垂直证明题训练本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.MarchABCPE F线面垂直的证明方法总结：直线垂直于平面内的两条相交直线；利用面面垂直的性质；利用勾股定理逆定理；1．如图①所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图②使G 1、G 2、G 3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)． ①SG ⊥面EFG ； ②SD ⊥面EFG ； ③EF ⊥面ＳＧＤ； ④GD ⊥面SEF ．2．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)． ①PA ⊥BC ；②BC ⊥平面PAC ；③AC ⊥PB ；④PC ⊥BC ．3．以AB 为直径的圆在平面α内，α⊥PA 于A ，C 在圆上，连PB 、PC 过A 作AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，指出图中所有线面垂直并逐一证明。

4．如图，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于B A,的任意一点， 求证：AC A 1平面⊥BC ；5．已知，如图正方体1111D C B A ABCD -中，求证：111A D B C A 平面⊥ 三垂线定理的运用6．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，在平面B 1BDD 1中，过B 1作B 1H ⊥D 1O ，垂足为H ， 求证：B 1H ⊥平面ACD 1。

7．已知正方形ABCD 的边长为1，．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使1AC =，得到三棱锥A —BCD ，如图所示．求证：AO BCD ⊥平面；8．如图，在四面体SABC 中，SA=SB=SC ，∠ASC=90°，∠ASB=∠BSC=60°，若O 为AC 中点，求证：SAC 平面⊥BOABCDA 1B 1C 1D 19．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证BDM 1平面⊥O A10．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形, 侧面PAD ⊥底面ABCD.求证:DC ⊥平面PAD12、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 。