“等效法”巧解复合场的圆周运动问题

B圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律最高点最低点（平衡位置）速度最大、拉力最大临界最高点：重力提供向心力，速度最小等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。

最高、低点：T与等效重力共线③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求及运动过程中的最大拉力变式1：如图所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=104V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A为水平轨道的一点，而且把一质量m=100g、带电q=10－4C的小球，放在水平轨道的A点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。

（g=10m/s2）求：（1）它到达C点时的速度是多大？（2）它到达C点时对轨道压力是多大？（3）小球所能获得的最大动能是多少？VCY例2：在水平方向的匀强电场中，用长为L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D时的速度大小变式2：质量为的m小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O点做半径为a圆周运动,线速度为v（1）求此时绳子上的拉力（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b的圆周运动，求放松时间（3）小球做半径为b的圆周运动时绳子的拉力+练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O，用一根长度的绝缘细绳把质量为、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为。

解读复合场中做圆周运动物体的“最高点”和“最低点”作者：陈余华来源：《中学教学参考·理科版》2010年第01期通常所说的最高点和最低点,是指物体仅在重力作用下时,沿竖直方向相比较的最上面点和最下面点.当物体在复合场中做圆周运动时,我们把物体在沿着所受复合场力的方向上相比较,最上面的点和最下面的点称为等效“最高点”和“最低点”,这也是我们通常所说的物体在复合场中做圆运动时的“最高点”和“最低点”.理解和掌握这方面的知识可给解题带来很大的方便.图1【例1】如图1所示,在水平向右的匀强电场中,有一质量为m的带正电的小球,用长为L的绝缘细线悬挂于O点,当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ.现给小球一个垂直于悬线的初速度,使小球恰能在竖直平面内做圆周运动.问:(1)小球在做圆周运动的过程中,哪一位置速度最小?最小值多大?(2)小球在B点的初速度多大?分析与解答:小球在做圆周运动的过程中,所受的重力和电场力均为恒力,这两个力的合力大小为F=mg/cosθ,其方向斜向右下方,且与竖直方向成θ角,沿此方向的直径与圆周相交的两个点就是复合场中的“最高点”和“最低点”,如图1所示,A为“最高点”,B为“最低点”.(1)由上面分析可知,小球运动到B点时的速度最大,在A点时速度最小,设小球在A点时的速度为此时细线的拉力为0,此时小球做圆周运动的向心力由电场力和重力的合力提供,即为mg/cosθ,因此由牛顿第二定律有:(2)小球在电场力和重力的作用下由A点运动到B点,由动能定理得:q-又qE=mgtanθ解得图2【例2】一条长为L的细线上端固定在O点,下端系一个质量为m的小球,将它置于一个很大的匀强电场中,电场强度为E,方向水平向右,已知小球在B点时平衡,细线与竖直线的夹角为α,如图2所示,求:(1)当悬线与竖直方向的夹角为多少时,才能使小球由静止释放后,细线到竖直位置时,小球的速度恰好为零.(2)当细线与竖直方向成α角时,至少要给小球一个多大的冲量,才能使小球做圆周运动?图3分析与解答:(1)小球在B点的受力情况如图3所示,由于小球是在匀强电场和重力场的复合场中运动,B点为复合场中的“最低点”,小球在A、C间的运动类比一单摆,B点为振动的平衡位置,A、C点为最大位移处,由对称性可得出结论:φ=2α.(2)绳系小球在复合场中运动时,其等效“最高点”点为D,“最低点”为B,在D点时,由牛顿第二定律有:由动能定理有-图4且qE=mgtanα解得所以给小球施加的冲量至少应为:I=m5gLcosα.【例3】半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内,环上套有一质量为m,带正电的珠子,空间存在水平向右的匀强电场,如图5所示,珠子所受的静电力是其重力的34倍,将珠子从环上最低位置A点由静止释放,则珠子所能获得的最大动能为多少?分析与解答:珠子受到的重力mg和电场力qE的合力如图6所示,合力与竖直方向夹角为θ,则图5图6tanθ=qEmg=34,所以θ=37°在此复合场中B点为“最低点”,与竖直方向的夹角为θ,珠子在B点时动能最大,珠子在由A 点运动到B点的过程中,应用动能定理有:-mgr(1-从以上例题可以看出,求带电粒子在电场及重力场的复合场中的运动问题,在分别考虑重力和电场力的条件下,无论从力的观点,还是从能的观点求解都十分繁琐,这种情况下建立等效的复合场模型,往往可以使求解过程大为简化.(责任编辑易志毅)。

圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律最高点最低点（平衡位置） 临界最高点：重力提供向心力，速度最小速度最大、拉力最大等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。

最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v 及运动过程中的最大拉力变式1：如图所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。

（g=10m/s2）求：（1）它到达C 点时的速度是多大？ （2）它到达C 点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？例2：在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球静止在A 处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D 时的速度大小变式2：质量为的m 小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O 点做半径为a 圆周运动,线速度为v（1）求此时绳子上的拉力A BC 300 AOD V CBV CY（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b 的圆周运动，求放松时间 （3）小球做半径为b 的圆周运动时绳子的拉力练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O ，用一根长度m L 40.0=的绝缘细绳把质量为kg m 10.0=、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为37=θ。

用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。

常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。

带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。

若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。

(2)解题思路：①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。

②将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”。

③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。

[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B 点的初速度多大？对应练习：1．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。

整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。

现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？2．(2012·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。

该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。

(1)求小球所受到的电场力的大小；(2)求小球在A点速度v0多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小？3.如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。

“等效法”解决带电体在复合场中运动问题[方法概述]1等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法.例如我们学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动等都体现了等效思维方法.常见的等效法有“分解”、“合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易.2带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型.对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大.若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷.[方法应用]1求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”.2将a视为“等效重力加速度”.3将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解.例题1在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B点的初速度多大？解析如图所示，小球所受到的重力、电场力均为恒力，二力的合力为F＝mgcos θ.重力场与电场的叠加场为等效重力场，F为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为g′＝gcos θ，其方向斜向右下，与竖直方向成θ角．小球在竖直平面内做圆周运动的过程中，只有等效重力做功，动能与等效重力势能可相互转化，其总和不变．与重力势能类比知，等效重力势能为E p＝mg′h，其中h为小球距等效重力势能零势能点的高度．(1)设小球静止的位置B 点为零势能点，由于动能与等效重力势能的总和不变，则小球位于和B 点对应的同一直径上的A 点时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小．设小球在A 点的速度为v A ，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力，则mg ′＝m v 2A l 得小球的最小速度为v A ＝ gl cos θ(2)设小球在B 点的初速度为v B ，由能量守恒得12mv 2B ＝12mv 2A ＋mg ′·2l 将v A 的数值代入得v B ＝5gl cos θ 答案 (1)A 点速度最小gl cos θ (2) 5gl cos θ过关检测 1．如图所示，一条长为L 的细线上端固定，下端拴一个质量为m 的电荷量为q 的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A 点静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0.(1)求：①小球带电性质；②电场强度E .(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A 点释放小球时应有的初速度v A 的大小(可含根式)．解析：(1)①根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电．②小球由A 点释放到速度等于零，由动能定理有0＝EqL sin α－mgL (1－cos α)，解得E ＝3mg 3q. (2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G ′，则G ′＝2 33mg ，方向与竖直方向成30°角偏向右下方．若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点．m v 2L ＝2 33mg 12mv 2－12mv 2A ＝－2 33mgL (1＋cos 30°)联立解得v A ＝ 2gL (3＋1)答案：见解析2．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于电场强度为E 、方向水平向右的匀强电场中．现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应满足什么条件？解析：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg ′，大小为mg ′＝ (qE )2＋(mg )2＝2 3mg 3，tan θ＝qE mg ＝33，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动．因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”(D 点)满足“等效重力”刚好提供向心力，即有：mg ′＝mv 2D R，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD ＝2R ，令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知：－2mg ′R ＝12mv 2D －12mv 20 解得v 0＝10 3gR 3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v ≥ 103gR 3. 答案：v ≥ 103gR 3。

探讨等效法在匀强电场中竖直面圆周运动的应用王 强物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。

此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。

那么，如何实现这一思想方法呢？首先我们明确一下等效法，等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法。

它是物理学研究的一种重要方法。

在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、总电阻与分电阻、平均值、有效值等，都是根据等效概念引入的。

常见的等效法有“分解”、“合成”、等效类比、等效替换、等效变换,等效简化等，从而化繁为简、化难为易。

匀强电场有许多性质与重力场非常相似，所以在有些电场问题解题的过程中，可以将电场与重力场加以比较，将匀强电场等效类比为重力场中熟悉的模型问题。

今天我们将用此方法研究带电物体在匀强电场中的运动。

一、寻找竖直面内圆周运动“等效最低点”方法1、在只有重力场的情况最低点是速度最大位置即动能最大，重力做正功最多，重力势能最小动能最大。

当既有重力场和匀强电场时，合场也是恒定不变的，与重力场类似。

所以可以把重力和电场力合成，求出合把这个合力等效成重力，我们把该合力称之为等效重力，此时相当于只有等效重力作用 ，那么运动过程中沿着等效重力的方向，合力做正功最多，则势能最少的地点则为等效最低点。

2、 受力平衡，最低点可以静止在重力场中当物体处于静止和平衡时一点在最低点，且此时重力作用线与绳子拉力在一条线且沿半径背向圆心，如图1所示。

当物体静止时，图示位置即为最低点。

带电粒子在复合场中做圆周运动的过程中与只有重力场类似，由于电场重力场恒，所以合力是恒定的，因此当物体静止时一定是平衡，此时等效重力的方向也应该和绳子的拉力在一条直线上，且也沿半径背向圆心。

等效法处理电场中的圆周运动“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系及其规律。

具体如下：等效重力场 ⇔ 重力场、电场叠加而成的复合场等效重力 ⇔重力、电场力的合力等效重力加速度⇔ 等效重力与物体质量的比值等效“最低点”⇔ 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”⇔物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能 ⇔等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积 绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律：一、在重力场中:1、临界最高点：2mv mg l=得：v = 特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相同2、最低点: 物体速度最大,绳的拉力最大特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相反注意：不论最高点还是最低点，速度与合力必垂直，电场中带电粒子在竖直平面内做圆周运动：二、复合场中：1、临界状态在等效“最高点”：2'mv mg l = 得：v = 等效“最高点” ：物体速度最小，绳的拉力最小。

特点: mg 和qE 的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相同2、等效“最低点”: 物体速度最大,绳的拉力最大特点: mg 和qE 的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相反 注意：不论最高点还是最低点，速度与合力必垂直例1 、光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为m g 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v .例2如图所示，半径R = 0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带正电的小球沿轨道内侧做圆周运动．圆心O 与A 点的连线与竖直成一角度θ，在A 点时小球对轨道的压力N = 120N ，此时小球的动能最大．若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）．则：（1）小球的最小动能是多少？（2）小球受到重力和电场力的合力是多少？（3）现小球在动能最小的位置突然撤去轨道，并保持其他量都不变，若小球在0.04s 后的动能与它在A 点时的动能相等，求小球的质量．。