河北正定中学2009届高三第四次月考数学试题理科
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河北正定中学2009届高三第四次月考数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码的准考证号码、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
如需改动用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷上的答案无效。
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知U 是全集，M 、N 是U 的两个子集，若Φ=≠N M U N M ,，则下列选项中正确的是( )A ．N M C U =B ．M NC U = C ．φ=)()(N C M C U UD ．U N C M C U U =)((2．等差数列{}n a 的公差0d <，且22111a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n =( )A.6B.5C.5或6D.6或73．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =+1的图象按向量a r平移得到，则向量a r可以为（ ）A.(,1)3πB. (,1)3π- C. (,1)6π- D. (,1)6π4．定义在R 上的函数x x x f x x f x f x f 2)(,]2,0[),(3)2()(2-=∈=+时当满足，则)(,]2,4[x f x 时--∈的最小值是（ ）A ．－91 B ．91 C ．31-D ．－15．已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量、满足||||-=+，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－26．设偶函数()log a f x x b =-在(,0)-∞上单调递增，则)2()1(++b f a f 与的大小关系是（ ） A ．)2()1(+=+b f a f B ．)2()1(+>+b f a fC ．)2()1(+<+b f a fD ．不能确定7．若函数)(2),()(1x f x y x f y x f y -===-且函数存在反函数的图象过点（2，1），则函数211第15题x x f y 2)(1-=-的图象一定过点( )A.(3,2)B.(2,3)-C.(4,3)-D.(3,4)-8．从原点O 引圆222()(2)1x m y m -+-=+的切线y kx =，当m 变化时，切点P 的轨迹方程是（ ） A. 222x y += B. 22(1)2x y -+=C. 22(1)(1)3x y -+-=D.223x y+=9.在坐标平面上，不等式组211y x y x ⎧≥-⎪⎨≤+⎪⎩所表示的平面区域的面积为（ ）A. B.83 C.3D.210．已知02x π<<，且0t >，t 为常数，11()1sin f x sinx x=+-的最小值是9，则t =（ ） A ．3 B ．2 2 C ．4 D ．3 2 11．如图所示，在△OAB 中，OA ＞OB ，OC ＝OB ，设OA →＝a ，OB →＝b ，若AC →＝λ·AB →，则实数λ的值为A ．a ·(a －b )|a －b |B ．a ·(a －b )|a －b |2C ．a 2－b 2|a －b | D ．a 2－b 2|a －b |212.已知12,F F 为椭圆E 的两个左右焦点，抛物线C 以1F 为顶点，2F 为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e满足12PF e PF =，则e 的值为（ ）B.2 D.2-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
）把答案填在答题卡上。
13．已知OP 1 →＝(cos θ，sin θ)，OP 2 →＝(3－cos θ，4－sin θ)，若OP 1 →∥OP 2 →，则cos2θ＝ ．14．当a a x x x x 那么恒成立的不等式如果关于时,2||,10<-≤≤ 的取值范围是 。
15.如图，在面积为1的正111A B C ∆内作正222A B C ∆，使12212A A A B =，12212B B B C =，12212C C C A =，依此类推，在正222A B C ∆内再作正333C B A ∆，……。
记正i i i C B A ∆的面积为(1,2,,)i a i n =，则a 1＋a 2＋……＋a n ＝第11题图16.已知曲线1122:1C x y +=，给出下列四个命题：①曲线C 与两坐标轴围成的图形的面积不大于12； ②曲线C上的点到原点的距离的最小值为 ；③曲线C 关于点11(,)44中心对称；④当0,1x ≠ 时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负值。
其中你认为正确命题的序号为三．解答题：（本大题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）在中，为它的三个内角,设向量(cos,sin ),(cos ,sin ),2222B B B Bp q ==-且p 与q 的夹角为3π．(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知tan C =，求sin 2cos sin sin 2cos 2A A A A A ⋅-⋅的值．18．（本题满分12分）已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.19.（本题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足下列条件：①对任意的,x y R ∈，()()()f x y f x f y +=+；②当0x >时，()0f x <. （1）证明()f x 是定义在R 上的减函数；（2）如果对任意实数,x y ，有22()()()f x f y f axy +≤恒成立，求实数a 的取值范围。
20.（本题满分12分）设.4||||),,3(),,3(,,=+-=+=∈y x y x R y x 且向量（1）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；（2）过点)2,0(P 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点（A 在P ，B 之间），设,λ=直线l 的斜率 为k ，当12≥k 时，求实数λ的取值范围。
21．（本题满分12分）若函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数，且f (x )极小值＝f (－33)＝－239． （1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数f (x )在[－1，m ](m ＞－1)上的最大值；（3）设函数g (x )＝f (x )x 2，若不等式g (x )·g (2k －x )≥(1k －k )2在(0，2k )上恒成立，求实数k 的取值范围．22. （本题满分12分）设数列{}n a ，{}n b 满足112a =，12(1)n n na n a +=+，且21ln(1)2n n n b a a =++，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对一切n N *∈，证明22n n na ab <+成立； （3）记数列2{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是,n n A B ，证明24n n B A -<。
河北正定中学2009届高三第四次月考数学（理科）答案1-5：DCBAD 6-10：BDDBC 11-12：DA13. －725 14. （—1，3） 15. 31(1)23n - 16.①②④ 17. 解：(Ⅰ)由题设得： 1,1,p q ==由22cos cos sin 322B B p q π=-得：1cos 2B = 又0B π<<，所以3B π=.…………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：23A C π+=，有tan tan tan()1tan tan A CA C A C+=+=-⋅tan A =6分 0,cosA A <<π∴=…………8分2sin 2cos sin 2cos 11sin 2cos 22cos cos 22cos A A A A A A A A A⋅--∴===⋅⋅10分18. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=…………………6分 (2)设直线l 的方程是:y x b =+. ……………7分因为CA CB ⊥,所以圆心C 到直线l ,=解得:1b =-±所以直线l 的方程是:1y x =-±12分19. 解：（1）令0(0)0x y f ==⇒=，所以()()()0f x x f x f x -=+-=，所以()f x 是寄函数，在R 上任意取12,x x ，且12x x <，2121()()()0f x f x f x x ∴-=-< 所以()f x 是定义在R 上是减函数；………….6分（2）22()()()f x f y f axy +≤恒成立，即22x y axy +≥，220x y axy +-≥对x 恒成立，22240a y y =-≤V 恒成立，对任意y 恒成立，即240a -≤，即[2,2]a ∈-。
………12分20．解：（1）设)0,3(),0,3(21F F -则32||4||||2121==+F F MF MF 且21,F F M 是∴为位点，2为长半轴的椭圆.1422=+∴y x ……………………4分（2）设,2:+=kx y l 代入椭圆有.01216)1(22=+++kx x k ……..6分由1,,43,022≥>>∆k k 由之得………..7分 设),(),(2211y x B y x A则 ⎝⎛+=+-=+221222141124116k x x k k x x ………..8分由λ=21x x λ=∴有k x k k x λλλ4)1(3,)41)(1(16222+-=++-=….9分 )41(643)1(22+=+∴kλλ12≥k 2315(,](1)1664λλ∴∈+……10分 解之1353353λλ<≤≤<或 B P A ,在 之间5331≤<∴λ 综上13(,]35λ∈…………………………12分21. 解：（1）函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数，则b ＝d ＝0，∴f /(x )＝3ax 2＋c ，则⎩⎨⎧f /(－33)＝a ＋c ＝0f (－33)＝－3a 9－3c 3＝－239⇒⎩⎨⎧a ＝－1c ＝1故f (x )＝－x 3＋x ；………………………………3分（2）∵f /(x )＝－3x 2＋1＝－3(x ＋33)(x －33) ∴f (x )在(－∞，－33)，(33，＋∞)上是 增函数，在[－33，33]上是减函数， 由f (x )＝0解得x ＝±1，x ＝0，如图所示，当－1＜m ＜0时，f (x )max ＝f (－1)＝0； 当0≤m ＜33时，f (x )max ＝f (m )＝－m 3＋m ， 当m ≥33时，f (x )max ＝f (33)＝239． 故f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (－1＜m ＜0)－m 3＋m (0≤m ＜33)239 (m ≥33)．………………8分 （3）g (x )＝(1x －x )，令y ＝2k －x ，则x 、y ∈R ＋，且2k ＝x ＋y ≥2xy ，又令t ＝xy ，则0＜t ≤k 2，故函数F (x )＝g (x )·g (2k －x )＝(1x －x )(1y －y )＝1xy ＋xy －x 2＋y 2xy＝1xy ＋xy －(x ＋y )2－2xy xy ＝1－4k 2t ＋t ＋2，t ∈(0，k 2]当1－4k 2≤0时，F (x )无最小值，不合当1－4k 2＞0时，F (x )在(0，1－4k 2]上递减，在[1－4k 2，＋∞)上递增，且F (k 2)＝(1k －k )2，∴要F (k 2)≥(1k －k )2恒成立，必须⎩⎪⎨⎪⎧k ＞01－4k 2＞0k 2≤1－4k 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜k ＜12k 2≤5－2， 故实数k 的取值范围是(0，5－2)]．………………12分22.解：（1）由12(1)n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，即数列{n a n}是以12为首项，以12为公比的等比数列，12nn a n ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭……..3分（2）因为0n a >， 21ln(1)02n n n b a a =++>，n N *∈，所以要证明22n n na ab <+，只需证明222n n n b a a <+，即证2102n nn b a a --<，即证明ln(1)0n n a a +-<成立，构造函数()ln(1)f x x x =+-（0x ≥），1()111xf x x x-'=-=++Q ，当0x >时()0f x '<，即()f x 在（0,+∞）上单调递减，故()(0)0f x f <=，ln(1)0x x ∴+-<，即ln(1)0n n a a +-<，对一切n N *∈都成立，所以22n n na ab <+。
