信号与系统第2章-1

x(τ ) ⋅ h(t −τ ) = 0
y(t ) = x(t ) ∗ h(t ) = 0
21
卷积结果
x(t) 1 −1
t2 t 1 + + 4 2 4 t y (t ) = 2 − t + t + 2 4 2 0
O
h(t) 3 2 1 t
O
3
y (t )
t
−1 ≤ t ≤ 1 1≤ t ≤ 2 2≤t≤4 其它t
6
单位冲激响应
x(t)
LTI系统 系统
y (t)
x (t ) → y (t )
δ (t ) → h (t )
单位冲激响应
δ (t − t 0 ) → h (t − t 0 ) 时不变
7
卷积积分
设 齐次性
δ ∆ (t − k ∆ ) → h∆ (t − k ∆ )
x ( k ∆ )δ ∆ ( t − k ∆ ) ∆ → x ( k ∆ ) h ∆ ( t − k ∆ ) ∆
y(t ) = x(t ) ∗ h(t ) = 0
17
-1≤ t ≤1
h(t −τ )向右移
x(τ ) h (t− τ) 1
两波形有公共部分， 两波形有公共部分， 积分下限- ，上限t 积分下限-1，上限 ， t 为移动时间
t−3
t
−1
O
t1
τ
1 y (t ) = ∫ x (τ ) ⋅ h (t − τ ) d τ = ∫ (t − τ ) d τ −1 −1 2 tτ τ 2 t t2 t 1 = − 2 −1 = 4 + 2 + 4 4
t
18
1≤ t ≤2 ≤
h(t −τ )继续向右移
t − 3 ≤ −1 t ≥1
即1 ≤ t ≤ 2， ， 两信号相交于 [-1，1]区间 ， 区间
1
x(τ ) h (t− τ) 1
t − 3− 1
O
1 t
τ
1 y (t ) = ∫ (t − τ ) d τ = t −1 2
19
2≤t≤4
t − 3 ≥ −1 t −3 ≤1
t 从− ∞到+ ∞, 对应h(t −τ )从左向右移动
h(t −τ )
下限 t- 3
上限 t
x(τ )
-1
1
16
t ≤-1
x(τ ) h (t− τ) 1
t −3
t −1
O
1
τ
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0 两波形没有公共处，二者乘积为0 即积分为0
x(τ ) ⋅ h(t −τ ) = 0
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ ) ⋅ h(t − τ )dτ
0
12
t
卷积积分图解
1反褶：对于x(τ), h(τ), 将h(τ)反褶 得h(-τ) ,
2 平移： 将h(−τ ) →h(t −τ )
3 相乘：x(τ ) ⋅ h(Hale Waihona Puke Baidu −τ )
4 积分： 求曲线x(τ )h(t −τ )下的面积 . , 得到时刻t的卷积值y(t)
τ < 0 u (τ ) = 0 τ > t t −τ < 0
y (t ) =
=e
积分下限为0 u (t − τ ) = 0
− a ( t −τ )
积分上限为t
e − at ⋅ e ( a − b )τ d τ
( a − b )τ t
∫
t
0
e
− bτ
⋅e
dτ =
− at
∫
t
0
− at
∫
t
0
e
( a − b )τ
2
−1 O
1
2
4
22
t
结 论
如果x(t)、 均为时限信号， 如果 、h(t)均为时限信号， 均为时限信号 且非零区间分别为l 且非零区间分别为 1、l2， 则y(t)也为时限信号，其非零区间 1+l2 也为时限信号，其非零区间l 正确地确定卷积积分的上下限， 正确地确定卷积积分的上下限， 内非零时， 当x(t)和h(t)在M≥ t ≥ 0内非零时， 和 在 ≥ 内非零时 绝大多数同学能正确确定上下限， 绝大多数同学能正确确定上下限， 否则就存在困难。 否则就存在困难。 一、时移法 利用LTI系统性质 二、利用 系统性质
由于系统的响应等于输入信号与单位冲激 响应h(t)的卷积运算，因此，完全可以用h(t) 的卷积运算，因此，完全可以用 响应 的卷积运算 来表示LTI系统的特性 系统的特性 来表示
10
卷积积分
例
h(t ) = e − at ⋅ u (t )
∞
x(t) = e−bt ⋅ u(t) , a ≠ b
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ e −bτ ⋅ u (τ ) ⋅ e −a (t −τ ) ⋅ u (t − τ )dτ 解 −∞
叠加性
k = −∞
∑ x(k∆) ⋅ δ
∞ k = −∞
∞
∆
(t − k∆ ) ⋅ ∆ →
k = −∞
∑ x(k∆)h
∞ ∆ →0
∞
∆
(t − k∆ ) ⋅ ∆
取极限
lim
∆→0
∑ x ( k∆ ) ⋅ δ
∞ −∞
∆
(t − k∆ ) ⋅ ∆ → lim
∞
k = −∞
∑ x ( k∆ ) h
∆
(t − k∆ ) ⋅ ∆
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ ) ⋅ h(t − τ )dτ
−∞
t
对于因果 因果LTI系统，x(t)是因果信号在 =0接入，即t<0，x(t)=0 系统， 是因果信号在 信号在t 接入 接入， 对于因果 系统 ， 或τ <0，x(τ)=0，故积分下限改为 ， ，故积分下限改为0
t2 0 ≤ t < 2 s(t) = ∫ dτ = 02 4 t2 2 ≤ t < 4 s(t) = ∫ dτ = t − t −2 2 4 4 ≤ t < ∞ s(t) = 0
2
τ
τ
26
y(t ) = s(t + t1 + t2 ) = s(t −1)
t <1 0 1 (t −1)2 1≤ t < 3 4 = 1 (t −1)(5 − t) 3 ≤ t < 5 4 t ≥5 0
及其移位的线性组合 2 LTI系统的叠加性与齐次性 系统的叠加性与齐次性
4
2.1 连续时间LTI系统的时域分析
5
信号的分解
用矩形脉冲近似x(t)，有
x(t)
ˆ x (t) =
k = −∞
∑
∞
x(k ∆ ) δ ∆ (t-k ∆ ) ∆
∆ → 0 k∆ → τ ∆ → dτ δ ∆ (t − k ∆ ) → δ (t − τ )
−∞
令τ1 =τ − t1, 有 = ∫ x(τ1)h(t −τ1)dτ1
−∞ ∞
= x(t) ∗ h(t) = y(t)
25
x(t)
h(t)
1
例
-1
1
1 x1(t)
t
0
2 h1(t)
1
4
t
t1=1, t2= -2,得h1(t), x1(t) 得
t <0
1
0
1
s(t) = 0
t
t
0
2
t
求s(t)= x1(t)* h1(t)
s(t)
1
y(t)
1
0
2
4
t
0
1
3
5
t
27
利用LTI系统性质 利用LTI系统性质 LTI
已知y(t)= x(t)* h(t)，求y1(t)= x1(t)* h1(t) 已知 ， h(t)
例
x(t)
1
0 1
y(t)
*
t
1
0 1
=
t
1
0 1 2
t
x1(t)
1
-2 -1
h1(t)
1
t
0
1
2
5
6
t
28
利用LTI系统性质 利用LTI系统性质 LTI
y(t)
1
0 1 2
y1(t) t y(t+1)
-1 0 1 3
y(t-3) t
5
31
卷积积分的性质
卷积代数
交换律
x (t ) ∗ h(t ) = h(t ) ∗ x (t )
13
沿τ轴平移t
卷积积分图解
x(τ) 1 1 1 1 h(τ) 反褶 1 x(τ) h(- τ) 1 -1
τ
1
τ
1 -1+t
x(τ) h(t- τ)
h(t- τ) 1 相乘 平移 -1+t t
τ
t
τ
y(t)
14
例
1 x(t) = 0
t <1 t >1
t h(t) = 2
(0 ≤ t ≤ 3)
x(t ) = ∫ x(τ ) ⋅ δ (t − τ )dτ → ∫ x(τ )h(t − τ )dτ = y (t )
−∞
8
卷积积分
x (t ) =
∫
∞
−∞
x (τ ) δ ( t − τ ) d τ
y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ
−∞
∞
y (t ) = x (t ) ∗ h(t )
x(t)
1
0 1
x1(t)
1
x1(t ) = x(t + 2)
t
t
-2
-1
h(t)
1
0 1
h1(t)
1
h1(t ) = h(t −1) + h(t − 5)
t
0
1
2
5
6
t
29
利用LTI系统性质 利用LTI系统性质 LTI
x1(t ) = x(t + 2)
h1(t ) = h(t −1) + h(t − 5)
y1(t ) = x1(t) *h1(t)
= x(t + 2) *[h(t −1) + h(t − 5)] = x(t + 2) * h(t −1) + x(t + 2) * h(t − 5)] = y(t +1) + y(t − 3)
30
利用LTI系统性质 利用LTI系统性质 LTI
y1(t ) = y(t +1) + y(t − 3)
x(t) 1 −1
O
x(τ )
t →τ
1 t −1
1
O
1 h( -τ) 3 2
τ
h(t) 3 2
O
t → −τ
3 t −3
t
O
τ
15
x(τ ) 3 h (t− τ) 2
平移h(−τ )，t 为移动的距离
t =0 h(t-τ) 未移动
−1
O
1 t−3
t
τ
t >0 h(t-τ) 右移 t <0 h(t-τ) 左移
ˆ ˆ x ( t ) → x ( t ) = lim x ( t )
∆→0
0 ∆
k∆
x ( k ∆ ) δ ∆ ( t-k ∆)∆
1 δ ∆ ( t-k ∆) = ∆ 0 k ∆ ≤ t ≤ ( k + 1) ∆ else
x (t ) =
∫
∞
−∞
x (τ ) δ ( t − τ ) d τ
将信号分解为移位冲激信号的线性组合， 将信号分解为移位冲激信号的线性组合， 借助系统的冲激响应和LTI系统的叠加性， 系统的叠加性， 借助系统的冲激响应和 系统的叠加性 就获得LTI系统对激励 的响应 系统对激励x(t)的响应 就获得 系统对激励 的响应y(t)
9
卷积积分
x(t )
h(t)
y (t ) = x (t ) ∗ h(t )
即2 ≤ t ≤ 4 ， 两信号相交于 [t-3，1]区间 ， 区间
1
1
x(τ ) h (t− τ)
−1
O
t−31
t
τ
1 t2 t y (t ) = ∫ (t − τ ) d τ = − + + 2 t −3 2 4 2
20
t≥4
x(τ ) 1 h (t− τ)
−1
O
1 t−3
t
τ
t-3≥1, 即t ≥ 4，两信号没有相交 ≥ ，
dτ = e
e a−b
τ =0
1 1 − bt =( e − e − at ) u ( t ) a−b a−b
11
关键： 关键：准确地确定卷积积分的上下限
对于因果 因果LTI系统，由于 ，δ(t)=0时，有h(t)=0 系统， 对于因果 系统 由于t<0， 时 t-τ<0（即 τ > t ）， h(t-τ)=0，故积分上限改为 （ ，故积分上限改为t
信号与系统
Signals and Systems
姚 敏 http://myao99.51.net E-MAIL:myao99@163.com
1
2 线性时不变(LTI)系统的 系统的 线性时不变 时域分析
2
知识点
信号分解 单位冲激（脉冲）响应 单位冲激（脉冲） 卷积积分（ 卷积积分（和） 系统数学模型求解
3
2.0 引 言
时域分析——信号的描述与变换，系统的描述与分析 信号的描述与变换， 时域分析
都是在时间域上进行， 都是在时间域上进行，即信号的自变量 都是关于时间t(或 的 都是关于时间 或n)的； 优点：直观、 优点 直观、物理概念清晰 直观
基础——1 任意信号都可表示为单位冲激（脉冲）信号 1 任意信号都可表示为单位冲激（脉冲）
24
s(t ) = x(t − t1 ) ∗ h(t − t2 )
证
= ∫ x(τ − t1)h(t − t2 −τ )dτ
−∞
∞
∞
s(t + t1 + t2 ) = ∫ x(τ − t1)h(t + t1 + t2 − t2 −τ )dτ
−∞ ∞
= ∫ x(τ − t1)h(t + t1 −τ )dτ
23
关 键
方 法
时移法
依据：时不变 依据：
分别将x(t)、 向右移动 向右移动， 分别将 、h(t)向右移动，得到
x1(t) = x(t − t1) x1在0 ≤ t ≤ M1内非零 h1(t) = h(t − t2 ) h1在0 ≤ t ≤ M2内非零
求积分 s(t)=x1(t)*h1(t)= x(t-t1)*h(t-t2) 向左平移(t 将s(t)向左平移 1+t2)，即得到 向左平移 ， y(t) =x(t)*h(t)= s(t+t1+t2)