四年级奥数等差数列应用

等差数列例1.计算1+2+3+4+5+…+78+79+80=？例2.有一个数列4，10，16，22，…，58，这个数列共有多少项？例3.写出数列1，3，5，7，9，…中的第40个数.例4.一个影院的放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每一排都比前一排多2个座位.问这个放映厅一共有多少个座位？例5.建筑工地有一批砖，码在一起，最上层2块，第二层6块，第三层10块……依次每一层都比上一层多4块砖，已知最下层198块砖，问这堆砖共有多少块？例6.有45位同学举行一次联欢会，同学们在一起一一握手，且每两人只能握一次，问同学们共握了多少次手？例7.有一个六边形点阵，他的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问这个点阵共有多少个点？1. 3+6+9+…+2001=？2.求（1+3+5+7+...+2003）—（2+4+6+8+ (2002)3. 8✖2+8✖5+8✖8+…+8✖2003=？4. 数列3，12，21，30，39，48，57，66，75，…求：（1）第12个数是多少？（2）912是第几个数？5.1+2+3+4+5+6+7+…+2001+2002+2001+…+4+3+2+1=？6.前25个自然数的和是325，即：1+2+3+4+…+25=325.求紧接下来的25个自然数的和，即26+27+28+29+…+50=？7.数列3，6，9，12，15，18，…，300，303是一个等差数列.这个等差数列中所有数的和是多少？8.在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数第几个数是1994？9. 2+3+7+9+12+15+17+21+22+27+27+33+32+39+37+45=？10.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依此类推，从1点至12点这12小时共敲多少下？11.黑白两种颜色的珠子，一层黑一层白排成正三角形的形状.当白珠子比黑珠子多10颗时，共用了多少颗白珠子？12.1至100各数,所有不能被9整除的自然数的和是多少．13．平面上有100条直线，其中没有两条直线互相平行，也没有三条直线或三条以上直线相交于一点，平面上这100条直线共有交点多少个？14．一辆双层公交车有66个座位．空车出发，第一站上一位乘客,第二站上二位乘客，第三站上三位乘客，依次类推，若无人下车，第几站后，车上坐满乘客?15．小刚进行加法练习，用1+2＋3＋4＋…，当加到某个数时，和是1000．在验算时发现重复加了一个数，这个数是多少？16．梯子最高的一级宽是32厘米，最低的一级宽122厘米，中间还有9级，各级的宽成等差数列，中间一级宽多少厘米？17．唐唐出差7天没有回家，回家后一次撕下这7天的日历，这7天日期数相加的和是119，那么唐唐回家这天是多少号？18．30把锁的钥匙混淆了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？19．盒子里放有三个乒乓球．一位麾术师第一次从盒子里拿出一个球，将它变成3个球后放回盒子里；第二次从盒子里拿出2个球，将每个球各变成3个球后放回盒子里……第10次从盒子里拿出10个球，将每个球各变成3个球后放回到盒子里，这时盒子里共有多少个乒乓球？。

（1） 等差数列与数论结合. （2） 图形中的等差数列. （3） 估算法.一、 等差数列的相关公式（1） 三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：知识框架考点分析等差数列的应用23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．重点：图形中的等差数列运算. 难点：估算法.高斯的故事二------萝卜灯高斯是17世纪德国的伟大数学家.高斯从小就是在困苦的环境中锻炼和成长起来的.他们的父亲是一个勤劳的装水管的工人，母亲是一个石匠的女儿，没有什么文化.高斯是他的独生儿子，他们对高斯非常宠爱.由于高斯父亲的收入菲薄，一家三口不得不省吃俭用，精打细算地过着日子.小高斯很懂事，从不随便向爸妈要钱，从小就养成俭朴的习惯. 高斯生活的时代，还没有电灯.那时，有钱人家为了照明，用铅、锡、铜等金属做成各种式样的烛台，在上面插上一支支粗粗的蜡烛，点起来很亮.高斯家穷，买不起这样的烛台，也点不起蜡烛.每天一到晚上，爸妈就催促高斯早点上床睡觉.小高斯读书很用功，晚上没有灯光看书，在床上翻来复去，说什么也睡不着觉.一天，妈妈从菜场买菜回来，篮子里装着几只红萝卜.“妈妈，给我一只萝卜吧！”小高斯紧蹲在妈妈的身边，轻轻地摇着妈妈的臂膀. “傻孩子，生萝卜辣，有什么好吃的！”妈妈随口讲着.“不，妈妈，我不是要吃，我要用它来做一盏美丽的灯.”高斯一面用手比划，一面微笑着说. 从妈妈手里接过一只萝卜，高斯把它洗净擦干.然后用小刀一点一点地把萝卜心子挖空，倒点油进去，再放上一根灯芯，就成为一盏很别致的“萝卜灯”了.就在这盏灯旁，高斯常常学习到深夜.课前预习重难点高斯一生中，一直保持着童年时代就养成的这种俭朴的美德.三十岁起，他除了从事数学，物理方面的科研外，还一直担任着哥廷根天文台台长的职务，已经成为一位著名的科学家了.按照当时的经济收入，他完全可以生活得很优裕、舒适.但是，高斯从不追求这些.在哥廷根天文台里，他住着一间很小的房子，里面只放着几件很简单的家俱，一支暗淡的蜡烛，再加上简单的食品和衣帽，这些几乎就是高斯全部物质上的享受.一个生活上俭朴的人，往往在学习和工作上是勤奋的.高斯从23岁起，就开始系统地研究天文学了.他每天坚持不懈地观察慧星的位置，测算日月蚀的有关数据.为了进行有关木星摄动智神星的计算，他需要用到337000个数据，并对它们进行大量繁琐的数学运算.我们知道，天文计算是离不开对数的，因为对数能使计算化繁为简.正因为他日以继夜，反复不断地使用对数表，表中数据用得滚瓜烂熟，以致他能背出表中对数的前几位小数.天才加勤奋，正是高斯具有惊人记忆力和心算力的秘诀.高斯是一个具有刚强毅力的人.他认为一个人要有自立更生的精神，不能依赖别人.公元1809年，普法战争结束，德国失败了.为了偿还法国巨大的战争赔款，德国人民承担了沉重的债务.摊派给高斯的款数是2000法郎.当时高斯要拿出这样一笔钱是非常困难的.消息被高斯的许多朋友知道了，大家纷纷解襄相助.高斯对朋友们的热情帮助十分感激，但不愿增加别人负担，决心自力更生，偿还债务.他婉言谢绝了朋友们的好意，寄还来款.法国著名数学家拉伯拉斯在巴黎事先未通知高斯，就帮他支付了这笔巨款，事后才写信告诉他，高斯隔了一段时间，聚齐了钱，连同应付的利息，一起寄还给拉伯拉斯.例题精讲【例 1】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【例 2】100以内的自然数中.所有是3的倍数的数的平均数是.【例 3】如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形.其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？【例 4】如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色．如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？【巩固】有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形．照这样摆下去，到第10行为止一共用了根火柴棒．【例 5】编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？【巩固】例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？【例 6】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？【例 7】木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字．问：木木重复计算了哪个数字？【巩固】奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米．已知去时用了4天，回来时用了3天．问：学校距离百花山多少千米？【例 8】某年4月所有星期六的日期数之和是54，这年4月的第一个星期六的日期数是.【例 9】若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来后仔细查看了一下，没有发现有人动过这些盒子和棋子．共有多少个盒子？【例 10】某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人260人．如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人．【例 11】白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有个．【例 12】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍．如果最大的三角形共有8层，问：⑴最大三角形的面积是多少平方厘米？⑵整个图形由多少根火柴棍摆成？【巩固】 如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100，200，300．求所有结点上数的总和．【随练1】 已知：13599101a =+++++，24698100b =+++++，则a 、b 两个数中，较大的数比较小的数大多少？【随练2】 200以内的自然数中.所有是7的倍数的数的平均数是 .课堂检测【随练3】多多按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是1350，但她重复计算了其中一个数．问：多多重复计算了哪个数？【随练4】某工厂6月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人.如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人？家庭作业【作业1】点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？【作业2】1000以内的自然数中.所有是11的倍数的数的平均数是.【作业3】喜羊羊练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是1300，但她重复计算了其中一个数．问：喜羊羊重复计算了哪个数？【作业4】黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13，…．擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998．那么，擦去的奇数是多少?【作业5】点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？【作业6】小明想把55枚棋子放在若干个盒子里，按第一个盒子里放1枚，第2个盒子里放2枚，第3个盒子里放3枚，……，这样下去，最后刚好将棋子放完，那么小明用了多少个盒子呢？【作业7】某车间原有工人不少于63人，在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都新调人1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品．共生产1994件．试问：1月几日开始调进工人?共调进了多少工人?【作业8】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？【作业9】 幼儿园304个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏，已知内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈相差多少人？【作业10】 小丸子玩投放石子游戏，从A 出发走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走7米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，照此规律最后走到B 处放下35枚石子．问从A 到B 路程有多远？10根。

等差数列四年级奥数题
一、等差数列的基本概念
1. 定义
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母公式表示。

例如数列公式就是一个等差数列，公差公式，因为公式
，公式，公式等。

2. 通项公式
对于等差数列公式，其通项公式为公式，其中公式是首项（数列的第一项），公式是项数，公式是第公式项的值。

例如在等差数列公式中，公式，公式，那么第公式项公式。

3. 求和公式
等差数列的前公式项和公式为公式，也可以写成公式。

例如求等差数列公式的和。

这里公式，公式，先求项数公式，根据公式，公式，解得公式。

再用求和公式公式。

二、四年级奥数等差数列题目及解析
1. 题目
有一个等差数列：公式，求这个数列的第公式项是多少？
2. 解析
首先确定这个等差数列的首项公式，公差公式（因为公式
，公式等）。

根据等差数列的通项公式公式，要求第公式项，即公式。

把公式，公式，公式代入通项公式可得：公式。

3. 题目
已知等差数列公式，这个数列的前公式项的和是多少？
4. 解析
先确定首项公式，公差公式。

根据等差数列的前公式项和公式公式，这里公式。

把公式，公式，公式代入可得：
公式
公式
公式。

5. 题目
在一个等差数列中，首项是公式，第公式项是公式，求公差公式。

6. 解析
已知公式，公式，公式。

根据通项公式公式，把公式，公式，公式代入可得：
公式
公式
公式
解得公式。

小学四年级上册数学奥数知识点讲解第4课《等差数列及其应用》试题附答案例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6,10,14,18,22, (98)⑤100,95,90,85,80,75,70.⑥20,18,16,14,12,10,8.例2求等差数列1,6,11,16…的第20项.例3已知等差数列2,5,8,11,14-,问例是其中第几项?例4如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.例5计算1+5+9+13+17+ (1993)例6建筑工地有一批转，码成如右图形状，最上层两块待，第2层6块砖，第3 层10块存…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，间中间一层多少块枝？这堆待共有多少块？例7求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.例8连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？例9100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450,取出其中第 1 个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？例10把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5,那么，第1个数与第6个数分别是多少？例11把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.答案例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6,10,14,18,22, 98；⑤100,95,90,85,80,75,70.⑥20,18,16,14,12,10,8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示, 如:数列①中，d=2-l=3-2=4-3=-=l；数列②中，d=3-l=5-3--=13-11=2；数列⑤中，*100-95二95-90=…=75-70二5；数列⑥中，d=20-l8=18-16='-'=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6,10,14,18,22,98；⑥不是，因为第1项减去第2项不等于笫2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2 项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a,第2项记为抵，…，第n项记为an,an。

四年级奥数等差数列和等比数列
简介
本文将介绍四年级奥数中的等差数列和等比数列概念及其求和公式。

等差数列
等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等。

例如，2、4、6、8、10 就是一个等差数列，其中公差为2。

公式
对于等差数列，可以使用以下公式来求前n项和：
$$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$$
其中，$S_n$表示前n项的和，$a_1$表示数列的首项，
$a_n$表示数列的第n项。

等比数列
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等。

例如，2、6、18、54、162 就是一个等比数列，其中公比为3。

公式
对于等比数列，可以使用以下公式来求前n项和：
$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$
其中，$S_n$表示前n项的和，$a_1$表示数列的首项，$q$表示公比，$n$表示项数。

总结
等差数列和等比数列是四年级奥数中常见的数列类型。

通过掌握它们的概念和求和公式，可以帮助学生更好地理解数列的特点和规律，并能应用到实际问题中。

以上是对四年级奥数中的等差数列和等比数列的简要介绍。

希望本文能够对大家有所帮助。

数学神童历史上间或出现神童。

神童常常出现在数学、音乐、棋艺等方面。

卡尔•弗雷德里希•高斯，一位数学神童，是各式各样的天才里最出色的一个。

就像狮子称万兽之王，高斯在数学家之林中称王，他有一个美—数学王子。

高斯不仅被公认为是十九世纪最伟大的数学家，并且与阿基米德、牛顿并称为历史上三个最伟大的数学家。

现在阿基米德和牛顿的名字早已进入了中学的教科书，他们的工作或多或少成为大众的常识，而高斯和他的数学仍遥不可及，甚至于在大学的基础课程中也不出现。

但高斯的肖像画却赫然印在10马克—流通最广泛的德国纸币上，相应地出现在美元和英镑上的分别是乔治•华盛顿和伊丽莎白二世。

1777年4月30日，高斯出生在德国下萨克森洲的不伦瑞克（Braunscheig ），他的祖先里没有一个人可以说明为什么会产生高斯这样的天才。

高斯的父亲是个普通的劳动者，做过石匠、纤夫、花农，母亲当过女仆，没有受过什么教育，但她聪明善良，有幽默感，并且个性很强，她以97岁高寿仙逝，高斯是她的独养儿子。

据说高斯3岁时就发现父亲帐簿上的一处错误。

高斯9岁那年在公立小学读书，一次他的老师为了让学生们有事干，叫他们把从1到100这些数加起来，高斯几乎立刻就把写好结果的石板面朝下放在自己的桌子上，当所有的石板最终被翻过时，这位老师惊讶地发现只有高斯得出了正确的答案：5050，但是没有演算过程。

高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和，他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……这么一来，就等于50个101相加，从而答案是5050。

高斯在晚年常幽默地宣称，在他会说话之前就会计算，还说他问了大人字母如何发音，就自己学着读起书来。

高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵的注意，这位公爵是个热心肠的赞助人。

高斯14岁进不伦瑞克学院，18岁入哥廷根大学。

当时的哥廷根仍默默无闻，由于高斯的到来，才使得这所日后享誉世界的大学变得重要起来。

起初，高斯在做个语言学家抑或数学家之间犹豫不决，他决心献身数学是1796年3月30日的事了。

四年级奥数解析（六）等差数列（下）《奥赛天天练》第5讲，模仿训练，练习2【题目】：一辆双层公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，那么第几站以后车上坐满乘客？【解析】：每个站点上车乘客人数是个首项为1，公差为1的等差数列，坐满乘客即此前所有站点共上78位乘客，也就是这个数列的数列和。

解法一：列举法。

从1开始依次加2、3、4、5、……，求和，直到和为78，可得：1+2+3+……+12=78。

所以到第12站以后车上坐满乘客。

解法二：利用求和公式推导。

由求和公式可得，（首项+末项）×项数=78×2=156，而由题意可知首项为1，末项等于项数，即首末两项和就等于项数加1。

再对156进行因数分解可得：156=12×13。

所以这个数列的项数为12，即第12站以后车上坐满乘客。

四年级孩子对因数分解还不太熟，可以考虑第一种解法。

《奥赛天天练》第5讲，巩固训练，习题2【题目】：（1）2000-3-6-9-…-51-54；（2）（2+4+6+…+96+98+100）-（1+3+5+…+95+97+99）。

【解析】：（1）3、6、9、…、51、54，是个公差为3的等差数列，项数为：（54-3）÷3+1=18。

根据减法的运算性质：2000-3-6-9-…-51-54=2000-（3+6+9+…+51+54）=2000-（3+54）×18÷2=2000-513=1487（2）解法一：先分别求和，再求两个和的差。

（略）解法二：对应相减。

（2+4+6+…+96+98+100）-（1+3+5+…+95+97+99）=（2-1）+（4-3）+（6-5）+…+（96-95）+（98-97）+（100-99）=1+1+1+…+1+1+1（50个1相加）=50《奥赛天天练》第5讲，拓展提高，习题1【题目】：一本书的页码从1～62，共有62页。

奥数知识点第4课-等差数列及其应用例1下面的数列中，哪些是等差数列若是请指明公差，若不是，則说明理由.①k 10, 14, 18, 22,gg{⑤100, 9亦90, 85, 80, 75, 70.⑥2CL 18, 16, 14, 12+ 10, &例2求等差数列］.6，11, 16…的笫2Q项+例3己知等差数列厶已8, 11, 14S 问47星其中笫几项7例4如耒一等差数列的笫4项为21,第6项为33,求它的第呂项”例5 计算1+5+9+13+1T+ (1993)例&建訓工id!有一批砖，科成^右圈形状，最上层两块砖，第垢6块砖，第3 层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层21061^砖，问中间一层多少块砖？这堆砖茯有多少块？例T求从l?lj2QOO的自煞数中.所有偶数之和与所有奇数之和的差*例5?阵缮九个自然数的和为5£则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？例9 10。

个连躱自然数〔按从小到大的顺序排列）的和是的阿取出其中第1 也象个…第的仁再把剩下的冈个数栢加，得多卩？例10把加拆歸个自然数內和，使迦个数从小到大排咸一行扁相邻两个数旳差者淀5,那么，第i个数与第6个数分别是多少？例11把即枚棋子欣到7个不同的空盒中，如果要求每个宜子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写岀具俸方耗若不能，说明理由，课后作业：习题四1 ■求值；①斜11股6+ (501)②101+102+103+104+-^99 ・2■下面的算式是按一定规律排列的，那么，第1皿个算式的得数是多少T4+2, 5+8, 6+14, 7+2Q, ■-3,11至1吕这8个连禦自然数的和再加上199砺所得的值恰好等于另外£个连续数的和，这另外g个连续自然数中的最小數是多少？4•把100根小棒分成抑堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？5.眦到43之间能被7整除的各数之和是多少？6.12到2Q0之间不能彼琏除的数之和是多少？匚把一堆苹果分给呂个小朋友，要使每亍人都能韋到華杲.而且每个入拿到苹果个数都不同的话.这堆苹果至少应该有几个？8.下表是一个数字方祥，求表中所有数之和.l f2, 3f 4,已6…99, 100£ 3, 4, £ &, 7-99, 100( 1013「4. & 筑t S--100. 101r 102100, 101, 102, 103, 104f 105--197, 192, 199答案：例1下面的妁忡，明陛是等差数列？若是，请指明公差，若不是，贝IJ说明理由.①匕10, 14, 18, TL、…,9S；⑤100, 95° 90, S5, 80, 75, 70.⑥20, 18, 16, 14, 12, 10, 3.这六个数列有一个共同的持点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这祥的数列就称为等差数列•其中这个固定的数就祢为公差，一般用字母d表示，如I 数列①中！3-2=43=「咋口数列②中，d=3T二5-3二…二13-11二占数列⑤中，d二100-95二95-90二…二75-70=氐数列⑥中,d=20-18=18-16=--10-8=2.例1下面的数列中.哪些是等差数列彳若是,请指明公差，若不是,则说明理由.©5, 10, 14, 18, 22, -■, 9岳⑥不是,因为第1项減去第2项不等于第2项減去第3项”一般地说如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项,或耆每一项都大于前面的顷上述例1的数列⑥中，第1项大于第2 项，第颂却又丿卜于第3项，所臥显然不符合第差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为“第龙项记为一…，第顾记为叫氓又称为数列的通项，打又称为数列的首项.最后占又称为数列的末项，例2求等差数列1, 6f 11, 16…的第20项. 解匸首顶企二1,又因为屯匚大于冲，公差d=6-l=5,所以运用公式C1）可知: 第20®卷0二包二（邓-1） X5=lft9X5=96.TK地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如，由通项公式，我们可以得到项数公式’项数例第已知等差数?呕，5, 8, 11, 14…，问須是其中第几项9解匕首项电二N公差d=5-2=3令an=47则利用项数公式可得’口二（47-2）宁計1二16・即47是笫吒项.例4如果一等差数列的第4项为匹，第6项为33,求它的第£项”分折与解答方法1；要求第8项，必须知道首项和公差.因为a =^+3><1又a=21P所以寸丑-旷収耳二屮5乂d,风盯昭所臥色二33・5X 鬲以’ 21^3 X d=33-5 Xd,所以dh a=2>3Xd=3,所以a8=3+7X6=45,方法乙考虑到a8=a7H=a^d+d=V2Xd,其中至己知只要求2Xd即可.又呂尸耳十d二a.；十出d=£i*2 * d?所以2Xd=^-a t所以胡=3+7X6=45例5计算1+5十姑13十1了+ (199)当零犬于％吋，同样也可以得到上面的公式，这个益式就是等差数列的前n 项和药公式.解i因为1, 5, 9, 13, m …I 1993是一个竽差数列.且al=l> d=4（an—1993B所以n= （a. —□.）- d+l=499.所以，1+5+9+13+17+-41993=£1+1993）X499+2=997X499=497503. a例6建筑工地有一批砖’码成如右图形状.最上层两块砖，第2层6块砖，第3 层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，己知最下层爼旣块砖，问中眞—层多少块砖？这堆砖共有多少块7解「如杲我们把每层砖的块数依次记下耒.2, 6. 10, 14,… 客易知道, 这是一个等差数列.为去1’3.—2）d—4> 生1=21061J3n=（隹-冬）d+l=527这堆砖并有贝I」中间一项为去64=哲+（264-1） X 4=1054,方法N （屯+aj> X n^2=（2+2106）X 527"" 2=555458 （块）.则中间一顶为（屮aj *2=1054a=2, d-4f an=21O6T这堆砖并有105^X527=555458（块）.n= Ca z-a:） ^4+1=527例f求从1?'J2OOO的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.解；根据题意可列出算式山〔茁4+6+貉...+2Q0Q）-〔1+升5十 (1999)解法1；可以看岀I 2, 4, 6,….2Q00是一个公差为2的等差数列I 1, 3, 5, 1999也是一个公差为2的等差数列’且顶数均为1000,所以’原式=（2^2000）X1000*2- （1 十1999）X1000*2-1000.解法佥注意到这两个幫差数列的项数^等，公差相等，且对应项差X所以1000项就養了1000个匚即原5^=1000X 1=1000-例E连续九个自热数的和为54,则毗九个自然数的末顶作为首项的九个连续自然数之和是多少？分析与解答方法，要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中的九个连续自然数前耒项.因为，条件中九个连续自然数的和为54,所以，这九个自然数的中间数为5—9二乩则耒项次6+4二1Q.因此，所亲的九个连续自然数之和为（10H8）X9 *2=126.方法玄考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前—组J医数的对应项大&因此，后一组自瑟数的和应为54+8X^126,在方法冲，可以用另一种方法来求末项，根据求利公式时6坦）f 2,则屮話二昌4X2T.又因为%二％,所以代入后也可求岀曲二10.例9 100个连续自然数（按从小到大的顺序郴列）的和是8450,取出其中第1 个，第3个…第貂个，再把剩下的口个教相加，得多少？分析与解答方法1;要求和，我们可以先把这切个数算出来.100令连续自然数构成等差数列，且和为84£乩则’首项十末项=8450X2 +100=169.又因为末项比首顶大鑰所以，首项二C169-99）f 35.因此,剰下的50个数为;36, 38, 40, 42,也46…134•这些数构成等差数列，和対（36+134）x 50 2=4250・方法乙我们考虑这100个自然数分成的两人数列.这两个数列有相同的公差，相同的项数.且剩下的数组成的数列比取走的数组咸的数列的相应项总大1,因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大処又因为它们相加的和为別56所以，剩下的数的总和为（845Q+50）-2=4250・四.等差数列的应用例口把皿拆成7个自然数的和”使这7个数从小到大排成一行扁祁邻两个数的差都是乩那爲第1个数与第6个数分别是多少彳解；由题可知I由21。

【四年级奥数举一反三—全国通用】测评卷05《等差数列及其应用》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．（2分）（2011•其他模拟）有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是( )A．47 B．49 C．51 D．53【解答】解：9(201)2+-⨯9192=+⨯=+938=．47答：第20个数是47．故选：A。

2．（2分）下面一列数5、8、11、14、⋯、第()个数为2015．A．667 B．668 C．669 D．671【解答】解：首项是5，末项是2015，公差是3，-÷+(20155)31=÷+201031=671答：第671个数为2015．故选：D。

3．（2分）刘大妈做一批工艺鞋，第一天做了8双，第二天起手艺越来越熟练，每天都比前一天多做2双，最后一天做了24双．她一共做了几天？()A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：(248)21-÷+=÷+162181=+=（天）；9答：她一共做了9天．故选：C。

4．（2分）（2015•创新杯）从小到大排列99个数，每两个相邻数的差都相等，第7个与第93个的和为262，则这列数的第50个数为()A．50 B．51 C．120 D．131【解答】解：2622131÷=故选：D。

5．（2分）（2014•创新杯）从1，2，⋯，79这79个数中，选出若干个数来，使得选出的这些数中，任何两个数之差（大减小）都不等于1，2，4．那么至多可以选出()个数．A．26 B．27 C．28 D．29【解答】解：要想取出的数最多，相邻的数的差越小越好，差不能为1，2，4，最小就是差3，分别出现1，4，7，10，13，16，73⋯，76，79所以至多可以选出7911273-+=个数．故选：B。

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。