四年级奥数等差数列应用

等差数列的应用

课前预习

从1到100万

大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了.

据说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2+3+……+99+100的和是多少？ 老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050.

原来，小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来，即1+100，2+99，3+98，……，50+51，共50对，每对都是101，总和就是101×50=5050.

现在请你算一道题：从1到1000000这100万个数的数字之和是多少？

注意：这里说的“100万个数的数字之和”，不是“这100万个数之和”.例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51.

请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发.

知识框架

一、

等差数列的相关公式

（1） 三个重要的公式

① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）

回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1

由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、

、40、43、46 ，

分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、

、(46、47、48)，注意等

差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．

③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100+++

+++

11002993985051=

++++++++共50个101

（）（）（）（）101505050=⨯=

(思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100

1009998973212101101101101101101101

+++++++=+++++++=++++

+++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=

（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首

项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，

题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089+++

+++=+⨯÷=⨯=（），

题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．

重难点

重点：观察并找出图形、生活中的等差数列 与数论有关的等差数列运算. 难点：活动与操作中的等差数列运算

数表中的等差数列

例题精讲

【例 1】 木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计

算了其中一个数字．问：木木重复计算了哪个数字？

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 解法一：用x 表示木木多加的那个数，88812X n n -=+⨯÷（），117762n n x +⨯=-（） ，两个相邻

的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数，16004040=⨯ ，试算：

40411640⨯=，41421722⨯= ，42431806⨯= ，所以41n =，所以

177********x =-⨯÷=（）．

解法二：估算法，（1+40）×40÷2=820，（1+41）×41÷2=861，（1+42）×42÷2=903.所以可知数字个数可能为40或者41.888-820=68，不在40内，舍去；888-861=27，符合条件.

【答案】27

【巩固】 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米．已知去时用了4天，回

来时用了3天．问：学校距离百花山多少千米？

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 解法一：这道题目关键是弄清题意，发现关键是要求出第一天拉练的距离，在这里可以用方程的

思想来帮助解题，可以给四年级学生一个方程的初步认识，来回的距离是相同的，通过这点来做方程求解，设第一天拉练的距离是x ，则第二天为2x +，第三天为4x +，第四天6x +，第五天的距离为8x +，第六天的距离为10x +，第七天的12x +．且去时和来时的路程一样，则24681012x x x x x x x ++++++=+++++（）（）（）（）（）（），则18x =，学校距离百花山84千米． 解法二：七天所走路程形成了一个等差数列，公差为 2. 五、六、七三天合走路程比二、三、四三天合走路程多（8+10+12）-（2+4+6）=18. 来回路程相等，所以第一天走了18千米，学校距百花山18+20+22+24=84千米.

【答案】84

【例 2】 某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工

人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人260人．如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人．

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 解法一：260人工作31天，工作量是260318060⨯=（个）工作日．假设每天从总厂派到分厂a

个工人，

第一天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为0个工作日； 第二天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为a 个工作日； 第三天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为2a 个工作日； ……

第31天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为30a 个工作日． 从而有：9455023308060a a a a =++++

++

94558060123301395130302465a a a

-=⨯+++

+=⨯+⨯÷=（）

（）

求得3a =．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有33193⨯=（人）．

解法二：每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，所以总厂每天的工作日成等差数列.31天的总工作量为9455个工作日.根据等差数列中项定理得到第16天的工作量为：9455÷31=305，根据n m a a n m d -=-⨯（），n m >（），得d=（305-260）÷（16-1）=3.即每天都从总厂派3个人到分厂工作.那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有33193⨯=（人）．

【答案】93

【巩固】 甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月