高中数学_导数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
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3.1.3导数的几何意义
教学三维目标：
1.知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2.过程与方法：理解曲线的切线的概念；
3.情态与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
教学方法：讨论法
教学工具：多媒体
教学课时：1课时
教学过程：
创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？
新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？
我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.
问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？
⑵切线PT 的斜率k 为多少？
图3.1-2
容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆ 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：
函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，
即 0000()()()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
典例分析
例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.
（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.
解：（1）222
100[(1)1](11)2|lim lim 2x x x x x x y x x
=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=
（2）因为222211113313(1)|lim lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=
（2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2
200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x
→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比
较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．
解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲
线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于
x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几
乎没有升降．
（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下
降，即函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．
（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下
降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢． 课堂练习：
1．求曲线y =f (x )=x 3在点(1,1)处的切线；
2．求曲线y x =在点(4,2)处的切线．
回顾总结：
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
布置作业：
课本P79 A 组2、3
板书设计：
主板 副板
1、
曲线的切线 2、
切线的斜率 举例 3、
导数的几何意义
学情分析
从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是导数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解与认识，也在思考导数的另外一种体现形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的了解与认识。
从学生能力上看，经过一年多的学习实践，学生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力。
效果分析
本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。
从学生的作业看来，效果较好。
教材分析
本节课是在学生学习了平均变化率、瞬时变化率，以及用极限定义导数的基础上，进一步从几何意义上理解导数的含义与价值。
导数的几何意义的学习为常见函数导数的计算、导数的应用奠定了基础。
因此，导数的几何意义有着承前启后的作用，是本节的重要概念。
评测练习
1．求曲线y x
=(4,2)处的切线．
2．在曲线21
=+上过哪一点的切线，
y x
(1)平行于直线45
=-
y x
(2)垂直于直线2650
-+=
x y
(3)与x轴成45的倾斜角
课后反思
本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程,并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。
本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。
先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线
上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。
完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。
本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。
从学生的作业看来，效果较好。
在例题讲解时，注重审题（分析关键的词句）和解题反思，感觉效果不错！
但是，作为探究课，时间如果控制不好，易讲不完。
还有有些学生对如何画出过该点的切线有点困难，此时，教师给予示范。
课标分析
本节课位于人教A版选修1-1第三章第一节，学生要了解平均变化率与割线斜率之间的关系；理解曲线的切线的概念；通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题；会求曲线某一点处的切线方程以及会用导数的几何意义观察曲线的变化趋势。
在学习的过程中感受到无限逼近和数形结合的数学思想。
