第一讲质数与合数
第一讲质数与合数质数与合数概念是数学运算、算式简化以及分析一些数字问题时常用到的。如果一个比1大的自然数只有两个约数：1和本身，那么这个自
然数就叫质数，质数也叫做素数。例如43=1×43。43只有1和43两个约数，所以43是质数。100以内的质数是非常有用的，它们是：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、
89、97。2是质数中唯一一个偶数，其他的质数都是奇数。在自然数中如果除了1和本身两个约数，还有其他的约数，这个自然数叫做合数。例
如6有约数1、2、3、6，那么6是合数。合数也叫复合数或合成数。特别注意：1既不是质数，也不是合数。例1．求924的质数约数（也叫
质约数）的和。解：充分利用数字整除的特性，运用短除的形式，把924做质约数分解。2|9242|4623|231
7|7711所以924=2×2×3×7×11，质约数有2、3、7、11，它们的和是23。例2．求出852的所有约数。解：8
52=2×2×3×71，所以852的约数有1、2、3、4、6、12、71、142、213、284、426、852共12个约数。一般
地对一个自然数做质约数分解（或叫做质因数分解），，（其中a1、a2、…、am是不同的约数，n1、n2、…、nm是正整数），则A的约
数有个，其中包含1和A本身。例3．有两个两位数的积是3927，这两个数的和是。解：将这个乘积做质因数分解，3927=3×7×11
×17，把这四个数搭配可以得到的两个两位数是3×17=51和7×11=77。它们的和是51+77=128。例4．比大比5小，并且分
母是13的最简分数有个。解：=，，所以，分子应该在7到64这58个自然数中选择，因为13是一个质数，所以去掉13、26、39、5
2这四个数，剩下58–4=54个自然数，可以得到54个满足条件的最简分数。例5．有八个数693、35、48、28、175、108、
合数和质数表
质数是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
合数是指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。
以下是 100 以内的质数和合数表：
质数 合数
2 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24,
25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40,
42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57,
58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75,
76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91,
92, 93, 94, 95, 96, 98, 99
需要注意的是，100 以上的质数和合数个数是无限的，以上表格仅列出了 100 以内的部分质数和合数。
第七讲 质数与合数（二）
我们已经学习过合数与质数的一些简单知识，对它们有了初步的了解。
我们可以按每个整数的约数的个数的不同将自然数分成三类：
第一类：只有一个约数，是“1”；
第二类：只有两个约数，即1和本身的，是质数，如“2、3、5、7、„”；
第三类：除1和本身之外，还有其它的约数，是合数，如“4、6、8、9、„”。
从上述的分类方式中能够清楚地看出两点，① “1”这个数既不是质数，也不是合数；② “质数与合数放在一起并不是全部自然数”。这两点十分重要，运用中容易出现问题。
如何判断一共大于1的自然数是质数还是合数，下面介绍几种常见的方法。
例1．377是质数吗？
解：我们用从小到大的一个个质数试除377，看看有没有能够整除377的，即用2、3、5、7、11、13，…去试除。发现377=13×29，所以377不是质数。
两千多年前，埃及亚历山大图书馆的管理员埃托色尼就是用这种方法选出质数的。在全体自然数中，先把1去掉，然后把2的倍数去掉（保留2）再把3的倍数去掉（保留3），„„，这样一直做下去，最后剩下的就是质数了。这种方法叫做“筛选法”。
例2．有一个2n+1为的整数(n是整数，n≥1)2223111nn位位，这个数是质数还是合数。
解法1：我们观察这个数的特征，可以看出，它的各位数字的和是3的倍数。
222231113(1)nnn个个1，由于n+1是整数，所以3是原数的约数。
所以2223111nn位位是合数。
解法2：还可以把这个数分解一下，把中间的“3”拆开。
(1)(1)02223111=2221000111nnnnn位位位位个
=(1)(1)(1)001112000111=111(20001)nnnnn位位位个个。
所以2223111nn位位是合数。
一、质数和合数。
（１）一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。最小的质数是２。
（２） 一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的因数叫做合数。最小的合数是４，合数至少有三个因数。
（３）１既不是质数，也不是合数。
二、质因数和分解质因数。
（１）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
（２） 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：３０＝２×３×５
三、最大公因数和最小公倍数。
（１） 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
（２）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
四、互质数：公因数只有１的两个数，叫做互质数。
五、 100以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、93、97
一、填空
1、在自然数中，（ ）既不是质数也不是合数，在偶数中，（ ）是质数．
2、在自然数中，既是奇数又是质数的最小的数是（ ），（ ）既是一位数奇数又是合 数，（ ）既是偶数又是质数，（ ）既不是质数又不是合数．
3、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，其中最大的是（ ），最小的数是（ ）．
4、10～20之间的质数有（ ），其中（ ）个位上的数字与十位上的数字交换位置后，仍是一个质数．
5、一个合数至少有（ ）个约数．
6、在1、2、4、10、11这几个数中，（ ）是整数，（ ）是奇数，（ ）是偶数，（ ）是质数，（ ）是合数．
二、判断
1、自然数中除了质数、合数，还有1．（ ）
2、有三个或三个以上约数的数一定是合数．（ ） 3、合数有约数，质数没有约数．（ ）
4、两个质数的乘积一定是合数．（ ）
