《轴对称图形》易错疑难点归纳

初中数学轴对称必须掌握的知识点易错点拔单选题1、若点A（﹣4，m﹣3），B（2n，1）关于x轴对称，则（）A．m＝2，n＝0B．m＝2，n＝﹣2C．m＝4，n＝2D．m＝4，n＝﹣2答案：B解析：根据点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，﹣y）即可求得m、n值．解：∵点A（﹣4，m﹣3），B（2n，1）关于x轴对称，∴﹣4=2n，m﹣3=﹣1，解得：n=﹣2，m=2，故选：B．小提示：本题考查了坐标与图形变换-轴对称、解一元一次方程，熟练掌握关于坐标轴对称的的点的坐标特征是解答的关键．2、如图是一个正方体，小敏同学经过研究得到如下5个结论，正确的结论有（）个①用剪刀沿着它的棱剪开这个纸盒，至少要剪7刀，才能展开成平面图形；②用一平面去截这个正方体得到的截面是三角形ABC，则∠ABC=45°；③一只蚂蚁在一个实心正方体木块P点处想沿着表面爬到C点最近的路只有4条；④用一平面去截这个正方体得到的截面可能是八边形；⑤正方体平面展开图有11种不同的图形．A．1B．2C．3D．4答案：B解析：根据正方体的每个面都是正方形判断②；根据一平面去截n棱柱，截面最多是（n+2）边形判断④；根据正方体的展开图判断⑤①；根据正方体有六个面，从P到C，可以走“前+上、前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而P到C的最短路线是这个长方形的对角线，判断③．解：（1）AB、BC、AC均是相同正方形的对角线，故AB=BC=AC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，②错误；（2）用一平面去截n棱柱，截面最多是（n+2）边形，正方体是四棱柱，所以截面最多是六边形，④错误；（3）正方体的展开图只有11种，⑤正确；（4）正方体的11种展开图，六个小正方形均是一连一关系，即必须是5条边相连，正方体有12条棱，所以要剪12-5=7条棱，才能把正方体展开成平面图形，①正确；（5）正方体有六个面，P点属于“前、左、下面”这三个面，所以从P到C，可以走“前+上、前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而P到C的最短路线是这个长方形的对角线，这些对角线均相等，故从P到C的最短路线有6条；③错误．综上所述，正确的选项是①⑤，故选B小提示：本题考查了正方体的有关知识．初中数学中的典型题型“多结论题型”，判别时方法：①容易判别的先判别，无需按顺序解答；②注意部分结论间存在有一定的关联性．AB的长为半径作弧相交于点D和点E，3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于12直线DE交AC于点F，交AB于点G，连接BF，若BF＝3，AG＝2，则BC＝（）A．5B．4√3C．2√5D．2√13答案：C解析：利用线段垂直平分线的性质得到FB=FA，AG=BG=2，再证明FC=FB=FA=3，利用勾股定理即可解决问题．解：由作图方法得GF垂直平分AB，∴FB=FA，AG=BG=2，∴∠FBA=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∠FBA+∠FBC=90°，∴∠C=∠FBC，∴FC=FB，∴FB=FA=FC=3，∴AC=6，AB=4，∴BC=√AC2−AB2=√62−42=2√5．故选：C．小提示：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）方法是解题关键，同时还考查了线段垂直平分线的性质．4、点A (2，-1)关于y轴对称的点 B的坐标为（）A．(2, 1)B．(-2，1)C．(2，-1)D．(-2，- 1)答案：D解析：根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得．解：点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同．则点A(2,−1)关于y轴对称的点B的坐标为(−2,−1)，故选：D．小提示：本题考查了点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于y轴对称的变换规律是解题关键．5、如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直．．．角．三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5答案：B解析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．小提示：本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．6、如图所示，在3×3的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有()A．6种B．5种C．4种D．2种答案：C解析：轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此解答即可．如图所示，所标数字1，2，3，4都符合要求，一共有4种方法.故选C．小提示：本题重点考查了利用轴对称设计图案，需熟练掌握轴对称图形的定义，应该多加练习．7、下列命题中，属于假命题的是（）A．边长相等的两个等边三角形全等B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等C．周长相等的两个三角形全等D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等答案：C解析：根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，逐一判断选项，即可得到答案．解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意；B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意；C、周长相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意；D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键．8、如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10B．6C．3D．2答案：C解析：由等边三角形有三条对称轴可得答案．如图所示，n的最小值为3．故选C．小提示：本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．填空题9、∠AOB内部有一点P，OP=5，点P关于OA的对称点为M，点P关于OB的对称点为N，若∠AOB=30°，则△MON的周长为___________．答案：15解析：根据轴对称的性质可证∠MON=2∠AOB=60°；再利用OM=ON=OP，即可求出△MON的周长．解：根据题意可画出下图，∵OA垂直平分PM，OB垂直平分PN．∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP；OM=OP=ON=5cm．∴∠MON=2∠AOB=60°．∴△MON为等边三角形。

轴对称易错题总结1、 如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________；2、已知A 、B 两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A 、B 关于x 轴对称；②A 、B 关于y 轴对称；③A 、B 关于原点对称；④若A 、B 之间的距离为4，其中正确的有（ ）A ：1个B ：2个C ：3个D ：4个3、如图2把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）4、如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A ：90°B ： 75°C ：70°D ： 60° 5、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）A ：1个B ：2个C ：3个D ：4个6、如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B 点折叠在折痕MN 上,折痕为AE,点B 在MN 上的对应点为H,沿AH 和DH 剪下,这样剪得的 △ADH 中 ( )A ：AH=DH ≠ADB ：AH=DH=ADC ：AH=AD ≠DH D ：AH ≠DH ≠AD7、如图：DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆EBC 的周长为（ ）厘米A ：16B ：18C ：26D ：28 8、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的 对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则 △PMN 的周长为 ；9、如图：在△ABC 中，AB=AC=9，∠ABD=120°，AD 是△ABC 的中线， AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长 为 ；10、如图：AC=AD=DE=EA=BD ，∠BDC=28°∠ADB=42°，则∠BEC= ；11、如图：在△ABC 中，AB=AC ，BC=BD ，DA=DE=EB ，则∠A= 度； 12、如图：△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长分别为20、30、40，其三条角平分C A FE l OCBDAABCDMNHE CEBDAP2P 1P NMOBA EFDCBAEDC BAEDA B线将△ABC 分成三个三角形，则=∆∆∆OAC OBC OAB S S S :: 13、桌面上有A 、B 两球，若要将B 球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A 球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（ ）个.（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6 14、下列语句中正确的有（ ）句.①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）415、已知：如图3，ABC △的顶点坐标分别为(43)A --，，(03)B -，，(21)C -，，如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达1B 点，若设ABC △的面积为1S ，1AB C △的面积为2S ，则12S S ，的大小关系为（ ）A ．12S S >B ．12S S =C ．12S S <D ．不能确定16.如图，已知AC ∥BD ，OA=OC ，则下列结论不一定成立的是 （ ）（A ）∠B=∠D （B ）∠A=∠B （C ）OA=OB （D ）AD=BC17.等腰三角形的一个角是80°,则它的底角是 （ ） (A) 50° (B) 80° (C) 50°或80° (D) 20°或80°18.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是( ) （A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定. 19.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （ ） （A ）75°或30° （B ）75° （C ）15° （D ）75°和15°20.已知∠AOB=30°,点P 在∠AOB 内部,P 1与P 关于OB 对称,P 2与P 关于OA 对称,则P 1,O,P 2三点构成的三角形是 ( )(A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)等腰三角形 (D)等边三角形21、（10分）如图：△ABC 和△ADE 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线。

；4知识点易错点汇总★知识点归纳一、轴对称1、定义：把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

2、性质：对称点到对称轴的距离相等。

3、轴对称图形：指具有特殊形状的一个图形，它可以有一条或多条对称轴。

二、旋转1、定义：把一个图形绕某一点（或轴）转动一定的角度的图形变换叫做旋转。

2、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度钟表中指针运动的方向为顺时针方向，与钟表中指针的运动方向相反的方向为逆时针方向。

3、性质：图形绕着某一点旋转一定的度数，图形的对应点、对应线段都旋转了相应的度数，对应点到旋转点的距离相等，对应的线段和对应的角度相等。

图形旋转后，形状、大小都没有发生变化，只有位置变了。

4、旋转90°的方法（1）找出原图行的关键点或关键线段；（2）借助三角板或量角器作原图行关键点或线段与旋转中心所在线段的垂线（3）在所垂线上量出或数出与原线段相等的长度（即找到原图关键点的对应点）；（4）顺次连接所找到的对应点，即可得到原图形旋转90°后的图形。

5、时钟上包含12大格，60小格，时钟上相邻两数字间即为一大格，一大格为30°；每一大格又平均分为了五个小格，一小格为6°三、平移1、定义：指在一个平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

2、性质：平移不改变图形的形状和大小。

3、图形平移的步骤：（1）确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。

（2）找出原图形的各关键点。

（3）根据题目要求将各个点依次平移，找出各个点的对应点。

（4）顺次连接平移后的各点。

◆习题：1、图形的变换包括：、、。

其中只是改变原图形位置的变换是、。

2、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫（）图形，那条直线就是（）。

《轴对称》易错问题分析一、混淆轴对称与轴对称图形的概念例1 图形成轴对称和轴对称图形是同一概念吗？错解：图形成轴对称与轴对称图形是一回事，都是关于某条直线对称.错解分析：产生上述错误认识的原因是对图形成轴对称与轴对称图形这两个概念的含义未能正确理解.（1）图形成轴对称反映的是两个图形之间的形状和位置的关系，而轴对称图形是指一个图形自身的性质.（2）轴对称的对称点分别在两个图形上，而轴对称图形的对称点都在同一个图形上.当然，如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.正解：图形成轴对称和轴对称图形是两个不同的概念.它们之间又有着密切的联系.二、错将轴对称与全等画“=”例2 如图，判断△ABC与△A′B′C的关系.错解：因为△ABC与△A′B′C全等，所以它们对称.错解分析：说两个图形对称，必须说它们关于哪条直线对称.在图中，△ABC与△A′B′C关于直线l2不对称.实质上，全等只是从图形的形状相同、大小相等两个方面揭示两个图形的关系，而轴对称是从形状相同、大小相等、位置成轴对称三个方面揭示了两个图形的关系.正解：△ABC与△A′B′C关于直线l1对称.三、对于无图问题，考虑欠周全，造成漏解例3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形顶角的度数.错解：答案为45°.错解分析：就此题而言，等腰三角形一腰上的高既可以在等腰三角形内，也可以在等腰三角形外，需分类讨论.正解：①当高在等腰三角形内部时，顶角为45°；②当高在等腰三角形外部时，顶角为135°.故此等腰三角形的顶角为45°或135°.四、漏找、错找轴对称图形的对称轴例4. 求线段、角、等腰三角形、正方形、圆的对称轴.错解：线段有一条对称轴，是它的垂直平分线；角有一条对称轴，是它的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；正方形有两条对称轴，是两组对边中点的连线；圆有无数条对称轴，是它的直径.错解分析：（1）图形的对称轴是直线，而不是线段；（2）线段的对称轴有两条，正方形的对称轴有四条，等腰三角形有一条或三条对称轴.正解：线段有两条对称轴，是线段的垂直平分线和它所在的直线；角有一条对称轴，是角平分线所在的直线；等腰三角形有一条或三条对称轴，是底边的垂直平分线；正方形的对称轴有四条，是对角线所在直线和过对边中点的直线；圆有无数条对称轴，是过圆心的直线（或直径所在的直线）.练习：1.一个汽车牌照号码在水中的倒影为，则该车牌照号码为————。

轴对称图形主要内容：轴对称与轴对称图形、轴对称的性质、设计轴对称图案、线段、角的轴对称性、等腰三角形的轴对称性、等腰梯形的轴对称性。

重点：垂直平分线、角平分线、等腰三角形（直角三角形、等边三角形）的性质、等腰梯形的常用辅助线；难点是如何灵活应用所学知识解决问题。

难点：通过具体的轴对称图形实例,让学生经历观察、比较、分析等数学活动,从而让学生认识轴对称图形,知道轴对称与轴对称图形之间的区别,而后通过线段与角、等腰三角形、等腰梯形等轴对称图形加深对轴对称图形的理解。

变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

初中数学《轴对称》所有考点、易错点全在这里啦，超实用！一、知识框架知识框架思考：你知道什么是轴对称吗？生活中有哪些轴对称图形呢？下列图片中有轴对称图形吗？如果有，它们的对称轴在哪里？尝试说出轴对称图形的特点。

二、知识梳理与拓展应用（一）轴对称1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(或轴)对称。

2.轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点。

拓展延伸：两个图形成轴对称和轴对称图形的前提不一样，前者是两个图形，后者是一个图形，成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样，而且与位置有关。

例1：如图1所示，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM＝2.5cm，PN ＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）cm。

图1A. 4.5B. 5.5C. 6.5D. 7解：因为点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，所以PM＝MQ，PN＝NR.因为PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm,所以NR＝3cm，MQ＝2.5cm，即NQ＝MN－MQ＝4－2.5＝1.5(cm)，则线段QR的长为RN+NQ＝3+1.5＝4.5(cm).答案：A3.垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。

4.线段的垂直平分线的性质(1)线段的垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。

(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

5.轴对称和轴对称图形的性质(1)如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线叫作对称轴，对称轴是两个图形中任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

中考数学常见易错知识点汇总（对称图形）
中考数学常见易错知识点汇总（对称图形）
对称图形
易错点1：轴对称、轴对称图形，及中心对称、中心对称图形概念和性质把握不准。

易错点2：图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在轴对称和旋转中角的大小不变，线段的长短不变。

易错点3：将轴对称与全等混淆，关于直线对称与关于轴对称混淆。

统计与概率
易错点1：中位数、众数、平均数的有关概念理解不透彻，错求中位数、众数、平均数。

易错点2：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性。

不规则的统计图往往使人产生错觉，得到不准确的信息。

易错点3：对普查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，造成错误。

易错点4：极差、方差的概念理解不清晰，从而不能正确求出一组数据的极差、方差。

易错点5：概率与频率的意义理解不清晰，不能正确的求出事件的概率。

易错点6：平均数、加权平均数、方差公式，扇形统计图的圆心角与频率之间的关系，频数、频率、总数之间的关系。

加权平均数的权可以是数据、比分、百分数还可以是概率（或频率）。

《轴对称图形》易错题集《轴对称图形》易错题集218班01．如图所示的是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方的一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ B ）A．2步 B．3步 C．4步 D．5步02．如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，某青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3跳到P3关于A的对称点P4…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（ C ）A．4 B．5 C．6 D．803．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是一个轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（ C ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个04．下列图形中，对称轴的条数最少的图形是（ B ）A． B． C． D．05．下列左边和右边的图形成轴对称的是（ C ）A．6699 B．EE C．{} D．BB06．要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形，又是中心对称图形的花坛，下列图案中不符合设计要求的是（ D ）A． B． C． D．07．下列图形成轴对称图形的有（ A ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个08．下列图形中对称轴最多的是（ D ）A．等腰梯形 B．底角为50度的等腰三角形 C．直角 D．线段09．如图，在3×4的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有（ A ）A．7处 B．4处 C．3处 D．2处10．如图所示，观察这4个图形，其对称轴条数的和是（ A ）A．12 B．18 C．24 D．3311．四个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，它们全部是轴对称图形，其中对称轴的条12．线段是轴对称图形，它有13．小明用计算器按一个三位数，当数字图象垂直面对镜子时，在镜子里看到的这三位数是“285”，则实际所表示的三位数是14．一个汽车牌照号码在水中的倒影为，则该车牌照号码为15．如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠16．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像，如图所示，实际时间是。

第13讲轴对称与旋转易错点梳理易错点梳理易错点01不能正确理解对称轴的含义在叙述轴对称图形的对称轴时，错把对称轴当成射线或线段，导致叙述错误。

易错点02误用“三线合一”“三线合一”是等腰三角形中特殊线段具有的性质，并不是所有的三角形的“三线”都“合一”。

易错点03在解有关等腰三角形问题时容易漏解在解决等腰三角形的底角、腰的问题时漏解解决与等腰三角形的底角、腰有关的问题时，通常需要分类讨论。

易错点04在旋转过程中，混淆对应角和旋转角在旋转的过程中，转动的角叫作旋转角.对应角是指旋转前后两个图形的对应角。

易错点05混淆中心对称和中心对称图形把一个图形绕着一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称.把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫作中心对称图形.两者不可混淆。

例题分析考向01轴对称例题1：（2021·海南·三亚市崖州区崖城中学九年级期中）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【思路分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此判断即可；【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解本题的关键．例题2：（2021·河南·郑州市第二初级中学九年级期中）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．当AC＝BD时，它是轴对称图形D．当AC＝BD时，它是矩形【答案】C【思路分析】先连接AC，BD，根据EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，可得四边形EFGH是平行四边形可判断A，根据平行四边形是中心对称图形，四边形EFGH是平行四边形是中心对称图形可判断B，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此可判断C，只有AD⊥BD时是矩形，当AC与BD不垂直时，不是矩形可判断D即可．【解析】解：连接AC，BD交于O，AC交GF于M，DB交EF于N，如图：∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，EF∥AC，GF∥DB，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；∵平行四边形是中心对称图形，∴四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是中心对称图形，故选项B错误；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，菱形是轴对称图形，∴菱形EFGH是轴对称图形，故选项C正确；只有AC⊥BD时∠MON=90°，∵GF∥DB，∴AC⊥GF，∴∠OMF=90°，∵EF∥AC，∴BD⊥EF，∴∠ONF=90°，∴∠NFM=360°-∠MON-∠OMF-∠ONF=90°，∴平行四边形GHEF是矩形，当AC与BD不垂直时，∵GF∥DB，EF∥AC，∴四边形ONFM为平行四边形，∠MFN=∠MON≠90°，即∠GFE≠90°，∴平行四边形GHEF不是矩形，故选项D错误．故选：C．【点拨】本题主要考查了中点四边形的运用，轴对称识别，中心对称识别，矩形判定，三角形中位线性质解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．考向02等腰三角形例题3：（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG ＝2，AD＝6，则BE的长为（）A．52B．73C．3D．3.5【答案】A【思路分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解析】解：作EH ⊥BD 于H ，由折叠的性质可知，EG ＝EA ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴AB ＝BD ＝AD ＝6，设BE ＝x ，则EG ＝AE ＝6﹣x ，在Rt △EHB 中，BH ＝12x ，EH ＝32x ，在Rt △EHG 中，EG 2＝EH 2+GH 2，即（6﹣x ）2＝（32x ）2+（4﹣12x ）2，解得，x ＝52，∴BE ＝52，故选：A ．【点拨】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．例题4：（2021·河南镇平·九年级期中）如图，中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，DE AC∥交AB 于E ，则:EBD ABC S S =△△（）A ．1:4B ．1:3C ．1:2D ．2:3【答案】A 【思路分析】先利用等腰三角形的性质证明,BD DC =再证明,BE AE =，再利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得答案.【解析】解：∵,AB AC AD =平分BAC ∠，∴BD DC =，∵DE AC ∥，1,BD BE DC AE\==,BE AE ∴=∴12DE AC =， ∴21.4BDE ABC S DE S AC骣琪==琪桫V V 故选A 【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形中位线的定义与性质，相似三角形的判定与性质，解本题的关键是证明.BE AE =考向03旋转例题5：（2021·天津滨海新·九年级期中）如图，在中，75BAC ∠=︒，以点A 为旋转中心，将绕点A 逆时针旋转得到，点B 、C 的对应点分别为D 、E ，连接CE ，若CE AB ∥，则CAD ∠的大小是（）A ．15°B ．25°C ．35°D ．45°【答案】D 【思路分析】根据旋转的性质得AE ＝AC ，∠DAB ＝∠EAC ，再根据等腰三角形的性质得∠AEC ＝∠ACE ，然后根据平行线的性质得到∠ACE ＝∠CAB ＝75°，得出∠EAC ＝30°，于是得到结论．【解析】解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△ADE ，∴AE ＝AC ，∠DAB ＝∠EAC ，∴∠AEC ＝∠ACE ，∵CE ∥AB，∴∠ACE ＝∠CAB ＝75°，∴∠AEC ＝∠ACE ＝75°，∴∠EAC ＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠CAD＝∠EAD-∠EAC=75°-30°=45°，∴∠CAD＝45°，故选：D．【点拨】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形性质，平行线的性质定理，三角形内角和，角的和差，掌握三角形旋转后，对应边相等，对应角相等，等腰三角形性质，平行线的性质定理，三角形内角和，角的和差，是解题的关键．例题6：（2021·辽宁大石桥·九年级期中）如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到A B C'''E D''=，则BC的值是（）V．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E D''．已知2A．1B．2C．4D．5【答案】C【思路分析】先根据旋转的性质可得ED＝E'D'＝2，再根据三角形的中位线定理求解即可．【解析】解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'，∴ED＝E'D'＝2，∴BC＝2ED＝4，故选C．【点拨】本题考查旋转的性质、三角形的中位线定理，掌握旋转的性质是解题的关键．微练习1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．2．（2021·重庆八中九年级开学考试）如图，在等腰Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，点D 是AC 上一点，将BCD ∆沿BD 折叠至△BC D '，连接AC '且满足AC DC '='，则点D 到AB 的距离为（）A ．2BC D 【答案】D【解析】解：过D 作DE AB ⊥于点E ，设CBD x ∠=︒，则C BD CBD x ∠'=∠=︒，90ABC ∠=︒ ，AB BC =，902ABC x ∴∠'=︒-，45BAC BCA ∠=∠=︒，由折叠知，AB BC BC =='，45BAC BC A x ∴∠'=∠'=︒+，C AD x ∴∠'=，AC DC '=' ，C AD C DA x ∴∠'=∠'=，45BC D C ∠'=∠=︒ ，180C AD C DA AC D ∠'+∠'+∠'=︒ ，4545180x x x ∴++︒++︒=︒，解得，30x =︒，9060DBE x ∴∠=︒-=︒，30BDE ∴∠=︒，2BD BE ∴=，设DE y =，45BAC ∠=︒ ，AE DE y ∴==，1BE AB AE y ∴=-=+-，∴222BD BE y ==-，222BD BE DE -= ，∴22222)1)y y y --+-=，解得，y 2y =（此时AE AB >，舍去），DE ∴=，故选：D ．3．（2021·四川锦江·九年级期末）已知，将△ABC 沿AD 折叠，点B 的对应点B '落在边AC 上（如图a ），再将∠CAD 对折，点A 的对应点为A '，折痕为EF （如图b ），再沿A 'E 所在直线剪下，则阴影部分展开后的形状为（）A ．等腰三角形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【答案】C 【解析】解：阴影部分展开后如图所示，由折叠可得，∠AFE ＝∠A 'FE ＝90°，AF ＝A 'F ，EF ＝E 'F ，∴AA '与EE '互相平分，AA '⊥EE '，∴四边形AEA 'E '是菱形，故选：C ．4．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，BD 、CE 是的高，M 是BC 的中点，70A ∠=︒，则DME∠的度数为（）A．30°B．40︒C．50︒D．60︒【答案】B【解析】解：∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵CE和BD分别是△ABC的高，∴∠CEB=∠BDC=90°，∵M是BC的中点，∴12EM BM CM BC===，∴∠MEB=∠MBE，∠MDC=∠MCD，∴∠BME=180°-∠MBE-∠MEB=180°-2∠MBE，同理∠CMD=180°-2∠MCD，∴∠EMD=180°-∠BME-∠CMD=180°-（180°-2∠MCD）-（180°-2∠MBE）=2（∠MCD+∠MBE）-180°=220°-180°=40°，故选B．5．（2021·福建·浦城县教师进修学校九年级期中）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝4，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（）A．4B．C．2D．32【答案】A【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°，∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，∴△CP1A≌△BPA，∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，即∠PAP1=60°，∴△APP1是等边三角形，∴P1P=PA=4，故选：A．6．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，D、E、F内分正的三边AB、BC、AC均为1:2两部分，AD、BE、CF相交成的的面积是的面积的（）A ．110B ．19C ．18D ．17【答案】D 【解析】解：如图，过D 作//,DH AC 交BE 于,H设等边三角形ABC 的边长为：3,a 结合题意可得：,2BD AF CE a CD BF AE a======//,DH AC ,,BD DH DH PD BC CE AE AP∴==13,,326a a PD DH AP a ∴===同理：1,6EQ FR BQ RC ==设等边三角形ABC 的面积为：3,m 2,,BCF BCE S m S m ∴== 116,,777AFR ACF ABP S S m S m === 57ABP AFR BPRF CDPQ S S S m S =-== 四边形四边形，31=,77PQR CBF BPD ABC BPRF PDCQ m S S S S S S ∴=---= 四边形四边形∴的面积是的面积的1.7故选D7．（2021·江苏·无锡市钱桥中学九年级期中）如图，边长为10的等边中，点D 在边AC上，且3AD =，将含30°角的直角三角板（30F ∠=︒）绕直角顶点D 旋转，DE 、DF 分别交边AB 、BC 于P 、Q ．连接PQ ，当//EF PQ 时，DQ 长为（）A ．6BC ．10D ．【答案】B【解析】解：过点Q 作QK AC ⊥于K ，在等边中，60∠=∠=∠=︒A B C ，10AB BC AC ===，在Rt △EFD 中，60E ∠=︒，30F ∠=︒，∵//EF PQ ，∴60DPQ ∠=︒，30DQP ∠=︒，∴APD ADP APD QPB ∠+∠=∠+∠，∴ADP QPB ∠=∠，又∵∠A =∠B =60°，∴ADP BPQ ∽△△，∴AD APPDBP BQ QP ==，∴在Rt PQD △中，30DQP ∠=︒，∴12PD QP =，即12PDQP =，∴12AD AP PD BP BQ QP ===，∵3AD =，∴312BP =，∴6BP =，已知10AB =∴1064AP AB BP =-=-=，∴412BQ =，∴8BQ =，∴1082CQ BC BQ =-=-=，在Rt CQK △中，60C ∠=°，∴30KQC ∠=︒，∴2122CQ KC ===，∴DK AC AD KC =--，∴10316DK =--=，而sin KQ C CQ ∠=,∴sin 6022KQ ︒==∴KQ =在Rt DQK △中，DQ =∴DQ ===即DQ 故选：B ．8．（2021·山东南区·九年级期中）如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝BC ，AE ⊥BC 于点E ，连接DE ，交AC 于点G ．以DE 为边作等边△DEF ，连接AF ，交DE 于点N ，交DC 于点M ，且M 为AF 的中点．在下列说法中：①∠EAN ＝45°，②12AE ，③S △AGE ＝S △DGC ，④AF ⊥DE ．正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：连接CF ，过点A 作AH ⊥DC 于点H，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠B ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 、△ADC 都是等边三角形，AD //BC ，∵AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∠BAE ＝∠CAE ＝30°，设BE ＝CE ＝a ，则AB ＝BC ＝AC ＝2a ，∴AE，∵∠ADC ＝∠EDF ＝60°，∴∠ADE ＝∠CDF ，在△DAE 和△DCF 中，AD CDADE CDF ED FD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△DCF （SAS ），∴AE ＝CF ，∠DAE ＝∠DCF ，∴∠DCF ＝∠DAE ＝90°，∴∠ACF ＝150°，∵AC ≠CF ，∴∠CAF ≠∠CFA ≠15°，∴∠EAN ≠45°，故①错误；∵∠AHM＝∠FCM＝90°，MA＝MF，∠AMH=∠FMC，∴△AHM≌△FCM（AAS），∴HM＝CM＝12 a，＝12AE，故②正确；∵AD//BC，∴S△AEC＝S△DCE，∴S△AEC−S△GCE＝S△DCE−S△GCE，即S△AGE＝S△DGC，故③正确；∵△EDF是等边三角形，若AF⊥DE，则AF垂直平分DE，则AD＝AE，显然AD≠AE，故AF与AD不垂直，故④错误；∴正确的是②③，一共2个，故选：B．9．（2021·福建·福州十八中九年级期中）在⊙O中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度θ，使旋转后的圆心落在⊙O上，则θ的值可以是（）A．45°B．60°C．90°D．180°【答案】B【解析】解：如图所示：由旋转的性质可知：AO=AO′，∴OO′=OA=AO′，∴△OAO′为等边三角形．∴θ=∠OAO′=60°．故选：B．10．（2021·湖北郧阳·九年级期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，2OA OB==，AD=ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90︒，则第2021次旋转结束时，点D的坐标为（）A ．(4,6)B ．(6,4)C ．(6,4)-D ．(4,6)-【答案】A【解析】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，连接OD ，2OA OB == ，45ABO BAO ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形90ABC ∴∠=︒，45DAE ∴∠=︒，BC AD ==4AE DE ∴==，6OE OA AE ∴=+=，(6,4)D ∴-，矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，则第1次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)；则第2次旋转结束时，点D 的坐标为(6,4)-；则第3次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)--；则第4次旋转结束时，点D 的坐标为(6,4)-；…发现规律：旋转4次一个循环，202145051∴÷= ，则第2021次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)．故选：A ．11．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，△ABC 中，AB =AC =∠BAC =α°，1tan 2ABC ∠=，G 为BC 中点，D 为平面内一个动点，且5DG =．将线段BD 绕点D 逆时针旋转α°，得到DB ′，则四边形BACB ′面积的最大值为（）A ．24B ．25C ．12D ．13【答案】A【解析】解：如图，连接AD ，AG ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，∵AB AC BG GC ===，∴AG BC ⊥，∵1tan 2AGABC BG ∠==，∴24AG BG ==，，∵sin sin ABG GBH ∠=∠，∴GH AGBC AB =，∴4GH=，∴GH =，∵AB AC DB DB '==，，BAC BDB '∠=∠，∴AB BDABC DBB BC BB '∠=∠='，，∴ABD CBB '∠=∠，∴△ABD ∽△CBB ＇，∴22516ABD CBB S AB S BC '⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∵5DG =，∴点G 的运动轨迹是以GD 在HG 的延长线上时，△ABD的面积最大，最大值1==52⨯⎝⎭，∴BCB 'V 的面积的最大值为16，∴四边形BACB ′面积的最大值为18216=242⨯⨯+，故选：A ．12．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝，DC ＝cm ，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图乙），这时AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ．则线段AD 1的长为（）A ．B ．cm C ．5cm D ．3cm【答案】B 【解析】解：∵∠ACB =∠DEC =90°，∠D =30°，∴∠DCE =90°-30°=60°，∴∠ACD =90°-60°=30°，∵旋转角为15°，∴∠ACD 1=30°+15°=45°，又∵∠CAB =45°，∴△ACO 是等腰直角三角形，∴∠ACO =∠BCO =45°，∵CA =CB，∴AO =CO =12AB =∵DC =∴D 1C =DC =∴D 1O =在Rt △AOD 1中，AD 1故选：B ．13．如图，在中，64C ∠=︒，将绕着点A 顺时针旋转后，得到△AB ＇C ＇，且点C '在BC 上，则B C B ∠''的度数为（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°【答案】C【解析】解： 将绕着点A 顺时针旋转后，得到△AB ＇C ＇，64C ∠=︒，AC AC ∴='，CAC BAB ∠'=∠'，B B ∠=∠'，64C AC C ∴∠=∠'=︒，18052CAC C AC C ∴∠'=︒-∠-∠'=︒，52BAB ∴∠'=︒，52B AD ∴∠'=︒，B B ∠=∠' ，BDC B DA ∠'=∠'，52BC D B AD ∴∠'=∠'=︒，即B C B ∠''的度数为52︒，故选：C ．14．在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点A （p ，0）（p 是常数，且p ＞1），第一次爬到射线OA 绕O 点逆时针旋转60°方向上的A 1点，且OA 1＝pOA ；第二次爬到射线OA 1绕O 点逆时针旋转60°方向上的A 2点，且OA 2＝pOA 1；…；第2021次爬行到A 2021点的坐标是（）A ．（p 2021，0）B ．202220211(,)22p pC ．（﹣p 2021，0）D ．202220221(,)22p p -【答案】D 【解析】解：由题意可得，射线OA 1、OA 2、OA 3、OA 4、OA 5、OA 6……的位置为6次一循环，∵2021÷6＝336……5，∴点A 2021在第四象限，且射线OA 2021与x 轴正半轴的夹角为60°，∵A （p ，0）（p 是常数，且p ＞1），∴OA ＝p ，∵OA 1＝pOA ，OA 2＝pOA 1，……∴OA 1＝p 2，OA 2＝p 3，……∴20222021OA p =，如图，过点A 2021作x 轴的垂线，垂足为点H ，则∠OHA 2021＝90°，又∵∠A 2021OH ＝60°，∴∠OA 2021H ＝30°，∴202220211122OH OA p ==，∴2021A H ===2021=2022p ，又∵点A 2021在第四象限，202220211(2A p ∴，2022)p ，故选：D ．二、填空题15．如图，⊙O 与△OAB ，的边AB 相切，切点为B ．将△OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B ''△，使点O '落在⊙O 上，边A B '交线段A B '于点C ．若20A '∠=︒，则OCB ∠=_____︒．【答案】80【解析】解：连接OO '，如下图：∵⊙O 与△OAB 的边AB 相切，切点为B∴90OBA ∠=︒又∵20A ∠=︒∴70AOB ∠=︒由旋转的性质可得：OB BO '=，90A BO ABO ''∠=∠=︒又∵OO OB'=∴OBO '△为等边三角形∴60OBO '∠=︒∴30OBC A BO OBO '''∠=∠-∠=︒∴18080OCB COB OBC ∠=︒-∠-∠=︒故答案为：8016．（2021·广东白云·九年级期中）在直角坐标平面内，有点A （﹣2，0），B （0，2），将线段AB 绕点B 顺时针旋转后，点A 的对应点C 落在y 轴上，那么旋转角是_________°．【答案】315或135【解析】解：如图，∵A （﹣2，0），B （0，2），∴OA ＝OB ＝2，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠ABO =∠OAB =45°，∴=180=135ABC ABO '-o o∠∠∴当旋转角为315°（旋转角为360°-∠ABO ）或135°（旋转角为ABC '∠）时，点A 的对应点C 落在y 轴上，故答案为：315或135．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝9，AC ＝12，点D 为边AC 的中点，点P 为边BC 上任意一点，若将△CDP 沿DP 折叠得△EDP ，若点E 在△ABC 的中位线上，则CP 的长度为__________________．【答案】2或8﹣【解析】解：①如图，设BC边中点为M，连接DM，当E在DM上时，由折叠可知，CP＝PE，∠C＝∠DEP，∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°，∴AB＝15，CM＝12BC92=，∴CD12AC=＝6，∴DM＝152，DE＝6，∴EM＝3 2，在Rt△PEM中，PM2＝PE2+EM2，∴（92﹣CP）2＝CP2+（32）2，∴CP＝2；②如图，设AB边的中点为N，连接DN，当E 点落在DN 上时，∵BC ＝9，AC ＝12，∠C ＝90°，∴CD ＝6，DN ＝92，由折叠可知，DE ＝CD ，∠C ＝∠DEP ＝90°，∵DE ∥CB ，∴∠CDE ＝90°，∴四边形CDEP 是矩形，92CP DN ∴==∵DE ＝CD ，∴四边形DCPE 是正方形，∴CP ＝CD ＝6，此时点E 落在DN 的延长线上（不符合，舍去）③如图，设BC 、AB 中点分别为M 、N ，连接MN 、DN ，当E 点落在MN 上时，由折叠可知，DE ＝CD ，CP ＝PE ，∠C ＝∠DEP ＝90°，∵BC ＝9，AC ＝12，∴CM ＝92，CD ＝6，DN ＝92，MN ＝6，在Rt △DEN 中，DE 2＝DN 2+EN 2，∴62＝NE 2+（92）2，∴NE∴EM ＝6在Rt △PEM 中，PE 2＝EM 2+PM 2，∴CP 2＝（92﹣CP ）2+（62，∴CP ＝8-综上所述，CP 的值为2或8-，故答案为：2或8-．18．（2021·重庆·字水中学九年级期中）如图，在三角形纸片ABC 中，点D 是BC 边的中点，连接AD ，把△ABD 沿着AD 翻折，得到△AED ，连接CE ，若BC ＝，tan ∠ECB ，则△AEC 的面积为______．【解析】解：连接BE ，过点D 作DM ⊥EC ，垂足为M ，∵点D 是BC 边上的中点，BC ＝∴BD ＝CD 由折叠得，BD ＝DE ，AD ⊥BE ，∴DE ＝DB ＝DC ，∴∠DBE =∠DEB ，∠DEC =∠DCE ，又∵∠DBE +∠DEB +∠DEC +∠DCE =180°，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥EC ，∴EC ∥AD ，∴S △AEC ＝S △DEC ，在△DEC 中，DE ＝DC DM ⊥EC ，∴ME ＝MC ，∵tan ∠ECB ＝DM CM ，设MC ＝2m ，则DM ，由勾股定理得，DM 2＋MC 2＝DC 2，即4m 2＋5m 22，解得m∴DM MC ，∴S △DEC ＝12EC •DM ＝12×2，∴S △AEC ＝S △DEC ．．19．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）已知等腰△ABC 内接于半径为10的⊙O 中，且圆心O 到BC 的距离为6，则这个等腰△ABC 底边上的高是___．【答案】4或16或645【解析】解：①当BC 是底，ABC ∆是锐角三角形时，如图1，连接OA 交BC 于点D ，AB AC = ，AD BC ∴⊥，10OA = ，6OD =，10616AD ∴=+=，②当BC 是底，ABC ∆是钝角三角形时，如图2，同理可得，1064AD OA OD =-=-=．③当BC 是腰时，连接BO 并延长到AC 于E ，作OD BC ^于点D ，在Rt BOD 中，10OB =，6OD =，8BD ∴==，216BC BD ∴==，设OE x =，在Rt COE △中，2222210CE OC OE x =-=-，在Rt BCE V 中，2222216(10)CE BC BE x =-=-+，22221016(10)x x ∴-=-+，解得145x =，14641055BE ∴=+=．故答案为：4或16或645．20．（2021·安徽包河·九年级期中）如图，在等边△ABC 中，2AB =，点P 为AC 边上一动点，M 为BP 的中点，连接CM ．（1）当点P 为AC 的中点，CM 的长为_______；（2）若点P 移动到使60PMC ∠=︒时，CM 的长为__________．【解析】解：（1） 等边△ABC 中，2AB =，且点P 为AC 的中点，12,1,,602AC BC AB PC AC PB AC ACB ∴=====⊥∠=︒，在Rt PBC △中，PB = 点M 为BP 的中点，12PM PB ∴==在Rt PMC 中，2CM ===，；（2）设(0)PM a a =>，则2PB a =，在PMC △和△PCB 中，60PMC PCB CPM BPC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，△PMC ∽△PCB ，PM PC CM PC PB BC ∴==，即22a PC CM PC a ==，解得PC 或PC =（不符题意，舍去），由22PC CM a =得：22CM a =，解得CM三、解答题21．（2021·浙江·温州市第十二中学二模）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，FB ∥EA 交EC 于H 点，EA ＝FB ，AB ＝CD ．（1）求证：△ACE ≌△BDF ；（2）若CH ＝BC ，∠A ＝50°，求∠D 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）80︒．【解析】证明：（1）//FB EA ，A DBF ∴∠=∠，AB CD = ，AB BC CD BC ∴+=+，即AC BD =，在△ACE 和△BDF 中，EA FB A DBF AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACE ≌△BDF ；（2）由（1）已得：A DBF ∠=∠，50A ∠=︒ ，50DBF =∴∠︒，CH BC = ，50DBF BHC ∴=∠=∠︒，08018ACE B C DBF H ∠∴∠=︒-=∠-︒，由（1）已证：△ACE ≌△BDF ，80D ACE ∠∴∠==︒．22．（2021·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A (2，4)、B (1，0)、C (5，1)（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，其中A 、B 、C 分别和A 1、B 1、C 1对应，则点C 1的坐标为；（2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°得△A 2B 2C 2，其中A 、B 、C 分别和A 2、B 2、C 2对应，画出△A 2B 2C 2，则点C 2的坐标为；（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2关于点成中心对称【答案】（1）图见解析，（5，-1）；（2）图见解析，（-1，5）；（3）（0.5，0.5）【解析】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求，∵△ABC 关于x 轴对称的111A B C △，点C （5，1），∴关于x 轴对称，点的横坐标不变，纵坐标改变符号C 1（5，-1）故答案为（5，-1）；（2）如图所示：△A 2B 2C 2即为所求，∵将△AB 绕原点O 逆时针旋转90°得222A B C △∴点C 绕原点O 旋转90°，横坐标边纵坐标，纵坐标变为横坐标，点C 2在第二象限，∴点C 2坐标为（-1,5），A 2（-5，2），B 2（0，1）在平面直角坐标系中描出点A 2（-5，2），B 2（0，1），C 2（-1,5），顺次连结线段A 2B 2，B 2C 2，C 2A 2，则△A 2B 2C 2是△ABC 逆时针旋转90°的图形，故答案为（-1,5）；（3）点B 与点B 2的中点，其中点横坐标为()1010.52+=，纵坐标为()1010.52+=∴111A B C △与222A B C △关于点（0.5，0.5）成中心对称．故答案为（0.5，0.5）．23．（2021·山东陵城·九年级期中）在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，△ABC 的顶点在网格线的交点上，点B 的坐标为（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，并写出点B 的对应点B 1的坐标；（2）画出△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到的△A 2B 2C 2，并写出点B 1的对应点B 2的坐标．【答案】（1）见解析；点B 1的坐标为（-1，3）；（2）见解析；点B 2的坐标为（3，1）．【解析】解：（1）∵三角形ABC 向上平移4个单位得到三角形111A B C ，B （-1，-1），∴1B 的坐标为（-1，3），如图所示，111A B C △即为所求；（2）如图所示，222A B C △即为所求；∵222A B C △是111A B C △绕原点顺时针旋转90度得到，1B （-1，3），∴1B 的坐标为（3，1）．24．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级期中）问题提出：（1）如图1，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AH ⊥BC ，垂足为点H ，若AB ＝4，AC ＝3，则线段CH 的长度为．问题探究：（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，点F 为CD 边的中点，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，AF ，EF ．若∠EAF ＝45°，BC ＝6，CD ＝2，求线段EF 的长．问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，∠C ＝90°，点M ，N是BC 边上的两点，连接AM ，AN ，BD ，BD 交AM 于点E ，交AN 于点F ．若∠MAN ＝30°，BE ＝4，DF ＝6，求△AMN 的面积．【答案】（1）95；（2）257；（3）【解析】解：（1）如图①，∵∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，∴BC ==5，∵AH ⊥BC ，∴∠AHC ＝90°，∵S △ABC ＝12AB •AC ＝12BC •AH ，∴12×3×4＝12×5AH ，∴AH ＝125，由勾股定理得：CH 95==，故答案为：95；（2）如图②，过点A 作AG ⊥AE ，交CD 的延长线于点G ，∴∠EAG ＝90°，∵∠BAD ＝90°，∴∠BAE +∠EAD =∠EAD +∠DAG =90°∴∠BAE ＝∠DAG ，∵∠BAD ＝∠C ＝90°，∴∠BAD +∠C ＝180°，∴∠B +∠ADC ＝180°，∵∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠ADG ＝∠B ，在△ABE 和△ADG 中，BAE DAG AB AD B ADG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△ADG （ASA ），∴BE ＝DG ，AE ＝AG ，∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE +∠DAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠GAF ＝45°＝∠EAF ，∵AF ＝AF ，在△EAF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF ≌△GAF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵F 是CD 的中点，且CD ＝2，∴DF ＝CF ＝1，设BE ＝x ，则DG ＝x ，EF ＝FG ＝x +1，EC ＝6﹣x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得：EF 2＝EC 2+CF 2，∴（x +1）2＝12+（6﹣x ）2，解得：x ＝187，∴EF＝x+1＝187+1＝257；（3）如图③，过点A作AO⊥BD于O，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，∵AB＝AD，∴∠ABF＝∠ADF＝30°，∴AB＝AD＝2AO，设AO＝a，AB=2a，则OB＝OD==，∴BD=2AO=，∵BE＝4，DF＝6，∴BF＝﹣6，EF＝﹣4﹣6＝﹣10，∵∠EAF＝∠ABF＝30°，∠AFE＝∠AFB，∴△AFE∽△BFA，∴AF EF BF AF=，∴AF2＝BF•EF＝（﹣6）（﹣10），∵AF2＝AO2+OF2，∴a2+﹣6）2＝（﹣6）（﹣10），2a2﹣+6＝0，解得：a1＝a2＝2，当a＝OD6，此时O与F重合，如图1所示，∴BF ＝DF ＝6，∴EF ＝2，Rt △AEF 中，∠EAF ＝30°，∴AE ＝2EF ＝4＝BE ，∴∠BAE ＝∠ABE ＝30°，∵∠ABM ＝60°，∴∠AMB ＝90°，∠MBE ＝30°，∴EM ＝2，∴AM ＝4+2＝6，∴MN＝∴△AMN 的面积＝11622AM AN ⋅=⨯⨯=当a ＝2时，OA ＝2，OB ＝OD ＝32，∴BD ＝OB +OD ＝3＜4+6＝10，此种情况不成立，∴△AMN 的面积25．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，在矩形中，CE BD ⊥，8AB =，6BC =，P 为BD 上一个动点，以P 为圆心，PB 长半径作⊙P ，⊙P 交CE 、BD 、BC 交于F 、G 、H （任意两点不重合），（1）半径BP 的长度范围为______；（2）如图1，连接BF 并延长交CD 于K ，若tan 3KFC ∠=，求BP ；（3）如图2，连接GH ，将劣弧HG 沿着HG 翻折交BD 于点M ，试探究PM BP是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由．【答案】（1）955BP <<；（2）2；（3）1125【解析】解：（1）当G 点与E 点重合时，BG =BE ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，8AB =，6BC =，∴6AD BC ==∴BD =10，∵CE ⊥BD ，∴1122BC CD BD CE ⋅=⋅,∴245CE =,在△BEC 中，由勾股定理得：185BE =,∴1925BP BE ==,当点G 和点D 重合时，则点F 与点H 重合，如图所示：∵△BCD 是直角三角形，∴BP =DP =CP ,∴152BP BD ==，∵任意两点都不重合，∴955BP <<，（2）连接FG ，如图所示：∵∠KFC =∠BFE ，tan ∠KFC =3，∴tan 3BFE ∠=，∴3BE EF=，∴635BE EF ==,∵BG 是圆的直径，∴∠BFG =90°，∴∠GFE +∠BFE =90°，∵CE ⊥BD ，∴∠FEG =∠FEB =90°，∴∠GFE +∠FGE =90°，∴∠BFE =∠FGE∴△BEF ∽△FEG ，∴2EF BE EG =⋅,∴3618255EG =,∴25EG =,∴BG =EG +BE =4，∴BP =2，（3）PM BP 为定值1125，过P '作P Q BD '⊥,连接P G '，P M '，P P '交GH 于点O ，如下图所示：6,8,10BC CD BD === ::3:4:5BC DC BD ∴=BG 为直径90BHG ∴∠=︒//GH CD∴∴BGH BDC∠=∠3tan tan 4BGH BDC ∴∠=∠=，4sin 5GBH ∠=设5BP x =，则5PG P G P M x''===则3PO P O x '==，4GO x =，∴1122P Q PG GO PP ''⋅=⋅，∴245P Q x '=，∴75MQ GQ x ===，∴145MG x =，∴115PM PG MG x =-=，∴11115525x PM BP x ==26．（2021·北京市三帆中学九年级期中）在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，E 为边AC 中点．线段EA 绕点E 旋转得到线段EF （点F 是点A 的对应点），连接AF ，直线EF 交直线AB 于点G．（1）如图1，当△ABC 为等边三角形且点G 在边AB 上时，若∠FAD =20°，则∠AGE =______°；（2）如图2，点G 在边AB 上，AD 与EG 交于点O ，OG =OA ，AG =AD ，求证：GF =F D ．（3）如图3，若∠BAC >60°，过点C 作CM ⊥直线AD 于M ，连接MF ，当MF =AE 时，请直接写出∠FAC 与∠DAC 的数量关系．【答案】（1）40；（2）见解析；（3）∠FAC =∠DAC ±30o【解析】（1）解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB =∠DAC =30°，∵∠FAD =20°，∴∠EAF =∠FAD +∠DAC =50°，∠GAF =∠DAB ﹣∠FAD =10°，由旋转性质得EA=EF ，则∠EAF =∠EFA =50°，∵∠EFA =∠AGE +∠GAF∴∠AGE =50°﹣10°=40°，故答案为：40；（2）证明：设∠FAD =α，∠DAC =β，∵AE =EF∴∠AFE =∠FAC =∠FAD +∠DAC =α+β．∴∠FEC =∠AFE +∠FAC =2α+2β．∵AD 为∠BAC 的平分线，∴∠BAC =2∠DAC =2∠BAD =2β．∴∠AGE=∠FEC-∠BAC=2α．∵OG=OA∴∠AGE=∠BAD=∠GAF+∠FAD=2α．∴∠GAF=∠DAF=α，∴△AGF≅△ADF∴GF=FD（3）∠FAC=∠DAC±30°，理由为：如图3，连接ME，∵CM⊥AD于M，点E为AC的中点，∴ME=AE=CE，又AE=EF，∴A、F、M、C四点共圆，点E为圆心，∵MF=AE，∴ME=MF=EF，∴△EFM是等边三角形，∴∠MEF=60°，∴∠FAM=12∠MEF=30°，∴∠FAC=∠DAC+∠FAM=∠DAC+30°；同理，如下图，可证A、M、F、C四点共圆，点E为圆心，△EFM是等边三角形，∴∠FAM=12∠MEF=30°，∠FAC=∠DAC－∠FAM=∠DAC－30°，综上，∠FAC=∠DAC±30°．。

2018年初二数学期中考后易错知识总结轴对称一、轴对称图形1．把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。

2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,也叫做对称点3．轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称图形区别轴对称图形是指一个图形而言；对称轴不一定只有一条周对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；只有一条对称轴联系如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形4．轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线1．定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

3．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等三、用坐标表示轴对称点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______；点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______。

四、等腰三角形1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）2.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形②两个角相等的三角形是等边三角形（等角对等边）五、等边三角形1．等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于6002．等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是600的等腰三角形是等边三角形3．在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。