大学物理中国矿业大学出版社

有一质点沿着x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为234.52x t t =-，试求：⑴ 第2秒内的平均速度⑵ 第2秒末的瞬时速度⑶ 第2秒内的路程。

解：⑴ 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，218162x m =-=平均速度为()212 2.50.5m v x x =-=-=-⑵第2秒末的瞬时速度()22966m s t dxv t t dt===-=-⑶ 第2秒内的路程：（在此问题中必须注意有往回走的现象）当 1.5t s =时，速度0v =，2 3.375x m =;当1t s =时，1 2.5x m = ;当2t s =时，32x m =;所以路程为：3.375 2.5 3.3752 2.25m -+-=一艘正在沿直线行驶的电船，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，即dv/dt=-k v ∧2,试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为v=v0e ∧-kx 式中，v0是关闭发动机后的速度。

证明：由题可知：2dv dx kv kv dt dt =-=- 所以有： dv kvdx =- 变换为： dv kdx v=- 两边同时积分就可得到：00vx v dv kdx v =-⎰⎰ 0ln vv v kx =-即0ln v kx v =- 所以有0k x v v e -=迫击炮射击山顶上的一个目标，已知初速度为v0，抛射角为⊙,上坡与水平面成a 角，求炮弹的射程及到达山坡时的速度。

解：炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如图建立坐标轴,x y 。

将初速度0v v沿坐标轴分解可得0000cos sin x y v v v v θθ=⎧⎨=⎩⑴ 加速度g 沿坐标轴分解可得 sin cos x y a g a g αα=-⎧⎨=-⎩ ⑵ 在任意时刻t 的速度为0000cos sin sin cos x x x y y y v v a t v gt v v a t v gt θαθα=+=-⎧⎨=+=-⎩⑶任意时刻t的位移为2200220011cos sin 2211sin cos 22x x y y x v t a t v t gt y v t a t v t gt θαθα⎧=+=-⎪⎪⎨⎪=+=-⎪⎩⑷ ⑴ 炮弹射程为0y =时，所对应的x 。

y gy =对应的时刻02sin cos v t g θα=，代入可得()()2200222sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos v v x g g θθαθαθθααα-+== ⑵ 将02sin cos v t g θα=代入方程组⑶可得00000002sin cos sin cos 2sin tan cos 2sin sin cos sin cos xy v v v g v v g v v v g v g θθαθθααθθαθα⎧=-=-⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩速度的大小为v ==== 方向可以由 tan 2tan cot y xv v βαθ==- ()arctan 2tan cot βαθ=-一质点沿半径为（m ）的圆周运动，其角坐标⊙可用下式来表示：⊙=2+4t ∧3 请问：（1）当t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当⊙角等于多少时，其总加速度与半径成45°角。

解：324rad t θ=+，角速度为212rad s d t dtθϖ== 角加速度为224rad s t β= ⑴ 当2s t =时，248rad s β=2220.148230.4m s n a r ϖ==⨯= 20.148 4.8m s a r τβ==⨯=⑵ 在t 时刻，法向加速度与切向加速度分别为()222420.11214.4m n a r t t ϖ==⨯= ()20.124 2.4m s a r t t τβ==⨯=总加速度与半径夹角为45o时，n a a τ=可得 310.1676t =≈，即 2.167rad θ= 质量为2kg 的质点的运动方程为()()22ˆˆ61331r t i t t j =++++v ，求证质点受恒力而运动，并求力的方向和大小，采用国际单位制。

解：质点的运动方程为()()22ˆˆ61331r t i t t j =++++v ，那么通过对上式两边求导，便可得到速度()ˆˆ1263v t i t j =++v加速度为：ˆˆ126a ij =+v因此质点所受的力为ˆˆ2412N F ma i j ==+vv质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，质点的运动方程为ˆˆcos sin r a t ib t j ϖϖ=+v ，,,a b ϖ为正常数，⑴ 求质点的动量；⑵ 证明作用于质点的合力总指向原点。

解：⑴ 由质点的运动方程可得质点的速度为：ˆˆsin cos v a t i b t j ϖϖϖϖ=-+v 质点的动量为：ˆˆsin cos p mv m a t im b t j ϖϖϖϖ==-+v v ⑵ 质点的加速度为：22ˆˆcos sin a a t ib t j ϖϖϖϖ=--v 作用于质点的合力为：()2222ˆˆcos sin ˆˆcos sin F ma m a t i m b t jm a t i b t jm rϖϖϖϖϖϖϖϖ==--=-+=-v v v方向为r -v的方向，也就是总指向原点。

圆柱A 重500N ，半径0.30m A R =，圆柱B 重1000N ，半径0.50m B R =，都放置在宽度为 1.20m l =的槽内，各接触点都是光滑的。

求A ，B 柱间的压力及A ，B 柱与槽壁和槽底间的压力。

解：分别以A ，B 为研究对象，受力分析如图所示，建立坐标系如图。

对A 列方程有：x 轴：sin A BA N N α= ⑴ y 轴：cos A BA G N α= ⑵ 对B 列方程有：x 轴：1sin AB B N N α= ⑶ y 轴：cos B B AB N G N α=+ ⑷ 在三角形中0.4m A B BC l R R =--= 0.8m A B AB R R =+=1sin ,cos 2αα== ⑸ 通过解上述方程组，可以得到577N AB BA N N ==，1500N B N =，1288.5N A B N N ==质量m=2kg 的均匀绳，长L=1m ，两端分别连接重物A 和B ，ma=8kg, mb=5kg, 今在B 端施以大小为F=180N 的竖直拉力，物体向上运动，求张力T(X)解：对整体进行受力分析，加速度向上为a ，根据牛顿第二定律有：()()a b a b F m m m g m m m a-++=++即()()22m s a b a b F m m m ga m m m -++==++对A进行受力分析，根据牛顿第二定N A B Ga m gdm()a b m m m ++F律有：a a T m g m a -=得到()96N a T m g a =+=对一小段绳子dm 受力如图，根据牛顿第二定律得： ()()24mT dT T dmg dma dT dm a g a g dx dx L+--=⇒=+=+= 两边积分得到()1196249624N T xdT dx T x =⇒=+⎰⎰在图示的装置中两物体的质量各为1m ，2m ，物体之间以及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力。

不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：对1m ，2m 分别进行受力分析如上图所示，取x 方向向右为正方向，y 轴方向向上为正方向。

根据牛顿第二定律列方程，对1m 有x 轴：111f T N T m a μ-=-=- y 轴：110N m g -=对2m 有方程，x 轴：122F m g T N m a μμ---= y 轴：()2120N m m g -+=方程组可以变为()111122m g T m aF m g T m m g m a μμμ-=-⎧⎨---+=⎩可得到 11T m g m a μ=+ ()()112122F m g m m g m m a μμ--+=+ 最后可以解得：()1122F m ga g m m μμ-=-+， ()()11122m F m g T m m μ-=+一个半径为R 的光滑球面顶点A 放一滑块，滑块质量为m,从静止开始沿球面下滑，小滑1块的位置可用⊙角表示，求滑块对球面的压力与⊙角的关系，并问滑块在何处离开球面？ 解：对滑块进行受力分析如图，建立自然坐标系：根据牛顿第二定律列方程为：ˆτ方向：sin dvmg mdtθ= ① ˆn方向：2cos v mg N m Rθ-= ② ds Rd θ=，①式两边同乘ds 可得：sin gR d vdv θθ=，两边同时积分可以得到：2001cos 2vgR v θθ-=()221cos v gR θ⇒=-代入②式可得：()()cos 21cos 3cos 2N mg mg mg θθθ=--=- 当滑块离开球面时，0N =，即2cos 3θ=，2arccos 48.23θ==o 升降机中水平桌上有一质量为m 的物体A ，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m的物体B 相连，当升降机以加速度a=g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到AB 两物体的加速度分别是多少？ 解：（一）以升降机为参考系，A 和B 的受力如图所示：水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，根据牛顿第二定律列方程为： 对A ：'T ma =0N mg ma --= 对B ：()'T m a g ma -+=-解方程可得：'34a g =因此对机内的人来说，A 的加速度为：3ˆ4g i ，B 的加速度为：3ˆ4g j - （二）以地面为参考系，建立坐标系与上边相同，根据牛顿第二定律列方程： 对A ：'T ma = N mg ma -= 对B ：()'T mg m a a -=- '34a g =，34T mg =， A 的加速度为：131ˆˆ42a g i g j =+v ，ˆn''a'aaB 的加速度为：'21ˆ4a a a g j =-=-v在一与水平方向成a=10°的斜坡上，一辆车以a=s2的加速度向上行使，车内有一质量为m=,以地面参考系和车为参考系，求绳子的方向和张力。

解： （一）以地面为参考系。

对小球进行受力分析。

小球相对于小车的加速度为0，所以a 就是小球的绝对加速度。

根据牛顿第二定律列方程：x 方向：()cos 90sin T mg ma αβα---=o y 方向：()sin 90cos 0T mg αβα---=o即：()sin sin T mg ma αβα+-=，()cos cos 0T mg αβα+-=()cos tan sin mg mg ma ααβα+-=()sin tan 0.2074cos g ag ααβα+⇒+==()cos 1.97N cos mg T ααβ==+（二）以加速度为20.3m 的小车为参考系，则小球所受的力应该加一个沿着斜面向下的非惯性力。