2013-2014学年天津市南开区高一(上)期末数学试卷

2023-2024学年天津市滨海新区高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，每题5分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．设集合U＝{2，3，4，5，6，7，8}，P＝{2，3，6}，Q＝{3，7，8}，则Q∪（∁U P）＝（）A．{4，5，7，8}B．{7，8}C．{3，4，5，7，8}D．{2，3，6，7，8}2．命题p：∀x＞2，2x﹣3＞0的否定是（）A．∃x0＞2，2x0−3≤0B．∀x≤2，2x﹣3＞0C．∀x＞2，2x﹣3≤0D．∃x0＞2，2x0−3＞03．半径为2的扇形，其周长为12，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．8B．6C．5D．44．下列结论错误的是（）A．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c B．若a3＞b3，则a＞bC．若ac2＞bc2，则a＞b D．若√a＜√b，则a＜b5．已知α∈（π，3π2），tanα＝2，则cosα＝（）A．√55B．−√55C．2√55D．−2√556．函数f（x）＝e x+x﹣4的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．设a＝log0.40.5，b＝0.3﹣0.4，c＝0.5﹣0.4，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b8．函数f（x）=log13(−x2+6x−5)的单调递减区间是（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．（1，3]D．[3，5）9．已知函数f（x）＝2x+log2x，g（x）＝2﹣x+log2x，h（x）＝2x•log2x﹣1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c10．对于满足等式1a+4b+1=1的任意正数a，b及任意实数x∈[1，+∞），不等式a+b≥﹣x2+6x﹣m恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．[0，+∞）D．[﹣3，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每题5分）11．已知函数f（x）＝ln（4﹣x）+√3x−9，则f（x）的定义域是．12．已知角α的终边经过点P （﹣4a ，3a ）（a ≠0），则2sin α+cos α的值为 ． 13．已知函数f(x)={2e x−1，x ＜2log 3x 2−1，x ≥2，则f （f （1））＝ ．14．已知函数f(x)=b−2x2x +1为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a ＝ ，b ＝ ．15．已知函数f(x)={3x 2+2(a −1)x +15，x ≤1−4a +alnx ，x ＞1，若对任意的x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数f(x)={−x 2−2x +2，x ≤0，|log 12x|，x ＞0．若方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则实数a 的最小值是 ；4x 3⋅x 42−x 4⋅(x 1+x 2)的最小值是 ．三、解答题（本大题共4小题，每题10分。

2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝．12．函数的定义域为．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第I卷（选择题共40分）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，∴∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}．故选：A．2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是奇函数，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，不满足条件．B．f（x）是奇函数，则R上不是单调函数，不满足条件．C．f（x）是奇函数，在R上是增函数，满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解：∵f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）故选：C．4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数定义直接求解．解：在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，∴，r＝＝1，∴sinα＝＝．故选：D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝log20.3＜0，b＝20.3＞1，0＜c＝0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，∴若，则不等式f（2x﹣1）＜0等价为f（|2x﹣1|）＜f（），即|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，得＜x＜，即不等式的解集为（，），故选：A．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得sin（α+β）与cosα的值，再利用两角差的正弦函数，可求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．解：∵cos（α+β）＝﹣，α、β都是锐角，∴sin（α+β）＝＝；又sinα＝，∴cosα＝＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B由条件，注意举反例，即可判断；C由二次函数的图象，即可判断；D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．解：对于A，命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∀x∈R，使得2x≥x2”，故A错误；对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则＝﹣＜＝，故B错误；对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则≤1或≥4，故k≤2或k≥8，故C错误；对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，正确．故选：D．10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由函数f（x）在[﹣，]上单调递增求出0＜ω≤，再由存在唯一使得f（x0）＝1求出≤ω＜3；由此求得ω的取值范围．解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上单调递增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]时，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；综上知，ω的取值范围是[，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分.11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝9 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由幂函数f（x）的图象经过（2，4），解得f（x）的解析式，由此能求出f（3）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）的图象经过（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9．故答案为：9．12．函数的定义域为（﹣1，4）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0且对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，得﹣1＜x＜4．∴函数的定义域为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是2．【分析】利用对数运算性质可得ab，再利用基本不等式的性质即可得出．解：∵lga+lg（2b）＝1，∴2ab＝10，即ab＝5．a，b＞0．则a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．因此：a+b的最小值是2．故答案为：2．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为 5 （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】100ml血液中酒精含量达到60ml，由题意得则60（1﹣20%）t＜20由此利用对数的性质能求出整数t的值．解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则60（1﹣20%）t＜20，∴0.8t＜，∴t＞＝﹣＝﹣＝≈＝4.8．∴整数t的值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．（2）当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}＝{x|1＜x＜5}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A∩B＝{x|3＜x＜5}．（2）∵集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，C⊆B，∴当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．【分析】根据各段函数的解析式作图即可解：（1）如图，（2）由图可知f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0），（1，+∞）；（3）由图可知f（x）＞0时，x∈（﹣4，﹣1）．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得结果．解：（1）∵已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣．∵cosβ＝，β∈（0，），∴sinβ＝＝，∵cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣•+•＝＝﹣．（2）由以上可得tanβ＝＝2，∴tan2β＝＝＝﹣，tan（2β+）＝＝＝﹣．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．解：（1）函数的定义域为R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（x）＝＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）＝sin（2x﹣）可求最小正周期；（2）利用x∈以及正弦函数单调区间即可求出最大最小值；（3）令t＝sin（2x﹣），将不等式化成m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即可求出m取值范围．解：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），（1）T＝＝π，即f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，则2x﹣∈[﹣，π]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以f（x）∈[﹣，2]，即f（x）最大值为2，最小值为﹣；（3）mf（x）+3m≥f（x）即2m sin（2x﹣）+3m≥2sin（2x﹣），令t＝f（x）＝sin（2x﹣），则t∈[﹣1，1]，所以2t+3∈[1，5]根据题意得2mt+3m≥2t对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即有m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，因为1﹣最大为1﹣＝，所以m≥．。

2023-2024学年天津市河西区高一（上）期中数学试卷一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{1，2，4，5}，B ＝{1，3，5，7}，则A ∪（∁U B ）＝（ ） A ．{1，3，6}B ．{2，4}C ．{1，2，4，5，6}D ．{3，5，7}2．已知a ，b 为非零实数，则“ba≥1”是“|b |≥|a |”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“∀x ∈[﹣2，+∞），x +3≥1”的否定是（ ） A ．“∀x ∈[﹣2，+∞），x +3＜1” B ．“∃x 0∈[﹣2，+∞），x 0+3≥1” C ．“∀x ∈[﹣2，+∞），x +3＞1”D ．“∃x 0∈[﹣2，+∞），x 0+3＜1”4．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ） A ．1a +1b 有最小值2B ．√a +√b 有最大值√2C ．√ab 有最小值14D ．a 2+b 2有最小值√225．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2 B ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0C ．f(x)=√x 23，g(x)=(√x 3)2D ．f(x)=x +1，g(x)=x 2−1x−16．已知集合A ＝{2，﹣2}，B ＝{x |x 2﹣ax +4＝0}，若A ∪B ＝A ，则实数a 满足（ ） A ．{a |﹣4＜a ＜4}B ．{a |﹣2＜a ＜2}C ．{﹣4，4}D ．{a |﹣4≤a ≤4}7．若偶函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．f(2)＜f(−32)＜f(−1)B ．f(−1)＜f(−32)＜f(2)C ．f(2)＜f(−1)＜f(−32)D ．f(−32)＜f(−1)＜f(2)8．小明同学乘高铁去旅游．早上他乘坐出租车从家里出发，离开家不久，发现身份证忘在家中，于是回到家取上身份证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站，令x （单位：分钟）表示离开家的时间，y （单位：千米）表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知在（﹣∞，1]上递减的函数f （x ）＝x 2﹣2tx +1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t +1]，总有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[1，√2]C ．[2，3]D ．[1，2]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分. 10．已知集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x ||2x ﹣1|＜1}，则A ∩B ＝ ． 11．若a ＞b ，且1a ＞1b ，则ab 0．（填“＞”，“＜”或“＝”）12．函数f （x ）=√x +1+1x的定义域为 ．13．已知a ，b ，c 均为正实数，ab +ac ＝4，则2a +2b+c +8a+b+c的最小值是 ．14．若不等式x 2﹣kx +k ﹣1＞0对x ∈（1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是 ．15．已知函数f(x)={3x ，x ≥3−x 2+6x ，x ＜3，则f （f （1））＝ ；不等式f （x 2﹣2x ）＜f （3x ﹣4）的解集是 ．三.解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（10分）已知a ，b ＞0，且a +2b ＝1． （Ⅰ）求b a +1b的最小值；（Ⅱ）求a 2+6ab +4b 2的最大值，并求取得最大值时a ，b 的取值． 17．（12分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f(x)=ax−b x 2+1，且f(−12)=−25． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）判断f （x ）的单调性并用单调性定义证明； （Ⅲ）解不等式f （3t ）+f （2t ﹣1）＜0． 18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m﹣1为偶函数．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）求不等式af （x ）﹣（2a +1）x +2＜0的解集；（Ⅲ）若g （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣3在区间[2，3]上不单调，求实数a 的取值范围．2023-2024学年天津市河西区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1，3，6}B．{2，4}C．{1，2，4，5，6}D．{3，5，7}解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，3，5，7}，所以∁U B＝{2，4，6}，又A＝{1，2，4，5}，则A∪（∁U B）＝{1，2，4，5，6}，故选：C．2．已知a，b为非零实数，则“ba≥1”是“|b|≥|a|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a，b为非零实数，ba≥1，可得ab＞0，若a＞0，b＞0，则b≥a＞0，可得|b|≥|a|；若a＜0，b＜0，b≤a，可得|b|≥|a|，即有“ba≥1”是“|b|≥|a|”的充分条件；由“|b|≥|a|”推不到“ba≥1”，比如：由a＝﹣1，b＝2，满足|b|≥|a|，不满足ba≥1．所以“ba≥1”是“|b|≥|a|”的充分不必要条件．故选：A．3．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是（）A．“∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1”B．“∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3≥1”C．“∀x∈[﹣2，+∞），x+3＞1”D．“∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1”解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1，故选：D．4．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．1a+1b有最小值2B．√a+√b有最大值√2C．√ab有最小值14D．a2+b2有最小值√22解：因为正实数a，b满足a+b＝1，所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2√ab⋅ba=4，当且仅当a＝b=12时取等号，A错误；因为a+b 2≥(√a+√b 2)2，当且仅当a ＝b =12时取等号，故√a +√b ≤√2，B 正确；因为√ab ≤a+b 2=12，当且仅当a ＝b =12时取等号，C 错误； a 2+b 22≥(a+b2)2=14，当且仅当a ＝b =12时取等号，故a 2+b 2≥12，D 错误．故选：B ．5．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2 B ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0C ．f(x)=√x 23，g(x)=(√x 3)2D ．f(x)=x +1，g(x)=x 2−1x−1解：f f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2两个函数的定义域和解析式均不一致，故A 中两函数不表示同一函数； f （x ）＝1，g （x ）＝x 0两个函数的定义域不一致，故B 中两函数不表示同一函数；f(x)=√x 23，g(x)=(√x 3)2 两个函数的定义域和解析式均一致，故C 中两函数表示同一函数； f(x)=x +1，g(x)=x 2−1x−1两个函数的定义域不一致，故D 中两函数不表示同一函数； 故选：C ．6．已知集合A ＝{2，﹣2}，B ＝{x |x 2﹣ax +4＝0}，若A ∪B ＝A ，则实数a 满足（ ） A ．{a |﹣4＜a ＜4}B ．{a |﹣2＜a ＜2}C ．{﹣4，4}D ．{a |﹣4≤a ≤4}解：由A ∪B ＝A 得，B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，（1）当B ＝∅时，即有：Δ＝a 2﹣16＜0，解得﹣4＜a ＜4， 适合条件B ⊆A ，实数a 满足：﹣4＜a ＜4； （2）当B ≠∅时，且A ＝{﹣2，2}，①若B ＝{﹣2}，表明x 2﹣ax +4＝0有两个相等的实根﹣2， 则（﹣2）2﹣a ×（﹣2）+4＝0，则a ＝﹣4，满足Δ＝a 2﹣16＝0； ②若B ＝{2}，表明x 2﹣ax +4＝0有两个相等的实根2， 则22﹣a ×2+4＝0，解得a ＝4，满足Δ＝a 2﹣16＝0； ③若B ＝{﹣2，2}，表明x 2﹣ax +4＝0有两个的实根﹣2和2， 则（﹣2）2﹣a ×（﹣2）+4＝0，22﹣a ×2+4＝0，则a 不存在； 综上得：所有满足条件的实数a 组成的集合为[﹣4，4]， 故选：D ．7．若偶函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．f(2)＜f(−32)＜f(−1)B ．f(−1)＜f(−32)＜f(2)C．f(2)＜f(−1)＜f(−32)D．f(−32)＜f(−1)＜f(2)解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，∴函数f（x）在[1，+∞）上是减函数，则f（2）＜f（32）＜f（1），即f（2）＜f（−32）＜f（﹣1），故选：A．8．小明同学乘高铁去旅游．早上他乘坐出租车从家里出发，离开家不久，发现身份证忘在家中，于是回到家取上身份证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站，令x（单位：分钟）表示离开家的时间，y（单位：千米）表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（）A．B．C．D．解：中途回家取身份证，因此中间有零点，排除AB，第二次离开家速度更快，直线的斜率更大，只有C满足．故选：C．9．已知在（﹣∞，1]上递减的函数f（x）＝x2﹣2tx+1，且对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，则实数t的取值范围是（）A．[−√2，√2]B．[1，√2]C．[2，3]D．[1，2]解：由于函数f（x）＝x2﹣2tx+1的图象的对称轴为x＝t，函数f（x）＝x2﹣2tx+1在区间（﹣∞，1]上单调递减，∴t≥1．则在区间∈[0，t+1]上，0离对称轴x＝t最远，故要使对任意的x1，x2∈[0，t+1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，只要f（0）﹣f（t）≤2即可，即1﹣（t2﹣2t2+1）≤2，解得−√2≤t≤√2．再结合t≥1，可得1≤t≤√2．故选：B ．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分. 10．已知集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x ||2x ﹣1|＜1}，则A ∩B ＝ （0，1） ． 解：A ＝{x |x 2＜1}＝{x |﹣1＜x ＜1}， B ＝{x ||2x ﹣1|＜1}＝{x |0＜x ＜1}， 故A ∩B ＝（0，1）． 故答案为：（0，1）．11．若a ＞b ，且1a ＞1b ，则ab ＜ 0．（填“＞”，“＜”或“＝”）解：若a ＞b ，且1a ＞1b ，则a ﹣b ＞0，则1a −1b =b−aab＞0，则ab ＜0．故答案为：＜．12．函数f （x ）=√x +1+1x的定义域为 ⬚ ．解：要使函数f （x ）有意义，需{x +1≥0x ≠0 解得x ≥﹣1且x ≠0故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）13．已知a ，b ，c 均为正实数，ab +ac ＝4，则2a +2b+c +8a+b+c 的最小值是 4 ．解：设a ＝x ，b +c ＝y ，原题转化为：已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝4，求2x +2y +8x+y 的最小值．由2x +2y +8x+y =12(4x +4y )+8x+y =12(y +x)+8x+y ≥2√4=4． 当且仅当12(y +x)=8x+y 即x ＝y ＝2时，等号成立．所以2x +2y +8x+y的最小值为4．故答案为：4．14．若不等式x 2﹣kx +k ﹣1＞0对x ∈（1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是 （﹣∞，2] ． 解：不等式x 2﹣kx +k ﹣1＞0可化为（1﹣x ）k ＞1﹣x 2 ∵x ∈（1，2） ∴k ≤1−x 21−x=1+x ∴y ＝1+x 是一个增函数 ∴k ≤1+1＝2∴实数k 取值范围是（﹣∞，2] 故答案为：（﹣∞，2]15．已知函数f(x)={3x ，x ≥3−x 2+6x ，x ＜3，则f （f （1））＝ 15 ；不等式f （x 2﹣2x ）＜f （3x ﹣4）的解集是 （1，4） ．解：f(x)={3x ，x ≥3−x 2+6x ，x ＜3，则f （1）＝﹣1+6＝5，f （f （1））＝f （3）＝3×5＝15；作出函数f(x)={3x ，x ≥3−x 2+6x ，x ＜3的图象如图，由图可知，函数f （x ）在R 上为增函数，则由式f （x 2﹣2x ）＜f （3x ﹣4），得式x 2﹣2x ＜3x ﹣4，即x 2﹣5x +4＜0， 解得1＜x ＜4．∴不等式f （x 2﹣2x ）＜f （3x ﹣4）的解集是（1，4）． 故答案为：15；（1，4）．三.解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（10分）已知a ，b ＞0，且a +2b ＝1． （Ⅰ）求b a +1b的最小值；（Ⅱ）求a 2+6ab +4b 2的最大值，并求取得最大值时a ，b 的取值． （I ）解：因为a ，b ＞0，且a +2b ＝1，则b a +1b =b a +a+2b b =b a +a b +2≥2√b a ⋅a b +2＝4，当且仅当a ＝b =13时取等号，所以b a +1b的最小值为4；（Ⅱ）a 2+6ab +4b 2＝（a +2b ）2+2ab ＝1+2ab ，因为a +2b ≥2√2ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以1+2ab ≤54，当a ＝2b ，即a =12，b =14时，a 2+6ab +4b 2取得最大值54．17．（12分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f(x)=ax−b x 2+1，且f(−12)=−25．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）判断f （x ）的单调性并用单调性定义证明； （Ⅲ）解不等式f （3t ）+f （2t ﹣1）＜0． 解：（Ⅰ）定义在（﹣1，1）上的奇函数f(x)=ax−bx 2+1， 则f （0）＝0，即﹣b ＝0，解得b ＝0， 又f(−12)=−25，即−12a14+1=−25，解得a ＝1，∴f （x ）=xx 2+1； （Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x ）=xx 2+1，f （x ）在（﹣1，1）上单调递增，证明如下： 任取a ，b ∈（﹣1，1），且﹣1＜a ＜b ＜1，则f （a ）﹣f （b ）=a a 2+1−b b 2+1=(a−b)(1−ab)(a 2+1)(b 2+1)， ∵﹣1＜a ＜b ＜1，∴a ﹣b ＜0，1﹣ab ＞0， ∴f （a ）﹣f （b ）＜0，即f （a ）＜f （b ）， ∴f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．（Ⅲ）∵f （3t ）+f （2t ﹣1）＜0，∴f （3t ）＜﹣f （2t ﹣1）＝f （1﹣2t ），∴{−1＜3t ＜1−1＜1−2t ＜13t ＜1−2t ，解得0＜t ＜15，∴不等式的解集为（0，15）．18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m﹣1为偶函数．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求不等式af（x）﹣（2a+1）x+2＜0的解集；（Ⅲ）若g（x）＝f（x）﹣ax﹣3在区间[2，3]上不单调，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝（m2﹣5m+7）x m﹣1为偶函数，令m2﹣5m+7＝1，解得m＝2或m＝3，m＝2 时，f（x）＝x为奇函数，舍去；m＝3时，f（x）＝x2为偶函数，符合题意，所以m＝3，f（x）＝x2；（Ⅱ）不等式化为ax2﹣（2a+1）x+2＜0，即（ax﹣1）（x﹣2）＜0，当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1a或x＞2}，当a＝0时，不等式的解集为{|x|x＞2}；当0＜a＜12时，不等式的解集为{x|2＜x＜1a}；当a=12时，不等式的解集为∅；当a＞12时，不等式的解集为{x|1a＜x＜2}；（Ⅲ）g（x）＝x2﹣ax﹣3，由题意，令2＜a2＜3，解得4＜a＜6，所以实数a的取值范围是（4，6）．。

2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则( )A. B. C. D.2.设，且则( )A. B. C. D.3.若集合，，则的充要条件是( )A. B. C. D.4.设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.不等式中等号成立的条件是 ( )A. B. C. D.6.已知集合，，若，则a的取值范围为( )A. B.C. D.7.正实数a，b满足，，则的最小值为( )A. B. C. D.8.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.9.已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是.( )A. B.C.或 D.10.若关于x的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.设a，，若集合，则__________.12.试用列举法表示集合：__________；13.不等式的解集为__________.14.已知实数，当取得最小值时，则的值为__________.15.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是__________.16.若函数的最小值为0，则m的取值范围为__________.三、解答题：本题共3小题，共36分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分设全集为，集合，，求，，；若，求实数a的取值范围.18.本小题12分解关于x的不等式：19.本小题14分已知且，记m为的最大值，记n为ab的最大值.求的值;若，且对任意，恒成立，求的最大值.答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.根据交集的定义求解即可.【解答】解：因为 ，，所以.故选：2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题.运用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.【解答】解：A ：当 时，显然不成立，因此本选项不正确；B ：当 时， 没有意义，因此本选项不正确；C ：若 ，显然，但是不成立，因此本选项不正确；D ：由 ，因此本选项正确，故选：D 3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查充要条件及含参数的集合关系问题，属于基础题.利用充要条件及两个集合的关系即可得出答案.【解答】解：因为集合 ，，且，所以，故选：4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案.【解答】解：命题p：，，则为， .故选：5.【答案】C【解析】【分析】本题考察基本不等式，属于基础题.易知取等时解出x即可.【解答】解：故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集及集合包含关系的判断，分类讨论含参数的集合包含关系，属于中档题.由可以得到，从而对集合B分类讨论即可求解参数a的范围.【解答】解：已知，又因为，，即，①当时，满足，此时，解得；②当时，由，得，解得；综上所述， .故选：7.【答案】A【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于基础题.由题意可得，，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：，，且，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为 .故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题.求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案.【解答】解：由可得，当时，，所以，所以命题“任意，”为真命题的充要条件是，所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是C，故选：C9.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决恒成立及一元二次方程问题，属于中档题.若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可.【解答】解：命题p：为真命题，对任意恒成立，又，，当且仅当，即时，等号成立，，命题，，为真命题，，或，命题p，q都是真命题，或 .故选：C10.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，涉及集合的混合运算，属于中档题.根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，讨论两根大小，然后根据集合的运算即可求解.【解答】解：当，则的解集为或，，，，，所以或 .当，则的解集为或，，，，，所以或，综上，故选：11.【答案】0【解析】【分析】本题考查集合相等，属于中档题.利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．【解答】解：由题意可知：，因为，则，可得，则，可得，且满足，所以 .故答案为：12.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，属于基础题.求解x 的范围，然后表示成描述法即可.【解答】解：由题意可得： .故答案为： .13.【答案】【解析】【分析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.根据分式不等式求解方法进行求解即可．【解答】解：不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为 .故答案为： .14.【答案】4 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.先利用配凑法根据基本不等式求最值，根据取等条件得 ，即 即得.【解答】解：根据题意可得，，因 ，所以，，所以即，当且仅当时等号成立，此时，解得，则 .故答案为： 415.【答案】【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决有解问题，属于中档题.由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可.【解答】解：因为两个正实数x，y满足，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.因为有解，所以，即，解得或，即实数m的取值范围是 .故答案为： .16.【答案】【解析】【分析】本题考查由函数的最值求参，属于较难题.根据题意，讨论，求得时，取得最小值 0 ，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围.【解答】解：当时，，当时，取得最小值 0 ，满足条件；当时，，当时，可得，当时，，，当时，，当时，取得最小值0，此时；当时，，由题意可得恒成立，不满足.则m的取值范围为 .故答案为：17.【答案】解：因为，，根据并集、补集的概念可得，或，或，所以，或 .若，则，解得，若，则，且或，解得，所以实数a的取值范围是 .【解析】本题考查集合的运算，属于中档题.根据集合A、B利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果.分集合C为空集和C不为空集两种情况分类讨论，利用交集运算的概念得到a的范围.18.【答案】解：，时，，解集为时，不等式无解；时，，解集为时，不等式为，解集为；时，不等式的解集为或，综上，时，不等式的解集是；时，不等式的解集是或；时，不等式的解集是；时，不等式无解；时，不等式的解集是【解析】本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，解题关键在于对参数的分类讨论，注意参数的正负情况对于解集的影响，属于中档题.分类讨论，进行求解即可.19.【答案】解：因为，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，得，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为1，即，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，即，由题可得，令，则，故 .对任意，，则恒成立，因为a为正数，所以所以，此时，所以，当时，等号成立，此时成立，所以的最大值为第11页，共11页【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式恒成立问题，属于难题.利用基本不等式结合已知可求得，则 ，从而可求出 n 的值，再结合完全平方公式可求出 m ；令，则 ，得 ，根据 时， ，求得 的关系，从而可得 的取值范围，根据 取最大值的的值检验不等式 恒成立，即可求得结果.。