动能定理和圆周运动相结合临界
例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L的轻绳悬于O点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动（2）若所给的速度逐渐增大时，绳子在最高点时拉力变化（3）最低点和最高点的拉力变化多少
拓展：若绳子改为杆
变式训练1-1如图所示，小球自斜面顶端A由静止滑下，在斜面底端B进入半径为R的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点C，已知A、B两点间高度差为3R，试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。
例题2如图，光滑的水平面AB与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC竖直，圆轨道半径为R一个质量为m的物体放在A 处，AB=2R，物体在水平恒力F的作用下由静止开始运动，当物体运动到B点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C水平抛出，求水平力
变式训练2-1如果在上题中，物体不是恰好过C点，而是在C点平抛，落地点D点距B点的水平位移为4R，求水平力。
变式训练2-2如图上题，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。
A
H
R
O B
D
E
例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。求：
⑴释放点距A点的竖直高度；
⑵落点C与A点的水平距离。
例题4如图上题图所示，四分之三周长圆管的半径R=，管口B和圆心O在同一水平面上，D是圆管的最高点，其中半圆周BE段存在摩擦，BC和CE段动摩擦因数相同，ED段光滑；直径稍小于圆管内径、质量m=的小球从距B 正上方高H=处的A处自由下落，到达圆管最低点C时的速率为6m/s，并继续运动直到圆管的最高点D飞出，恰能再次进入圆管，假定小球再次进入圆管时不计碰撞能量损失，取重力加速度g=10m/s2，求
（1）小球飞离D点时的速度
（2）小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功
（3）小球再次进入圆管后，能否越过C点请分析说明理由
变式训练4-1如图所示，质量为m的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L，在O点正下方P处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P处的钉子作圆周运动。那么钉子到悬点的距离OP等于多少若绳子最大拉力4mg时那么钉子到悬点的距离OP等于多少
变式训练4-2半径R=1m的1/4圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h=1m，如图所示，有一质量m=的小滑块自圆轨道最高点A由静止开始滑下，经过水平轨迹末端B时速度为4m/s，滑块最终落在地面上，试求:
(1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度多大
(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少
变式训练4-3.(2014福建理综,21,19分)图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图,整个轨道在同一竖直
A C D
B
O
平面内,表面粗糙的AB 段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC 在B 点水平相切。点A 距水面的高度为H,圆弧轨道BC 的半径为R,圆心O 恰在水面。一质量为m 的游客(视为质点)可从轨道AB 的任意位置滑下,不计空气阻力。
(1)若游客从A 点由静止开始滑下,到B 点时沿切线方向滑离轨道落在水面D 点,OD=2R,求游客滑到B 点时的速度v B 大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功W f ;
(2)若游客从AB 段某处滑下,恰好停在B 点,又因受到微小扰动,继续沿圆弧轨道滑到P 点后滑离轨道,求P 点离水面的高度h 。(提示:在圆周运动过程中任一点,质点所受的向心力与其速率的关系为F 向=m )
例题5木块原来静止，斜面光滑，比较滑到底端的速度大小如果斜面粗糙，木块与斜面的动摩擦因数相同，比较滑到底端的速度大小
变式训练5-1、如图，滑块从斜面点点A 由静止滑至水平部分C 点静止。一直斜面高h ，滑块运动的整个水平距离为s ，设转交B 处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求动摩擦因数。
例题6 如图所示，一轻弹簧固定于O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点O 在同一水平面且弹簧保持原长的A 点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A 点摆向最低点的过程中（ ）
A. 重物的重力势能减少
B. 重物的重力势能增大
C. 重物的机械能不变
D. 重物的机械能减少
变式训练6-1. 如图所示，一质量为m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O 点处，将小球拉至A 处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O 点正下方B 点的速度为v ，与A 点的竖直高度差为h ，则（ ）
A. 由A 至B 重力做功为mgh
B. 由A 至B 重力势能减少12
mv 2 C. 由A 至B 小球克服弹力做功为mgh D. 小球到达位置B 时弹簧的弹性势能为mgh －12
mv 2
变式训练6-2为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D ，释放点距B 点的距离L′应满足什
么条
件．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是（）
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
变式训练6-3如图所示，一根长为l1的橡皮条和一根长为l2的绳子（l1 长度相等，此时两球速度的大小为（） A．B球速度较大B．A球速度较大 C．两球速度相等D．不能确定 变式训练6-4如图所示，一根原长为L的轻质弹簧，下端固定在水平桌面上，上端固定一个质量为m的物体A，A静止时弹簧的压缩量为ΔL1，在A上再放一个质量也是m的物体B，待A、B静止后，在B上施加一竖直向下的力F，使弹簧再缩短ΔL2，这时弹簧的弹性势能为E P。突然撤去力F，则B脱离A向上飞出的瞬间弹簧的长度应为。这时B的速度是。 变式训练6-5如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有一轻质弹簧，其一端固定在斜面下端的挡板上，另一 端与质量为m的物体接触(未连接)，物体静止时弹簧被压缩了x0.现用力F缓慢沿斜面向下推动物体，使弹簧在 弹性限度内再被压缩2x0后保持物体静止，然后撤去F，物体沿斜面向上运动的最大距离为，则在撤去F后到物 体上升到最高点的过程中( ) A．物体的动能与重力势能之和不变 B．弹簧弹力对物体做功的功率一直增大 C．弹簧弹力对物体做的功为θ D．物体从开始运动到速度最大的过程中克服重力做的功为2mgx0sin θ 变式训练6-6如图所示,光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点衔接,导轨半径为R,一个质量为m的 静止物块在A处压缩弹簧,在弹力的作用下获得某一向右速度,当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力 的7倍,之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点.求: (1)弹簧对物体的弹力做的功. (2)物块从B至C克服阻力做的功. (3)物块离开C点后落回水平面时动能的大小. 例题7如图所示,跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m,物体A在水平面上.A由静止释放,当B沿竖直方向下落h时,测得A沿水平面运动的速度为v,这时细绳与水平面的夹角为 ,试分析计算B下降h 过程中,A克服地面摩擦力做的功.(滑轮的质量和摩擦均不计) 变式训练7-1如图，小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力( ) A ．垂直于接触面，做功为零 B ．垂直于接触面，做功不为零 C ．不垂直于接触面，做功为零 D ．不垂直于接触面，做功不为零 变式训练7-2有一个固定的光滑直杆与水平面的夹角为53°，杆上套着一个质量为m ＝2 kg 的滑块(可视为质点)．用不可伸长的细绳将滑块m 与另一个质量为M ＝ kg 的物块通过光滑的定滑轮相连接，细绳因悬挂M 而绷 紧，此时滑轮左侧细绳恰好水平，其长度L ＝103 m ；P 点与滑轮的连线同直杆垂直(如图所示)．现将滑块m 从图中O 点由静止释放(整个运动过程中M 不会触地，g 取10 m/s 2)．则滑块m 滑至 P 点时的速度大小为( ) A ．5 2 m/s B ．5 m/s m/s D ．2 m/s 例题8某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究．他们让这辆小车在水平地面上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的v -t 图象(除2～10 s 时间段图象为曲线外，其余时间段图象均为直线)，已知在小车的运动过程中，2～14 s 时间内小车牵引力的功率保持不变，14 s 末停止遥控让小车自由滑行，小车的质量m ＝ kg ，可以认为小车在整个过程中受到的阻力大小不变．求： (1)小车所受阻力f 的大小； (2)小车匀速行驶阶段的功率P ； (3)小车在加速运动过程中的位移s 大小． 变式训练8-1质量为×103 kg 的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N ，汽车发动机的额定输出功率为×104 W ，开始时以a ＝1 m/s 2 的加速度做匀加速运动(g 取10 m/s 2)．求： (1)汽车做匀加速运动的时间t 1； (2)汽车所能达到的最大速率； (3)若斜坡长 m ，且认为汽车达到坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多少时间 变式训练8-2电动机通过一条绳子吊起质量为8kg 的物体。绳的拉力不能超过120N ，电动机的功率不能超过1200W ，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m （已知物体在被吊高90m 以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少（g 取10 m/s2） 变式训练8-3如图所示，质量为m 的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v 匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程中，下列说法正确的是( ) A ．电动机做的功为12 mv 2 B ．摩擦力对物体做的功为mv 2 C ．传送带克服摩擦力做的功为12 mv 2 D ．电动机增加的功率为μmgv 例题9如图所示，质量分别为2m 和m 的A 、B 两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦．现将两物体由静止释放，在A 落地之前的运动中，下列说法中正确的是( ) A ．A 物体的机械能增大 B ．A 、B 组成系统的重力势能增大 C ．下落t 秒过程中，A 的机械能减少了29 mg 2t 2 D ．下落t 秒过程中，B 所受拉力的瞬时功率为13 mg 2t 变式训练9-1如图所示，表面粗糙的固定斜面顶端安装一个定滑轮，小物块A 、B 用轻绳连接并跨过定滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)．初始时刻，手扶物块B 使A 、B 处于静止状态．松手后A 下落、B 沿斜面上滑，则从松手到物块A 着地前的瞬间( ) A ．物块A 减少的机械能等于物块 B 增加的机械能
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